Notas para un curso de Álgebra Abstracta I

Transcripción

1 Notas para un curso de Álgebra Abstracta I Camilo Sanabria y Mario Valencia-Pabon Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas Bogotá - Colombia.

2 II

3 Índice general 1. Grupos Grupos Subgrupos Tabla de operación Grupos Cíclicos Grupos generados y producto directo Grupos de permutaciones Coconjuntos y el Teorema de Lagrange Homomorfismos Homomorfismos Propiedades de Homomorfismos Subgrupos normales Isomorfismos y el Teorema de Cayley Grupo Factor Teorema Fundamental del Homomorfismo Cálculo de Grupo Factor Grupos simples El centro y el conmutador Ejercicios Conjugación Elementos y subgrupos conjugados A n para n 5 es simple Ejercicios Acción de grupo sobre un conjunto G-conjuntos Subgrupo estabilizador y órbitas La fórmula de Burnside Ejercicios

4 IV ÍNDICE GENERAL 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos Teoremas de Isomorfismos Series de Grupos Cadena Central Ascendente Ejercicios Teoremas de Sylow y Grupos libres Teoremas de Sylow Aplicaciones de la teoría de Sylow Grupos abelianos libres Teorema fundamental de los grupos abelianos Grupos libres y representaciones Ejercicios

5 Índice de figuras 1.1. Subgrupos de Z 8 y de Z transformaciones del cuadrado retículo de subgrupos de D Fibras y Kernel Teorema Fundamental del Homomorfismo Rotaciones del cubo Primer Teorema de Isomorfismo Tercer Teorema de Isomorfismo Lema de la Mariposa Teorema de Schreier Grupo abeliano libre Grupo libre

6 VI ÍNDICE DE FIGURAS

7 Capítulo 1 Grupos 1.1. Grupos 1.1 Definición (Grupo): Una estructura < G,, e >, que consta de un conjunto G, una operación binaria, y un elemento distintivo e, es un grupo, si satisface los siguientes axiomas: G1: es asociativa G2: e es neutro en G3: existencia de inversa x, y, z G(x (y z) = (x y) z) x G(x e = x e x = x) x G y G(x y = e y x = e) Teorema 1.2 (Unicidad del neutro y de las inversas) Sea < G,, e > un grupo, entonces: i) Si e es tal que para todo x G, x e = e x = x, entonces e = e. ii) Dado un x G, si y, y G son tales que x y = y x = e = x y = y x, entonces y = y. Demostración: Por hipótesis e e = e y por G2, e e = e, luego e = e. Por hipótesis x y = e y por G2, y = y e, luego y = y (x y ), así por G1, y = (y x) y, pero y x = e por hipótesis, entonces por G2 y = y. 1.3 Notación y observación. En general, a < G,, e >, la denotaremos simplemente G, excepto cuando se deba especificar para evitar confusiones. Si no especificamos un nombre diferente para el elemento distintivo, lo denotaremos

8 2 Capítulo 1. Grupos e. A x y, lo denotaremos xy, cuando sea claro el contexto, además dado que la operación binaria es asociativa, x(yz) ó (xy)z lo denotaremos xyz. Por otro lado el teorema anterior, justifica la siguiente definición. 1.4 Definición (el neutro, la inversa) y notación: Sea < G,, e > un grupo, i) a e lo llamamos el elemento neutro o la identidad. ii) Dado g G, al elemento g G tal que gg = g g = e, lo llamamos la inversa, o el inverso, de g,y lo notamos g Ejemplos: Las siguientes estructuras son grupos, cuya demostración se deja al lector. i) < Z, +, 0 >, < Q, +, 0 >, < R, +, 0 >, < C, +, 0 >. ii) < Q,, 1 >, < R,, 1 >, < C,, 1 >. iii) < Z n, + n, [0] =n >, donde a = n b si n a b y Z n = Z/ = n. iu) < GL n (R),, I n >, donde GL n (R) es el conjunto de matrices invertibles de dimensión n n. u) < S 1,, 1 >, donde S 1 = {z C : z = 1}. ui) Si V es un espacio vectorial, el conjunto de las transformaciones lineales uno a uno, con la composición como la operación y la identidad como el neutro. Teorema 1.6 (ley cancelativa) Sea G un grupo. Si x, y, z G son tales que xz = yz, entonces x = y. Demostración: Si xz = yz, entonces x = xe = (xz)z 1 = (yz)z 1 = ye = y. 1.7 Notación y observación. Si x G y n N, notamos: { e si n = 0 x n = x x n 1 de lo contrario Dado que x n (x 1 ) n = x n (x n ) 1 = e, entonces extendemos la notación a todo Z con x n = (x 1 ) n. Cuando la operación se denote aditiva (ver ejemplo 1.5 i)), notaremos x n por nx, y x 1 por x. Observe que x n x m = x n+m, para todo n, m Z, pero (xy) n no es necesariamente igual a x n y n, por ejemplo: Teorema 1.8 (xy) 1 = y 1 x 1 Demostración: (xy)(y 1 x 1 ) = e.

9 Subgrupos Posiblemente ya se habrá dado cuenta de cual es la condición para que (xy) n = x n y n para todo x, y G. En honor al noruego Niels Henrik Abel ( ): 1.10 Definición (Grupo abeliano): Un grupo G, en el cual la operación sea conmutativa (i.e. a, b G(ab = ba)), se dice abeliano En el ejemplo 1.5, los grupo de i), ii), iii) y u) son abelianos, los de iu) y u) no lo son. Si V = R n estos dos últimos grupos son bastante parecidos (ya formalizaremos eso) Ejercicios: 1. Pruebe que si G es un grupo finito con identidad e y con un numero par de elementos, entonces existe un elemento a G, con a e, tal que a 2 = e. 2. Pruebe que todo grupo G con identidad e y tal que a 2 = e para todo a G, es abeliano. 3. Sea G un grupo finito y sea x un elemento de G cuyo orden es n, donde n es impar. Pruebe que existe k N tal que x = (x 2 ) k Subgrupos 1.13 Definición (Subgrupo): Si < G,, e > es un grupo, diremos que < H,, e > es un subgrupo de G, y lo notaremos H G, si: i) H G ii) < H,, e > es grupo iii) = H H 1.14 Observación a la definición Sea H G y h H, como h = h e = h e, y h = h e entonces por la ley cancelativa, e = e. Así un subgrupo esta unívocamente determinado por el conjunto H, pues la identidad es la misma que en G y la operación es la restricción. Esto justifica nuestra notación H G. Por otro lado < {e}, {e} {e}, e > es subgrupo de G Definición (Grupo trivial, subgrupo propio) i) Al grupo < {e},, e >, lo llamamos grupo trivial. ii) Si H G y H G, decimos que H es subgrupo propio de G, y lo notamos H < G Cada grupo de 1.5 i) es subgrupo del siguiente. Lo mismo sucede en 1.5 ii). Demostrar que un grupo es subgrupo de otro puede ser bastante engorroso bajo nuestra definición, afortunadamente existen caracterizaciones más adecuadas para esto:

