Unidad V Pruebas de Hipótesis Una Muestra

Transcripción

1 En las pruebas de hipótesis, el objetivo es, fundamentalmente, decidir si un valor o valores determinados de la distribución de la variable aleatoria considerada responde o no a la realidad. Una hipótesis estadística es una conjetura o presunción sobre alguna característica medible o atributo de una población Las pruebas de hipótesis consisten precisamente en plantear supuestos sobre alguna característica poblacional contra la alternativa de que tal supuesto sea falso. La hipótesis sometida a prueba, suele llamarse Hipótesis Nula y recibe este nombre porque está sujeta a nulificación. Dicho de otro modo, podemos aceptarla o rechazarla de acuerdo a los resultados de la prueba Tomado de: Arraez Domingo. PRUEBAS DE HIPOTESIS ESTADISTICAS. UC. Ediciones del Rectorado Unidad V Pruebas de Hipótesis Una Muestra

2 Hipótesis Afirmación acerca de un parámetro de la población que se desarrolla para propósitos de prueba. Estadístico de Prueba Para la media Muestra Grande, Varianza Conocida Prueba de Hipótesis Procedimiento basado en las evidencias de la muestra y la teoría de la probabilidad para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable. Muestra Grande, Varianza Desconocida Procedimiento para probar una hipótesis. a. Hipótesis Nula: afirmación acerca del valor de un parámetro de la población. b. Hipótesis Alternativa: afirmación que se acepta si los datos de la muestra proporciona suficiente evidencia de que la hipótesis nula es falsa. 2. Seleccionar un nivel de significancia. a. Error tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando en verdadera. b. Error tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando es falsa. valor determinado a partir de la información de la muestra que se utiliza para determinar si se va a rechazar la hipótesis nula. 4. Formular una regla de decisión. a. Valor crítico: el punto divisor entre la región en la que la hipótesis nula se rechaza y aquella en la que se acepta. Aceptar o no Ho. Las pruebas pueden ser a una o dos colas. Muestra No grande, Varianza Conocida Muestra No grande, Varianza Desconocida Para la proporción Muestra grande Muestra No grande Ejemplo 8. La JSC fabrica y arma escritorios y otros muebles para oficina en diversas plantas del estado. La producción semanal del escritorio modelo A323 en una de las plantas tiene una 5-1

3 distribución normal con una media de 200 y una desviación estándar de 16. Hace poco, debido a la expansión del mercado, se introdujeron nuevos métodos de producción y se contrataron empleados nuevos. El vicepresidente de fabricación quiere investigar si ha habido algún cambio en la producción semanal del escritorio modelo A323. Con una significancia del 1%. a. Hipótesis Nula: Ho: µ = 200 b. Hipótesis Alternativa: H1: µ Seleccionar un nivel de significancia: Error tipo I: α = 1% 4. Formular una regla de decisión. a. Valor crítico: 2,58 región de aceptación: -2,58 hasta 2,58 Aceptar o no Ho. a. Asumiendo que se toma una muestra de 50 semanas, obteniéndose un promedio de 203,5 escritorios semanales. b. z = 1,55 como -2,58 1,55 2,58 Aceptamos Ho Si se quisiera comprobar la misma información a través de un intervalo de confianza, el intervalo se 16 construiría como: 203,5 ± 2,58 Dando como 50 resultado [197,66 209,34]. Nótese que el valor poblacional propuesto se encuentre entre los límites del intervalo. Por lo tanto se asume que dicho valor propuesto es el valor poblacional real. Ejemplo 9. Ahora suponga que el vicepresidente quería saber si hay un incremento en el número de unidades armadas. Podemos afirmar que el número medio de escritorios armados en las últimas 50 semanas fue más de 200? Manteniendo lo demás igual, nos quedaría como: a. Hipótesis Nula: Ho: µ 200 b. Hipótesis Alternativa: H1: µ > 200 I: α = 1% 4. Formular una regla de decisión: Valor crítico: 2,33 región de aceptación: hasta 2.33 Aceptar o no Ho: z = 1,55 como 1,55 2,58 Aceptamos Ho Ejemplo 10. la ferretería EPA emite una tarjeta de crédito propia. El gerente de crédito quiere saber si el saldo medio insoluto mensual es mayor de Bs El nivel de significancia es de 0,05. Una revisión aleatoria de 172 saldos insolutos reveló que la media de la muestra es $407 y la desviación estándar de la muestra es de $38. La media de la población es mayor a $400? a. Hipótesis Nula: Ho: µ 400 b. Hipótesis Alternativa: H1: µ > 400 I: α = 5% 4. Formular una regla de decisión: Valor crítico: 1,65 región de aceptación: hasta 1,65 Aceptar o no Ho: z = 2,42 como 2,42 > 1,65 Rechazamos Ho La probabilidad de encontrarse con un valor mayor a 2,42 es de 0,78% (poco probable). 5-2

