1. Escribir las ecuaciones paramétricas, reducida y continua de la recta que pasa por los puntos A(2,3,5) y B(-1,0,2).

Transcripción

1 1. Escribir las ecuaciones paramétricas, reducida y continua de la recta que pasa por los puntos A(,3,5) y B(-1,0,).. Dados los puntos A(,3,-1) y B(-4,1,-), hallar las coordenadas de un punto C perteneciente al plano XZ, de forma que los tres puntos A, B y C no formen un triángulo. 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (,-1,1) y es paralela a la recta que determinan los planos x + y - z + = 0 y x - 3y - z = Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento de extremos A(,1,0) y B(-1,4,5) y es paralela a la recta y = x + 1 z = -3x Hallar la ecuación del plano que corta a los tres ejes de coordenadas a una distancia k del origen. Hallar el valor de k para que ese plano sea x + y + z + = Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto y recta: 1. A(-1,4,) ; r x = -z + y = z + 1. A(3,-,-1) ; r x + y + z - 1 = 0 x + y - z + 7 = 0 7. Hallar la ecuación general del plano que contiene a las rectas r y = x - 3 z = -x + y s x-1 3 = z-1 5 y = Sea π un plano que pasa por P(1,,1) y corta a los semiejes coordenados positivos en los puntos A, B y C. Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero, hallar la ecuación de π. 9. Dadas la rectas r x-3 = y+1 = -z y s x+y-1 = 0 x-y+z = 0, a) Hallar la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r. b) Ecuación del plano que contiene a r y pasa por el origen. 10. Sean los puntos A(0,3,-) y B(1,5,0). Hallar la ecuación del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A. 11. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(0,,0) y B(1,0,1) y es perpendicular al plano x-y-z = Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,0,-1), es perpendicular al plano x - y + z + 1 = 0 y es paralelo a x-y = 0 la recta z = Hallar a y b para que el plano ax + by + 3z = 1 pase por el punto (,0,-1) y sea paralelo a la recta que pasa por los puntos (0,0,1) y (1,,4). 14. Los puntos A(3,3,5) y B(3,3,) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C consecutivo de B está en la recta de ecuaciones x = y-6-1 = z+1. (a) Determinar el vértice C. (b) Determinar el vértice D. 15. A(1,3,) y B(,5,1) son dos vértices de un triángulo que tiene su tercer vértice situado en un punto arbitrario (variable) de la recta r x- = y-4 4 = z-3. Calcular el área de los diferentes triángulos formados por A, B y el - tercer vértice en r. El valor de dicha área depende de donde se sitúe el tercer vértice? x = El vértice A de un triángulo rectángulo pertenece a la recta r y la hipotenusa tiene por extremos y + z + 1 = 0 B(,1,-1) y C(0,-1,3). Calcular el vértice A, el área y los ángulos agudos del triángulo ABC. Página 1 de 6

