Teorema de Pitágoras Distancia y Puntos Medios
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- María Teresa Palma Córdoba
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1 Slide 1 / 78 Teorema de Pitágoras Distancia y Puntos Medios Tabla de Contenidos Slide 2 / 78 Teorema de Pitágoras Haga clic en un tema para ir a esa sección Fórmula de la Distancia Puntos Medios Slide 3 / 78 Teorema de Pitágoras Haga clic para volver la tabla de contenidos
2 Teorema de Pitágoras Slide 4 / 78 Este es un teorema que se utiliza para los triángulos rectángulos. Fue conocido primero en la antigua Babilonia y Egipto a partir de 1900 A.C. Sin embargo, no fue conocido extensamente hasta que Pitágoras lo declaró. Pitágoras vivió en el siglo 6 A.C. en la isla de Samos en el Mar Egeo. También vivió en Egipto, Babilonia, y el sur de Italia. Fue un filósofo y un profesor. Las etiquetas de un triángulo rectángulo Slide 5 / 78 a c Hipotenusa haga clic para revelar - Opuesto al ángulo recto - Más largo haga de clic los en 3 lados para revelar Catetos haga clic en para revelar b - 2 lados que forman el ángulo recto haga clic en para revelar En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos (a y b) es igual a el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (c). Slide 6 / 78 a 2 + b 2 = c 2 Enlace a la animación de la prueba
3 Cateto que falta Slide 7 / 78 5 pies 15 pies a 2 + b 2 = c b 2 = b 2 = b 2 = 200 b 14 pies Escribe la Ecuación Sustitue los números Números cuadrados Sustrae Encuentra la Raíz Cuadrada Etiqueta Cateto que falta Slide 8 / 78 a 2 + b 2 = c 2 Escribe la Ecuación 9 plg 18 plg b 2 = b 2 = 324 Sustitue los números Números cuadrados Sustrae b 2 = 243 b = 243 pulgadas b 16 pulgadas Encuentra la Raíz Cuadrada Etiqueta Hipotenusa que falta Slide 9 / 78 7 plg 4 plg a 2 + b 2 = c = c = c 2 65 = c 2 c = 65 pulgadas c 8 pulgadas Escribe la Ecuación Sustitue los números Números cuadrados Agrega Encuentra la Raíz Cuadrada y Etiqueta
4 Cómo utilizar la fórmula para encontrar lados que faltan. Slide 10 / 78 Cateto que falta Escribe la Ecuación Sustitue los números Números cuadrados Sustrae Encuentra la Raíz Cuadrada Etiqueta Hipotenusa que falta Escribe la Ecuación Sustitue los números Números cuadrados Agrega Encuentra la Raíz Cuadrada Etiqueta 1 Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 11 / 78 7 x 4 2 Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 12 / 78 x 41 15
5 3 Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 13 / 78 7 z 4 4 Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 14 / 78 3 x 4 Ternas Pitagóricas Slide 15 / Hay combinaciones de números enteros que trabajan en el Teorema de Pitágoras. Estos conjuntos de números son conocidos como Ternas Pitagóricas es la más famosa de las ternas. Si reconoces los lados del triángulo como una terna (o múltiple de una), no será necesario usar una calculadora!
