ASOCIATIVA: La suma no varia si se asocian en diferentes formas los sumandos. NEUTRO: El cero ( 0 ) es le elemento neutro aditivo.

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1 ARITMETICA I. NÚMEROS NATURALES Ν Es el conjunto de los números positivos desde el cero hasta el infinito ( ). Ejemplo: Ν{0,1,,3,4,, } I.1 PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES. Dentro de las propiedades de la Números Naturales está u carácter binario dentro de las operaciones, la cual se define como: Una operación binaria en un conjunto es una regla que nos asocia a cada par de elementos del conjunto con otro elemento único del mismo conjunto. Estas propiedades son aplicadas para la suma y la resta CERRADURA: La suma de dos números naturales es un número natural. COMUTATIVA: El orden de los sumandos no altera la suma. ASOCIATIVA: La suma no varia si se asocian en diferentes formas los sumandos. NEUTRO: El cero ( 0 ) es le elemento neutro aditivo. Estas propiedades son aplicadas para la multiplicación, división, potenciación y radicación. CERRADURA: Cuando se multiplican de dos números naturales es un número natural. COMUTATIVA: El orden de los factores no altera el producto. ASOCIATIVA: El producto no varia si se asocian en diferentes formas los factores. NEUTRO: El uno ( 1 ) es le elemento neutro multiplicadito. DISTRIBUTIVA: Todo producto de suma se puede convertir en una suma de productos. SEAN a, b, c,є R a (b + c) ab + ac (a + b) c ac + bc PROPIEDA DES ADICAION SUSTRAC CUION MULTIPLI CACION POTENCIA CION RADICALI ZACION DIVISION I. OPERACIONES Problemas de aplicación: 1.- Un almacen va a remitir 3,456 jabones en cajas de una gruesa (144), cada una. Cuántas cajas se necesitan? SOLUCIÓN: CERR ADUR ASOCIATIVA A a + b a + ( b + c ) c ( a + b ) + c a + ( b c ) a-bc ( a + b ) - c a b a ( b c ) ( c a b ) c a a a ( a b ) ( a a a ) b 49 a ( b c ) 7 ( a b ) c A ( b/c ) ( a/b c a b ) / c I.3 FACTORIZACIÓN Cajas CONM UTATI VA a + b b + a a b - b + a a b b a a b 3 NEU TRO a + 0 a a 0 a a 1 a b 3 a a 1 a a b 1 a b a a a/b 1/b a/1 a/1 a a) Descomposición de números naturales en factores primos:

2 La descomposición se realiza por medio de números que tiene únicamente dos divisores, la unidad y por si mismo, los cuales se le conocen como números primos, por ejemplo:, 3, 5, 7, 11, 13, etc. Este tipo de descomposición sólo se realiza en números naturales, debido a que los radicales eisten números fraccionales que podrían ser factores primos de un número. deseamos epresar el 30 como producto de factores primos: c) Máimo común divisor (M.D.): Es el mayor número que divide a todos eactamente. El M.D. se forma con el producto de los factores primos comunes con su menor eponente. Hallar el M.D. de los números naturales 36, 48, 4. II. NÚMEROS ENTEROS Z Los números enteros se caracterizan en que están divididos en dos bandos, positivos y negativos, divididos por el cero. Z {-,,-3,-,-1,0,1,,3,, } II.1 OPERACIONES a) Propiedades. Leyes de los signos. Como los números naturales, las propiedades se aplican en la misma forma, ya que son las misma para cada uno de los casos, únicamente aumenta el inverso aditivo* y el inverso multiplicativo*. *Inverso Aditivo: Sea a Є Z, al sumarlo por el inverso aditivo (-a), El resultado que se obtiene es el elemento neutro aditivo cero ( 0 ). *Inverso Multiplicativo: Sea a Є Z, al multiplicarlo por el inverso multiplicativo ( 1/a), el resultado que se obtiene es el elemento neutro multiplicativo uno ( 1 ). Leyes de los signos b) Mínimo común múltiplo (m.c.m.): Es el numero menor que puede aplicarse como resultado a n números naturales. Hallar el m.c.m de los número naturales: 1, 4, 36, 48, 7. Suma y Resta. ( + ) + ( + ) ( + ) El resultado siempre es positivo. ( - ) + ( - ) ( - ) El resultado será la suma de los números negativos dando un valor negativo. ( + ) + ( - ) ( - ) + ( + )

