Campo gravitatorio. 1. A partir de los siguientes datos del Sistema Solar: Periodo orbital (años)

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1 Campo gravitatorio 1 Campo gravitatorio Planeta 1. A partir de los siguientes datos del Sistema Solar: Distancia al Sol (U.A.) Periodo orbital (años) R Planeta /R T M Planeta /M T Venus 0,723 0,6152 0,949 0,815 Tierra 1,00 1,000 1,000 1,000 Marte 1,52 1,881 0,532 0,107 Saturno 9,54 29,45 9,45 95 Neptuno 30,1 164,8 3,88 17 Calcular el valor de la constante de la tercera ley de Kepler para Marte, Saturno y Neptuno. Resp.: a) K M = 1,01 años 2 /U.A. 3 ; K S = 0,999 años 2 /U.A. 3 ; K N = 0,996 años 2 /U.A Sabiendo que el planeta Venus tarda 224,7 días en dar una vuelta completa alrededor del Sol y que la distancia de Neptuno al Sol es 4, km así como que la Tierra invierte 365,256 días en dar una vuelta completa alrededor del Sol y que su distancia a éste es 1, km. Calcular: a) Distancia de Venus al Sol. b) Duración de una revolución completa de Neptuno alrededor del Sol. c) Velocidad orbital de Neptuno alrededor del Sol. Resp.: a) 1, m. b) 165 años. c) 5430 m/s. 3. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra, a una altura de sobre la superficie terrestre de 3185 km. Calcula: a) La velocidad del satélite en la órbita. b) Periodo de revolución. Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 6641 m/s. b) 9287 s. 4. Con datos del ejercicio 1 y sabiendo que 1 UA = 1, m, calcula la masa del Sol. Resp.: 1, kg 5. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una distancia de 300 km de la superficie. Calcula: a) La velocidad orbital del satélite. b) Tiempo (en minutos) que tarda el satélite en completar una vuelta alrededor de la Tierra. Datos: R T = 6, m. g 0 = 9,8 m/s 2. Resp.: a) 7721 m/s. b) 90,4 min. 6. Con datos del ejercicio 1 y sabiendo que G = 6, N m 2 kg -2 y que la gravedad en la superficie de la Tierra es 9,8 m/s 2, calcula la aceleración de la gravedad en la superficie de Venus. Resp.: 8,9 m/s Los NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration) son una familia de satélites que orbitan alrededor de la Tierra pasando por los polos con un periodo de 5 horas. Calcula: a) Altura a la que se encuentran sobre la Tierra. b) Velocidad orbital. Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 8, m. b) 5180 m/s. 8. Se desea poner en órbita un satélite geoestacionario de 25 kg. Calcula: a) El radio de la órbita. b) Las energías cinética, potencial y total del satélite en la órbita. Datos: R T = 6400 km. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 4, m. b) Ec = 1, J; Ep = - 2, J; Em = - 1, J.

2 Campo gravitatorio 2 9. Un satélite artificial de 1000 kg orbita alrededor de la Tierra con un periodo de 90 min. Calcula: a) Altura a la que se encuentra sobre la Tierra. b) Energía total del satélite. Datos: R T = 6400 km. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 249 km. b) Em = J. 10. (Junio 2006). La distancia Tierra-Luna es de 60 radios terrestres. Calcula: a) Velocidad lineal de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra. b) Periodo de rotación. Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 1019 m/s. b) 27,4 días 11. (Junio 2006). Un satélite artificial de 100 kg describe órbitas circulares a una altura de 6000 km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) El tiempo que tarda en dar una vuelta completa. b) El peso del satélite en la órbita. Datos: R T = 6, m. g 0 = 9,8 m/s 2. Resp.: a) s. b) 261 N. 12. (Junio 2005). Un satélite artificial de 64,5 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio R = 2,32 R T. Calcula: a) El periodo de rotación del satélite. b) El peso del satélite en la órbita. Datos: R T = 6, m. g 0 = 9,8 m/s 2. Resp.: a) s. b) 117,4 N. 13. (Junio 2003). Un satélite artificial de 300 kg orbita alrededor de la Tierra en una órbita circular de km de radio. Calcula: a) La velocidad orbital del satélite. b) Energía total del satélite. Datos: R T = 6, m. g 0 = 9,8 m/s 2. Resp.: a) 3310 m/s. b) Em = - 1, J. 14. (Septiembre 2002). Un astronauta de 75 kg gira alrededor de la Tierra (dentro de un satélite artificial) en una órbita situada a km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad orbital y el periodo de rotación. b) Peso del astronauta en la órbita. Datos: