6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 139

Transcripción

1 ÁGIN 9 ág. RTI Figuras semejantes uáles de estas figuras son semejantes? uál es la razón de semejanza? F F F F es semejante a F. La razón de semejanza es. a) Son semejantes los triángulos interior y eterior? b) uántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea,5? a) No. La razón entre los catetos es en el interior y 5 en el eterior. 7 b),5 5,5 7,5 Los catetos medirán 5 y 7,5 unidades. Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de,5 cm de ancho. Son semejantes los rectángulos interior y eterior del marco? Responde razonadamente ? No son semejantes

2 4 Un joyero quiere reproducir un broche como el de la figura a escala,5. a) Haz un dibujo de la figura ampliada. b)alcula su superficie. ág. a) b) S ORIGINL π π , u S MLI,,5 4,9 u ( 5 En un mapa cuya escala es : , la distancia entre dos ciudades es,5 cm. a) uál es la distancia real entre ellas? b) uál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades y cuya distancia real es 60 km? a) , cm 7,5 km,5 b) cm ) ( ) ( ) 6 En el plano de un piso cuya escala es :00, el salón ocupa una superficie de 7 cm. uál es la superficie real del salón? cm m 7 Un rombo cuyas diagonales miden 75 cm y 50 cm, qué área ocupará en un plano de escala :5? Área cm En el plano ocupará 0 65 cm. 5

3 Una maqueta está hecha a escala :50. alcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. b)la superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 0 cm de agua. a) cm 50 cm 6 cm h 4 cm d La torre cilíndrica mide 5 m de altura y 0 m de diámetro. b) cm 50 m c) cm,5 m Semejanza de triángulos 9 El perímetro de un triángulo isósceles es 49 m y su base mide m. Halla el perímetro de otro triángulo semejante, cuya base mide 4 m. uál es la razón de semejanza entre el triángulo mayor y el menor? 49 m m h 500 cm 5 m d 000 cm 0 m 5,5 erímetro del triángulo semejante: ' 49 9, m 5,5 La razón de semejanza es 5,5. 0 En la figura, el segmento E es paralelo a. 4 m,4 cm 4, cm 4 E 6 cm cm ág. Jusitifica que los triángulos y E son semejantes y calcula E y E. Los triángulos y E son semejantes porque tienen un ángulo común, ^, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos, E //. Están en posición de Tales. E E E E,4 5,6 cm,4 E 5,6,4 6, + 5,6 4, +,4, 6, 9,6 E 9,6 cm

4 or qué son semejantes los triángulos y E? Halla el perímetro del trapecio E. E 0 cm 7 cm 6 cm ág. 4 orque son rectángulos con un ángulo agudo común, ^. Tienen los tres ángulos iguales. Hallamos E aplicando el teorema de itágoras: E 0 6 cm; cm E 0,5,5 cm 5 50,75 cm E E 6 erímetro de E 7 +,75 +, cm En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es /4. Halla el perímetro de otro triángulo semejante en el que el cateto menor mide 54 cm cm cm mide el cateto mayor. 4 h cm mide la hipotenusa. erímetro cm La razón de semejanza entre dos triángulos es /5. Si el área del mayor es 50 cm, cuál es el área del menor? El área del menor es 5 ) 4 cm. ( 5

5 4 Observa esta figura, en la que el segmento es paralelo a. ág. 5 7, cm 0,6 cm,5 cm O 6 cm y a) i por qué son semejantes los triángulos O y O. b) alcula e y. a) Son semejantes porque tienen un ángulo igual, O O por ser opuestos por el vértice, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. b) 6 7, 6 5,0 cm 7,,5,5 6,5 ÁGIN 40 y y 0,6 6 7,4 cm 0,6,5 5 Si es paralelo a E, y 5 cm, E cm y 6,4 cm: a) alcula. b) odemos saber cuánto vale E sin medirlo directamente? c) Si ^ 7 y ^ 0, calcula E^, ^ y ^. ì a) Los triángulos E y son semejantes. or tanto: E 5 6,4 4,69 cm 6,4 5 b) No podemos saber lo que mide E porque no conocemos la medida del lado correspondiente,. c) E^ 0 (7 + 0 ) 6 ; ^ ^ 7 ; ^ E^ 6 ì E 6 Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden cm y,6 cm, respectivamente. Si el área del primero es 6 cm, cuál es el área del segundo? Razón de semejanza,6,7 Área del segundo 6,7 75,4 cm