10 4 Capítulo 1. Grupos Teorema 1.17 Sea < G,, e > un grupo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) H G ii) H no es vacío, es cerrado mediante la operación de G, y mediante inversión. Esto es: iii) H, x, y H(xy 1 H) H, x, y H(xy H), x H(x 1 H) Demostración: i) ii): Como H G, e H luego H no es vacío. Las otras dos condiciones se siguen inmediatamente del hecho que H sea grupo y que la operación en H es la restricción de la G. ii) iii): Si x, y H, y 1 H luego xy 1 H. iii) i): Tomemos = H H, veamos que es una operación binaria en H. Sea x H, el cual existe pues H no es vacío. Entonces e = x x 1 H, y así x 1 = e x 1 H. Luego si x, y H, y 1 H y x y = x y = x (y 1 ) 1 H, entonces es una operación binaria en H, así se cumple G1. Además, e H y también se cumple G2 pues = H H. Por esto último vemos también que se cumple G3 pues dado x H, x 1 H Tabla de operación 1.18 Dado un grupo G finito podemos representar completamente la operación gracias a una tabla, al igual que solíamos hacer tablas de multiplicación en los números naturales. Esto es, en la primera entrada (la superior izquierda), ponemos el signo de la operación, en el resto de la primera columna de la tabla ponemos los elementos de G y hacemos lo mismo, y en el mismo orden, en la primera fila. Luego llenamos el resto de la tabla como indica la operación. Por el axioma G3 sabemos que en cada fila debe aparecer e una vez, y por la unicidad de la inversa, una única vez. Según la ley cancelativa, lo mismo sucede con cada elemento. Este mismo fenómeno se repite con las columnas. Si el grupo es abeliano la tabla será simétrica. Estas pautas nos permiten generar grupos nuevos (ver el cuadro 1.3). Z grupo de Klein V e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Cuadro 1.1: Los dos únicos grupos de cuatro elementos

11 Grupos Cíclicos Grupos Cíclicos 1.19 Definición (Orden de un grupo, orden de un elemento): i) el orden de un grupo G, que notamos ord(g) (o simplemente G ), es el número de elementos de G, si G es infinito notamos ord(g) = +, ii) el orden de un elemento g G, que notamos ord(g), es el mínimo n N tal que g n = e. Si dicho n no existe notamos ord(g) = +. Lema 1.20 Si a m = e, ord(a) m. Demostración: Sea n = ord(a). Por definición, n es el menor entero positivo tal que a n = e y por lo tanto m n. Usando el algoritmo de la división, podemos escribir a m como m = qn + r, donde q 1 y 0 r < n. Ahora, e = a m = a qn+r = (a n ) q a r = e q a r = a r. Si r 0, entonces se tiene una contradicción a la minimalidad de n. Luego r = 0 y así n m. Teorema 1.21 Sea a G, y H = {a n } n Z. Entonces H G y ord(h) = ord(a). Demostración: Como e = a 0 H, a n a m = a n+m H y (a n ) 1 = a n, por el teorema 1.17, H G. Suponga que ord(a) = +. Si i, j Z con i j son tales que a i = a j, a j i = e luego j i = 0. Entonces si i j, a i a j, luego ord(h) = +. Ahora sea n = ord(a). Si i, j {0, 1,..., n 1} con i j, son tales que a i = a j, por el lema anterior n j i, luego j i = 0, esto es i = j. Entonces n H. Y si m n, y m = qn + r, con 0 r < n, a m = a r, luego H = n Definición (Grupo generado por un elemento, grupo cíclico): Sea G un grupo. i) Dado a G, llamamos a {a n } n Z, el grupo generado por a, y lo notamos < a >. ii) Decimos que G es cíclico si es un grupo generado por un elemento Ejemplos. i) Z =< 1 >, es un grupo cíclico de orden infinito. ii) Z n =< 1 >, es un grupo cíclico de orden n. Ya veremos que todo grupo cíclico tiene esta forma Ahora nos interesaremos en la estructura de los grupos cíclicos, esto es, estudiaremos como son sus subgrupos. Estos grupos, fuera de tener una estructura bastante visualisable e intuitiva, son supremamente importantes. Teorema 1.25 Todo grupo cíclico es abeliano.

12 6 Capítulo 1. Grupos Demostración: Sea G =< a >. Así dos elementos elementos arbitrarios en G, son de la forma a m, y a n, con m, n Z. Pero como vimos en 1.7, a m a n = a m+n = a n a m. Luego G es abeliano. Teorema 1.26 Un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Demostración: Sea G =< a > y H G. Si H es el grupo trivial, H =< e >, es cíclico. Suponga que H no es trivial, es decir, H contiene al menos un elemento diferente de e. Como H G y G =< a >, entonces todos los elementos de H son potencias de a. Sea m el menor entero positivo tal que a m H. Se probara entonces que b = a m genera H, es decir, H =< b >. Para ello, tomemos un elemento arbitrario c H y probemos que c es una potencia de b. Como c H, H G y G =< a >, entonces c = a n para algún n entero positivo. Por la minimalidad de m, podemos usar el algoritmo de la división, y escribir n como n = qm + r, donde q > 0 y 0 r < m. Entonces, a n = a qm+r = (a m ) q a r. Por lo tanto, como a n H y (a m ) q H puesto que a m H, entonces, a r = (a m ) q a n H, puesto que H es grupo. Si r 0, entonces se tiene una contradicción a la minimalidad de m. Por lo tanto, r = 0, y n = qm, obteniendo si que c = a n = a qm = (a m ) q = b q, es decir, c es una potencia de b, lo cual implica que H =< b > y por lo tanto H es cíclico. Corolario 1.27 Si G =< a > es de orden infinito todo subgrupo de G es de orden infinito Observación. Todo subgrupo de Z es de la forma < n >= nz = {nk : k Z}, para algún n. Aquí usamos la notación aditiva. Teorema 1.29 Sea G =< a > de orden n. Entonces: i) Si s n, entonces < a s >= {e, a s, a 2s,..., a n 1 s s } tiene tamaño n/s. ii) Todo subgrupo de G es de la forma < a r >, con r Z, < a r > = y < a r >=< a (n,r) >. iii) Todo subgrupo de G es de la forma < a s > donde s n. iu) El orden de todo subgrupo de G divide el orden de G. n (n,r) u) Por cada divisor s de n, existe exactamente un subgrupo de G de tamaño s, que es < a n s >. ui) si H, K G entonces, H K si y sólo si H K. Demostración: Note que una vez probado ii); i), iii) y iu) son consecuencias inmediatas, tomando s = (n, r) y recordando el teorema Probemos entonces ii). Ya vimos en el teorema 1.26 que todo subgrupo, de G es de la forma < a r >. Ahora sea s = (n, r), entonces existe q tal que r = qs. Así a r = (a s ) q, luego < a r > < a s >. Por otro lado existen u, v Z tales que un + vr = s luego a s = (a n ) u (a r ) v = (a r ) v, y así < a s > < a r >. Es claro que

13 Grupos Cíclicos 7 n (n,r) enunciado de i) que < a (n,r) > = Probemos ahora la unicidad que se afirma en u). Por lo que acabamos de ver si s n, (n, n/s) = n/s y así < a n s > = n n/s = s. Ahora, si < ar > es un subgrupo de G de orden s, entonces por ii) s = n/(n, r), luego (n, r) = n/s y así, < a r >=< a n s >. Finalmente veamos ui). Suponga que K =< a k > y H =< a h > con k, h divisores de n, suponsición valida en vista de u). Así si H K por iu), poniendo K como G, H K. Ahora, si H K. existe q tal que ord(a h )q = ord(a k ), pero por u), ord(a h ) = n/h y ord(a k ) = n/k, luego kq = h, así (a k ) q = a h, entonces < a h > < a k > Observaciónes. i) Dado un grupo G, como todo grupo tiene por subgrupo el trivial, podemos representar sus cadenas de subgrupos por un retículo (i.e. lattice, en inglés). ii) El resultado 1.29 iu) se pueden generalizar a todos los grupos de orden finito como se vera en el Teorema de Lagrange. Con el teorema anterior quedan completamente caracterizados los grupos cíclicos (ver figura 1.1), en este momento el lector ya se puede hacer la idea de porque todo grupo cíclico es de la forma de Z, o de Z n. PSfrag replacements Z 8 Z 12 < 2 > < 3 > < 2 > < 4 > < 6 > < 4 > {0} {0} Figura 1.1: Subgrupos de Z 8 y de Z Ejercicios: 1. Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces HK = {hk : n H y k K} es un subgrupo de G. 2. Pruebe que un grupo cíclico con únicamente un generador puede tener a los sumo dos elementos. 3. Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos los elementos x G tales que x 2 = e forman un subgrupo de G. Generalice al caso donde n 1 es un entero fijo y H = {x G : x n = e}.