3 Se resta el número mayor menos el menor y conserva el signo del número mayor. Multiplicación ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) ( - ) ( - ) ( + ) ( - ) ( - ) ( - ) ( + ) División: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) ( - ) ( - ) ( + ) ( - ) ( - ) ( - ) ( + ) II. RELACIONES DE IGUALDAD DE ORDEN. Relaciones de igualdad: - Refleiva, Simetrica, Transitiva, Sustitutiva, Aditiva y Multiplicativa. Relaciones de orden: - En dos números enteros, es mayor el que se encuentra a la derecha en el eje numérico. - Los números negativos son menores que el cero y los positivos. - De dos números negativos es mayor el de menor valor absoluto. a) Valor Absoluto: - El valor absoluto de se representa. - El valor absoluto de cero ( 0 ) es cero ( 0 ), igual. - Dos inversos aditivos iguales tienen el mismo valor absoluto. EJEMPLOS: El valor absoluto de 7 7 El valor absoluto de -5 5 III. NÚMEROS RACIONALES. Un número racional es un par ordenado de números enteros en la forma b a, siendo b 0. Q{-,, -3/4, -1/, -1/4, 0, 1/4, ½, ¾,, } III.1 REPRESENTACIÓN a) Fracciones Comunes: Se dividen en dos fracciones comunes, las cuales son: Fracciones Propias y Fracciones Impropias. - Fracciones Propias: Las Fracciones Propias son cuando el numerador es menor que el denominador. Sea a, b Є Z, a/b, b 0 y a < b. - Fracciones Impropias: Las Fracciones Impropias son cuando el numerador es mayor que el denominador. Sea a, b Є Z, a/b, b 0 y a > b. b) Fracciones Mitas: Las Fracciones Mitas se define por combinar un número entero y una fracción propia. Sea a, b, c Є Z, b c a, c 0, donde a es el entero y b/c es la fracción propia. III. OPERACIONES. Suma de números racionales. Resta de números racionales. Multiplicación de números racionales. División de números racionales. III.3 PROPORCIONALIDAD. a) Definición de razón, proporción, etremos, medios.

4 - Razón: Es la razón que se da entre dos valores numéricos que representan dos cantidades a y b las cuales se denominan como a es a b y se representa como: a/b. - Proporción: Es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas. - Etremos: Son los términos de una proporción y son el primero y el cuarto. - Medios: Son los términos segundos y terceros. EJEMPLOS: 1.- En la proporcionalidad Tenemos o sea 48.- Una persona viaja en un tren a una velocidad constante de 70 Km. por hora. Qué distancia recorrerá después de 90 min.? Planteamiento: 70Km. 60min. Km. 90 min. (70) (90) 150Km. (60) A L G E B R A I. ALGEBRA Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. Utiliza las letra para determinar variables, constantes, incógnitas, etc. para calcular la cantidad buscada. I.1TERMINO ALGEBREICO Un termino algebraico contiene cuatro elementos, los cuales son: Signo, Coeficiente, Literal o Variable y Eponente. I. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. - Monomio: Son aquellas epresiones algebraicas que constan de un solo término. - ; 3abcdefgh ;etc. - Binomio: Es un polinomio que consta de dos términos y; 6y-yz 3 ; ; etc. - Polinomio: Son aquellas epresiones que constan más de dos términos y; 3ab + 8bc - 5cd + 5de; ; etc. I.3 TERMINOS SEMEJANTES. Para que dos o más términos sean semejantes se deben cumplir dos condiciones: - Que los términos tengan la misma literal o literales. - Que la literal o literales tengan el mismo eponente Si algunos de las condiciones no se cumple los términos ya no son semejantes. I.4 LENGUAJE ALGEBRAICO. El lenguaje algebraico se utiliza para traducir epresiones verbales a epresiones matemáticas, y nos sirve para la resolución de problemas. EJEMOPLO: - Un número cualquiera., m, w. - El doble de un número:, m. - Un número disminuido en cinco: -5, r-5. - El producto de dos números cualquiera: ab, y. I.5 LEYES DE LOS EXPONENTES. 1.- n m n + m

5 .- m n m n 3.- ( m ) n m n 4.- n m EJEMPLOS: m n 1.- ( 3m ) ( 5m ) ( 4m 3 ) 60m ( 9 6 ) ( 4 ) (4) 7 3 I.6 OPERACIONES ALGEBRAICAS. - SUMAS ALGEBRAICAS: En esta operación basta con sumar los coeficientes de los terminos semejantes que son aquellos que cuentan con las mismas variables y con los mismos eponentes. ( 6 + 8y 5z ) + ( 3 6z + y ) y 11z 8 3y + 5z + 6y 5z y - RESTAS ALGEBRAICAS: En esta operación vasta con cambiar el signo de los terminos que forman el sustraendo y después efectuar la reducción de terminos semejantes. EJEMPLOS: ( 1m 3 5m + 3m - 3 ) ( 6m 3 8m + 9 ) 1m 6m 6m 3 3 5m 3 + 0m + 5m + 3m 3 + 8m m 1 - MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA: Se aplica la propiedad distributiva de la atitmetica; es decir, que se multiplica cada uno de los terminos del primer factor por cada uno de los terminos del segundo factor, multiplicando signos, coeficientes y sumando los eponentes de las literales, conservando las literales. EJEMPLOS: - DIVISIONES ALGEBRAICAS: Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio o en su caso si se trata de un polinomio se utiliza el método tradicional de la división