6 Puedes encontrar otras Ternas Pitagóricas? Slide 16 / 78 Usa la lista de cuadrados para ver si cualquier otras ternas funcionan. Ternas 1 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 17 / Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 18 /
7 7 Cuál es la longitud del tercer lado? Slide 19 / Los catetos de un triángulo rectángulo son 7,0 y 3,0, cuál es la longitud de la hipotenusa? Slide 20 / 78 9 Los catetos de un triángulo rectángulo son 2,0 y 12, cuál es la longitud de la hipotenusa? Slide 21 / 78
8 10 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4,0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 2,5. Cuál es la longitud del otro cateto? Slide 22 / La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9,0 y uno de sus catetos tiene una longitud de 4,5. Cuál es la longitud del otro cateto? Slide 23 / 78 Corolario al Teorema de Pitágoras Slide 24 / 78 Si a y b son medidas de los lados cortos de un triángulo, c es la medida del lado más largo, y c 2 = a 2 + b 2, entonces el triángulo es rectángulo. Si c 2 a 2 + b 2, Entonces el triángulo no es un triángulo rectángulo. a = 3 pies c = 5 pies b = 4 pies
9 Corolario al Teorema de Pitágoras Slide 25 / 78 En otras palabras, puedes comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo al ver si el Teorema de Pitágoras es cierto. Prueba el Teorema de Pitágoras. Si la ecuación final es verdad, entonces el triángulo es rectángulo. Si la ecuación final es falsa, entonces el triángulo no es rectángulo. 8 plg, 17 plg, 15 plg a 2 + b 2 = c = = = 289 Sí! Es un triángulo rectángulo? Escribe la ecuación Inserta los números Números cuadrados Simplifica ambos lados Son iguales? Slide 26 / Es el triángulo un triángulo rectángulo? Sí Slide 27 / 78 NO 6 pies 10 pies 8 pies
10 13 Es el triángulo un triángulo rectángulo? Sí Slide 28 / 78 NO 36 pies 24 pies 30 pies 14 Es el triángulo un triángulo rectángulo? Sí 10 pulgadas NO 8 pulgadas Slide 29 / pulgadas 15 Es el triángulo un triángulo rectángulo? Sí NO 5 pies 13 pies Slide 30 / pies
11 16 Puedes construir un triángulo rectángulo con tres longitudes de madera que miden 7,5 plg, 18 plg y 19,5 plg? Slide 31 / 78 Sí NO Slide 32 / 78 Pasos para los problemas de aplicación del Teorema de Pitágoras. 1. Dibuja un triángulo rectángulo para representar la situación. 2. Resuelve la longitud del lado desconocido. 3. Redondea a la décima más cercana. 17 Los tamaños de monitores de televisión y de ordenador son dados en pulgadas. Sin embargo, estas dimensiones son en realidad la medida diagonal de la pantallas rectangulares. Supongamos que un monitor de ordenador de 14 pulgadas tiene una longitud real de la pantalla de 11 pulgadas. Cuál es la altura de la pantalla? Slide 33 / 78
12 18 Un árbol fue golpeado por un rayo durante una tormenta. La parte del árbol que sigue en pie es de 3 metros de altura. La parte superior del árbol está en reposo 8 metros desde la base del árbol, y aún está parcialmente adjunto a su tronco. Supongamos que el suelo es plano. Qué tan alto es el árbol originalmente? Slide 34 / Acabas de recoger una pelota en el suelo en la base tercera, y ves al jugadordel otro equipo correr hacia primera base. Hasta dónde hay que tirar la pelota para conseguir que llegue de tercera base a la primera base, y sacar al corredor? (Una diamante de béisbol es un cuadrado) Segunda 90 pies 90 pies Slide 35 / 78 Tercera Primera 90 pies 90 pies Casa 20 Estás encerrado fuera de tu casa y la única ventana abierta está en el segundo piso, 25 pies sobre el suelo. Hay arbustos a lo largo del borde de tu casa, entonces tendrás que colocar una escalera a 10 pies de distancia de la casa. Qué longitud de la escalera necesitas para alcanzar la ventana? Slide 36 / 78
13 21 Scott quiere nadar a través de un río que es 400 metros de ancho. Comienza la natación perpendicular a la costa, pero termina 100 metros río abajo a causa de la corriente. Hasta qué punto nadó en realidad desde su punto de inicio? Imagen Slide 37 / 78 Slide 38 / 78 Fórmula de la Distancia Haga clic para volver a la tabla de contenidos Si tienes dos puntos en un gráfico, como por ejemplo (5,2) y (5,6), puedes encontrar la distancia entre ellos al simplemente contar las unidades en el gráfico, ya que se encuentran en una línea vertical. Slide 39 / 78 La distancia entre estos dos puntos es 4. El punto más alto es 4 sobre el punto más bajo.
