Integrales impropias. Sección 5.2 Integrales impropias con límites de integración infinitos dx = 4 1 dx = 2. 1 x. 4 x

Transcripción

1 Sección 5. Integrles impropis con límites de integrción infinitos 5 Integrles impropis d = L imgen, otenid con el telescopio espcil Hule de l ns, de un neulos plnetri llmd Neulos del ojo del gto es sólo un muestr de lo que se podrí ver si se pudier vijr trvés del espcio. Serí posile propulsr un nve espcil un distnci ilimitd fuer de l superficie de l Tierr? Por qué? d = d = De los estudios de cálculo relizdos hst hor, se se que un integrl definid tiene límites finitos de integrción un integrndo continuo. En el cpítulo 5 se estudirán ls integrles impropis. Ls integrles impropis tienen un límite infinito de integrción por lo menos o tienen un integrndo con un discontinuidd infinit. Se verá que ls integrles impropis convergen o divergen. P. Hrrington K.J.Borkowski (Universit of Mrlnd) NASA (5) Lrson 5-.indd //9 :6:

2 Cpítulo 5 Integrles impropis Sección 5. Definición de integrl impropi L definición de un integrl definid f d requiere que el intervlo [, ] se finito. Además, el teorem fundmentl del cálculo por el que se hn estdo evlundo ls integrles definids, requiere que ƒ se continuo en [, ]. En est sección se estudirá un procedimiento pr evlur integrles que normlmente no stisfcen estos requisitos porque culquier de los dos límites de integrción son infinitos, o ƒ tiene un número finito de discontinuiddes infinits en el intervlo [, ]. Ls integrles que poseen ests crcterístics son ls integrles impropis. Sección 5. f() = d L región no cotd tiene un áre de Figur 5. Integrles impropis con límites de integrción infinitos Notr que en un función se dice que ƒ tiene un discontinuidd infinit en c si, por l derech o izquierd, lím f c o lím f. c Pr tener un ide de cómo evlur un integrl impropi, considerr l integrl d l cul puede interpretrse como el áre de l región somred mostrd en l figur 5.. Tomndo el límite como produce d lím d lím. Est integrl impropi se interpret como el áre de l región no cotd entre l gráfic de ƒ() / el eje ( l derech de ). Definición de integrles impropis con límites de integrción infinitos. Si ƒ es continuo en el intervlo [, ), entonces f d lím f d.. Si ƒ es continuo en el intervlo (, ], entonces f d lím f d.. Si ƒ es continuo en el intervlo (, ), entonces c f d f d f d c donde c es culquier número rel (ver ejercicio ). En los primeros dos csos, l integrl impropi converge si el límite eiste, en cso contrrio, l integrl impropi diverge. En el tercer cso, l integrl impropi l izquierd diverge si culquier de ls integrles impropis l derech divergen. (5) Lrson 5-.indd //9 :6:

3 Sección 5. Integrles impropis con límites de integrción infinitos Diverge (áre infinit) EJEMPLO Un integrl impropi divergente = Evlur d. Est región no cotd tiene un áre infinit Figur 5. Solución d lím d lím ln lím ln Tomr el límite como. plicr l regl log. plicr el teorem fundmentl del cálculo. evlur el límite. Ver figur 5. NOTA Intentr comprr ls regiones mostrds en ls figurs Ells precen similres, sin emrgo, l región en l figur 5. tiene un áre finit de l región en l figur 5. tiene un áre infinit. EJEMPLO Integrles impropis convergentes Evlur cd integrl impropi. ) e d ) Solución ) e d lím e d ) lím e lím e d d lím lím rctn lím rctn d Ver figur 5. Ver figur 5. = e = + El áre de l región no cotd es Figur 5. El áre de l región no cotd es π / Figur 5. (5) Lrson 5-.indd //9 :6:5