14 8 Capítulo 1. Grupos 4. Sea G un grupo y sea a un elemento de fijo de G. Pruebe que H a = {x G : xa = ax} es un subgrupo de G. Sea S G, y sea H S = {x G : xs = sx para todo s S}. Pruebe que H S G. Si S = G, entonces H G es llamado el centro de G. Pruebe que H G es un grupo abeliano. 5. Pruebe que un grupo sin subgrupos propios no triviales es cíclico. 6. Pruebe que un grupo que tiene un numero finito de subgrupos es finito. 7. Pruebe que Z p no tiene subgrupos propios no triviales si p es primo. 8. Sea G un grupo abeliano y sean H y K subgrupos cíclicos finitos con H = r y K = s. (a) Pruebe que si (r, s) = 1, entonces G contiene un subgrupo cíclico de orden rs. (b) Pruebe que G contiene un subgrupo cíclico de orden [r, s] (recuerde que [r, s] denota al máximo común múltiplo de r y s) Grupos generados y producto directo 1.32 Dado que los subgrupos de un grupo forman un retículo, podemos buscar los mínimos subgrupos, en la relación ser subgrupo, que contienen un subconjunto de los elementos del grupo. Teorema 1.33 Sea {H i } i J una colección indexada de subgrupos de G, entonces: H i G i J Demostración: Como cada H i contiene e, i J H i. Ahora sean x, y i J H i, como y H i, y 1 H i, para cada i J. Así xy 1 H i, para todo i J, esto es xy 1 i J H i, luego por el teorema 1.17 i J H i G. Corolario 1.34 Sea A G, con A y H = {H G : A H}. Entonces H H H G. Teorema 1.35 Sea A G, con A y H = {H G : A H}. Si H A H es tal que, si H H, H A H entonces H A = H H H G. Demostración: Esto es trivial, pues H A H, luego H H H H A. Por otro lado como A H H H, entonces H H H H así H A H H H, y H A = H H H G Observación. Los dos teoremas anteriores justifican nuestra próxima definición, el teorema que le sigue la explica. Note como se extiende el concepto de Definición (grupo generado, grupo finitamente generado):

15 Grupos generados y producto directo 9 i) Dado A G, con A. Al mínimo subgrupo que contiene A lo llamamos el grupo generado por A, y lo notamos < A >. ii) Decimos que un grupo G es finitamente generado si G =< A > para algún A G finito. Teorema 1.38 Dado A G, < A >= {a m1 1 am a mn n : a i A, m i Z}. Demostración: Sea H A = {a m1 1 am a mn n : a i A, m i Z}. Como A, H A. Si x, y H A, x = a m1 1 am a mn n e y = b p1 1 bp bpq q, para algunos a i, b j A y m i, p i Z. Así, y 1 = b pq q... b q2 2 bq1 1, luego xy 1 = a m1 1 am a mn n b pq q... b q2 2 b q1 1 H A. Entonces H A G. Ahora como A H A, < A > H A. Por otro lado un elemento arbitrario de H A es de la forma de x, pero cada a i A, luego como un subgrupo es cerrado por multiplicación, x < A >. Así H A < A > y H A =< A >. Teorema 1.39 Sea {G i } i {1,2,...,n} una colección de grupos. G 1 G 2... G n bajo la operación ((x 1, x 2,..., x n ), (y 1, y 2,..., y n )) (x 1 y 1, x 2 y 2,..., x n y n ) es un grupo. Demostración: La operación es asociativa, pues la operación de cada G i lo es. Si e i es el neutro de G i, (e 1, e 2,..., e n ) es el neutro para nuestra operación. Finalmente (x 1, x 2,..., x n )(x 1 1, x 1 2,..., x 1 n ) = (e 1, e 2,..., e n ), luego cada elemento tiene inversa. Esto completa la demostración Definición (Producto directo): Dada {G i } i {1,2,...,n} una colección de grupos. Al grupo G 1 G 2... G n bajo la operación: ((x 1, x 2,..., x n ), (y 1, y 2,..., y n )) (x 1 y 1, x 2 y 2,..., x n y n ) lo llamamos el producto directo (externo) de G 1, G 2,..., G n Cuando decíamos que dos grupos tienen la misma forma, formalmente nos referíamos a lo siguiente (a esto volveremos luego con más detalle): 1.42 Definición (Isomorfismo, isomorfo): Sean < G,, e >, < G,, e > dos grupos dados. Una biyección φ : G G es un isomorfismo si φ(x y) = φ(x) φ(y), para todo x, y G. Dos grupos se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos Ejemplo: φ : R R + definida por φ(x) = ex, es un isomorfismo entre < R, +, 0 > y < R +,, 1 > pues e x+y = e x e y. Teorema 1.44 Sea G =< a >. Si ord(g) = +, G es isomorfo a Z, si ord(g) = n, G es isomorfo a Z n. Demostración: Si ord(g) = +, defina φ : Z G, por φ(k) = a k y si ord(g) = n, defina φ : Z n G, por φ(k) = a k. Es claro que φ es sobreyectiva, ahora si φ(m 1 ) = φ(m 2 ), entonces a m1 m2 = e. Así si + = ord(g) = ord(a), m 1 m 2 = 0 ó m 1 = m 2. Si n = ord(a), por el lema 1.20, n m 1 m 2 luego m 1 = m 2. De esto concluimos que φ es biyectiva. Finalmente como a k1 a k2 = a k1+k2, φ es isomorfismo.

16 10 Capítulo 1. Grupos Teorema 1.45 Sean m, n Z. Existe un isomorfismo entre Z m Z n y Z mn si y solo si (m, n) = 1. Demostración: Por el teorema 1.44, basta ver que Z m Z n es cíclico de orden mn si y sólo si (m, n) = 1. Suponga primero (m, n) = 1 y sea k = ord((1, 1)). Así (1, 1) k = (0, 0) luego m k y n k pero si k Z es tal que m k y n k, (1, 1) k = (0, 0) luego k es el mínimo común múltiplo de m y n, este es mn. Entonces Z m Z n =< (1, 1) > Ahora suponga que Z m Z n es cíclico de orden mn con Z m Z n =< (a, b) >. Entonces en particular Z m =< a > y Z n =< b >. Así, si k es el mínimo común múltiplo de m y n, (a, b) k = (0, 0) luego por el lema 1.20, mn k. Así k = mn y (m, n) = 1. Corolario 1.46 Z m1 Z m2... Z mn es isomorfo a Z m1m 2...m n si y sólo si (m 1, m 2,..., m n ) = Los grupos abelianos finitamente generados tienen una estructura particular. El siguiente teorema los caracteriza y nos dice que los Z p n, con p primo, son como los ladrillos para construirlos. Su demostración la pospondremos para cuando tengamos un poco más de experiencia, y esta nos parezca más natural. Dicho teorema se conoce como el Teorema Fundamental de los grupos abelianos finitamente generados, y al cual nos referiremos como al teorema TFGAFG por comodidad. Teorema 1.48 (TFGAFG) Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un único grupo de la forma Z r p 1 Z r 1 p 2... Z 2 p rn n Z... Z, con los p i, para i {1,..., n}, primos tales que p i p i+1, y los r i naturales no nulos tales que r i r i+1 si p i = p i Ejemplos: i) Si n i=1 pri i es la expresión de m en potencias de primos con p i < p i+1, Z m es isomorfo a n. i=1 Z p r i i ii) El 4-grupo de Klein V es isomorfo a Z 2 Z Ejercicios: 1. Encuentre el orden del elemento (3, 10, 9) en el grupo Z 4 Z 12 Z Pruebe que un grupo abeliano finito no es cíclico si y solo si este contiene un subgrupo isomorfo a Z p Z p para algún primo p. 3. Pruebe que si un grupo abeliano finito tiene orden una potencia de un primo p, entonces el orden de cada elemento en el grupo es una potencia de p. 4. Sean G, H, y K grupos abelianos finitamente generados. Pruebe que si G K es isomorfo a H K, entonces G es isomorfo a H.

