Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos.

Transcripción

1 1.3. L función Logrítmic Con el uso de los ritmos, los procesos de multiplicción, división, elevción potencis extrcción de ríces entre números reles pueden simplificrse notorimente. El proceso de multiplicción es reemplzdo por un sum; l división, por un sustrcción; l elevción potencis, por un simple multiplicción, l extrcción de ríces, por un división. Muchos cálculos lgericos, que son difíciles o imposiles por otros métodos, son fáciles de desrrollr por medio de los ritmos. L iguldd N x, donde N es un número rel x lugr dos prolems fundmentles: es un expresión potencil, d 1. Dd l se el exponente x, encontrr N.. Ddos N, encontrr x. El primero de ellos puede solucionrse, en lgunos csos, plicndo ls lees de los exponentes. Pr el segundo, l propiedd E11 del teorem 1 grntiz que siempre existe un número rel x tl que N x, cundo N son reles positivos 1. Lo nterior d lugr l siguiente definición: Definición Se un rel positivo fijo, 1 se x culquier rel positivo; entonces: x x L función que hce corresponder cd número rel positivo su ritmo en se 1, denotd x, se llm: función rítmic de se, el número x, se llm ritmo de x en l se. Lo nterior se expres tmién diciendo que: el ritmo de un número, en un se dd, es el exponente l cul se dee elevr l se pr otener el número. El uso decudo de l definición nterior, se ilustr en los ejercicios resueltos 5 6. En el teorem siguiente, se presentn ls propieddes ms importntes de los ritmos. Teorem. (Propieddes de los ritmos)

2 Si > 0, es culquier rel positivo, x e reles positivos, entonces: L1. ( ) L. 1 L L4. ( x ) x + x L5. x n x n x n L6. ( ) R L7. Cundo > 1, si 0 < x <, entonces, x <. Es decir, l función rítmic de se > 1 es estrictmente creciente en su dominio. L8. Cundo 0 < < 1, si 0 < x <, entonces, x >. Esto es l función rítmic de se entre 0 1; es estrictmente decreciente en su dominio. L9. Pr todo número rel 0, existe un único número rel x0 tl que x 0 0. Est propiedd indic que l función rítmic es soreectiv. x L10. x, 1 L11. x x α L1. Si m x,, α 0, entonces m x. (Invrinz) Demostrción Pr demostrr ls propieddes de los ritmos, se hce uso de l definición de ls propieddes de l función exponencil, presentds en l sección nterior. A mner de ilustrción, se demuestrn ls propieddes L1, L4 L7. Se dejn ls restntes como ejercicio pr el lector.. De cuerdo con l definición de ritmo de l propiedd 9 del teorem 3, se tiene: L1. Se ( ) Esto es, ( ) ( ) (1) En segundo lugr, nuevmente por definición, ( ) Es decir, ().

3 De (1) (), se conclue que ( ) L4. Se α x β, entonces: x x β β (1) () α β α + β De (1) (), se sigue que: x x x α +. Es ( ) x decir, x +. ( ) β L7. Se supone que > 1 0 < x <. Sen: α x β que α < β. En efecto, si. Se prue α β, como > 1, se tendrí por l propiedd 7 del teorem 3 que α β, es decir, x en contrdicción con l hipótesis. Anámente, se rzon pr el cso 0 < < 1. Oservciones. i) L iguldd, dd en l propiedd 1, es tmién válid pr < 0. ii) L propiedd L3. indic nlíticmente que tods ls funciones rítmics de l form: x psn por el punto (1, 0). iii) Ls propieddes L7 L8 de los ritmos, conjuntmente con ls propieddes E7 E8 de los exponentes, ponen de mnifiesto el comportmiento similr que presentn ls funciones exponenciles rítmics en un mism se. Es decir, si un de ells es continu creciente (continu decreciente), l otr tmién lo es. En ls figurs 3 4, precen ls gráfics de ls funciones x e 1 x, en concordnci con ls propieddes estlecids en el teorem inmeditmente nterior. x En l figur 5, se hn trzdo conjuntmente ls curvs e x. Allí pueden visulizrse los comentrios hechos en l oservción ii). Puede notrse, demás, que ls curvs son simétrics con respecto l rect x.

4 fig. 3 fig. 4

5 fig. 5 iv) L se más frecuentemente utilizd pr ls funciones exponenciles rítmics es el llmdo número e (número de EULER). Los ritmos de se e son llmdos ritmos Nturles o Neperinos se denotn Ln. Sin emrgo, los que más menudo se encuentrn tuldos que se utilizn en l práctic, son los correspondientes l se 10, los cules son llmdos ritmos decimles o vulgres se denotn x o, simplemente,. 10 x