4 Cpítulo 5 Integrles impropis En el ejemplo siguiente, notr cómo l regl de L Hôpitl puede usrse pr evlur un integrl impropi. EJEMPLO Usndo l regl de L Hôpitl con un integrl impropi Evlur e d. Solución Usr l integrción por prtes, con dv e d u ( ). e d e e d e e e C e C = ( )e El áre de l región no cotd es /e Figur 5.5 Ahor, plicr l definición de un integrl impropi. Por último, usndo l regl de L Hôpitl en el límite derecho produce lím e lím e concluir que Ver figur 5.5. e d lím e e d e. lím e e EJEMPLO Límites superior e inferior de integrción infinitos Evlur e d. e Solución Notr que el integrndo es continuo en (, ). Pr evlur l integrl, se puede descomponer en dos prtes, eligiendo c como un vlor conveniente. e e d e e d e d e e = + e El áre de l región no cotd es π / Figur 5.6 Ver figur 5.6. lím rctn e lím rctn e lím rctn e lím rctn e (5) Lrson 5-.indd //9 :6:

5 Sección 5. Integrles impropis con discontinuiddes infinits 5 Sección 5. Integrles impropis con discontinuiddes infinits El segundo tipo ásico de integrl impropi es uno que tiene un discontinuidd infinit en o entre los límites de integrción. Ests integrles tmién se conocen como integrles de tipo II o de segund clse. Definición de integrles impropis con discontinuiddes infinits. Si ƒ es continuo en el intervlo [, ) tiene un discontinuidd infinit en, entonces f d lím c c f d.. Si ƒ es continuo en el intervlo (, ] tiene un discontinuidd infinit en, entonces f d lím c c f d.. Si ƒ es continuo en el intervlo [, ], ecepto pr lgún c en (, ) en que ƒ tiene un discontinuidd infinit, entonces c f d f d f d. c En los primeros dos csos, l integrl impropi converge si el límite eiste, de otr form, l integrl impropi diverge. En el tercer cso, l integrl impropi en l izquierd diverge si lgun de ls integrles impropis l derech diverge. = EJEMPLO 5 Un integrl impropi con un discontinuidd infinit d Evlur. (, ) Discontinuidd infinit en Figur 5.7 Solución El integrndo tiene un discontinuidd infinit en, como se muestr en l figur 5.7. Se puede evlur est integrl como se muestr jo. d lím lím EJEMPLO 6 Un integrl impropi divergente Evlur d. (5) Lrson 5-.indd 5 //9 :6:5

6 6 Cpítulo 5 Integrles impropis Solución Porque el integrndo tiene un discontinuidd infinit en, se puede escriir d lím lím. 8 Así pues, se puede concluir que l integrl impropi diverge. EJEMPLO 7 Un integrl impropi con un discontinuidd interior Evlur d. = Solución Est integrl es impropi porque el integrndo tiene un discontinuidd infinit en el punto interior, como se muestr en l figur 5.8. Así, se puede escriir d d d. Del ejemplo 6 se se que l segund integrl diverge. Así, l integrl impropi originl tmién diverge. L integrl impropi d diverge Figur 5.8 NOTA Cundo se investig si un integrl es impropi o no, h que verigur si tiene discontinuidd infinit en un punto terminl o en un punto interior del intervlo de integrción. Por ejemplo, si no se huier reconocido que l integrl en el ejemplo 7 er impropi, se hrí otenido el resultdo incorrecto. d 8 8. Evlución incorrect. L integrl en el próimo ejemplo es impropi por dos rzones. Un límite de integrción es infinito, el integrndo tiene un discontinuidd infinit en el límite eterior de integrción. EJEMPLO 8 Un integrl dolemente impropi Evlur d. (5) Lrson 5-.indd 6 //9 :7:6

