OPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA. Tema 4 Optimización no Lineal

Transcripción

1 OPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA Tema 4 Optimización no Lineal

2 ORGANIZACIÓN DEL TEMA Sesiones: El caso sin restricciones: formulación, ejemplos Condiciones de optimalidad, métodos Caso con restricciones: ejemplo, condiciones de optimalidad, solución

3 PROBLEMAS SIN RESTRICCIONES Función objetivo no lineal, pero sin restricciones en las variables, min x f(x) Soluciones locales: no se pueden mejorar en entorno de solución Soluciones globales: las mejores de todas las soluciones locales

4 OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES Escenario ideal: conseguir una solución global En general, no resulta posible calcular una solución local en tiempos razonables Dos alternativas: Conformarnos con una solución local rápida Intentar conseguir la solución global con un heurístico (aproximación) Si la dimensión del problema es moderada, se puede intentar buscar una solución global de forma determinista En general, los solvers eficientes de optimización encuentran soluciones locales En algunos casos también encuentran soluciones globales: Convexidad: soluciones locales = soluciones globales

5 OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES Algunos solvers avanzados usan heurísticos para intentar conseguir soluciones globales, bajo condiciones generales Sin exigir diferenciabilidad, convexidad, etc. En la práctica: Si maximizamos y la función objetivo es cóncava, se puede conseguir el óptimo en un tiempo razonable Si minimizamos y la función objetivo es convexa, se puede conseguir el óptimo en un tiempo razonable

6 EJEMPLO 1: MARKETING EN MÓVILES Descripción: Una compañía quiere vender un nuevo móvil de gama alta capaz de competir en el mercado actual Ha invertido un millón de euros para diseñar y desarrollar el producto El éxito final dependerá de la inversión que se haga en marketing y del precio final del móvil en el mercado Dos decisiones importantes: a : cantidad a invertir en la campaña de marketing p : precio de venta al público del móvil

7 EJEMPLO 1: MARKETING EN MÓVILES Descripción: El departamento de marketing estima las ventas del móvil en el próximo año como: El coste de producción del móvil es 100 euros/unidad Cómo puede la compañía incrementar su beneficio el próximo año con la venta del nuevo móvil?

8 EJEMPLO 1: MARKETING EN MÓVILES Modelo: Beneficios por ventas: Coste de producción total: Coste de diseño y desarrollo: Costes de marketing: Beneficio total:

9 EJEMPLO 1: MARKETING EN MÓVILES Estrategia óptima? Maximizar beneficio Restricciones? Las variables han de ser no negativas Es necesario incluir estas restricciones? Solución inicial: Qué ocurre si los valores iniciales son negativos? Qué ocurre si son positivos y grandes? Y si son positivos y pequeños? El problema es convexo? El problema tiene varias soluciones locales? Podemos conseguir la solución global?

10 EJEMPLO 2: AJUSTE DE DATOS Problemas de regresión Como ajustar un modelo a un conjunto dado de datos Distintos procedimientos en función de criterio de ajuste Mínimos cuadrados: Mínimos cuadrados no lineales: Mínima desviación absoluta:

11 EJEMPLO 2: AJUSTE DE DATOS Modelo concreto: regresión logística o exponencial Analizar relación entre tasa de crecimiento de una persona y su edad Esta relación es no lineal El crecimiento es alto en los primeros años y luego estable Posible modelo tasa = exp( 2 edad) + error log(tasa) = edad + error

12 CONDICIONES DE OPTIMALIDAD (SIN RESTRICCIONES) Cuando resolvemos problemas prácticos: Hay veces que no logramos encontrar una solución Necesitamos buenos puntos iniciales (que pueden ser decisiones actuales) Incluso aunque encontremos una solución, puede ser de poca ayuda para obtener mejores soluciones Intentar resolver el problema con muchos puntos iniciales Cómo podemos obtener mejor información sobre las soluciones? Propiedades teóricas Analizar las condiciones que se satisfacen en la solución Chequear si realmente se satisfacen O usarlas para encontrar candidatos a solución

13 CONDICIONES DE OPTIMALIDAD (SIN RESTRICCIONES) Problema de optimización sin restricciones: Si queremos maximizar, entonces Un punto (decisión), x*, es solución local, si no hay una mejor solución cerca Un punto (decisión), x*, es solución global, si es la mejor en general

14 CONDICIONES DE OPTIMALIDAD (SIN RESTRICCIONES) Condiciones necesarias Caso univariante: Caso multivariante Condiciones de primer orden: Si x* es un mínimo local, entonces Condiciones de segundo orden: Si x* es un mínimo local, entonces

15 CONDICIONES DE OPTIMALIDAD (SIN RESTRICCIONES) Condiciones suficientes Caso univariante: Caso multivariante Si se satisfacen las siguientes condiciones en x*, entonces es un mínimo local:

16 CONDICIONES DE OPTIMALIDAD (SIN RESTRICCIONES) Ejemplo Para el siguiente problema sin restricciones: Condiciones necesarias: Existen dos puntos estacionarios (candidatos a mínimo):

17 CONDICIONES DE OPTIMALIDAD (SIN RESTRICCIONES) Ejemplo Condición suficiente: Por tanto: 2 f(x b ) es definida positiva x b mínimo local 2 f(x a ) es indefinida, por lo que x a no es ni mínimo ni máximo local