R T = 6, m. g 0 = 9,8 m/s 2. Resp.: a) 4947 m/s; s b) 1250 N. 15. El satélite PLANCK forma parte de la primera misión europea dedicada al estudio del origen del Universo. El satélite, con una masa de 1800 kg, fue lanzado en Abril de 2009 para situarse en una órbita a 1,5 millones de kilómetros del centro de la Tierra. Suponiendo que la órbita que describe es circular, calcula: a) La velocidad orbital del satélite y el tiempo, en días, que tardará en dar una vuelta alrededor de la Tierra. b) La energía cinética, potencial y mecánica del satélite en la órbita. c) La velocidad con la que llegaría a la Tierra, si por alguna circunstancia el satélite pierde su velocidad orbital. Suponer nula la fricción al entrar en contacto con la atmósfera. Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 516 m/s; 211 días. b) Ec = 2, J; Ep = - 4, J; Em = - 2, J. c) 1, m/s. 16. Un satélite de masa 200 kg se sitúa en una órbita circular sobre el ecuador terrestre, de tal forma que se ajusta el radio da órbita para que dé una vuelta a la Tierra cada 24 horas. Así se consigue que siempre se encuentre sobre el mismo punto respecto a la Tierra (satélite geoestacionario). a) Cuál debe ser el radio de su órbita? b) Cuánta energía se precisa para situarlo en la órbita? c) Cuál es la velocidad que se le debería comunicar desde la Tierra para que escape de la atracción gravitatoria? Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 4, m. b) 1, J. c) Ver apuntes.

3 Campo gravitatorio (Septiembre 2008). Los satélites Meteosat son satélites de 800 kg geoestacionarios (situados sobre el ecuador terrestre y con periodo orbital de un día). Calcula: a) La altura a la que se encuentran sobre la superficie terrestre. b) La fuerza ejercida sobre el satélite. c) La energía mecánica. Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 3, m. b) 179 N. c) Em = - 3, J. 18. El conjunto de satélites GPS describen órbitas circulares alrededor de la Tierra permitiendo que podamos determinar la posición donde nos encontramos con una gran precisión. Todos los satélites GPS están a la misma altura y dan dos vueltas a la Tierra cada 24 horas. La masa de cada satélite es de 150 kg. Calcular: a) La altura de su órbita sobre la superficie terrestre y la velocidad angular de cada satélite. b) La energía mecánica y la velocidad lineal que tiene cada satélite en su órbita. c) La nueva velocidad y el tiempo que tardaría en dar una vuelta a la Tierra si lo hacemos orbitar al doble de altura. Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 2, m; 1, rad/s. b) - 1, J; 3860 m/s. c) 2920 m/s; 28 h. 19. La NASA lanzó en 2010 un satélite geoestacionario (que gira con la misma velocidad angular que a Tierra), el GOES-P (Geostationary Operational Environmental Satellite), que suministrará diariamente información de tipo meteorológico e informará sobre las actividades solares que pueden afectar al ambiente terrestre. GOES-P tiene una masa de 3, kg y describe una órbita circular de 4, m de radio. Con estos datos: a) Calcula la velocidad areolar del satélite. b) Suponiendo que el satélite describe su órbita en el plano ecuatorial de la Tierra, determinar el módulo del momento angular respecto a los polos de la Tierra. c) Indica los valores de la energía cinética y potencial del satélite en la órbita. Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Periodo de rotación terrestre = 24 h. Resp.: a) 6, m 2 /s. b) 4, kg m 2 s -1. c) Ec = 1, J; Ep = - 2, J. 20. A 760 km de la superficie terrestre orbita, desde 2009, el satélite francoespañol SMOS (Soil Moisture and Ocean Salinity), que forma parte de una misión de la Agencia Espacial Europea (ESA) para recoger información sobre el planeta. La masa del satélite es de 683 kg. a) Calcular la energía cinética del satélite y su energía mecánica total. b) Calcular el módulo del momento angular del satélite con respecto al centro de la Tierra. c) Justificar por qué la velocidad areolar del satélite permanece constante. Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) Ec = 1, J; Em = - 1, J. b) 3, kg m 2 s -1. c) Ver apuntes. 