2 17. Hallar el lugar geométrico de los puntos desde los que se ven los puntos A(5,3,4) y B(7,1,) bajo un ángulo recto. Qué figura es dicho lugar? 18. Calcular los valores de m y n para que la recta y = x - 3 z = -x + 4 esté contenida en el plano π: nx+my-z- = Sea π el plano de ecuación π 3x-y-6z = 1 y sea r la recta dada en forma paramétrica por r (x,y,z) = (1,0,1) + λ(,-1,1) ( λ R). (1) Cómo se define la relación de paralelismo entre una recta y un plano? () En el caso concreto de la recta r y el plano π, cómo averiguarías si son paralelos? Comprueba si lo son. (3) Cómo se define la relación de perpendicularidad entre una recta y un plano? (4) En el caso concreto de la recta r y el plano π, cómo averiguarías si son perpendiculares? Comprueba si lo son. 0. Hallar los puntos en los que la recta r x=-+ t y= 1-3t z= - t corta a cada uno de los tres planos coordenados. 1. Estudia según los valores de λ la posición de los planos: x + (λ+1)y + z = 0, x + y + (λ+1)z = 0 y (λ+1)x + y + z = 0.. Estudiar, según los distintos valores de a, la posición relativa de los planos dados por las ecuaciones: x+y+z = a, x + ay + 3z = 0 y x + (a+1)y + 4z = a. ax+aby+(1-a)z=b 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales x+ by+ z=, se pide: ax + ay + (1-a)z = b a) Demostrar que si a = 0, dicho sistema representa una recta y hallar su ecuación. b) Para qué valores de a y b representan un plano? 4. Dados los planos π 1 : x-y-z = 0, π : x+y+z = 5 y π 3 : 4x-5y+kz = -10: a) Estudiar su posición según los valores del parámetro k. b) Hallar, cuando sea posible, y en función del parámetro k, las coordenadas del punto de intersección. 5. Dados los planos de ecuaciones: π 1 : x + z = 3, π : 3x+y+z = -1, π 3 : y-z = - y π 4 : x-y+λz = -5, determinar el valor de λ para el que los cuatro planos tienen un solo punto en común y calcular dicho punto. 6. Calcular a sabiendo que los planos ax+y-7z = -5 y x+y+a z = 8 se cortan en una recta que pasa por el punto A(0,,1) pero no pasa por el punto B(6,-3,). 7. Hallar el valor de m para que sean coplanarias las rectas: 1. r y = x + 3 z = 3x - 1 ; s x-1 = y -1 = z m. r x = -1 y = 3 ; s y = 4x - m z = x 8. Determinar a para que las rectas r y s se corten. Pueden ser coincidentes? r x-3 = y-3-1 = z+a ; s x= 1+4λ y= -1+3λ z=-4+5λ 9. Demostrar que las rectas r paralelo a r. x = 0 3y + z = 0 y s y = 0 x - z = 3 no se cortan, y hallar un plano que contenga a s y sea 30. Dadas la rectas r: x- 5 = y-3-3 = z 1 y s x= 1- λ y= 3λ, calcular razonadamente y si es posible: z=5 a) Ecuación general de un plano perpendicular a la recta s y que contenga a r. b) Ecuación general de un plano que las contenga. Página de 6

3 31. Hallar a para que las rectas r x + z = a y = 1 y s -x + y + z = 5 estén en el mismo plano y buscar su ecuación. x + y = a 3. Determinar si se cortan o cruzan las rectas: r x-1 1 = y-1-1 = z+ - y s x=+ λ y= 1- λ z= λ 33. Hallar la posición relativa de la recta x+ 3 = y = z-3 y el plano 3x+y-z+3 = 0. x + y - z = 34. Dada la recta r de ecuación: r, y el plano x - y + mz = 1, obtener el valor de m de manera que la x - y + z = 1 recta y el plano resulten paralelos. Existe algún valor de m para el que la recta esté contenida en el plano? 35. Discutir la posición relativa de la recta x+y+(a+1)z = 3 -x+y+z = 1 valores de a. respecto del plano ax+y+3z = 3, según los distintos 3x-y+z-1 = Dada la recta r: y el plano π: x-5y+az+ = 0, determinar a y b de modo que: x+4y+z-b = 0 a) r y π se corten en un punto. b) r y π sean paralelos. c) r esté contenida en π. 37. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto intersección de la recta r con el plano π y es paralelo a las x=-1+ λ x-y-z+3 = 0 rectas s y t.r: x-y+5z-1 = 0 ; π: 5x+y-z+4 = 0 ; s: x+ -1 = y-3 4 = z - ; t: 38. Calcular el ángulo formado por la rectas: r x-1 = y+3 = z y s x + y + z = 1 x + z = 0 y= +3λ z= Un objeto se mueve en el espacio siguiendo una línea recta cuya dirección viene dada por el vector v = (1,,-1). En su movimiento, dicho objeto pasa por el punto A(,1,). (1) Calcular los puntos de corte de la trayectoria del objeto con los planos coordenados. () Calcular la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a dicha trayectoria. (3) Cuál es el ángulo que forma la trayectoria del objeto con el plano XOY? 40. Considerar los planos π 1 x+5 = 0 y π 3x+3y-4 = 0. (a) Qué ángulo determinan ambos planos? (b) Hallar el plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los dos planos dados. 41. Se consideran los planos π 1 de ecuación 5x+y-z-1 = 0, π de ecuación 3x-y-1 = 0 y la recta r que pasa por el punto (-3,0,4) y tiene de vector director (4,1,1). Se pide: a) Hallar el plano que pasando por la recta π 1 π es paralelo a r. b) Hallar la recta paralela a los planos π 1 y π que pasa por el punto intersección de r con el plano y = 0. c) Comprobar si la recta y el plano tienen puntos en común. 4. Hallar la ecuación de la recta que se apoya en las rectas r y s y es paralela a t: x + y - z + 1 = 0 r x - y + z + = 0 ;s x - y + z = 5 x - y + 3z = 5 ;t x + y + z = 1 x - z = Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(,-1,1) y corta perpendicularmente a la recta x- = y-1 = z. Página 3 de 6

