( ) El límit del producte de dues funcions en un punt és igual al producte de límits d aquestes funcions en el punt en qüestió, és a dir:

Transcripción

1 Límits de funcions

2 Límits de funcions Definició de it d una funció en un punt El it funcional és un concepte relacionat amb la variació dels valors d una funció a mesura que varien els valors de la variable i tendeien a un valor determinat. El it d una funció en un valor determinat d és igual a un nombre al qual tendei la funció quan la variable tendei a aquest valor. Aquest fet s indica aií: f ( ) b a i es llegei de qualsevol d aquestes formes: el it d una funció f en un valor a és igual a b; la funció f té it b quan la tendei a a. La manera més rigorosa de definir aquest concepte és la següent: donat nombre real ε > 0 hi ha un nombre real δ > 0 de manera que si a < δ, llavors es complei que f() b < ε. Regles del càlcul de its El it de la suma (o resta) de dues funcions en un punt és igual a la suma (o resta) de its d aquestes funcions en el punt en qüestió, és a dir: si li m f ( ) b i g ( ) c a a llavors ( f + g)( ) b+ c a El it del producte de dues funcions en un punt és igual al producte de its d aquestes funcions en el punt en qüestió, és a dir: si li m f ( ) b i g ( ) c a a llavors ( f g)( ) b c a Seguint aquestes dues primeres regles, podem afirmar que si la funció f() és un polinomi: f ( ) f ( a ) a El it del quocient de dues funcions en un punt és igual al quocient de its d aquestes funcions en el punt en qüestió, sempre que el denominador no sigui 0, és a dir: si li m f ( ) b i g( ) c a a llavors ( f / g)( ) b/ c a El it de la potència de dues funcions en un punt és igual a la potència de its d aquestes funcions en el punt en qüestió, sempre que ambdues funcions no siguin 0 al matei temps, és a dir: si f ( ) b i g( ) c a a llavors ( ) f ( ) g b c a

3 Límit d una funció quan tendei a + o a El it d una funció f() és un nombre a quan la tendei a + quan, donat un interval qualsevol de centre a, hi ha un nombre k de manera que si > k, llavors f() es troba en l interval de centre a del principi. Aiò es nota aií: f ( ) a El it d una funció f() és un nombre a quan la tendei a quan, donat un interval qualsevol de centre a, hi ha un nombre k de manera que si < k, llavors f() es troba en l interval de centre a del principi. Aiò es nota aií: f ( ) a Aquests its es poden calcular mitjançant l ús de taules. f( ) 0 0, 00 0,0 00 0, , , , ,0000 Per eemple, donada la funció si es vol buscar f ( ) f ( ) es pot construir una taula com la del marge amb valors de cada vegada més grans, i comprovar si hi ha cap valor it per la funció. Es pot observar que f( ) 0 Límits infinits Es diu que una funció tendei a + quan tendei a a, si la funció crei sense it quan la tendei al valor a. Aiò es denota aií: li m f ( ) + a Es diu que una funció tendei a quan tendei a a, si la funció decrei sense it quan la tendei al valor a. Aiò es denota aií: li m f ( ) a Límits laterals El it lateral per la dreta d una funció en un punt a és el it de la funció quan es considera que la variable només pot tenir valors majors que el punt, i es denota aií: f ( ) b + a El it lateral per l esquerra d una funció en un punt a és el it de la funció quan es considera que la variable només pot tenir valors menors que el punt: f ( ) b a Aií, doncs, el it d una funció f en un punt a eistei si:. Eisteien els seus its laterals, per l esquerra i per la dreta.. Ambdós its són iguals al matei nombre, b: f ( ) f( ) b + a a En aquest cas, el it serà: f ( ) b a