21. Sabiendo que el período de revolución lunar es de 27,32 días y que el radio de la órbita de la Luna es 3, m, calcular: a) La constante de gravitación universal, G. b) Las energías cinética y potencial de la Luna con respecto de la Tierra. c) Si un satélite se sitúa entre la Tierra y la Luna a una distancia del centro de la Tierra de 5 R L. Cuál es la relación entre las fuerzas que ejercen la Tierra y la Luna sobre él? Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. R L = 1, m. M L = 7, kg. Resp.: a) G = 6, N m 2 kg -2. b) Ec = 3, J; Ep = - 7, J. b) F T /F L = 1, N. 22. Fobos es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 9380 km de radio, respecto al centro del planeta, con un periodo de revolución de 7,65 horas. Otro satélite de Marte, Deimos, gira en una órbita de km de radio. Determine: a) La masa de Marte y el período de revolución del satélite Deimos. b) La energía mecánica del satélite Deimos. c) El módulo del momento angular de Deimos respecto al centro de Marte. Datos: G = 6, N m 2 kg -2. M Deimos = 2, kg. Resp.: a) 6, kg; 30, 3 h. b) - 2, J. c) 7, kg m 2 s

4 Campo gravitatorio Un cometa de masa kg se acerca al Sol desde un punto muy alejado del sistema solar, pudiéndose considerar que su velocidad es prácticamente nula. Calcular: a) La velocidad en el perihelio (situado a una distancia de 10 8 km del Sol b) La energía potencial cuando cruce la órbita de la Tierra (a una distancia de 1, km). c) El valor del módulo del momento angular en el perihelio de la órbita.. Datos: M Sol = kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 5, m/s. b) - 8, J. c) 5, kg m 2 s 24. Un cuerpo de masa 1000 kg gira a 200 km por encima de la superficie terrestre. a) Cuál es la aceleración de la gravedad a esa altura? b) Cuál es el valor del potencial gravitatorio a esa altura? c) Cuál es el valor de la energía total? Datos: R T = 6, m. g 0 = 9,8 m/s 2. Resp.: a) 9,22 m/s 2. b) 6, J/kg. c) 3, J. 25. En un planeta esférico con la misma densidad media que la Tierra y con un radio que es la mitad del terrestre: a) Cuál é la aceleración de la gravedad en la superficie? b) Cuál sería el período de un satélite que se mueva en una órbita circular a una altura de 400 km respecto de la superficie del planeta? c) Cómo sería a variación de su campo gravitatorio con la profundidad? Datos: R T = 6, m. g 0 = 9,8 m/s 2. Resp.: a) 4,9 m/s 2. b) 4,36 horas. c) Si el radio de la Luna es una cuarta parte del de la Tierra, calcula: a) La masa de la Luna. b) El radio de la órbita alrededor de la Tierra. c) La velocidad orbital de la Luna. Datos: g ol = 1,7 m/s 2 ; g ot = 9,8 m/s 2, R T = 6, m. M T = 5, kg. Período de la Luna alrededor de la Tierra = 2, s. Resp.: a) 6, kg. b) 3, m. c) 1020 m/s. 27. Una masa de 8 kg está situada en el origen de coordenadas. Calcular: a) La intensidad y el potencial del campo gravitatorio en el punto (3,2) (S.I). b) La fuerza con que atraería a una masa de 2 kg. c) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al trasladar la masa de 2 kg desde el infinito hasta el punto (3,2). Dato: G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) -3, i r -2, j r N/kg. b) -1, J/Kg. b) -6, i r - 4, j r N. c) 2, J. 28. Dos partículas de masas M 1 y M 2 = 9 M 1 están separadas por 3 m. En un punto P, situado entre ellas, el campo gravitatorio total creado por ellas es nulo. Calcula: la distancia entre P y M 1. b) El valor del potencial gravitatorio en el punto P en función de M 1. Dato: G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 0,75. b) - 3, M 1 J/Kg. 29. Un objeto de masa m 1 está situado en el origen de coordenadas. Un segundo objeto, de masa m 2, está en el punto (5, 0) m. Considerando únicamente la interacción gravitatoria y suponiendo que son masas puntuales, calcula: a) La relación entre las masas m 1 /m 2 si el campo gravitatorio en el punto (2, 0) m es nulo. b) Módulo, dirección y sentido del momento angular de la masa m 2 con respecto del origen de coordenadas si m 2 = 100 kg y su velocidad es (0, 100) m/s. c) El valor del potencial gravitatorio en el punto (2, 2). Dato: G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) m 1 /m 2 = 4/9. b) k r kg m 2 /s. c) - 2, J/Kg.. c) -2, J/kg. 30. (Septiembre 2008). Dos masas de 50 kg están situadas en A (-30,0) y B (30,0) (m). Calcula: a) El campo gravitatorio en P (0,40) y D (0,0). b) El potencial en D. Dato: G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) g r P = -2,13 10 r -12 j N/kg; g r D = 0. b) 2, J/kg.