17 Grupos de permutaciones Grupos de permutaciones 1.51 Definición (Permutación): Sea A un conjunto. Una permutación de A es una función biyectiva de A en A. Al conjunto de las permutaciones de A lo notamos S A. Si A = {1, 2,..., n}, S A lo notamos S n Observaciónes. i) S n = n! ii) La composición de dos permutaciones es una permutación. La identidad es una permutación y la inversa de un permutación es una permutación. En resumen, se tiene lo siguiente: 1.53 Definición (Grupo de Permutación). Sea A un conjunto. Al grupo < S A,, id >, donde es la composición, lo llamamos el grupo de permutaciones de A. Teorema 1.54 Si A = {a i } i {1,...,n}, S A y S n son isomorfos. Demostración: Defina φ : S n S A por φ(τ) : τ(i) a τ(i). Sea α S A y defina σ : {1,..., n} {1,..., n} por σ(i) = j si α(a i ) = a j. Como α es una permutación σ también y φ(σ) = α, luego φ es sobreyectiva. Verificar que también es inyectiva es pura rutina, así que se lo dejamos al lector. Ahora: φ(σ σ )(a i ) = a σ σ (i) = φ(σ)(a σ (i)) = φ(σ) φ(σ )(a i ) así φ(σ σ ) = φ(σ) φ(σ). Luego φ es un isomorfismo Notación. A la permutación σ S n, la notamos 1.56 Ejemplo: S 3 = {id, ρ, ρ 2, σ, ρσ, ρ 2 σ} con id = ( ) ( ) ( ρ 2 =, σ =, ρσ = que σρ = ρ 2 σ. ( n σ(1) σ(2)... σ(n) ( ), y ρ 2 σ = ). ) ( 1 2 3, ρ = ( ) Note Definición (Orbita): Sea σ S A y sea a A. Al conjunto {σ k (a) : k Z} lo llamamos la órbita de a según σ. Teorema 1.58 Sea σ S A. Las órbitas de σ forman una partición de A. Demostración: Defina en A la relación por: a b si existe k Z tal que σ k (a) = b. Así a b si y sólo si b esta en la órbita de a según σ. Ahora σ 0 = id luego es reflexiva. Si b = σ k (a), entonces a = σ k (b), luego es simétrica. Ahora bien si b = σ k1 (a) y c = σ k2 (b), c = σ k2+k1 (a), luego es transitiva. Ahora como es relación de equivalencia, sus clases, que son las órbitas de σ forman un partición de A Definición (Ciclo, transposición): ),

18 12 Capítulo 1. Grupos i) Una permutación con a lo más una órbita de más de un elemento es un ciclo. Si σ S A es un ciclo tal que la órbita con más de un elemento es {σ i (a)} i {0,1,...,n 1}, notamos σ por (a σ(a) σ 2 (a)... σ n 1 (a)), y decimos que σ es un n-ciclo. ii) Una transposición es un 2-ciclo. iii) Dos ciclos se dicen disyuntos si sus órbitas de más de un elemento son disyuntas Ejemplo. Continuando con 1.56, en S 3, ρ = (1 2 3), ρ 2 = (1 3 2), σ = (1 2), ρσ = (1 3) y ρ 2 σ = (2 3). Lema 1.61 Todo n-ciclo se puede expresar como producto de n 1 transposiciones. Demostración: Sea σ S A un n-ciclo, con σ = (a 1 a 2... a n ). Tenemos entonces σ = (a 1 a n )(a 1 a n 1 )... (a 1 a 2 ). Teorema 1.62 Toda permutación en S n se puede escribir como producto ciclos disyuntos. Demostración: Sea σ S n, y {O i } i {1,...,m} la colección de sus órbitas. Sea σ i S n tal que σ i (a) = σ(a) si a O i y σ i (a) = a de lo contrario. Así los σ i son ciclos disyuntos y σ = i {1,...,m} σ i (observe que como los ciclos son disyuntos no importa el orden en que los multipliquemos, por eso tenemos el derecho de usar la productoria aunque el grupo no sea abeliano). Corolario 1.63 Toda permutación en S n, con n > 1, se puede expresar como producto de transposiciones Veamos ahora que S n se divide en dos clases disyuntas, las permutaciones que son el producto de un número par de transposiciones, y las que son el producto de un número impar Definición (Signo) Sea σ S n, el signo de σ que notamos sg(σ), esta definido por: sg(σ) = σ(i) σ(j) i j Lema 1.66 sg(σ) es 1 ó 1. 1 i<j n Demostración: si i j aparece en el denominador, en el numerador aparece o bien σ(σ 1 (i)) σ(σ 1 (j)), o bien σ(σ 1 (j)) σ(σ 1 (i)). Lema 1.67 sg(σρ) = sg(σ)sg(ρ).

19 Grupos de permutaciones 13 Demostración: sg(σρ) = = 1 i<j n i i<j n = sg(σ)sg(ρ) σρ(i) σρ(j) i j σρ(i) σρ(j) ρ(i) ρ(j) ρ(i) ρ(j) ρ(i) ρ(j) i i<j n ρ(i) ρ(j) i j sg(σ) = i i<j n 1.68 Observaciónes. σρ(i) σρ(j) ρ(i) ρ(j), pues σρ(i) σρ(j) ρ(i) ρ(j) = σρ(j) σρ(i) ρ(j) ρ(i). i) Si σ S n es una transposición, sg(σ) = 1. ii) Si sg(σ) = sg(ρ) = 1, sg(σρ) = 1. iii) sg(id) = 1, así sg(σ 1 ) = sg(σ). Teorema 1.69 Una permutación en S n es el producto de un número par de transposiciones, o el producto de un número impar, pero no ambos. Demostración: Sea σ S n, si σ es un producto par de transposiciones sg(σ) = 1, si σ es un producto impar de transposiciones sg(σ) = 1. Luego las dos posibilidades son excluyentes Definición (permutación par, permutación impar, subgrupo Alternador): i) Una permutación σ S n es par si sg(σ) = 1, impar si sg(σ) = 1. ii) El conjunto de las permutaciones pares de S n es el grupo alternador (o alternante), y lo notamos A n Considere un polígono regular de n vértices. Las rotaciones y las simetrías del polígono que caen sobre él mismo, al etiquetar cada vértice con un número del 1 al n, se pueden identificar naturalmente con un subgrupo de S n de 2n elementos (ver figura 1.2) Definición (Subgrupo diedral): Al subgrupo de S n que se puede identificar naturalmente con las rotaciones y simetrías de un polígono regular de n vértices en si mismo, se le llama el grupo diedral y se nota D n Ejemplo: D 4 = {ρ 0, ρ 1, ρ 2, ρ 3, µ 1, µ 2, δ 1, δ 2 }, donde ρ 1 = ( ), µ 1 = (1 2)(4 3), µ 2 = (1 4)(2 3), δ 1 = (1 3), δ 2 = (2 4) y, para i {0, 2, 3} ρ i = ρ i 1 (ver cuadro 1.6 y figura 1.3).