4 44. Tres planos cuyas ecuaciones son: x-y+3z = 0, ax+ay-z = 0 y 4x+5z = 0, se cortan en una recta r. (1) Cuánto vale a? () Hallar el punto A de la recta r para el cual se verifica que la recta s que pasa por A y por el punto P(1,9,8) es perpendicular a r. 45. Un punto M se mueve en el espacio tridimensional de manera que en un instante de tiempo t se encuentra en el punto (1+t,3+t,6+t). (1) Es esta trayectoria una línea recta? Si es así, escribe sus ecuaciones de dos formas distintas. () Hallar el instante de tiempo en el que el punto está en el plano dado por la ecuación x - y + z - 7 = 0. (3) Hallar la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la trayectoria de M y pasa por el punto (1,1,0). 46. Calcular el punto de la recta de ecuaciones x-1 = y+ = z+1 más cercano al punto P(1,-1,1) Hallar la ecuación de la recta que es paralela al plano x + y + z = 1, corta a la recta x - y = 1 z = (,0,). y pasa por el punto 48. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(0,-1,3), es paralela al plano 3x-y+z-1 = 0 y corta a la recta x-1 = y 3 = z Considerar el punto P(-1,,1) (1) Determinar un punto Q del plano π -3x+y+z+5 = 0 de forma que el vector PQ sea perpendicular al plano π. () Determinar un punto M de la recta r x- -1 = y+1 1 = z-10 de forma que el vector MP sea paralelo al plano π. -1 (3) Calcular el área del triángulo MPQ. 4x-y+z = Entre las rectas del espacio afín que pasan por el punto P(-1,1,3) y cortan a la recta, determinar si x-y-z = 1 existe una que pase por el punto Q(-4,3,) dando, en caso afirmativo, ecuaciones paramétricas de la misma. 51. Hallar el punto P del plano x+y+z-3 = 0 que está más próximo al punto A(1,0,0). Cuál será la distancia de una recta, contenida en dicho plano y que pase por P, al punto A? 5. Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos P(0,1,-), Q que es la intersección de la recta de ecuación (x,y,z) = (1,,3) + λ(3,0,1) con el plano de ecuación x+3y-z = 3, y R, que es el punto del plano x-6z = 1 que está más cerca del origen. 53. Encontrar las ecuaciones de todos los planos paralelos al plano 4x-4y+z = 1, que disten de éste una unidad de longitud. 3x - y + z = Obtener las ecuaciones de los planos que son perpendiculares a la recta r y distan 3 unidades del x + z = 3 punto (-1,1,). Calcular el seno del ángulo formado por r y el plano coordenado XOY. x - = Se considera la recta r y el punto P(0,1,3). Se pide: y + 3 = 0 a) Hallar la distancia de P a r. b) Determinar el plano π que pasa por P y contiene a r. 56. a) Calcular α y β para que los planos de la derecha se corten en una recta r. b) Hallar razonadamente la distancia entre el punto P(,1,3) y la recta r. x - y + z - 3 = 0 x + y + z - = 0 3x - y - αz - β = Calcular, de manera razonada, la ecuación de dos planos (distintos de los planos coordenados) y dos rectas (cada una Página 4 de 6

