ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. 1. a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función

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1 ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA CMS05. a) Halla los valors d los coficints b, c y d para qu la gráfica d la función y b c d cort al j OY n l punto (0, ), pas por l punto (, ) y, n s punto, tnga tangnt paralla al j OX. b) Una vz allados sos valors, alla los máimos y mínimos rlativos y los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la citada función. a) y b c d y b c y 6 b Por pasar por (0, ) = d Por pasar por (, ) = 8 + b + c + d Por tangnt orizontal n =, y () = 0: 0 = + b + c Rsolvindo l sistma formado por las trs cuacions s obtin: b = 5, c = 8, d = 5 La función s y 8 b) Volvindo a drivar: y 0 8; y 6 0 La drivada primra s anula n = / y n =. Si < /, y > 0 la función crc. Si / < <, y < 0 la función dcrc. En conscuncia, n = / s tndrá un máimo. (También pud vrs qu y (/) < 0.) Si >, y > 0 la función crc. En conscuncia, n = s tndrá un mínimo. (También pud vrs qu y () > 0.)

2 ARS06. Sa f: R R una función polinómica d grado mnor o igual a trs qu tin un mínimo rlativo n (0, 0) y un máimo rlativo n (, ). Calcular la prsión d dica función. (.5 puntos) Si f ( ) a b c d s tin: f ( ) a b c f ( ) 6a b Por pasar por (0, 0), f(0) = 0 0 = d Por pasar por (, ), f() = = 8a +b + c + d Por mínimo n (0, 0), f (0) = 0 0 = c Por máimo n (, ), f () = 0 0 = a + b + c Por tanto: d = 0; c = 0; a = /; b = / La función s: f ( ) ARJ06 b. Calcular los valors d a y b para qu la función f ( ) tnga como asíntota vrtical a la rcta = y como asíntota orizontal la rcta y =. Razonar si para a = y b = la función f () tin algún mínimo rlativo. b Para qu la rcta = sa asíntota vrtical d f() s ncsario qu lím. a b b Como lím a 0 a =. a a b Para qu la rcta y = sa asíntota orizontal d f() s ncsario qu lím. a b Como lím b b =. a Para a = y b = la función f ( ). ( ) 6 Lugo f ( ) ( ) ( ) Como la drivada no s anula n ningún caso, la función no pud tnr mínimos rlativos (ni máimos).

3 ANJ06. Dtrmina un punto d la curva máima. y n l qu la pndint d la rcta tangnt sa La pndint d la tangnt s máima n las solucions d y 0 (qu son los puntos d inflión) y qu, admás, vrifican qu y 0. Hacindo las drivadas s tin: y y y ( ) ( ) y ( 6 ( ) ( )( ) ) ( 6 ) ( 6 )( ) ( 6 8 ) y ( 6 ) 0 6 ( ) = 0; y ( 0) 6; y ( / ) ( 6 6 8) / 0 El punto buscado s (0, 0). CLS06 5. Eistn máimo y mínimo absolutos d la función f ( ) cos( ) n l intrvalo [0, ]? Justifíqus su istncia y calcúlns. Drivando: f ( ) sn ; f ( ) cos f ( ) sn = 0 = 0 o f ( 0) ; f ( ) Por tanto, la función tin un máimo n = 0 y un mínimo n =. Sus valors son: máimo: f ( 0) cos(0) ; mínimo: f ( ) cos( ) 0. Ambos son absolutos, pus cos.