20 14 Capítulo 1. Grupos PSfrag replacements id « «Figura 1.2: transformaciones del cuadrado ρ 0 ρ 1 ρ 2 ρ 3 µ 1 µ 2 δ 1 δ 2 ρ 0 ρ 0 ρ 1 ρ 2 ρ 3 µ 1 µ 2 δ 1 δ 2 ρ 1 ρ 1 ρ 2 ρ 3 ρ 0 δ 1 δ 2 µ 1 µ 2 ρ 2 ρ 2 ρ 3 ρ 0 ρ 1 µ 2 µ 1 δ 2 δ 1 ρ 3 ρ 3 ρ 0 ρ 1 ρ 2 δ 2 δ 1 µ 1 µ 2 µ 1 µ 1 δ 2 µ 2 δ 1 ρ 0 ρ 2 ρ 3 ρ 1 µ 2 µ 2 δ 1 µ 1 δ 2 ρ 2 ρ 0 ρ 1 ρ 3 δ 1 δ 1 µ 1 δ 2 µ 2 ρ 1 ρ 3 ρ 0 ρ 2 δ 2 δ 2 µ 2 δ 1 µ 1 ρ 3 ρ 1 ρ 2 ρ 0 Cuadro 1.2: Tabla de operación de D Ejercicios: 1. Pruebe que S n no es un grupo abeliano para n Si A es un conjunto, entonces un subgrupo H de S A es transitivo sobre A, si para cada a, b A existe σ H tal que σ(a) = b. Pruebe que si A no es un conjunto vacío, entonces existe un subgrupo finito cíclico K de S A que es transitivo sobre A, tal que H = A. 3. Pruebe que para todo subgrupo H de S n, con n 2, se cumple que todas las permutaciones en H son pares o bien exactamente la mitad de ellas son pares Coconjuntos y el Teorema de Lagrange 1.75 Definición (Coconjunto): Sea H G. Definimos el coconjunto izquierdo de H determinado por b, que notamos bh, por: bh := {bh : h H}, y el coconjunto derecho por Hb := {hb : h H}. Teorema 1.76 Sea H G. Entonces: i) {bh} b G es una partición de G.

21 Coconjuntos y el Teorema de Lagrange 15 D 4 PSfrag replacements {ρ 0, ρ 2, µ 1, µ 2} {ρ 0, ρ 1, ρ 2, ρ 3} {ρ 0, ρ 2, δ 1, δ 2} {ρ 0, µ 1} {ρ 0, µ 2} {ρ 0, ρ 2} {ρ 0, δ 1} {ρ 0, δ 2} {ρ 0} Figura 1.3: retículo de subgrupos de D 4 ii) Todos los coconjuntos izquierdos de H son equipotentes. Un resultado similar se tiene para los coconjuntos derechos. Demostración: Defina en G la relación por a b si a 1 b H. Como e H, es reflexiva. Si a 1 b H, (a 1 b) 1 = b 1 a H, luego es simétrica. Si a 1 b, b 1 c H, a 1 bb 1 c = a 1 c H, luego es transitiva. Entonces es relación de equivalencia. Suponga a [b] esto equivale a b 1 a = h para algún h H, ó a = bh que es lo mismo que a bh, luego [b] = bh. Con esto concluimos i). Ahora defina f : H bh por f(h) = bh. Es claro que f es sobreyectiva, la inyectividad es consecuencia inmediata de 1.6. Luego f es un biyección y así H y bh son equipotentes. Para los coconjuntos derechos considere: a b : ab 1 H Definición (Indice): Sea H G. Definimos el indice de H como número de coconjuntos izquierdos de H Observaciónes y notación. i) {bh} b G lo notamos G/H, {Hb} b G lo notamos H\G ii) Al índice de H lo notamos (G : H). Si (G : H) es finito, entonces (G : H) := G/H. iii) Observe que G/H = H\G. iu) Si a bh, entonces ah = bh. De igual forma, si a Hb, Ha = Hb. Teorema 1.79 (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo de orden finito. Si H G, entonces H G, más aún G = H (G : H).

22 16 Capítulo 1. Grupos Demostración: Por el teorema 1.76: G = bh G/H bh = bh G/H H = (G : H) H 1.80 Los coconjuntos son parte fundamental de la teoría del álgebra, toca entonces entenderlos y sentirlos. De esto se dará cuenta el lector a lo largo de su estudio 1.81 Ejercicios: 1. Sean K H G grupos tales que (H : K) y (G : H) son finitos. Probar que (G : K) = (H : K)(G : H). 2. Sean H y K dos subgrupos finitos de un grupo G. Sea HK un subconjunto de G definido por HK = {hk : h H, k K}. Probar que HK = H K H K.

23 Capítulo 2 Homomorfismos 2.1. Homomorfismos 2.1 Definición (homomorfismo): Sean G y G dos grupos. Una función φ : G G es un homomorfismo si para todo a, b G se tiene que: 2.2 Observaciones sobre definición 2.1. φ(ab) = φ(a)φ(b) (2.1) i) Note que en el lado izquierdo de (2.1) la operación es la de G, mientras que en el lado derecho la operación es la de G. ii) Para todo par de grupos G, G, existe al menos un homomorfismo φ : G G, denominado el homomorfismo trivial definido por φ(g) = e, para todo g G, donde e es el elemento identidad en G. Sin embargo, este homomorfismo trivial no nos proporciona mucha información estructural sobre G y G. 2.3 Ejemplos: i) Sea r Z y sea φ r : Z Z definido por φ r (k) = rk, para todo k Z. Entonces para todo m, n Z se tiene que φ r (m + n) = r(m + n) = rm + rn = φ r (m) + φ r (n). Así, φ r es homomorfismo. Note que φ 0 es el homomorfismo trivial, φ 1 es le función identidad, y φ 1 es una función sobreyectiva de Z en Z. Para r ±1, φ r no es sobreyectiva. ii) Sea G = G 1 G 2... G i... G n un producto directo de n grupos. La función proyección π i : G G i, definida por π i : (g 1,..., g i,..., g n ) = g i es un homomorfismo para cada i {1,..., n}. iii) Sea φ : Z Z n dado por φ(m) = r, donde r es el residuo de la división de m entre n.

24 18 Capítulo 2. Homomorfismos 2.2. Propiedades de Homomorfismos 2.4 Definición (Imagen, rango, imagen inversa): Sea φ : X Y una función del conjunto X al conjunto Y. Sean A X y B Y. i) La imagen φ[a] de A en Y bajo φ es el conjunto {φ(a) : a A}. ii) El conjunto φ[x] es el rango de φ. iii) La imagen inversa φ 1 [B] de B en X es el conjunto {x X : φ(x) B}. Teorema 2.5 Sea φ : G G un homomorfismo de grupos. Entonces: i) Si e es la identidad en G entonces φ(e) es la identidad e de G. ii) Si a G, entonces φ(a 1 ) = φ(a) 1. iii) Si H es un subgrupo de G, entonces φ[h] es un subgrupo de G. iv) Si K es un subgrupo de G, entonces φ 1 [K ] es un subgrupo de G. Demostración: Como a = ae, para todo a G, entonces φ(a) = φ(ae) = φ(a)φ(e). Ahora multiplicando a ambos lados por φ(a) 1 a derecha, se tiene que e = φ(e), que es lo que dice i). Para ver ii), e = φ(e) = φ(aa 1 ) = φ(a)φ(a 1 ), y multiplicando a ambos lados por φ(a) 1 a derecha se tiene φ(a) 1 = φ(a 1 ). Sea H G y sean φ(a) y φ(b) dos elementos en φ[h]. Entonces φ(a)φ(b) = φ(ab), luego φ(a)φ(b) φ[h] pues ab H, esto es φ[h] es cerrado bajo operación de G. Ahora, como e = φ(e) y φ(a) 1 = φ(a 1 ) entonces φ[h] G, verificando iii). Sea K G y sean a, b φ 1 [K ]. Entonces φ(a)φ(b) K, puesto que K es grupo. Ahora, la ecuación (2.1) prueba que ab φ 1 [K ]. Así, φ 1 [K ] es cerrado bajo la operación de G. Además, e K luego como e = φ(e), entonces e φ 1 [{e }] φ 1 [K ]. Y finalmente si a φ 1 [K ], entonces φ(a) K y φ(a) 1 K. Pero φ(a) 1 = φ(a 1 ) y así a 1 φ 1 [K ]. Lo que completa la demostración de iv). 2.6 Definición (Fibra): Sea φ : G G un homomorfismo y sea a G. La imagen inversa φ 1 [{a }] es la fibra sobre a bajo φ. De ahora en adelante notaremos φ 1 [{a }] por φ 1 (a ). 2.7 Nota. Como {e } es un subgrupo de G, el teorema 2.5 muestra que la fibra φ 1 (e ) bajo un homomorfismo φ : G G es un subgrupo de G. Demostraremos a continuación que las fibras de G bajo φ son los coconjuntos del grupo φ 1 (e ). Así las fibras de G bajo φ forman una partición de G (ver figura 2.1).