6 7 Los catetos del triángulo ( 90 ) miden cm, cm. esde el punto, tal que 9 cm, se traza una paralela a. Halla el área y el perímetro del trapecio E. E ág. 6 Los triángulos y E son semejantes. cm 9 cm E cm or ello: E 6 cm E E alculamos la hipotenusa de cada uno de los triángulos: + 5 cm E cm E Área del trapecio cm cm erímetro del trapecio E cm alcula el perímetro del triángulo cuya base coincide con la base mayor de este trapecio y que se obtiene al prolongar los lados no paralelos hasta que se corten. y 5 cm 0 cm cm 5 cm 0 cm cm cm alculamos la medida del cateto en el triángulo : y cm erímetro del triángulo cm

7 Teorema del cateto y de la altura ág. 7 En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura H sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos e y. 9, m H y 7, m 0 H, 7, H 4,05 m En el triángulo H,, + 4,05 4,56 m En el triángulo H, y 7, + 4,05 y,79 m or el teorema del cateto:, 4,, m En el triángulo H, y,, y,9 m, m or el teorema de la altura: y y H 4, m m H 9 m 9 6 m En el triángulo H, y +6 y 0 m ibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la hipotenusa. a) alcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 50 cm y el cateto mayor 40 cm. b)la hipotenusa mide 5 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa 9 cm. Halla el cateto mayor. c) La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, 4,5 cm. Halla la hipotenusa.

8 a) 40 cm cm royección de sobre : ág. y 50 cm 50 cm O bien: cm 0 50 y y cm b) La proyección de y sobre la hipotenusa es: y cm or el teorema del cateto: 9 cm 5 cm y 5 6 y 0 cm c) or el teorema de la altura: 6 4,5 cm 6 cm Hipotenusa 4,5 +,5 cm 4,5 cm Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide m y su proyección sobre la hipotenusa mide 7, m. alcula el área y el perímetro del triángulo. y cm 7, cm or el teorema del cateto: 7, 0 m y 0 y 6 m Área 6 96 m erímetro m

9 4 Halla el perímetro del triángulo del que conocemos H 9 cm, H cm. ág. 9 cm 9 cm H y 9 cm y +9 y 5 cm z +6 z 0 cm IENS Y RESUELVE H cm z or el teorema de la altura: 9 6 erímetro cm 5 uál es la profundidad de un pozo, si su anchura es, m y alejándote 0, m del borde, desde una altura de,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo? 0, m,7 m,,,7,55 m,7 0, 0, La profundidad es de,55 m., m

10 ÁGIN 4 6 ara medir la altura de la casa, Álvaro, de 65 cm de altura, se situó a,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. uánto mide la casa? ág. 0 h 5 m,5 m a,5 m,65 m a,5,65,5 m 5 +,5 h h 6,5,5,6 m,5,5,5 ltura de la casa:,6 +,65 4, m 7 Entre dos pueblos y hay una colina. ara medir la distancia fijamos un punto desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas 5 km, M 7, km y MN km. (MN es paralela a ). Halla la distancia. 5 m,5 m,5 m M N 5 km M 7, km km N Los triángulos y MN son semejantes. or tanto: km 7, 7,

11 El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado desigual mide 4 m. alcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m. ág. ltura del triángulo: h 5 7 h 4 m 5 m 5 m h Área m Razón de semejanza 96 4 m 64 Área del triángulo semejante 6 7 cm ( ) 9 os triángulos y QR son semejantes. Los lados del primero miden 4 m, m y 4 m. alcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 9 m. erímetro del triángulo : m Razón de semejanza: 9 6 Lados del triángulo QR: 4 6 cm; 4 cm; 4 5 cm 0 Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 4 m y 0 m. Si el lado desigual del primer triángulo es m, cuál es el perímetro del segundo? 0 Razón de semejanza:,5 4 Lado desigual del segundo:,5 cm ltura del segundo: 0 h h cm Lados iguales del segundo: +9 5 cm erímetro del segundo: cm m m e un cono de radio 5 cm hemos cortado otro cono de radio cm y altura cm. alcula el volumen del cono grande. alculamos la altura del cono grande, : 5 5 7,5 cm Volumen πr h π 5 7,5 6,5π cm cm 5 cm cm

12 alcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden cm y 4 cm y su altura es 5 cm. ág. cm 5 cm alculamos la altura de la pirámide menor, : cm 4 Volumen de la pirámide grande 4 (0 + 5) 6,67 cm Volumen de la pirámide pequeña 0 46,67 cm Volumen del tronco de pirámide 6,67 46,67 60 cm En un cono de 0 cm de radio hemos inscrito un cilindro de radio 4 cm y altura 4,4 cm. Halla la altura del cono. + 4, , ,6 9,6 cm ltura del cono: 9,6 + 4,4 4 cm 4 cm 4,4 cm 4 cm 0 cm 4 Tenemos un cono inscrito en una esfera de radio cm. uál será el radio de la base del cono si su altura es 4 cm? 4 cm 4 cm R 4 cm or el teorema de la altura, en el triángulo rectángulo se verifica: R 4 R 0,5 cm