7 Sección 5. Integrles impropis con discontinuiddes infinits 7 = ( + ) Solución Pr evlur est integrl, elegir un punto conveniente (por ejemplo, ) escriir d d d lím rctn lím c rctn c. El áre de l región infinit es π. Figur 5.9 Ver figur 5.9. EJEMPLO 9 Un plicción que involucr longitud de rco Usr l fórmul de l longitud de rco pr demostrr que l circunferenci del círculo = es π. = L circunferenci del círculo es π Figur 5., Solución Pr simplificr el trjo, considerr el curto de círculo ddo por, donde. L función es derivle pr culquier en este intervlo, ecepto. Por consiguiente, l longitud de rco del curto de círculo está dd por l integrl impropi s d s d. d Est integrl es impropi porque tiene un discontinuidd infinit en. Así, se puede escriir lím. d rcsen Por último, multiplicndo por, concluir que l circunferenci del círculo es s π, como se muestr en l figur 5.. Est sección conclue con un teorem útil que descrie l convergenci o divergenci de un tipo común de integrl impropi. L prue de este teorem se dej como ejercicio (ver ejercicio 9). (5) Lrson 5-.indd 7 //9 :7:7

8 8 Cpítulo 5 Integrles impropis Teorem 5. Un tipo especil de integrl impropi d p, si p > p diverge, si p EJEMPLO Aplicción un sólido de revolución PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr l investigción etens de sólidos que tienen volúmenes finitos áres de superficie infinits, leer el rtículo Supersolids: Solids Hving Finite Volume nd Infinite Surfces, por Willim P. Love, en Mthemtics Techer. El sólido formdo l girr (lrededor del eje ) l región no cotd que qued entre l gráfic de ƒ() / el eje ( ) se llm l trompet de Griel. (Ver figur 5..) Mostrr que este sólido tiene un volumen finito un áre de superficie infinit. Solución Usndo el método de los discos el teorem 5., determinr el volumen pr ser V d. Teorem 5., p [ >. El áre de l superficie está dd por S f f d Porque > en el intervlo [, ), l integrl impropi d diverge, se puede concluir que l integrl impropi d d. tmién diverge. (Ver ejercicio 5.) Así, el áre de l superficie es infinit. f() =, PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr prender sore otr función que tiene un volumen finito un áre de superficie infinit, leer el rtículo Griel s Wedding Cke, por Julin F. Fleron, en The College Mthemtics Journl L trompet de Griel tiene un volumen finito un áre de superficie infinit Figur 5. (5) Lrson 5-.indd 8 //9 :7:

9 Sección 5. Integrles impropis con discontinuiddes infinits 9 Ejercicios 5., 5. En los ejercicios, decidir si l integrl es impropi. Eplicr el rzonmiento. d d. d ln d En los ejercicios 5, eplicr por qué l integrl es impropi determinr si es divergente o convergente. Evlur ls que sen convergentes. 5. d 7. d 6. d 8. d 9. e d. e d Redcción En los ejercicios, eplicr por qué l evlución de l integrl es incorrect. Usr l integrción en un clculdor pr intentr evlur l integrl. Determinr si l clculdor d l respuest correct d. d 8 9. e d. sec d En los ejercicios 5, determinr si l integrl impropi es divergente o convergente. Evlur l integrl si es convergente d d d d 9.. e d e d.. e d e d.. e cos d e sen d, > ln d ln d d d e d e d e. e. cos d sen d En los ejercicios 8, determinr si l integrl impropi es divergente o convergente. Evlur l integrl si converge, verificr los resultdos con los otenidos usndo un cluldor pr hcer l gráfic.. d d ln d 8. tn d 9... d.. d. 5. d d d e 8 d ln d sec d d d 8 d ln d (5) Lrson 5-.indd 9 //9 :8:6