25 PSfrag replacements Propiedades de Homomorfismos 19 φ G Ker(φ) e a b φ 1 (x ) G e φ(a) φ(b) x Figura 2.1: Fibras y Kernel 2.8 Definición (Kernel): Sea φ : G G un homomorfismo, y e el neutro en G. El kernel de φ es la fibra sobre e bajo φ, y lo notamos Ker(φ). Formalmente: Ker(φ) := {g G : φ(g) = e } Teorema 2.9 Sean φ : G G un homomorfismo, H = Ker(φ) y a G. Entonces la fibra sobre φ(a) bajo φ es el coconjunto izquierdo ah de H, y es el coconjunto derecho Ha de H. Como consecuencia, las dos particiones de G en coconjuntos izquierdos y derechos de H son la misma. Demostración: Se desea probar que {g G : φ(g) = φ(a)} = ah. Suponga que a, g G son tales que φ(g) = φ(a). Entonces φ(a) 1 φ(g) = e, donde e es la identidad en G. Por el teorema 2.5, sabemos que φ(a) 1 = φ(a 1 ), y entonces se tiene φ(a 1 )φ(g) = e. Además, como φ es homomorfismo, φ(a 1 )φ(g) = φ(a 1 g), luego φ(a 1 g) = e. Esto es a 1 g H, o a 1 g = h, para algún h H, luego g = ah ah. Así {g G : φ(g) = φ(a)} ah. Para comprobar la inclusión opuesta, considere g ah, entonces g = ah para algún h H. Esto implica φ(g) = φ(ah) = φ(a)φ(h) = φ(a)e = φ(a). Así g {g G : φ(g) = φ(a)}, luego ah {g G : φ(g) = φ(a)}. Una demostración similar demuestra el mismo resultado para coconjuntos derechos. Corolario 2.10 Un homomorfismo φ : G G es inyectivo si y sólo si Ker(φ) = {e}. Demostración: Suponga que Ker(φ) = {e}, entonces si a, g G son tales que φ(a) = φ(g), g aker(φ). Pero aker(φ) = a{e} = {a}. Luego g = a. Para demostrar la implicación inversa, suponga que φ es inyectiva. Por el teorema 2.5 φ(e) = e, la identidad de G. Pero φ es inyectiva, luego el único elemento enviado a e por φ es e, luego Ker(φ) = {e}.

26 20 Capítulo 2. Homomorfismos 2.3. Subgrupos normales 2.11 Definición (Subgrupo normal): Un subgrupo H de G es normal si sus coconjuntos derechos e izquierdos coinciden, lo que notaremos por H G. Es decir: H G : g G, gh = Hg 2.12 Observación. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal. Corolario 2.13 (al Teorema 2.9) Ker(φ) G para cualquier homomorfismo φ con dominio G. Teorema 2.14 H G (h, g) H G, ghg 1 H Demostración: Suponga que H G. Sea h H y g G. Como gh gh y por definición gh = Hg, entonces gh = h g, para algún h H. Luego ghg 1 = h, esto implica ghg 1 H. Ahora suponga que para todo h H y para todo g G, ghg 1 H. Considere algún g G. Sea gh gh, con h H, así ghg 1 H, ó ghg 1 = h, para algún h H, luego gh = h g Hg. Así gh Hg. De forma similar establecemos Hg gh. Luego gh = Hg. Corolario 2.15 H G g G, ghg 1 = H 2.16 Nota. Frecuentemente consideraremos la caracterización del teorema 2.14 y de su corolario 2.15 para hacer demostraciones Ejemplo: Sea S 3 el grupo simétrico sobre {1, 2, 3} y sea H el subgrupo que consiste de la permutación identidad y de la transposición (1 2). Entonces H no es normal pues (2 3) 1 (1 2)(2 3) = (2 3)(1 2)(2 3) = (1 3) y (1 3) / H. Lema 2.18 Sea H G y sean g 1, g 2 G. Entonces g 1 Hg 2 H = (g 1 g 2 )H. Demostración: g 2 H = Hg 2 así: g 1 Hg 2 H = g 1 (Hg 2 )H = g 1 (g 2 H)H = (g 1 g 2 )H. Teorema 2.19 Sea H G. Entonces el conjunto de todos los coconjuntos de H en G es un grupo bajo la operación que a (g 1 H, g 2 H) le asocia (g 1 g 2 )H. El elemento identidad de este grupo es H, y el inverso de gh es g 1 H, para cualquier g G. Demostración: Por el lema anterior el conjunto de los coconjuntos es cerrado bajo la operación. Sea g G. El subgrupo H es un coconjunto de H pues H = eh. Además, ghh = gheh = (ge)h = gh, HgH = ehgh = (eg)h = H, ghg 1 H = (gg 1 )H = eh = H y finalmente g 1 HgH = (g 1 g)h = eh = H. Así, el conjunto de todos los coconjuntos de H es un grupo.

27 Isomorfismos y el Teorema de Cayley Observación. Es interesante en este momento observar que el resultado anterior es otra forma de caracterizar los grupos normales, es decir un subgrupo es normal si y sólo la operación del teorema anterior resulta bien definida. Formalmente: Sea B = {B i } i I una partición de G tal que (B i, B j ) B i B j es una operación bien definida de B B en B. Entonces B 0, la clase de e es un subgrupo normal de G, B = G/B 0 y la operación es (g 1 B 0, g 2 B 0 ) (g 1 g 2 )B 0 (ver ejercicio??). Teorema 2.21 Sean K, N G, con N G. Entonces: i) N K K ii) N < N K > iii) NK =< N K >= KN iv) si K G y N K = {e}. Entonces: nk = kn, (n, k) K N Demostración: Como N G entonces por la caracterización 2.14, gng 1 N, para todo n N y g G. Luego si n N K N y k K, knk 1 N. Así knk 1 N K, pues knk 1 K, de donde i) es verificado. Como N < N K >, ii) es trivialmente concluido según el teorema Para demostrar iii), observe primero que NK < N K >, con lo cual únicamente debemos ver que < N K > NK. Ahora, un elemento h < N K > es un producto de la forma n 1 k 1 n 2 k 2... n r k r, con n i N y k i K, para i {1,..., r}. Como N G, entonces, como se vió en la demostración de 2.14, si k K y n N, kn = n k para algún n N. En términos prácticos esto es, podemos correr los k i s hacia la izquierda y así h = n(k 1 k 2... k r ), para algún n N, luego h NK, de forma similar h KN. Y así la inclusión que faltaba es verificada. Suponga las hipótesis adicionales para iv), y sean k K y n N. Entonces nkn 1 K y kn 1 k 1 N, luego (nkn 1 )k 1 K y n(kn 1 k 1 ) N, pero N K = {e} luego nkn 1 k 1 = e ó nk = kn. Teorema 2.22 Sean H, K G, entonces HK H K = H K, y así (H : H K) = HK / K si H y K son finitos. Demostración: Defina la relación de equivalencia en H K por (h, k) (h, k ) si hk = h k, esto es si (h ) 1 h = k k 1, o mas aún si (h, k ) = (gh, gk 1 ) para algún g H K. Entonces cada una de las HK clases de equivalencia es de tamaño H K. Ahora considere f : H K/ HK definida por f([(h, k)] ) = hk. Así, f es biyectiva y HK H K = H K Isomorfismos y el Teorema de Cayley 2.23 Definición (Isomorfismo): Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.