4 Indeterminacions Un it el resultat del qual no sigui un nombre ni tampoc +, ni, es diu que és una indeterminació i, per aiò, s ha d estudiar amb més deteniment per resoldre l: f ( ) és indeterminat quan dóna, en un primer moment, 0,, 0, p 0 Resolució d aquests tipus principals d indeterminacions: Indeterminació del tipus 0 0 Generalment es tracta d un quocient de polinomis, de manera que ambdós polinomis s anul len en el punt p en el qual es calcula el it. Per resoldre aquests casos s ha de dividir el numerador i el denominador entre p. Indeterminació del tipus Generalment es tracta d un quocient de polinomis essent p + o. El resultat d aquest tipus de its s oferei en aquesta taula, en la qual es recullen els graus del numerador (gn) i denominador (gd), el quocient dels signes dels coeficients de grau màim de numerador i denominador (s), i el signe de p: gn > gd gn gd gn < gd s p + + quocient de coeficients de grau màim 0. p + Indeterminació del tipus 0 Els its són del tipus: f ( g ) ( ) p que es pot resoldre amb aquesta modificació: g( ) f( ) g( ) f ( ) D aquesta manera es transforma en una indeterminació del tipus. Indeterminació del tipus Aquesta indeterminació és molt usual entre funcions que contenen arrels, en una epressió amb una diferència de funcions. En aquests casos se sol multiplicar i dividir la funció per la seva conjugat (és a dir, per la mateia epressió en la qual s ha canviat el pel +). Asímptotes a una funció Una asímptota a una funció és una recta que al tendir la a un nombre, a +, o a s acosta a la funció de manera constant fins a fer-se tangent en l infinit. Les asímptotes poden ser: Asímptotes verticals La funció té una asímptota vertical quan la tendei a un valor, i la funció tendei a + o : f( ) o bé, f( ) a + a En aquest cas, la recta a és una asímptota vertical. Asímptotes horitzontals La funció té una asímptota horitzontal quan la tendei a + o a, i la funció tendei a un valor concret: f ( ) a o bé, f ( ) a

5 El concepte d infinit En el llenguatge quotidià no és difícil escoltar epressions que incloguin el terme infinit o els seus derivats: normalment fan referència a un nombre enorme, gairebé impensable; si algú digués "t ho he dit infinites vegades", tots entenem que qui parla ha dit moltíssimes vegades la mateia cosa a l oïdor. En matemàtiques, el concepte d infinit no agradava als matemàtics ni als pensadors antics; només a partir del segle XVII es comença a utilitzar aquest concepte assíduament (encara que amb moltes reticències) per designar allò que és és gran que qualsevol altra cosa imaginable, és a dir, més gran que qualsevol nombre real. Per aiò, aquest concepte queda fora dels nombres reals. A partir del segle XVII es comença a usar com a símbol de l infinit una corba denominada lemniscata,, símbol que, curiosament, aparei en les populars cartes del Tarot com un barret sobre el cap del mag o joglar, en la carta del matei nom. Carta de tarot corresponent al mag. El matemàtic John Wallis, a l obra Arithmetica infinitorum, va ser el primer a usar aquest símbol per representar l infinit. Kant, el segle XIX, coincidia amb Aristòtil a assenyalar que el it absolut és impossible en l eperiència, és a dir, mai no podem arribar a l infinit. I el gran matemàtic Karl Friedrich Gauss, el 83, emfasitzava la seva protesta contra l ús de l infinit com un fet consumat: Protesto contra l ús d una quantitat infinita com una entitat actual; aquesta mai no es pot permetre en matemàtica. L infinit és només una forma de parlar, quan en realitat hauríem de parlar de its als quals certes raons es poden aproimar tant com es vulgui, mentre que a unes altres els és permès de créier il itadament. Gauss no va ser l únic matemàtic de la seva època que va rebutjar l infinit com a quantitat eistent. El teòleg i matemàtic tec Bernhard Bozen va ser el primer a tractar de fonamentar la noció d infinit; en la seva obra pòstuma, Paradoes de l infinit (85), va defensar l eistència d un infinit i va emfasitzar que el concepte d equivalència entre dos conjunts era aplicable tant a conjunts finits com a infinits. Bozen va acceptar com una fet normal que els conjunts infinits fossin equivalents a una part d ells mateios. Aquesta definició de l infinit va ser utilitzada posteriorment per Cantor i Dedekind. A pesar que l obra de Bozen Paradoes de l infinit era més aviat de tall filosòfic que matemàtic, ja que no tenia conceptes crucials com conjunt i nombre cardinal, podríem dir que Bozen va ser el primer matemàtic a establir les bases per la construcció d una teoria de conjunts.

