BOLETÍN REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO - 2ª PARTE

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1 BOLETÍN REPASO MATEMÁTICAS 3º ESO - ª PARTE Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Valor numérico de una expresión algebraica. Monomios enteros. Parte literal y coeficiente. Monomios semejantes Polinomios enteros. 1.- Operaciones con monomios y polinomios Suma y resta de monomios 1.. Suma y diferencia de polinomios 1.3. Multiplicación y división de monomios 1.. Producto de polinomios 1.5. Cociente de un monomio por un monomio 1.6. Cociente de un polinomio por un monomio 1.7. Cociente de un polinomio entre otro polinomio.- Potencias de polinomios. Igualdades notables POTENCIAS DE POLINOMIOS. IGUALDADES NOTABLES ( a + b ) = a + b. a + b = a + a b + b Cuadrado de un binomio suma ( )( ) ( a b ) = a b. a b = a a b + b Cuadrado de un binomio diferencia ( )( ) Binomio suma por binomio diferencia ( a + b ) ( a b ) = a b TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a. R = P(a) Ejemplos Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división: (x 3x + ) : (x 3) 1

2 P(3) = = = 56 Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini. RAÍCES DE UN POLINOMIO Las raíces de un polinomio P(x) son los valores que lo hacen cero, es decir, las soluciones de la ecuación P(x) = 0 Un polinomio de grado n tiene, como máximo n raíces reales. Si un polinomio tiene raíces enteras, estos son divisores del término independiente. Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores. Ejemplo: P(x) = x + x + 1 Raíces de un polinomio Ejemplo Calcular las raíces del polinomio: P(x) = x 5x + 6 P() = = = 0 P(3) = = = 0 x = y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x 5x + 6, porque P() = 0 y P(3) = 0. Cálculo de las raíces y factores de un polinomio Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta. Ejemplo Q(x) = x x 6 Los divisores del término independiente son: ±1, ±, ±3. Q(1) = Q( 1) = ( 1) ( 1) 6 0 Q() = 6 0 Q( ) = ( ) ( ) 6 = + 6 = 0 Q(3) = = = 0 Las raíces son: x = y x = 3. Q(x) = (x + ) (x 3)

3 FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios de menor grado, de forma que su producto sea el polinomio dado Sacar factor común Identidad notable? Grado del polinomio? o Si grado Ruffini(busco una raíz) Ejemplos Ecuación º grado( cuidado con a) ( x x )(. x ) ax + bx + c = a. x 1 x 3 + x = x (x + 1) x = (x + ) (x ) x 16 = (x + ) (x ) = (x + ) (x ) (x + ) Descomponer en factores y hallar las raíces Factorización de un polinomio de grado superior a dos Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras. Los pasos a seguir los veremos con el polinomio: P(x) = x + x 3 8x x + 6 Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±, ±3. Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta. P(1) = = = 0 Dividimos por Ruffini. 3

4 Por ser la división exacta, D = d c (x 1) (x 3 + 3x 5x 6 ) Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. P(1) = P( 1) = ( 1) ( 1) 5 ( 1) 6 = = 0 (x 1) (x + 1) (x +x 6) El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras. P( 1) = ( 1) + ( 1) 6 0 P() = P( ) = ( ) + ( ) 6 = 6 = 0 (x 1) (x + 1) (x + ) (x 3) Sacamos factor común en último binomio y encontramos una raíz racional. x 3 = (x 3/) La factorización del polinomio queda: P(x) = x + x 3 8x x + 6 = (x 1) (x +1) (x +) (x 3/) ECUACIONES 1.1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Para resolver ecuaciones de primer grado: 1. Quitar paréntesis. Quitar denominadores. Se puede hacer de dos maneras: Multiplicando la ecuación por el producto de los denominadores Multiplicando la ecuación por el m.c.m. de los denominadores