5 contenida en uno de los planos) de tal manera que ambas se crucen. Calcular también la distancia entre las dos rectas. x - y - 5 = (1) Calcular un punto R de la recta s dada por s que equidiste de los puntos P(1,0,-1) y Q(,1,1). x - 3y - z - 7 = 0 () Calcular el área del triángulo determinado por los puntos P, Q y R. 59. Considerar los puntos A(1,0,3), B(3,-1,0), C(0,-1,) y D(a,b,-1). Hallar a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por C y D. 60. Considerar el plano x + y + z - 4 = 0. (a) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano dado con los ejes coordenados. (b) Calcular la distancia del origen al plano dado. 61. Un paralelogramo cuyo centro es M 3, 3,4 tiene por vértices los puntos A(1,,3) y B(3,,5). (1) Hallar las coordenadas de los otros dos vértices. () Hallar la ecuación de la recta que pasa por M y es perpendicular al plano que contiene al paralelogramo. (3) Calcular el área del paralelogramo. 6. Determinar las ecuaciones de la recta simétrica de r x-1 = y- = z-3 respecto al punto P(3,,1). 63. Determinar el punto simétrico del (0,0,0) respecto del plano de ecuación x+y+3z = 1 y calcular el cuadrado de la distancia entre ambos puntos. 64. Hallar las coordenadas del punto simétrico de A(0,-1,1) con respecto a la recta x-5 = y = z Hallar el punto A simétrico del punto A(,0,1) respecto a la recta r que pasa por el punto P(0,3,) y es paralela a la x+y = 0 recta s de ecuaciones s z = Para cada λ R se considera el plano π λ de ecuación π λ (1+λ)x + (1-λ)y + (1+3λ)z + (λ-1) = 0. (1) Prueba que todos los planos π λ pasan por la misma recta r. () Estudia la posición relativa de las rectas r y s, siendo s la recta dada por s x-1 4 = y+1-1 = z- -3 (3) Describe un procedimiento para hallar la distancia entre ambas rectas. 67. Dadas las rectas de ecuaciones: r: x+1 = y-3 = ẕ x=-1+ λ 1 1 y s y= 3λ, z= 1+λ a) Hallar el segmento perpendicular común a las dos rectas. b) Justificar el procedimiento utilizado. Soluciones x = + λ 1. y = 3 + λ z = 5 + λ ; y = x+1 z = x+3 ; x- 1 = y-3 1 = z , 0, - 5 x - y + 3z -1 = x + 3y + z + 1 = 0 8. x + y + z - 4 = x+4y+3z+5 = 0 13., -11 Esfera , 3 0. (0,-5,0) y B - 5 3, 0, , 9, ; 3, 9 14, λ = 0, los planos son coincidentes. 1. λ = -1, se cortan en una recta. λ {-1,0}, se cortan en el origen. 3. x = - 4λ y = -1 + λ 4. x = 1 + λ, y = 5 + λ, z = 5-3λ 5. x + y + z - k = 0 ; z = 1-7λ a) 4x - 5y + 3z + = x + y + z - = x + y - = 0 1. b) x + 3y + 5z = 0 ; No 16. A(3,-1,0) ; 3 3 ; 60º, 30º 17. x + y + z - 1x - 4y - 6z + 46 = 0.. a = 0, se cortan en una recta. a 0, se cortan dos a dos. x = - b - bλ 3. y = λ z = b Página 5 de 6

6 ; 1 k = -8, se cortan en una recta. 5, 1 4. ; k -8, se cortan en un punto. 3, 10, 0, k , (-1,0,) , No 9. x - 3y - z - 3 = No, No ; 1x + 1y + 6z - 5 = 0 3. Se cruzan 33. Se cortan en , 1 11, , 35. Si a = -3, son paralelos a) Se cortan para a 1 ( b R). Si a =, recta contenida en el plano 36. b) Son paralelos para a = 1, b x - 34y - 119z = º 4' 1'' 39. Si a {-3,}, se cortan en un punto. c) r está contenida en π para a = a, b = 3. (1) (4,3,0), 1, 0, 3 x = -3 - λ, (0,-3,4) ; () x + y - z = 0 ; (3) 30º º, z = a) x - 5y + z -1 = 0 b) y = - 3λ z = 4-13λ c) coincidentes 4. x = λ x = + λ x = 1 + t y = -5-3λ 43. y = -1 - λ 44. ; (-5,7-4) 45. a) y = 3 + t, x-1 = y-3 = z-6 x = 1 + 7λ b) 6 c) y = 1 + 3λ , -18 7, -1 x = - λ 47. y = λ 7 z = λ z = 1 + λ z = 6 + t z = λ z = 48. x = 6λ y = λ 49. (,1,0), (1,0,9), 51 x = -1-3λ 50. y = 1 + λ 51. 5, 3, x - 4y + z + 5 = 0 ; x - 4y + z - 7 = 0 z = 3-13k z = 3 - λ 54. x + y - z + 14 = 0 x + y - z - 4 = 0 x = 3 (0,4,4) ; () + λ ; (3) y = 3 + 7λ z = 4 + 8λ , 38 15, 7 ; , 6 5, 9 5 ; ; x + y - 1 = , 14 3 ; x = 5 + λ y = + λ z = -1 + λ , 7, , - 1, -1, 66 ; (6,-1,-3) , , , (1) (,4,1),, () Paralelas (3) Página 6 de 6