6 Quina és la noció intuïtiva de it funcional? El it funcional és un concepte relacionat amb la tendència dels valors d una funció a mesura que varien els valors de la variable i tendeien a un valor determinat. El it d una funció en un valor determinat de és igual a un nombre al qual tendei la funció quan la variable tendei a aquest valor, encara que no acaba de ser-ho mai. El it d una funció en un valor determinat de és igual a un nombre al qual tendei la funció quan la variable tendei a aquest valor (però mai no arriba a serho). Si el it d una funció f en un valor a és igual a b, s escriu d aquesta manera: f ( ) b a També es diu que la funció f té it b quan la tendei a a. Per eemple, si f() és una funció que complei que, quan la tendei a 3, la funció tendei a, llavors aquest fet s escriurà aií: f( ) f() 3 34.,9 3,03,5 4,75,3,47, 8,43,0 7,403,00 7, Aií, doncs, el it d una funció en un valor a dóna una idea de la tendència de la funció quan el valor de la tendei a aquest valor. Per estudiar el it d una funció en un valor, es pot crear una taula amb diferents valors de la funció el component de la qual tendei al valor a (però que mai sigui a). Per eemple, si la funció és f() +, i es vol calcular: f ( ) es pot construir una taula com la del marge. Sembla evident que com més a prop d es troba la, més a prop de 3 es troba f(). Aií, doncs, podem deduir f( ) 3 f() 0. 0,, 0,5. 0,7,4 0,9,8 0,99,98 Un altre eemple: si f() 3 +, podem intentar calcular el it d aquesta funció quan tendei a. Una vegada feta la taula és fàcil deduir que: f( ) 7 cosa que es pot observar en la gràfica: Els punts de la taula s acosten cada vegada més a (,7). Aquesta no és una definició rigorosa del it d una funció en un punt, però és molt senzilla i efectiva en la majoria de les funcions que s han estudiat.

7 Quin és el concepte rigorós de it d una funció en un punt? Una funció f té it b quan tendei a a, si i solament si, donat un interval qualsevol centrat en b, hi ha un interval de centre a de manera que tots els punts d aquest últim interval, ecepte el punt a, tenen la seva imatge en l interval de centre b anterior. En general, no es recorre a la definició de it per buscar el it d una funció en un punt, sinó que es recorre als its ja coneguts, a unes regles senzilles de càlcul amb its i a l ús de taules de valors, amb successions el it de les quals sigui el valor en què es vol buscar el it. Una funció f té it b quan tendei a a, si i solament si, donat un interval qualsevol centrat en b, hi ha un interval de centre a de manera que tots els punts d aquest últim interval, ecepte el punt a, tenen la seva imatge en l interval de centre b anterior, és a dir: f ( ) b a si i solament si es complei el següent: donat qualsevol nombre real ε > 0 hi ha un nombre real δ > 0 de manera que si a < δ, llavors es complei que f() b < ε. Vegem eemples senzills que epliquin aquesta definició, i l enllacin amb la noció intuïtiva de it funcional: Donada una funció f() k, essent k un nombre qualsevol, complei que sigui quin sigui el valor d a. a f( ) k Vegeu com, donat un interval centrat en k, tan petit com vulguem, sempre podem trobar un interval centrat en a, la imatge del qual caigui tota dintre de l interval inicial. En aquest cas, l interval centrat en a pot ser qualsevol, ja que totes les imatges són igual a k i, per tant, cauen dintre de l interval centrat en k. Donada la funció f(), es complei que f ( ) a a sigui el que sigui el valor d a. Vegeu com totes les imatges de l interval (a ε, a +ε) es troben en l interval (a ε, a+ε). Per tant, es complei la definició de it, en aquest cas, si es tria δ ε. En general, no es recorre a la definició de it per buscar el it d una funció en un punt, sinó que es recorre als its ja coneguts, a unes regles senzilles de càlcul amb its i a l ús de taules de valors, amb successions el it de les quals sigui el valor en què es vol buscar el it funcional.

8 Quines són les regles principals per al càlcul de its? Les regles per al càlcul de its s apliquen a les operacions principals: si s opera amb dues funcions, essent les operacions suma, resta, multiplicació, divisió o potència, i es calcula el seu it en un punt, el resultat és igual a la mateia operació aplicada al resultat dels its d aquestes funcions en el punt en qüestió. Aquestes són les regles principals per al càlcul de its: El it de la suma (o resta) de dues funcions en un punt és igual a la suma (o resta) de its d aquestes funcions en el punt en qüestió, és a dir: si li m f ( ) b i g( ) c a a llavors ( f + g)( ) b+ c a El it del producte de dues funcions en un punt és igual al producte de its d aquestes funcions en el punt en qüestió, és a dir: si li m f ( ) b i g( ) c a a llavors ( f g)( ) b c a Seguint aquestes dues primeres regles, podem afirmar que si la funció f() és un polinomi, el it en qualsevol punt és igual al valor del polinomi en aquest punt, és a dir: f ( ) f ( a ) a Aiò es pot comprovar de manera senzilla, ja que un polinomi és una suma de productes de nombres i la variable. Per eemple, per trobar el it en cada punt de la funció, es construeien f() i g(), i es busca el it quan tendei a f ( ) a a a ( f g)( ) g ( ) i llavors + a a a a a El it del quocient de dues funcions en un punt és igual al quocient de its d aquestes funcions en el punt en qüestió, sempre que el denominador no sigui 0, és a dir: si li m f ( ) b i g( ) c a a llavors ( f / g)( ) b/ c a El it de la potència de dues funcions en un punt és igual a la potència de its d aquestes funcions en el punt en qüestió, sempre que ambdues funcions no siguin 0 al matei temps, és a dir: si li m f ( ) b i g( ) c a a llavors ( ) f ( ) g b c a 3