4 IBJ06 6. Dmostrad qu la curva d cuación y no tin ningún punto d inflión ( puntos). Buscad la cuación d la rcta tangnt a la curva n l punto ( 0, y 0 ) dond 0 s l valor d qu ac mínima y. (7 puntos). Hacmos las drivadas sucsivas: y y y 6 ) y 6 y Los puntos d inflión s dan n las solucions d la cuación y = 0. Como y 6 0 no tin solucions rals, la curva no tin ningún punto d inflión. (En fcto: no s ral.) La función y s ac mínima (o máima) n la solución d y 6 = 0, qu s ) Efctivamnt s mínimo pus y > 0. La cuación d la tangnt s: 05 5 y f ( / ) f (/ )( / ) y 56 8 : 05 f ( / ) ; 56 f ( / ) 5 8

5 5 CTJ06 7. Considra la función f ( ) a b c 7 a) Calcula c sabindo qu su rcta tangnt n l punto d abscisa = 0 s orizontal. b) Para l valor d c allado n l apartado antrior, calcula a y b sabindo qu sta función tin un trmo rlativo n l punto d abscisa = y qu corta al j OX cuando =. c) Para los valors obtnidos n los otros apartados, calcula los intrvalos dond la función crc y dcrc, sus trmos rlativos y az una rprsntación gráfica aproimada. Hacmos la drivada primra y sgunda: f ( ) a b c 7 f ( ) a b c f ( ) 6a b a) Si la rcta tangnt n = 0 s orizontal ntoncs f ( 0) 0. Como f ( 0) c c = 0. La función srá f ( ) a b 7 b) Si la función tin un trmo rlativo n =, ntoncs f ( ) 0. Si corta al j OX n =, ntoncs f ( ) 0. En conscuncia: f ( ) a b 0 a b 8 f ( ) a b 7 0 a b 8 Rsolvindo l sistma s obtin: a = 0; b = 8. c) La función srá f ( ) 8 7 f ( ) 6 f ( ) 6 f ( ) 6 0 ( ) 0 = 0; = ; =. Estos puntos son posibls máimos o mínimos. Para: <, f ( ) 0 la función dcrc; < < 0, f ( ) 0 la función crc; 0 < <, f ( ) 0 la función dcrc; >, f ( ) 0 la función crc Como: f ( ) 0, n = ay un mínimo;

6 6 f ( 0) 6 0, n = 0 ay un máimo; f ( ) 0, n = ay un mínimo. Dando algunos valors podmos trazar su gráfica. Puntos: (, 9); (, 0); (0, 7); (, 0); (, 9). Admás la curva corta a los js n las solucions d 8 7 0, qu son 7 y = ±. Por tanto, la curva s la siguint. CTS06 8. Sa f: R R la función dfinida por f ( ) ( a b), dond a y b son númros rals. a) Calcula los valors d a y b para qu la función tnga un trmo rlativo n l punto (, ). b) Para los valors d a y b obtnidos, dígas qu tipo d trmo tin la función n l punto mncionado. a) Qu la función tnga un trmo rlativo n l punto (, ) significa:.º f ( ).º f ( ) 0. Como f ( ) f (a b) a b ( ) ( a b) a (a b) a 0 a b 0 S tin l sistma: a b a b 0 a =, b = b) La función s f ( ) ( ), y sus drivadas primra y sgunda: f ( ) ( ) ( ) ; f ( ) ( ) ( ) Es vidnt qu f ( ) 0, por tanto n s punto s tin un trmo. Como f () 0, s trata d un máimo.

7 7 NAS05 9. Halla los máimos y mínimos rlativos d las siguints funcions dfinidas n l intrvalo [0, ]. Dibuja sus gráficas a partir d sos datos y d los corts con los js. f ( ) sn 0 g( ) sn 0 Db rcordars qu la función f ( ) sn( n) s priódica d priodo n/. Las funcions dadas son priódicas d priodo 8 y, rspctivamnt. / / f ( ) sn corta al j OX cuando = 0 y =. Al j OY a la altura y = 0. g( ) sn corta al j OX cuando = 0, = y =. Al j OY a la altura y = 0. Los posibls máimos y mínimos d la función s prsntan n los puntos qu anulan la drivada primra. f ( ) sn f ( ) cos 0 = Como f ( ) sn s ngativa n =, para s valor s obtin un máimo. 8 g( ) sn g ( ) cos 0 = y =. Como g ( ) sn s ngativa n = y postiva n =, para = s tin un máimo, y para =, un mínimo. Un sbozo d ambas gráficas s l siguint.