18 EJEMPLO 1: MARKETING EN MÓVILES Compañía que desea comercializar nuevo móvil de última generación Modelo de optimización: Condiciones de primer orden: Una solución: a = , p = Condición de segundo orden: matriz hessiana

19 CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Qué ocurre si un mínimo no satisface las condiciones suficientes? Para todas estas funciones, f(0) = 2 f(0) = 0 Por tanto, x = 0 es candidato a óptimo en los tres casos Pero f 2 tiene un mínimo local en x = 0 f 1 tiene un punto de silla en 0 f 3 tiene un máximo local en 0 Este tipo de puntos se llaman estacionarios o singulares

20 CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Resumen Un punto es estacionario si f(x*) = 0 Para estos puntos: 2 f(x*) 0 mínimo 2 f(x*) 0 máximo 2 f(x*) indefinida punto de silla 2 f(x*) singular cualquier caso

21 MÉTODO DE NEWTON Cómo calcular una solución local: La mayoría de algoritmos son iterativos y de descenso en la f.o. x 0,x 1,x 2,... tales que f(x k+1 ) <f(x k ), k =0, 1, 2,... El paso importante es calcular la dirección de movimiento, p k, que nos lleva de x k a x k+1 Método de Newton. Las iteraciones son:

22 Ahora el problema es PROBLEMAS CON RESTRICCIONES Tanto la función objetivo como las restricciones pueden ser funciones no lineales Ahora las soluciones pueden tener propiedades distintas (respecto al caso sin restricciones) Solución local: mejor solución en un entorno dentro de la región factible Solución global: la mejor solución de la región factible

23 PROBLEMAS CON RESTRICCIONES Propiedades de la solución: Diferencias respecto al caso sin restricciones Identificar las restricciones activas en la solución es tan importante como mejorar el objetivo Diferencias respecto a PL Las soluciones no tienen por qué estar en vértices Cómo encontrar un óptimo local Transformar el problema en uno sin restricciones (o solo restricciones de igualdad) Encontrar las restricciones activas en la solución Métodos eficientes basados en ensayo-error

24 PROBLEMAS CON RESTRICCIONES Dificultades prácticas: Soluciones locales Si el problema no es convexo, la solución encontrada será probablemente local Difícil de comprobar formalmente Heurístico: ejecutar el método con muchos puntos iniciales Problemas mal condicionados En algunos casos, el objetivo o restricciones pueden no estar bien definidos siempre (raíz cuadrada, logaritmos, etc.) Podríamos añadir restricciones para evitar esos puntos, pero el algoritmo podría generar puntos infactibles en esa región Heurístico: empezar cerca de la solución

25 EJEMPLO 1: OPTIMIZACIÓN DE CARTERAS Descripción: Tenemos n activos donde invertir una cierta cantidad de dinero Sin pérdida de generalidad, esta cantidad es 1 La variable (aleatoria) R i representa la rentabilidad (futura) en cada activo El objetivo es encontrar los pesos x i que definen la inversión en cada activo Para maximizar la rentabilidad total (a un periodo vista) Y para minimizar el riesgo de la inversión

26 EJEMPLO 1: OPTIMIZACIÓN DE CARTERAS Modelo: Queremos resolver: Pero está bien definido ese problema? Versión bien definida: Pero es razonable?

27 EJEMPLO 1: OPTIMIZACIÓN DE CARTERAS Versión más razonable (modelo de Markowitz): donde S = Var(R) y γ coeficiente aversión al riesgo Este modelo permite el cálculo de la frontera eficiente (estrategias que, dada una rentabilidad, minimizan la varianza o riesgo) Es un problema cuadrático

28 EJEMPLO 1: OPTIMIZACIÓN DE Otro modelo razonable: CARTERAS donde VaR β es el Valor en Riesgo (percentil) correspondiente a un nivel dado 0 β 1 Es un problema no lineal y no convexo Cómo calcular la solución? Necesitamos algoritmos de optimización con restricciones

29 CASO CON RESTRICCIONES: CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Queremos buscar soluciones para: Usaremos las condiciones de optimalidad para obtener información adicional Condiciones de optimalidad r x f(x ) r x c(x ) = 0 estacionariedad c I (x ) 0yc E (x ) = 0 factibilidad c I (x ) T I = 0 complementariedad Diremos que un punto x* es estacionario si satisface estas condiciones para algún vector λ* I 0 signo de multiplicadores

30 CASO CON RESTRICCIONES: CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Las condiciones anteriores son necesarias, pero no suficientes Condiciones de optimalidad de primer orden (sin derivadas segundas) El vector λ se conoce como el vector de multiplicadores de Lagrange Parte de las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Condiciones de segundo orden: L(x, ) f(x) X j jc j (x) Z matriz con columnas que forman una base de {d : rĉ(x)d = 0} donde ĉ denota las restricciones activas, ĉ(x) = 0 Z T r 2 xxl(x, )Z 0

31 CASO CON RESTRICCIONES: CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Ejemplo: Comprobar que el punto (1,0) satisface las condiciones necesarias

32 CASO CON RESTRICCIONES: CONDICIONES DE OPTIMALIDAD El vector de multiplicadores λ* = (3/4,1/4,0,0) satisface