6 I.7 PRODUCTOS NOTABLES. - BINOMIO AL CUADRADO: El desarrollo es el siguiente: El cuadrado de primer termino más (o menos según sea el caso), el doble del primer termino por el segundo termino, más el cuadrado del segundo termino. [ ( a ± b ) a ± ab + b ]. ( 3 + 6y ) (3) + (3) (6y) + (6y) ( 5b 4c ) (5b) ( 5b) (4c) + (4c) y + 36 y 5 b 40 b c + 16 c - BINOMIOS CONJUGADOS: El resultado es: El cuadrado del termino común menos el cuadrado del termino conjugado. [ ( a + b ) ( a b ) a b ]. EJEMPLOS: ( 5a 4b ) ( 5a + 4b ) 5 a 16 b 1.8 FACTORIZACIÓN. Las factorizaciones se descomponer en dos factores un polinomio, la cual utilizaremos cuatro métodos, los cuales son: Termino Común, Trinomio Cuadrado Perfecto, Diferencia de Cuadrados y por el método + b + c. - TERMINO COMUN: El termino común, es el termino que comparte a cada uno de los términos del polinomio a factorizar. 5m 3 30m + 5m 5m (3m 6m + 5). - TRINOMIO CADRADO PERFECTO: Las características que debe tener un trinomio cuadrado perfecto, son que el primer termino y el tercero deben tener raíz cuadrada eacta, y se deben seguir los siguientes pasos. 1- Sacar la raíz al primer término. - Respetar el signo del segundo término. 3- Sacar la raíz al tercer término. 4- Elevar todo al cuadrado. 9 1 y + 4y ( 3 4y ) - DIFERNCIA DE CUADRADOS: Las características que debe tener la diferencia de cuadrados, son que el primer termino y el segundo deben tener raíz cuadrada eacta y se estén restando, y los pasos a seguir son los siguientes: 1. Abrir dos paréntesis. Sacar la raíz al primer término y colocar la raíz en cada uno de los paréntesis. 3. Sacar la raíz al segundo término y colocar la raíz en cada uno de los paréntesis como segundo termino. 4. El signo del primer término se coloca entre los términos del primer paréntesis. 5. El signo del segundo término se coloca entre los términos del segundo paréntesis y (7 + 9y) (7 9y) - METODO DE LA FORMA + b + c: Las características que debe tener es de que el primer termino tenga raíz cuadrada eacta, y los pasos a seguir son los siguientes: 1. Abrir dos paréntesis.. Sacar la raíz al premier término y colocarlos en ambos paréntesis como primer termino. 3. El signo del segundo término se coloca en el primer paréntesis. 4. El producto de los signos se coloca en el segundo paréntesis. 5. Encontrar dos números que multiplicados den el tercer termino y sumados o restados den el segundo termino ( 6 ) ( 1) I.9 FUNCIONES. - CONSEPTO DE RELACIÓN: En una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que asocia a cada elemento del primer conjunto X con un elemento cualquiera del conjunto Y.

7 - CONSEPTO DE FUNCIÓN: Es la correspondencia que se establece entre los elementos de dos conjuntos y asocia a cada elemento del primer conjunto X con un elemento único del segundo conjunto Y. Representación grafica de una función de premier grado. I.10 ECUACIONES DE PRIMER GRADO. - La solución de ecuaciones de premier grado se logran siguiendo los siguientes pasos: Trazo e interpretación de graficas cartesianas de variaciones proporcionales y de funciones polinomiales de primero y de segundo grado. Este sistema se forma usando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, a las que se denominan ejes coordenadas y que se intersecan en sus orígenes, punto al que se llama simplemente el origen del sistema. Representación grafica de una función de segundo grado. 1. Eliminar cocientes que afecten a la variable (si es que los hay).. Eliminar signos de agrupación (si es que los hay). 3. Pasar en un solo lado de la ecuación a todos los términos que contengan a la variable y al otro lado a los que no lo contengan. 4. Reducir los términos semejantes. 5. despejar a la variable. 6. Comprobar.