5 3. Suprimir de ambos miembros los términos iguales.. Pasar a un miembro los términos que contengan la incógnita, y al otro miembro los números. 5. Reducir los términos semejantes y operar. 6. Despejar la incógnita. 1.. Ecuaciones de segundo grado Una ecuación es de segundo grado con una incógnita si es equivalente a otra de la forma a x + b x + c = 0, con a 0 Ecuaciones del tipo: a x = 0 Se despeja la x y queda: x=0 Ecuaciones del tipo: a x + b x = 0 Se saca factor común a x, quedando: x (ax+b) = 0. Se iguala cada factor a cero, de forma que: x 1 = 0 ax+b = 0; x = -b/a Ecuaciones del tipo: a x +c = 0 Se despeja la x, de forma que: x = -c/a; x = ± (-c/a) Ecuación de segundo grado completa: La solución es: x = b ± b a c a 1.3. Ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar: ax + bx + c = 0 Para resolver ecuaciones bicuadradas, efectuamos el cambio x = t, x = t ; con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t: at + bt + c = 0 Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x: x = ± t. 1.. Ecuaciones de grado mayor que dos (no bicuadradas) Es una ecuación de cualquier grado escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes Ecuaciones irracionales Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita dentro de una raíz. Para resolverlas: 1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. 5

6 º Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3º Se resuelve la ecuación obtenida. º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. 5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos. SISTEMAS DE ECUACIONES Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas es encontrar los valores de las incógnitas que verifican ambas ecuaciones a la vez. Resolución por el método de sustitución: Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación Resolver la ecuación resultante Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada Resolución por el método de igualación: Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones Se igualan sus valores Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita que resulta Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las expresiones en las que está despejada Resolución por el método de reducción: Se multiplican las ecuaciones por los números que convenga para que los coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos Se suman las ecuaciones obtenidas Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita que resulta Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema 6

7 EJERCICIOS ª PARTE 1) Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = x x 3 + 3x 5 para x = 3 y para x = -1. P(x) = -xz 3 3y + para x = 1 ; z = -1 ; y =. ) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: ( x + 1).( x ) ( x + 3) para x = 0 y x = 3) Agrupa los monomios semejantes entre si : a) x b) 5t c) x 3 d) t e) 1/. x f) x g) 3/ t h) 7x 3 i) /3 x 3 j) 15x ) Señala el coeficiente y el grado de cada uno de los siguientes monomios y polinomios. a) M(x) = -5x b) M(x) = -x c) M(x) = -/3 x 5 d) M(x) = 3x + 5x + x 5 e) M(x) = x 3 7x + 3x 6 x 3 5) Efectúa las operaciones indicadas: a) 7x 3 y 3 x 3 y + 9 x 3 y = b) (3/)x 6 + (5/6)x 6 (/3)x 6 = 6) Efectúa las operaciones indicadas: 3x 5x + 6x 7 +x + x + 7) Dadas las expresiones monómicas M(x) = -3x ; N(x) = (/7) x 3 ; H(x) = -x 8 ;y Q(x) = 5x, calcula: a) M(x).Q(x) b) M(x).H(x) c) H(x).N(x) 8) Opera: 3 3 ( x x + 3) x 9) Realiza la siguiente multiplicación: 3 x 5 x 7 9 x 9 10) Dados los polinomios: P(x) = 3x 5x + 6x 7 ; Q(x) = x + x + ; R(x) = 3x 3 + 7x 5x 7 8 x Realiza: a) P(x) - Q(x) b) P(x) + Q(x) - R(x) c) P(x) + R(x) 11) Realiza las siguientes operaciones con polinomios 3 1 x. [ x ( x 3)(. x + ) ] + x x (3 x - 7). (3 x x + 3) (3 x 3 6 x 3 x + 8) 1) Opera: a) (a-b) (a+c) - [ a ( b -c)] = b) (x+5).(x-) (x x + 1) + x.(-x+) = c) (x+3) x.(5x + x -8) 1 = 13) Resuelve: 5 x 6 x = = ( 3y + )(. 3y ) = 1) Realiza las siguientes operaciones: (3/.x 3/) (x /3) + x.(x / 1) 15) Efectúa la siguiente división: 1 x 5 7 : x y a) = b) (15x 5 + 5x 3 5x ) : 5x = 16) Realiza las siguientes divisiones: y ( x 6 x 3 + x + 3 x - ) : ( x + x + 1 ) (x + 3x 5x + 3) : (x -x+) 17) P(x)=6x + 5x 3-7x + 3x + y Q(x) = x + 3x - l. Calcula P(x) : Q(x) 18) Realiza la siguiente división de manera ordinaria y utilizando Ruffini ( 3 x 5 + x + 1) : (x + 1) 19) Realiza el siguiente cociente por Ruffini: (3x 3 +x -5) : (x-) 7