10 Cpítulo 5 Integrles impropis En los ejercicios 9 5, determinr todos los vlores de p pr los que l integrl impropi es convergente d p 5. Usr l inducción mtemátic pr verificr que l integrl siguiente converge pr todo entero positivo n. n e d 5. Dds ls funciones continus ƒ g tles que ƒ() g() en el intervlo [, ), demostrr lo siguiente. ) Si g() d converge, entonces ƒ() d converge. ) Si ƒ() d diverge, entonces g() d diverge. En los ejercicios 5 6, usr los resultdos de los ejercicios 9 5 pr determinr si l integrl impropi converge o diverge d d d d 59. d 6. d 6. e d 6. ln d Desrrollo de conceptos 6. Descriir los diferentes tipos de integrles impropis. 6. Definir ls condiciones de convergenci o divergenci l trjr con integrles impropis. 65. eplicr por qué d. 66. Considerr l integrl d. p d d e d Pr determinr l convergenci o divergenci de l integrl, cuánts integrles impropis deen nlizrse? Qué dee ser verddero en cd integrl pr que l integrl dd converj? Áre En los ejercicios 67 7, encontrr el áre no cotd de l región somred. 67. e, < 68. ln 69. L ruj de Agnesi: 7. L ruj de Agnesi: Áre volumen En los ejercicios 7 7, considerr l región que stisfce ls desigulddes. ) Encontrr el áre de l región ) Encontrr el volumen del sólido generdo l girr l región lrededor del eje. c) Encontrr el volumen del sólido generdo l girr l región lrededor del eje. 7. e,, 7.,, 7. Longitud de rco Diujr l gráfic del hipocicloide de cutro cúspides encontrr su perímetro. 7. Longitud de rco Encontrr l longitud de rco de l gráfic de 6 sore el intervlo [, ]. 75. Áre de un superficie L región cotd por se gir lrededor del eje pr formr un toro. Encontrr el áre de l superficie del toro. 76. Áre de un superficie Encontrr el áre de l superficie formd l girr l gráfic de e en el intervlo [, ) lrededor del eje (5) Lrson 5-.indd //9 :8:5

11 Sección 5. Integrles impropis con discontinuiddes infinits Propulsión En los ejercicios 77 78, usr el peso del cohete pr contestr cd pregunt. (Usr mills como el rdio de l Tierr no considerr el efecto de l resistenci l ire.) ) Cuánto trjo se requiere pr propulsr el cohete un distnci infinit fuer de l superficie de l Tierr? ) Qué tn lejos h vijdo el cohete cundo l mitd del trjo totl h ocurrido? 77. Cohete de 5 tonelds 78. Cohete de tonelds Proilidd Un función no negtiv ƒ se llm función de densidd de proilidd si f t dt. L proilidd de que quede entre está dd por P f t dt. El vlor esperdo de está ddo por E t f t dt. En los ejercicios 79 8, ) mostrr que l función no negtiv es un función de densidd de proilidd, ) encontrr P( ) c) encontrr E() ft 7e t7,, ft 5e t5,, Costo cpitlizdo En los ejercicios 8 8, encontrr el costo cpitlizdo C de un recurso ) pr n 5 ños, ) pr n ños c) pr siempre. El costo cpitlizdo está ddo por n C C cte rt dt donde C es l inversión originl, t es el tiempo en ños, r es el interés compuesto continuo del interés nul c(t) es el costo nul de mntenimiento. 8. C = $65 8. C $65 c(t) $5 c(t) = $5 (.8t) r.6 r.6 8. Teorí electromgnétic el potencil mgnético P en un punto en el eje de un circuito circulr está ddo por P NIr k c t t < t t < r d donde N, I, r, k c son ls constntes. Encontrr P. 8. Fuerz grvitcionl Un vrill uniforme semi-infinit ocup el eje no negtivo. L vrill tiene un densidd linel δ l cul mide un segmento de longitud d que tiene un ms de δ d. Un prtícul de ms m se locliz en el punto (, ). L fuerz grvittori F que l vrill ejerce en l ms está dd por F GM d donde G es l constnte grvittori. Encontrr F. Verddero o flso? En los ejercicios 85 88, determinr si l firmción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es flso. 85. Si ƒ es continuo en [, ) lím f, entonces f d converge. 86. Si ƒ es continuo en [, ) f d diverge, entonces lím f. 87. Si ƒ es continuo en [, ) lím f, entonces f d f. 88. Si l gráfic de ƒ es simétric con respecto l origen o l eje, entonces f d converge si sólo si f d converge. 89. Redcción ) Ls integrles impropis d d divergen convergen, respectivmente. Descriir ls diferencis esenciles entre los integrndos que son cus del distinto comportmiento. ) Diujr un gráfic de l función sen / sore el intervlo (, ). Usr el conocimiento de l integrl definid pr inferir si l integrl sen d converge o no. Dr ls rzones de l respuest. c) Usr un iterción de integrción por prtes en l integrl en el prtdo ) pr determinr su divergenci o convergenci. 9. Eplorción Considerr l integrl tn n d donde n es un entero positivo. ) L integrl es impropi? Eplicr. ) Usr un pr hcer l gráfic del integrndo pr n,, 8. c) Utilizr ls gráfics pr proimr l integrl como n. d) Usr un sistem lgerico de computdor pr evlur l integrl pr los vlores de n en el prtdo ). Hcer un conjetur sore el vlor de l integrl pr culquier entero positivo n. Comprr los resultdos con l respuest en el prtdo c). (5) Lrson 5-.indd //9 :9:

12 Cpítulo 5 Integrles impropis 9. Función gmm L función gmm Γ(n) se define por n n e d, n >. ) Encontrr Γ(), Γ() Γ(). ) Usr l integrción por prtes pr mostrr que Γ(n ) nγ(n). c) escriir Γ(n) usndo notción fctoril donde n es un entero positivo. 9. Demostrr que I n n n I n, donde I n n n d, Entonces evlur cd integrl. ) ) d c) d 5 5 d 6 n. Trnsformd de Lplce Se ƒ(t) un función definid pr todos los vlores positivos de t. L trnsformd de Lplce de f(t) se define por Fs e st ft dt si l integrl impropi eiste. Se us l trnsformd de Lplce pr resolver ls ecuciones diferenciles. En los ejercicios 9, encontrr l trnsformd de Lplce de l función. 9. ft ft t ft cos t ft cosh t.. Proilidd norml L ltur medi de homres estdounidenses entre 8 ños de edd es 7 pulgds, l desvición estándr es pulgds. Un homre de 8 ños de edd es elegido l zr de entre l polción. L proilidd de que se de 6 pies de lto o más es P7 < e 7 8 d. 7 ft t ft e t ft sen t ft senh t (Fuente: Ntionl Center for Helth Sttistics.) ) Usr un clculdor pr representr gráficmente el integrndo. Usr l clculdor pr verificr que el áre entre el eje el integrndo es. ) Usr un computdor pr proimr P(7 ). c) proimr.5 P(7 7) usndo un clculdor. Usr l gráfic en el prtdo ) pr eplicr por qué este resultdo es igul l respuest del prtdo ).. ) Diujr el semicírculo. ) Eplicr por qué d d sin evlur culquier integrl.. Pr qué vlor de c l integrl converge? c d Evlur l integrl pr este vlor de c.. Pr qué vlor de c l integrl converge? c d Evlur l integrl pr este vlor de c. 5. Volumen Encontrr el volumen del sólido generdo l girr l región cotd por l gráfic de ƒ lrededor del eje. f ln,, < 6. Volumen Encontrr el volumen del sólido generdo l girr l región no cotd que qued entre ln el eje ( ) lrededor del eje. u-sustitución En los ejercicios 7 8, volver escriir l integrl impropi como un integrl propi usndo l u-sustitución dd. Entonces usr l regl de los trpecios con n 5 pr proimr l integrl. sen 7. u d, cos 8. u d, 9. ) Usr un clculdor pr representr gráficmente l función e. ) Mostrr que e d ln d.. Se f d convergente sen los números reles donde. Mostrr que f d f d f d f d. (5) Lrson 5-.indd //9 :9:7