13 5 En una esfera de 5 cm de radio hemos inscrito un cono de altura cm. alcula su área lateral. Radio de la esfera: 5 cm 0 cm alculamos el radio del cono utilizando el teorema de la altura en el triángulo : cm ág. r r 4,7 cm Generatriz del cono: g + 4,7 g,9 cm Área lateral del cono: πrg π 4,7,9 79π cm 6 En una esfera de 4 cm de diámetro se inscribe un cono cuya generatriz mide 0 cm. alcula el volumen del cono. ara calcular la altura del cono, aplicamos el teorema del cateto en el triángulo rectángulo : h 4 r 0 r 0 h 4 h 4,7 cm Radio del cono: r 0 4,7 r 9,09 cm V ONO π 9,09 4,7 4,5π cm 7 Sobre una esfera de 0 cm de radio se encaja un cono de0 cm de altura. Halla el área del casquete esférico que determina el cono. ara hallar, aplicamos el teorema del cateto en el triángulo rectángulo : 0 cm 0 cm (0 + ) ± 50 ltura del casquete cm 40 No vale. 0 cm Área del casquete πrh π π cm

14 ÁGIN 4 ág. 4 Resuelto en el libro de teto. 9 En el triángulo, rectángulo en, conocemos H cm y H cm. a) alcula H en el triángulo. Obtén. b)on el teorema de itágoras, obtén en el triángulo H y en el triángulo H. c) plica el teorema del cateto en el triángulo rectángulo H para obtener. alcula H. d)halla el área y el perímetro del trapecio H. a) or el teorema de la altura: H H H H H 0,5 cm H + H + 0,5 4,5 cm b) H + H + 0,5 0,65 cm + 6,7 cm c) H H, cm 6,7 H H, H 5,69 cm d) erímetro (H) H + H ,95 cm cm H cm cm H cm H Área (H) H + 5,69 + 0,65, 60,44 cm

15 40 Si F 5 cm, cuál es el área y el perímetro del pentágono FEG? ág. 5 E 5 cm F cm 0 cm E 5 cm F G cm 0 +, cm 0 cm Los triángulos FE y son semejantes. or ello: F FE 5 FE FE,46 cm, En el triángulo FE, E FE F,46 5 E,5 cm E E 0,5 7,5 cm G 6 cm G G 0,59 cm F 7 cm Área del triángulo FE,5 5,5 cm Área del triángulo G cm Área del pentágono 0,5 90,75 cm erímetro del pentágono: FE + E + G + G + F,46 + 7, , ,55 cm 4 Queremos construir un ortoedro de volumen 6 05 cm que sea semejante a otro de dimensiones 5 Ò 5 Ò 5 cm. uánto medirán sus aristas? V cm k 6 05,744 k,4 5 5,4 5 5,4 5,4 49 Las aristas del ortoedro deben medir: 5 cm, cm y 49 cm.

16 4 En estas dos circunferencias concéntricas, el radio de la mayor es el triple de la menor. ág. 6 Hemos trazado el diámetro y la cuerda, que es tangente a la circunferencia interior. Si 0 cm, cuánto miden los radios de cada circunferencia? O Los triángulos y O son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común. r O Los radios miden 5 cm y 5 cm. Si O r O r 6r 0 6r 0 r r 5 O r r 4 Las diagonales de un rombo miden cm y 4 cm. or un punto de la diagonal menor, tal que 9 cm, se traza una paralela a la diagonal, que corta en M y N a los lados y. alcula el área y el perímetro del pentágono MN. Los triángulos O y M son semejantes. or ello: 6 M M 6 9 cm 9 O M 9 N O 6 4 cm cm M cm +9 5 cm M cm erímetro MN ( M + + M ) ( ) 74 cm Área pentágono Área rombo Área triángulo MN cm

17 44 En un trapecio rectángulo, la diagonal menor es perpendicular al lado oblicuo, la altura mide cm y la diferencia entre las bases es de 9 cm. ág. 7 alcula el perímetro y el área del trapecio. cm cm H l 9 cm En el triángulo : 9 6 cm cm En el triángulo H: l +9 l 5 cm erímetro del trapecio: cm Área del trapecio: cm 45 Los lados de un triángulo miden: 6 cm, 4 cm esde un punto M de se traza una paralela a, que corta al lado en un punto N. uánto deben medir los lados del triángulo MN para que su área sea /9 de la del triángulo? 6 cm 6 cm M N 4 cm Área MN Área k k cm; 4 4 cm M MN cm; N 4 cm