28 22 Capítulo 2. Homomorfismos Teorema 2.24 Sea C una colección de grupos, y defina la relación en C por G G si existe un isomorfismo φ : G G. Tenemos que es una relación de equivalencia sobre C. Demostración: La identidad es un isomorfismo, luego es reflexiva. Si φ : G G es un isomorfismo, su inversa también, luego es simétrica. La composición de dos isomorfismos es un isomorfismo, luego es transitiva Observaciónes. i) Toda colección de grupos se puede particionar mediante la relación. ii) La estructura de dos grupos isomorfos es la misma, luego podemos identificarlos como uno solo, pues su única diferencia es el nombre de los elementos Para probar que dos grupos G y G son isomorfos debemos: i. Definir una función φ : G G ii. Probar que φ es un homomorfismo. iii. Probar que φ es biyectiva. Note lo útil que puede resultar el corolario 2.10 al teorema 2.9 para probar iii.. Teorema 2.27 Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a < Z, + >. Demostración: Sea a un generador de G, así G = {a n : n Z}. Defina φ : G Z por φ(a n ) = n. Ahora φ(a n a m ) = φ(a n+m ) = n + m = φ(a n ) + φ(a m ). Finalmente observe que φ(a n ) = 0 si y sólo si n = 0, luego φ es inyectiva, y además dado n Z, φ(a n ) = n, luego φ es sobreyectiva. Teorema 2.28 (Teorema de Cayley) Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. Demostración: Sea G un grupo y S G es grupo simétrico sobre G. Si a G defina λ a : G G por λ a (g) = ag. Ahora si λ a (g) = λ a (g ) entonces ag = ag luego g = g, y λ a (a 1 g) = g, así vemos que λ a es una permutación, pues es una biyección. Sea G = {λ a : a G}, como λ 1 a = λ a 1 y λ e = Id entonces G S G. Y así mismo vemos que g λ g es un isomorfismo Observación. El teorema de Cayley parece decir algo bastante general. Pero en la teoría que estamos estudiando acá no es de mucha utilidad.

29 Grupo Factor Grupo Factor 2.30 En el teorema 2.19 vimos que si H G entonces el conjunto de los coconjuntos de H bajo la operación (ah, bh) abh es un grupo. Esto motiva la siguiente: 2.31 Definición (Grupo factor): Sea G un grupo. Dado H G el grupo de los coconjuntos de H bajo la operación (ah, bh) abh es el grupos factor de G módulo H. Lo notaremos G/H Observación. Según el corolario 2.13 dado un homomorfismo con kernel H, podemos definir el grupo factor de G módulo H. Este grupo factor jugará un rol supremamente importante en el resto de la teoría, como empezaremos viéndolo en el teorema fundamental del homomorfismo (ver teorema 2.36) Ejemplo: Z 4 Z 2 es abeliano, luego todos sus subgrupos son normales, en particular {0} Z 2. Entonces (Z 4 Z 2 )/({0} Z 2 ), es un grupo y además es también abeliano, y así lo podemos clasificar de acuerdo al teorema de los grupos abelianos finitamente generados (teorema 1.48). Ahora, y Z 4 Z 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)} si podemos G = Z 4 Z 2 y {0} Z 2 = {(0, 0), (0, 1)} H = {0} Z 2 H 1 = H + (1, 0) = {(1, 0), (1, 1)} H 2 = H + (2, 0) = {(2, 0), (2, 1)} H 3 = H + (3, 0) = {(3, 0), (3, 1)} tenemos G/H = {H, H 1, H 2, H 3 }, así como G/H tiene cuatro elementos, solo hay dos alternativas: G/H Z 2 Z 2 ó G/H Z 4. Pero G/H =< H 1 > luego es cíclico, y así es isomorfo Z Teorema Fundamental del Homomorfismo Lema 2.34 Si H G, ρ : G G/H definida por ρ(g) = gh es un homomorfismo con kernel H. Demostración: Es consecuencia directa del teorema Definición (proyección canónica): Si H G, a ρ H : G G/H definida por ρ(g) = gh la llamamos proyección canónica, ó homomorfismo canónico, de kernel H.

30 24 Capítulo 2. Homomorfismos Teorema 2.36 (Teorema Fundamental del Homomorfismo) Sea φ : G G un homomorfismo con kernel H. Entonces la función µ : G/H φ[g] tal que φ = µ ρ H, es un isomorfismo. Demostración Sean g, g G tales que gh = g H, así g 1 g H esto equivale a φ(g) 1 φ(g ) = φ(g 1 g ) = e. Esto es φ(g) = φ(g ), entonces podemos definir µ por µ(gh) := φ(g). Pero ρ H (g) = gh, luego φ = µ ρ H. Ahora por el teorema 2.19 µ es un homomorfismo. Es evidente que µ es sobreyectivo, y la inyectividad la podemos deducir de la equivalencia entre gh = g H y φ(g) = φ(g ). Así µ es isomorfismo. Su unicidad es evidente, pues si µ : G/H φ[g] es tal que φ = µ ρ H, µ(gh) = φ(g). Corolario 2.37 Si φ : G G es un homomorfismo sobreyectivo con kernel H, G/H G Observación. El teorema fundamental del homomorfismo nos habla de la dinámica del grupo G: si tenemos un homomorfismo sobreyectivo de G en G con kernel H, podemos descomponer la operación de G en dos partes una primera que tiene la dinámica de H con consecuencias en otra después que tiene la de G. Por ejemplo sea a, c G, b ah con b = ah y d ch con d = ch, entonces bd ach y si h H es tal que ch = h c, bd = ac(h h) (ver figura 2.2). Una visualización de esto es la operación de suma en los reales que se PSfrag puede replacements descomponer en una parte decimal y en otra entera (1, 75 0, 75 + Z, 2, 43 0, 43 + Z, 4, 18 = 1, , 43 1, 18 + Z = 0, 18 + Z). ach ah bd = ac(h h). b = ah uv u ch H d = ch. h h h h φ G G v e Figura 2.2: Teorema Fundamental del Homomorfismo