8 0) P(x)=5x - 3x - y Q(x) = x+1 Es divisible el polinomio P(x) entre Q(x)? Por qué? 1) Cuál es el resto? (x - 5x + ): (x + ). Haz la división. Sabes otra forma de averiguarlo? ) Factoriza: a) x - x b) x 3 +x + x c) x 3 3x 3) Factoriza los siguientes trinomios: a) X 5x + 6 b) X + 3x + c) x + x 8 d) 3x + 1x + 6 ) Factoriza los siguientes polinomios. a) X 3 x b) X 3 + x + x + 1 c) X 3 + 3x 3 x 1 d) 6x 3 + 7x 9x + 5) Resuelve las siguientes ecuaciones: a). [ x + 3. ( x + 1) ] = 5x ( x + 3). ( 3x) = 8x 1. ( x + 3) 3. b) 3x + 3 3x 1 x + 3 c) = x x x 7 d) = e) 5 g) ( x + 1) ( x + )( x 3) + x h) (x-3) -.(x+) = 5 ( x + 3) ( x + 1) = 1 ( x + 3) 6) Resuelve las siguientes ecuaciones: x x = 0 x = 0 9 x = 5 a)7x b) x 5 c)3x d) e) 1x = 0 6 = 0 ( x + ) ( x 1) = 8x x. ( x 3) x(x ( 3x ) + x = x x + 1 f). = 8 g) (x-1).(x-) 1 = 0 h) (x+3)(x-) = x -6 = x 1 1 7) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 3 3x -10x = 0 b) x 3 x -x = 0 8) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 7x 3 + 6x = 0 b) 36x 1x = 0 c) x 10x = 0 d) x + 5x 3 +x = 0 e) 36x 1x = 0 9) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 3-5x - x + 6 = 0 b) x 3 9 = 9x x c) x 1 = x. (1 x ) 30) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + = 3 x 1 b) x + 5 = 5 x c) 1 x + 15 = 7 31) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 5x + = 0 b) (x 1) = x 1 c) x -5x +1 = 0 d) x + 3x + = 0 8

9 Sistemas de ecuaciones 3)Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: 5 x 3 y = 50 x + y = 3 X + 5 y = 7 3 x 5 y = 1 ( 5) 3 x 3 x y x y = ( y ) 10 = y 1 33)Resuelve los siguientes sistemas: x - 7 = 0 x - y = 0 x + y = y = x + 16 x-y = 0 x y = 9 x + y = 5 x y = ( x 1) + 3. ( y + ) =. ( 3x + y) x y = 3 3 0,x 1,7 y = 6,1 1,3x + 0,8 y = 3,75 ( x + ) 5. ( y + 1) 5 + 3y x + = 5 = Encuentra dos números cuya suma sea 37 y cuya diferencia es 13.. Tres kilos de naranjas y dos kilos de tomates cuestan 6,57 euros; sin embargo dos kilos de naranjas y tres kilos de tomates cuestan 7 euros. Cuánto cuesta el kilo de naranjas?. Y el de tomates? 3. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Dispone en total de 50 habitaciones y 87 camas. Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?. Un librero vende 8 libros a dos precios distintos: unos a,50 euros y otros a 3,60 euros, obteniendo de las ventas 310, 50 euros. Cuántos libros vendió de cada clase? 9