5 Campo gravitatorio Una masa m (1000 kg) se mueve en el seno de un campo gravitatorio creado por dos masas iguales, m 1 = m 2 = 1, kg, situadas en los puntos (-4, 0) e (4, 0) (S.I.). Cando m se encuentra en el punto P (0, 5) m tiene una velocidad de 200 r j m/s. Calcular: a) Vector campo gravitatorio en P. b) Fuerza que ejercen m 1 y m 2 sobre m en P. c) Velocidad de m cuando pasa por el origen de coordenadas. Dato: G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 2,54 10 r -11 j N/kg. b)... c) m/s. 32. En tres de los cuatro vértices de un cuadrado de 10 m de lado se colocan masas de 10 kg en cada uno de ellos. Calcular: a) El campo gravitatorio en el cuarto vértice do cuadrado. b) El potencial gravitatorio en el punto anterior c) El trabajo realizado por el campo para llevar una masa de 10 kg desde dicho vértice hasta el centro del cuadrado. Dato: G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) -9, i r -9,03 10 r -12 j N/kg (para el vértice (10,10)). b) -1, J/kg. c) 1, J. 33. Se sitúan cuatro masas puntuales idénticas, de 5 kg en los vértices de un cuadrado de lado 1 m. Calcular: a) El campo gravitatorio creado por las cuatro masas en: i) El centro de cada lado del cuadrado. ii) El centro del cuadrado. b) El trabajo necesario para llevar la unidad de masa desde el centro del cuadrado hasta un punto donde no existiese atracción gravitatoria. Explica el significado físico de este resultado. Dato: G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) i) - 4, i r N/kg (el vector unitario depende del lado considerado). ii) 0. b) -1, J (el trabajo es realizado por fuerzas externas al campo). 34. Dos masas puntuales, m 1 = 4 kg y m 2 = 4 kg, están situadas en los puntos (- 8,0) e (8,0). Calcula: a) El vector campo gravitatorio en el punto A (0,-6). b) La fuerza que experimentaría una masa m 3 = 5 kg situada en A debido a la presencia de las otras dos masas (m 1 e m 2 ). c) Los potenciales gravitatorios en los puntos A (0, -6) e B (0,0). d) Trabajo hecho por la fuerza gravitatoria para llevar una masa m 3 = 5 kg desde A hasta B. Este trabajo es realizado por el campo de forma espontánea? Las coordenadas vienen expresadas en metros. e) La velocidad de la masa m 3 en B si parte de A con velocidad nula. 35. En 2012, la Universidad de Vigo y el Instituto Nacional de Técnica Aeroespacial, en colaboración con la ESA (Agencia Espacial Europea) pusieron en órbita el primer satélite galego, o XATCOBEO, para fines educativos. Este satélite, con una masa de aproximadamente 1 kg, orbita a una altura máxima (apogeo) de 1500 km de la superficie terrestre, y a una mínima (perigeo) de 300 km. Determina: a) La velocidad media orbital, suponiendo que el radio medio orbital es la semisuma del perigeo e apogeo. b) La energía mecánica del satélite en el apogeo. c) Justificar cómo variará la velocidad areolar en su recorrido orbital. Datos: R T = 6, m. M T = 5, kg. G = 6, N m 2 kg -2. Resp.: a) 7407 m/s. b) Em = - 2, J. c) Ver apuntes.