8 8 CVJ0 0. Encontrar razonadamnt l punto d la curva y n l qu la rcta tangnt a la curva tin pndint máima y calcular l valor d sta pndint. (, puntos). El punto n l qu la curva tin rcta tangnt con pndint máima (o mínima) s un punto d inflión d la curva. (En fcto: la pndint d la rcta tangnt a f() n un punto gnérico vin dada por l valor d f (); para vitar confusions scribirmos g( ) f ( ). El máimo d g() s obtin n las solucions d la cuación g () = 0 qu acn ngativa a la función g (). Por tanto n las solucions d g ( ) f ( ) 0, qu dan los posibls puntos d inflión d f().) Calculamos las trs primras drivadas d la función: y y ( ) 6 y ( ) y ( ) La drivada sgunda s anula n y n Como y ( / ) 0 y y ( / ) 0 la curva tin rcta tangnt con pndint máima n l punto. / El valor d sa pndint s y ( / ) ( / ) 9 8

9 9 CLS0. Sa f la función dada por f ( ), R. a) Estúdis la drivabilidad d f n = 0 mdiant la dfinición d drivada. b) Dtrmínns los intrvalos d monotonía d f y sus trmos rlativos. c) Esbócs la gráfica d f., 0 a) Como, la función dada pud dfinirs así:, 0, 0 f ( ), 0 Esta función stá dfinida simpr y s continua para todo valor d, incluido l 0, pus tanto por la izquirda como por la drca d = 0, f(). Para vr la drivabilidad n = 0 studiamos las drivadas latrals. Por la izquirda: f (0 Por la drca: ) lím 0 f ( ) f (0) lím 0 ( ) lím 0 f ( ) f (0) ( ) f (0 ) lím lím lím Como las drivadas latrals no coincidn, la función no s drivabl n = 0. b) Salvo n = 0, la drivada d la función s:, 0 f ( ), 0 Esta drivada s anula n los puntos = / y = /, por tanto s tin: si < /, f () < 0 f () s dcrcint si / < < 0, f () > 0 f () s crcint La función tin un mínimo n = / si 0 < < /, f () < 0 f () s dcrcint. (La función tin un máimo n = 0) si > /, f () > 0 f () s crcint La función tin un mínimo n = / c) La gráfica d la función vin dada por dos trozos d parábolas, f ( ) asta = 0 y f ( ), dsd = 0. S obtin la siguint figura.

10 0 NAJ06. Dada la función f ( ) dmustra qu istn, (, ) tals qu f ( ) 0 y f ( ). Di qué torma utilizas. La función dada s continua n l intrvalo [, ]. Admás cumpl qu: f ( ) 0; f ( ) 0 Por tanto, por l torma d Bolzano, ist un punto (, 0) tal qu f ( ) 0. Hacmos f () : f ( ) (ln ) ln Esta función también s continua n l intrvalo [, ]. Admás: f ( ) (ln ) ln ( ln ) ; f ( ) (ln ) ln 5 Por tanto, por l torma d los valors intrmdios, la función f () toma todos los valors comprndido ntr f ( ) y f (). Lugo istirá un valor (, 0) tal qu f ( ). CNJ06. El consumo d un barco navgando a una vlocidad d nudos (millas/ora) vin 50 dada por la prsión C( ). Calcular la vlocidad más conómica y l 60 cost quivalnt. El consumo s mínimo n las solucions d C () = 0 qu acn positiva a C () C( ) C ( ) C ( ) C ( ) / Como C ( 5 / ) > 0, para s valor s obtin l mínimo consumo Por tanto, la vlocidad más conómica s d 5 /,8 nudos. / El cost quivalnt srá: C ( 5 / ) 8,5 u.m. / / 60 5