31 Cálculo de Grupo Factor Cálculo de Grupo Factor 2.39 Ejemplos: i) El subgrupo trivial {0} de Z es un subgrupo normal. Calculemos Z/{0}. Como N = {0} tiene únicamente un elemento, todo coconjunto de N tiene un solo elemento. Es decir, los coconjuntos son de la forma {m} para algún m entero. Así Z/{0} Z ii) Sea n N. El conjunto nr = {nr : r R} es un subgrupo de R con la adición. nr es normal puesto que R es abeliano. Calculemos R/nR. Note que cada x R es de la forma n( x n ) con x n R. De ahí que para cualquier x R tenemos que x nr. Entonces nr = R y en consecuencia R/nR consta de un único elemento, a saber, nr. A nr/r no le queda mas alternativa que ser el grupo trivial Observación. Por el teorema fundamental del homomorfismo, podemos pensar en el grupo factor G/H como un grupo en el cual cada coconjunto de H colapsa a un sólo elemento. En particular H colapsa a un neutro. Como acabamos de ver el colapso puede variar de inexistente (cuando H = {e}), a catastrófico (cuando H = G). Es claro que estos dos tipos de colapsos no nos proporcionan mayor información sobre la dinámica en G Ejemplos: i) Comencemos observando lo siguiente: Si G es un grupo finito y G/N tiene solo dos elementos, entonces G = 2 N. Note además que cualquier subgrupo conteniendo la mitad de los elementos de G es forzosamente normal, puesto que dado a G, a esta en H o no esta en H. En el primer caso se tendría a H, ah = H = Ha, y en el segundo a / H, ah = Ha forzosamente. Ahora bien, como sabemos que S n = 2 A n, entonces el grupo alternante A n es un subgrupo normal de S n y el grupo cociente tiene dos elementos. Sabiendo que cualquier grupo de orden dos es isomorfo a Z 2 conocemos completamente la operación en S n /A n. Tomando σ / A n una permutación impar y si renombramos σa n por impar y A n por par verificamos la siguiente propiedad de la dinamámica de S n : (par)(par) = par (par)(impar) = impar (impar)(par) = impar (impar)(impar) = par Vemos como conocimiento acerca de la operación en el grupo factor S n /A n refleja una propiedad de la operación en S n. ii) El recíproco del teorema de Lagrange no es cierto. Veamos que no es cierto que k G implique que exista algún H G tal que H = k. Mostraremos que A 4 no tiene subgrupos de orden seis. Suponga por contradicción que H es un subgrupo de A 4 de orden seis. Como A 4 = 12, H es normal. Así A 4 /H tiene solo dos elementos H y σh para algún

32 26 Capítulo 2. Homomorfismos σ / H. Como en un grupo de orden dos el cuadrado de todo elemento es la identidad, entonces HH = H y σhσh = H. Ahora, el producto en el grupo factor se puede lograr mediante el producto de elementos representativos de los los coconjuntos, luego tenemos que para cualquier α A 4, α 2 H. Pero en A 4 se tiene (123) = (132) 2 y (132) = (123) 2 luego (123) y (132) están en H. De la misma forma se verifica que (124), (142), (134), (143), (234) están todos en H. Esto muestra que H tiene al menos ocho elementos, contradiciendo la hipótesis de que H tenia seis elementos. iii) Calculemos el grupo factor Z 4 Z 6 / < (0, 1) >. Sea H =< (0, 1) >, así H = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5)} Como H tiene 6 elementos, todos los coconjuntos de H también deben tener 6 elementos y (Z 4 Z 6 )/H = 4. Como Z 4 Z 6 es abeliano, entonces Z 4 Z 6 /H también. Los coconjuntos de H en Z 4 Z 6 son: H = (0, 0) + H H 1 = (1, 0) + H H 2 = (2, 0) + H H 3 = (3, 0) + H Así Z 4 Z 6 / < (0, 1) > es cíclico, luego es isomorfo a Z 4. Teorema 2.42 Sea G = H K el producto de dos grupos H y K. Entonces H = {(h, e) : h H} es un subgrupo normal de G. Además, G/ H es isomorfo a K. Similarmente, G/ K H Demostración: Considere el homomorfismo π 2 : H K K, donde π 2 (h, k) = k. Como Ker(π 2 ) = H y π 2 es sobreyectiva, el teorema 2.36 nos dice que H K/ H K. Teorema 2.43 Un grupo factor de un grupo cíclico es cíclico. Demostración: Sea G =< a >, y N G. Así N G, y cómo a genera todo G, an genera todo G/N. Luego G/N =< an > es cíclico Observación. Ya vimos que un grupo factor de un grupo no cíclico bien podra ser cíclico (por ejemplo, S n /A n, para n 3). El teorema 2.42 nos muestra como algunos grupos factor colapsan separadamente, este no siempre es el caso como lo veremos ahora mismo Ejemplos: i) Calculemos Z 4 Z 6 / < (0, 2) >. Sea H =< (0, 2) >= {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}. En primera instancia note que Z 4 Z 6 es abeliano, luego el grupo factor también es abeliano, y como H = 3, es de orden 8. Usando el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados, sabemos que

33 Grupos simples 27 el grupo factor debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos: Z 8, Z 4 Z 2 ó Z 2 Z 2 Z 2. Con un poco de paciencia calculamos los coconjuntos: H = (0, 0) + H = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)} H 4 = (2, 0) + H = {(2, 0), (2, 2), (2, 4)} H 1 = (0, 1) + H = {(0, 1), (0, 3), (0, 5)} H 5 = (2, 1) + H = {(2, 1), (2, 3), (2, 5)} H 2 = (1, 0) + H = {(1, 0), (1, 2), (1, 4)} H 6 = (3, 0) + H = {(3, 0), (3, 2), (3, 4)} H 3 = (1, 1) + H = {(1, 1), (1, 3), (1, 5)} H 7 = (3, 1) + H = {(3, 1), (3, 3), (3, 5)} y los subgrupos generados son: < H 1 >= {H, H 1 } < H 2 >= {H, H 2, H 4, H 6 } < H 3 >= {H, H 3, H 4, H 7 } < H 4 >= {H, H 4 } < H 5 >= {H, H 5 } < H 6 >=< H 2 > < H 7 >=< H 3 > Como no hay ningún elemento de orden 8, entonces no puede ser isomorfo a Z 8. Como no todo elemento tiene orden 2, entonces tampoco lo puede ser a Z 2 Z 2 Z 2. Entonces no quedendo más alternativa, es isomorfo a Z 4 Z 2. Este es un ejemplo de como los coconjuntos colapsan separadamente. ii) Calculemos el grupo factor (Z 4 Z 6 )/ < (2, 3) >. Sea H =< (2, 3) >, entonces H = {(0, 0), (2, 3)}. Como H es de orden 2, entonces (Z 4 Z 6 )/H es de orden 12. Se podría cometer el error de pensar que Z 4 y Z 6 separadamente colapsan en grupos isomorfos a Z 2 y que y entonces el grupo factor sería isomorfo a Z 2 Z 2. De esta manera el grupo factor tendría orden 4 y no 12 como de hecho es. Tenga cuidado en no pensar que los factores siempre colapsan separadamente!! Ahora bien, los grupos abelianos de orden 12 son: Z 4 Z 3 (que es isomorfo a Z 12 ), Z 6 Z 2 y Z 2 Z 2 Z 3. Además Z 4 Z 3 es el único que tiene un elemento de orden 4. Probaremos que el coconjunto (1, 0) + H es un elemento de orden 4. Para encontrar la potencia mas pequeña de un coconjunto que de la identidad, basta escoger la potencia mas pequeña del representante que este en H. Ahora, 4(1, 0) = (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) = (0, 0). Por lo tanto (Z 4 Z 6 )/H tiene un elemento de orden 4 y así es isomorfo a Z 4 Z Grupos simples Teorema 2.46 Sea φ : G G un homomorfismo. Si N G, φ[n] φ[g]. Si N φ[g], φ 1 [N ] G. Demostración: Sean N G y N φ[g]. φ[n] φ[g] y φ 1 [N ] G por el teorema 2.5. Ahora si (φ(g), φ(n)) φ[g] φ[n], gng 1 N y φ(gng 1 ) = φ(g)φ(n)φ(g) 1 φ[n], luego φ[n] φ[g]. Por otro lado si g, n G φ 1 [N ], φ(gng 1 ) = φ(g)φ(n)φ(g) 1 N y gng 1 φ 1 [N ], luego φ 1 [N ] G.