8 - METODO DE SUMA Y RESTA: + 6(4) 7...(1) EJEMPOLO: + 6y 7...(1) 7 3y 9...() ( + 3) Paso (1) se multiplica por 7 la ecuación (1) y por -1 la () y (3) 1(7 3y 9)...() Paso () se resta de la ecuación () de la ecuación (3) I.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Resolución por métodos algebraicos: factorización y por formula. - Método de factorización: I.11 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Concepto de ecuación lineal con dos variables y de sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Concepto de ecuación lineal con dos incógnitas: Las ecuaciones de premier grado con dos variables se les llama ecuaciones lineales porque representan dos líneas rectas. Sistema de dos ecuaciones con dos variables: Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. + 3y y 5 Solución de sistema de ecuaciones por métodos algebraicos y y y (4) Paso (3) se despeja (y) de la ecuación (4) 180 y 45 y 4...(5) Paso (4) se sustituye el resultado (y) en cualquier ecuación (1) o () y despejar () Resolver la ecuación Paso (1) factorizar la ecuación por el método + b + c ( + 3)( + ) 0 Paso () igualar cada factor a cero (1) () Paso (3) despejar la () de las ecuaciones (1) y ()

9 1 3 I.1 ÁNGULOS Se clasifican los ángulos en ángulos agudos, rectos, obtusos, colíndales, acutángulos, ángulos complementarios. - METODO FORMULA GENERAL: Resolver la siguiente ecuación: ; a 3 ; b -5 ; c. - RECTOS: Son aquellos ángulos que miden 90 grados. b ± ( 5) ± b 4ac a ( 5) (3) 5 ± ± (3)() GEOMETRIA Es parte de la matemática que estudia las transformaciones del plano en general y sus aplicaciones. Calculo de perímetros, áreas y volúmenes. - OBTUSO: Son aquellos ángulos que miden más de 90 grados de abertura. - COLINEALES: Son aquellos ángulos que miden 180 grados de abertura.

10 - ACUTANGULOS: Son aquellos ángulos que miden más de 180 grados de abertura. I. POLIGONOS. Son todas aquellas figuras regulares e irregulares cerradas que contienen cierto número de lados (Triángulos, Cuadrados, Polígonos, etc.). - Polígonos Cóncavos: ANGULOS COMPLEMENTARIOS. - ANGULOS ADYACENTES: Son aquellos ángulos con vértice y están unidos en el mismo punto. a) Concepto de punto, recta, plano, rayo y segmento. - Punto: Es un electo indivisible. - Recta: es una figura geométrica formada por el conjunto de todos los puntos qie se suceden en una misma dirección. - Plano: Es una superficie de dos dimensiones () y (y). - Rayo: Es una proporción limitada de recta en una de sus direcciones. El punto limite se le llama etremo. b) Polígonos cerrados, abiertos, cóncavos y conveos. Regulares e irregulares. - Polígonos Cerrados. Al menos uno de sus ángulos interiores mide más de Polígamos Conveos: Todos sus ángulos interiores miden menos de Polígonos Regulares: - ANGULOS SUPLEMENTARIOS: Son aquellos angulos que al sumarlos nos da 180 grados. - Polígonos Cerrados: c) Triangulas: Clasificación según sus lados y sus ángulos. Teorema de Pitágoras. Los polígonos con menor número de lados (tres) se llaman triángulos y su clasificación por lados será la siguiente:

11 - Equilátero: Tres lados iguales o congruentes. - Isósceles: Dos lados iguales o congruentes y uno diferente. - Escaleno. Ningún lado igual o congruente. O. AL VERTICE CORRESPONDENTES Teoremas de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. I.3 PARALELEISMO Y PARALELEISMO. Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante. Las cuales eisten cuatro definiciones. A C A E B D B F E G C G F H D H A. NTERNOS A EXTERNOS C E A G D F B H I.4 TRIGONOMETRIA. Es rama de la matemática que estudia a la medida de los lados y ángulos de los triángulos, basándose a las relaciones llamadas funciones trigonométricas. - Definición de Seno: El Seno es la función que asocia a cada ángulo central ( α ) con una ordenada ( y ) se le denomina seno del ángulo y se escribe: sen α. - Definición de Coseno: El Coseno es la definición que asocia a cada ángulo central (α ) con una abscisa () se le denomina coseno del ángulo y se escribe: cos α. - Definición de Tangente: La Tangente es una función que se define como el cociente sen (α) entre el cos (α).

12 FENCIONES TRIGONOMETRICAS: O. senα HIP. A. cosα HIP. O. tagα A. HIP. cscα O. HIP. secα A. A. ctagα O. ELEMPLO: Desde un poste se requiere poner un cable con un ángulo entre el poste y el cable de 45, si el cable mide 300 m. A que distancia debe de colocarse el cable del poste?. Datos: α 45 h 300m. SOLUCIÓN: O. senα HIP. sen(45 ) 300m. sen(45 )(300m.) (0.7071)(300) 1.130m