14 22 Cuál es la distancia entre estos dos puntos? Slide 40 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos? Slide 41 / Cuál es la distancia entre estos dos puntos? Slide 42 / 78
15 La mayoría de conjuntos de puntos no se encuentran en una línea vertical u horizontal. Por ejemplo: Slide 43 / 78 Contar las unidades entre estos dos puntos es imposible. Así que los matemáticos han desarrollado una fórmula que utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos. Dibuja un triángulo rectángulo alrededor de estos dos puntos. Luego utiliza el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia en rojo. Slide 44 / 78 c a b c 2 = a 2 + b 2 c 2 = c 2 = c 2 = 25 c = 5 La distancia entre los dos puntos (2,2) y (5,6) es de 5 unidades. Ejemplo: Slide 45 / 78 c 2 = a 2 + b 2 c 2 = c 2 = c 2 = 45 c 6,7 La distancia entre los dos puntos (-3,8) y (- 9,5) es aproximadamente 6,7 unidades.
16 Intenta esto: Slide 46 / 78 c 2 = a 2 + b 2 c 2 = c 2 = c 2 = 225 c = 15 La distancia entre los dos puntos (-5, 5) y (7, -4) es de 15 unidades. Slide 47 / 78 Derivar una fórmula para calcular la distancia... Crea un triángulo rectángulo alrededor de los dos puntos. Etiqueta los puntos como se muestra. Luego sustituye a la Fórmula de Pitágoras. d (x 1, y 1) (x 2, y 2) longitud = y 2 - y 1 longitud = x 2 - x 1 c 2 = a 2 + b 2 d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 Esta es la fórmula de la distancia, ahora sustituye en valores. d = (5-2) 2 + (6-2) 2 d = (3) 2 + (4) 2 d = d = 25 d = 5 Slide 48 / 78
17 Fórmula de la Distancia Slide 49 / 78 Puedes encontrar la distancia d entre dos puntos (x 1, y 1) y (x 2, y 2) Utilizando la fórmula a continuación. d = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 Cuando sólo se dan dos puntos, utiliza la fórmula. Encuentra la distancia entre: Punto 1 (-7-4) Punto 2 (-5, -2) para la fórmula Slide 50 / 78 5,1 25 Encuentra la distancia entre (2,3) y (6,8). Redondea tu respuesta a la décima más cercana. para la fórmula Slide 51 / 78 Indicio para responder
18 26 Encuentra la distancia entre (-7, -2) y (11,3). Redondea tu respuesta a la décima más cercana. para la fórmula Slide 52 / 78 Indicio para responder 27 Encuentra la distancia entre (4,6) y (1,5). Redondea tu respuesta a la décima más cercana. para la fórmula Slide 53 / 78 para responder 28 Encuentra la distancia entre (7, -5) y (9, -1). Redondea tu respuesta a la décima más cercana. para la fórmula Slide 54 / 78 para responder
19 Cómo encontrarías el perímetro de este rectángulo? Slide 55 / 78 Puedes contar las unidades o encontrar la distancia entre los puntos de los pares ordenados. Podemos contar cuántas unidades de largo mide cada segmento de línea que hay en el cuadrilátero para encontrar el perímetro? Slide 56 / 78 D (3,3) C (9,4) A (0,-1) B (8,0) Puedes utilizar la Fórmula de la Distancia para resolver problemas de geometría. Slide 57 / 78 D (3,3) A (0,-1) C (9,4) B (8,0) Encuentra el perímetro de ABCD. Utiliza la fórmula de la distancia para encontrar las longitudes de los cuatro lados. Luego agregalos juntos. AB = AB = BC = BC = CD = CD = DA = DA = perímetro
20 29 Encuentra el perímetro de EFG. Redondea el resultado a la décima más cercana. F (3,4) para la fórmula Slide 58 / 78 G (1,1) E (7,-1) para responder 30 Encuentra el perímetro del cuadrado. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. H (1,5) para la fórmula Slide 59 / 78 K (-1,3) I (3,3) para responder J (1,1) 31 Encuentra el perímetro del paralelogramo. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. para la fórmula Slide 60 / 78 L (1,2) M (6,2) O (0,-1) N (5,-1) para responder