18 46 Queremos calcular la distancia que hay desde un punto de la playa a una piedra que se ve a lo lejos. ara ello, trazamos una recta r que pase por y una paralela a ella, s. ág. s r esde observamos en una línea que corta en a s. esde otro punto de r, hacemos lo mismo y obtenemos. Medimos: 7,5 m, 59 m, 57,5 m. uál es la distancia de a? 7, , ,5,5 44,5 95 m 57,5 istancia de a 95 m ÁGIN 4 R EFLEXION SORE L TEORÍ 47 Un triángulo rectángulo, puede ser semejante a un triángulo isósceles? Y a un triángulo equilátero? Un triángulo rectángulo puede ser semejante a uno isósceles, siempre que el triángulo rectángulo sea también isósceles. Un triángulo rectángulo no puede ser semejante a un triángulo equilátero porque este tiene los tres ángulo iguales. 4 os triángulos equiláteros cualesquiera, son semejantes entre sí? Y dos polígonos regulares con el mismo número de lados? os triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes porque tienen los ángulos iguales. También lo son dos polígonos regulares con el mismo número de lados, porque sus ángulos son iguales. 57,5 m 7,5 7,5 m s r 59 m

19 49 ibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado opuesto. sí obtendrás un nuevo triángulo más grande. a) Justifica por qué es semejante al inicial. b) uál es la razón entre las áreas? ág. 9 ^ ^' a) porque tienen sus lados paralelos. ^ ^' ^ ^' Los triángulos y ''' son semejantes porque sus ángulos son iguales. b) Área ''' 4 Área 50 Justifica en cuáles de los siguientes casos podemos asegurar que los triángulos y ''' son semejantes: a), ^ ^' b), ^ ^' '' '' '' '' c)?, ^ ^' d)^ ^', ^ ^' '' '' En b), porque tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman. En d), porque tienen los tres ángulos iguales. 5 Hemos aplicado una homotecia al cuadrilátero para obtener el cuadrilátero ''''. ' O ' ' '

20 a) uál es el centro y cuál es la razón? b)justifica que y '''' son semejantes. a) El centro es O. La razón es O' O ág. 0 b) orque: O' O' O' O' '' '' '' '' O O O O 5 Halla el centro y la razón de homotecia que transforma el rectángulo en ''''. ' ' ROFUNIZ 5 esde un punto trazamos tangentes a dos circunferencias tangentes eteriores. Si O cm y O'' 5 cm, cuánto mide el radio de la circunferencia menor? O' 5 ' O 5 + r O r r 60 7r + r r + 7r 60 0 r r 7 ± 0 (no vale) El radio de la circunferencia menor mide cm. ' ' ' ' ' ' El centro de la homotecia es O, punto de corte de las rectas ', ', ' y '. Razón: O' O O' Los triángulos O y O''' son semejantes por ser rectángulos con un ángulo agudo común. ' O

21 54 En el triángulo rectángulo hemos trazado la altura sobre la hipotenusa H. Halla el área del triángulo en el que conocemos 5 cm y H 6 cm. ág. 6 ± 4 h 6 9 h cm Área 5 50 cm Una esfera apoyada en el suelo proyecta una sombra que llega hasta 0 m del punto donde la esfera toca el suelo. En ese momento, un poste vertical de m de alto produce una sombra de m. alcula el radio de la esfera. Los triángulos T y T' son semejantes. 0 m cm or la semejanza de O y, tenemos: O H h + 5 h 6 5 (no vale) 9 O O r O r 0 r r 0 r 0 0 r T m 0 m m m T 0 m m r ( 0 +) 0 r 0( ) 4,4 cm + 5 H h 6

22 56 Una de las diagonales de un rombo mide 4 cm y el radio del círculo inscrito en dicho rombo es cm. alcula el perímetro y el área del rombo. O d/ En el triángulo rectángulo O: 0,94 cm En el triángulo rectángulo O: 64 7,6 cm,94 Lado del rombo:,94 + 7,6 6, cm ág. erímetro del rombo: 4 6, 64,4 cm iagonal: 6, d ( d 0,7 d,46 cm ) Área: 4,46 57,5 cm 57 En el cuadrado de la figura, E es el punto medio del lado, y F, el punto medio de. Si el lado del cuadrado mide cm, cuál es el área del cuadrilátero EF? E alcularemos el área de EF como el área del triángulo F menos el área del triángulo E. Los triángulos F y E son semejantes porque: ^ es común. ì ì E F por la igualdad de los triángulos E y F. E F cm F E F + 5 E E E F E 5 F EF F E 4 cm E F