4 Ejemplo 11. El departamento de quejas del IMA reporta que el costo medio de procesar una queja es de Bs Luego de aplicar una serie de medidas correctivas a fin de disminuir los costos, se escoge una muestra de 26 reclamos y se obtiene que, el costo promedio de estos reclamos, asciende a los Bs ; con una desviación estándar de Bs El costo medio de procesar una queja ahora es menor a los Bs ? Verifique con un nivel de significancia del 1%. a. Hipótesis Nula: Ho: µ b. Hipótesis Alternativa: H1: µ < I: α = 1% 4. Regla de decisión: Valor crítico: -2,485 región de aceptación: desde -2,485 Aceptar o no Ho: t = -1,818 como -1,818 > - 2,485 Aceptamos Ho Ejemplo 12. La longitud media de una pequeña barra de contrapeso es 43 milímetros. Al supervisor de producción le preocupa que los ajustes hechos a la máquina que produce las barras hayan cambiado la longitud de las barras y piden al Departamento de ingeniería que investigue. Se selecciona una muestra aleatoria de 12 barras y miden cada una. Los resultados son los siguientes: 42, 39, 42, 45, 43, 40, 39, 41, 40, 42, 43, 42. Ha ocurrido algún cambio en la longitud media de las barras? Utilice un nivel de significación del 2%. De aquí se tiene: Media = 41,5 Estándar = 1,784 Desviación a. Hipótesis Nula: Ho: µ = 43 b. Hipótesis Alternativa: H1: µ 43 I: α = 2% 4. Formular una regla de decisión: Valor crítico: 2,718 región de aceptación: desde -2,718 hasta 2,718 Aceptar o no Ho: t = -2,91 como t < -2,718 Rechazamos Ho Ejemplo 13. Por elecciones anteriores se sabe que un candidato debe contar con el 80% de los votos del norte de la ciudad para poder resultar electo. El actual gobernador quiere verificar sus probabilidades de reelección, para lo cual se encuestan 2000 personas, de las cuales 1550 planeaban votar por el gobernador actual. a. Hipótesis Nula: Ho: π 80% b. Hipótesis Alternativa: H1: π > 80% I: α = 5% 4. Formular una regla de decisión: Valor crítico: - 1,65 región de aceptación: desde -1,65 Aceptar o no Ho: z = -2,80 como z < -1,65 Rechazamos Ho 5-3

5 Ejercicios 1. La tasa media anual de resurtido del frasco de 200 aspirinas de Bayer es de 6,0 con una desviación estándar de 0,50. (Esto indica que las existencias de Bayer cambian en los anaqueles de las farmacias alrededor de 6 veces por año). Se cree que el resurtido medio cambió y ya no es 6,0. Utilice un nivel de significación de 0,05. Una muestra aleatoria de 64 frascos de 200 aspirinas de Bayer indicó una tasa de resurtido medio de 5,84. Debemos rechazar la hipótesis de que la media de la población es 6,0? 2. El fabricante de las llantas radiales para camiones afirma que el millaje medio que la llanta recorre antes de que se desgasten las ruedas es de millas. La desviación estándar del millaje son millas. Una muestra de 48 llantas arrojó una media de millas. Verifique la afirmación del fabricante, con los resultados de la muestra a un nivel de significación de 5% 3. La cadena de restaurantes McDonald afirma que le tiempo de espera para el servicio tiene una distribución normal, con una media de 3 minutos y una desviación estándar de 1 minuto. El departamento de calidad descubrió en una muestra de 50 clientes en una de sus sedes que el tiempo medio de espera es de 2,75 minutos. Con una significancia del 5% podemos afirmar que el tiempo de espera es menos de 3 minutos? 4. En el momento que la contrataron como mesera en el GF Restaurante, a Katty le dijeron: Puedes ganar un promedio de más de $20 al día en propinas. Durante los primeros 35 días que trabajó, la cantidad media diaria de sus propinas fue de $24,85 con una desviación estándar de $3,24. Con un nivel de significancia del 1% se puede llegar a la conclusión que si gana más de $20 por día en propinas 5. El INTT reporto que el 52% de los conductores en las autopistas son hombres. Una muestra de 300 vehículos que pasaron por un peaje reveló que 170 iban conducidos por un hombre. En el nivel de significancia 0,01 podemos afirmar que la proporción de hombres que conduce en autopistas es mayor a la indicada por el INTT? 6. Un artículo reciente que se publicó en prensa, reportó que solo hay un empleo para uno de tres graduados de la universidad. Una encuesta de 200 graduados de su escuela reveló que 80 de ellos tenían empleo. Con un nivel de significación del 2% podemos llegar a la conclusión de que una proporción mayor de graduados de su escuela tiene trabajo? 7. Pollos Arturo s afirma que 90% de sus pedidos se entregan en 10 minutos después que se hacen. Una muestra de 100 pedidos reveló que 82 se entregaron en el tiempo prometido. En el nivel de significancia 0,10 podemos llegar a la conclusión de que menos de 90% de los pedidos se entregan en menos de 10 minutos? 8. las investigaciones en la universidad de Carabobo indican que 50% de los estudiantes cambian de carrera después de un año en el programa. Una muestra aleatoria de 100 estudiantes de FACES reveló que 48 habían cambiado de carrera. Se ha reducido la proporción de estudiantes que cambian de carrera? Realice la prueba con un nivel de significancia del 5%. 9. Se considera un nuevo método para armar un carro de golf. El método actual requiere de 42,3 minutos en promedio, para armar un carro. El tiempo de ensamblaje medio para una muestra aleatoria de 24 carros, utilizando el método nuevo, fue de 40, 6 minutos y la desviación estándar de la muestra fue de 2,7 minutos. Utilizando un nivel de significancia del 10% podemos llegar a la conclusión de que el tiempo medio de ensamblaje con el nuevo método es más corto? 10. A continuación se muestra el número de quejas, que se recibieron durante el mes de marzo, en las 20 agencias de una cadena de restaurantes: 14, 14, 16, 12, 12, 14, 13, 16, 15, 5-4

6 14, 12, 15, 15, 14, 13, 13, 12, 13, 10, 13. con un nivel de significancia del 5% se puede decir que el número medio de quejas es de menos de 15 al mes? 11. Un Fabricante de bujías afirma que sus productos tienen una duración media superior a millas. Suponga que la duración media de las bujías sigue una distribución normal. El dueño de una flotilla compró gran cantidad de juego de bujías. Una muestra de 18 juegos reveló que la duración media era de millas y la desviación estándar de millas. Hay evidencias suficientes para respaldar la afirmación del fabricante en un nivel de significación del 5%? 5-5