21 Haga clic para volve la tabla de contenidos Slide 61 / 78 Puntos Medios Encuentra el punto medio del segmento de línea. Slide 62 / 78 Qué es un punto medio? Cómo se encuentra el punto medio? Cuáles son las coordenadas del punto medio? (2, 10) (2, 2) Encuentra el punto medio del segmento de línea. Slide 63 / 78 Cuáles son las coordenadas del punto medio? Cómo se relaciona con las coordenadas de los extremos? (3, 4) (9, 4)
22 Encuentra el punto medio del segmento de línea. Slide 64 / 78 Cuáles son las coordenadas del punto medio? Cómo se relaciona con las coordenadas de los extremos? Punto medio = (6, 4) (3, 4) (9, 4) Está en el centro del segmento. Promedio de coordenada x. Promedio de coordenada y. La fórmula del Punto Medio Slide 65 / 78 Para calcular el punto medio de un segmento de línea con extremos (x 1,y 1) Y (x 2,y 2) utiliza la fórmula: ( x1 + x 2 y 1 + y 2, 2 2 ) Las coordenadas x e y del punto medio son los promedios de las coordenadas X e Y de los extremos, respectivamente. Slide 66 / 78 El punto medio de un segmento AB es el punto M en AB entre la mitad de los extremos A y B. A (2,5) B (8,1) Vea la página siguiente para la respuesta
23 Slide 67 / 78 El punto medio de un segmento AB es el punto M en AB entre la mitad de los extremos A y B. A (2,5) M B (8,1) Usa la fórmula del punto medio: + x 2 y 1 + y 2, 2 2 ) ( x1 Sustituye los valores: 2 + 8, ( 2 2 ) Simplifica los numeradores: 10, 6 ( 2 2 ) Escribe fracciones en forma reducida: (5,3) es el punto medio de AB Encuentra el punto medio de (1,0) y (-5,3) Slide 68 / 78 Usa la fórmula del punto medio: + x 2 y 1 + y 2, 2 2 ) ( x1 Sustituye los valores: , ( 2 2 ) Simplifica los numeradores: -4, 3 ( 2 2 ) Escribe fracciones en forma reducida: (-2, 1,5) Es el punto medio 32 Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (2,10) y (6, -4)? Slide 69 / 78 A (3,4) B (4,7) C (4,3) D (1,5, 3) ra la fórmula
24 33 Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (4,5) y (-2,6)? Slide 70 / 78 A (3, 6,5) B (1, 5,5) C (-1, 5,5) D (1, 0,5) ra la fórmula 34 Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (-7-4) y (-12,2)? Slide 71 / 78 A (-8, -2,5) B (-4, -4,5) C (-1, -6,5) D (-8,-4) ara la fórmula 35 Cuál es el punto medio del segmento de línea que tiene los extremos (10,9) y (5,3)? Slide 72 / 78 A (6,5, 2) B (6, 7,5) C (7,5, 6) D (15,12) ara la fórmula
25 36 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene los extremos (-4,3) y (0,2). Slide 73 / 78 Qué fórmula se debe utilizar para resolver este problema? A Fórmula de Pitágoras B C D Fórmula de la Distancia Fórmula del Punto Medio Fórmula para el área de un círculo 37 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene los extremos (-4,3) y (0,2). Slide 74 / 78 A (2,5, -2) B (2, 2,5) C (-2, 2,5) D (-1, 1,5) Ya que el centro se encuentra en el punto medio de cualquier diámetro, encuentra el punto medio de los dos dados extremos. ra la fórmula 38 Encuentra el centro del círculo con un diámetro que tiene los extremos (-12,10) y (2,6). Slide 75 / 78 A (-7,8) B (-5,8) C (5,8) D (7,8) a la fórmula
26 El punto M es el punto medio entre los puntos P y Q. Encuentra las coordenadas del punto que falta. Q =? Slide 76 / 78 M (8,1) P (8,-6) Use la fórmula del punto medio y resolver la incógnita. + x 2 y 1 + y 2, 2 2 ) ( x1 ra la fórmula Sustituye Multiplica ambos lados por 2 Sumar o restar (8, 8) 39 Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y P: Cuáles son las coordenadas del punto que falta? Slide 77 / 78 A (-13,-22) B (-8,5, -9,5) C (-4,5, -7,5) D (-12,5, -6,5) P = (-4,3) M = (-8,5, -9,5) Q =? ra la fórmula 40 Si el punto M es el punto medio entre los puntos P y P: Cuáles son las coordenadas del punto que falta? Slide 78 / 78 A (1,-1) B (-13,19) C (-8,11) D (-19,8) Q = (-6,9) M = (-7,10) P =? ra la fórmula
Teorema de Pitágoras Distancia y Puntos Medios
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