9 Què significa el it quan la variable tendei a + o? Es diu que el it d una funció f() és un nombre a quan la tendei a +, quan donat un interval qualsevol de centre a, hi ha un nombre k de manera que si > k, llavors f() es troba en l interval de centre a del principi. La definició és molt semblant si la tendei a, i només s ha de canviar > k, per < k. Una manera senzilla de trobar aquest tipus de its consistei a crear una taula de la funció amb valors que vagin creient (o decreient) sense it, encara que no és un mètode fiable. f( ). 0 0, 00 0,0 00 0, , , , ,0000 Es diu que el it d una funció f() és un nombre a quan la tendei a +, quan donat un interval qualsevol de centre a, hi ha un nombre k de manera que si > k, llavors f() es troba en l interval de centre a de el principi. Aiò es denota aií: f ( ) a Dit d una altra manera, es complei que f ( ) a, si i solament si, donat un nombre positiu ε, hi ha un nombre k tal que si > k llavors a ε < f() < a + ε. En aquest gràfic es representa aquest fet: els valors de la funció a partir de k sempre cauen dintre de l interval de centre a. Es diu que el it d una funció f() és un nombre a quan la tendei a quan donat un interval qualsevol de centre a, hi ha un nombre k de manera que si < k, llavors f() es troba en l interval de centre a del principi. Aiò es denota aií: f ( ) a Dit d una altra manera, es complei que f ( ) a, si i solament si, donat un nombre positiu ε, hi ha un nombre k tal que si < k llavors a ε < f() < a + ε els valors de la funció a partir de k sempre cauen dintre de l interval de centre a Una manera senzilla de buscar aquests its quan la variable tendei a + o, encara que no sempre fiable, consistei a construir una taula de valors que creiin indefinidament (o que decreiin indefinidament) i comprovar si hi ha cap valor al qual tendeii la funció. Per eemple, donada la funció: si es vol buscar f( ) f ( ) es pot construir una taula com la del marge amb valors de cada vegada més grans i comprovar si hi ha cap valor it per la funció. Es pot observar que el valor it ha de ser 0, ja que com més gran és la, més a prop de 0 es troba el valor de la funció. Per tant, f( ) 0 4

10 Si es vol buscar f ( ) es pot construir una taula com la del marge amb valors de cada vegada més petits, i comprovar si hi ha algun valor it per la funció. Es pot observar que el valor it ha de ser 0, ja que com més petita és la, més a prop de 0 es troba el valor de la funció. Per tant, f( ) 0 f( ). 0 0, 00 0,0 00 0, , , , ,0000 Què són els itis laterals i els its infinits? El it lateral per la dreta d una funció en un punt és el it de la funció quan es considera que la variable només pot tenir valors més gran que el punt; en canvi, el it lateral per l esquerra d una funció en un punt és el it de la funció quan es considera que la variable només pot tenir valors menors que el punt. Aií, doncs, el it d una funció eistei si eisteien aquests dos its laterals i, a més, són iguals. De vegades, el it pot ser infinit (+, o bé, ), és a dir, el valor de la funció crei o decrei sense cap it. tg,5 4,0499,55 48,078485,57 55,76559, ,6554, ,7799, ,37, ,83 Hi ha its especials que no tendeien a un nombre quan tendei a un valor determinat (o quan tendei a + o a ). Per eemple, la funció tangent, quan és p/, no eistei. Però si s intenta calcular quin és el it de la funció tangent quan tendei a p/, essent la menor que p/, observem a la taula següent com el valor de la funció crei sense it. En un cas com aquest, en el qual la funció crei sense it quan la tendei a un determinat valor, es diu que la funció tendei a més infinit ( +, tal com es pot veure a la taula), quan tendei a aquest valor. En el cas concret de la funció tangent, tg + π el signe com a eponent de p/ indica que ha de ser sempre menor que aquest valor; dit d una altra manera, la s ha d acostar a p/ per la seva esquerra (en la recta real), tal com es comprova en la gràfica de la funció: p/ En aquest cas s ha calculat el it per l esquerra de la funció tangent en el punt p/. 5

11 De la mateia manera, si construïm una taula de la funció tangent quan la tendei a p/, sempre essent més gran que aquest nombre, observarem que el valor de la tg, ,0499, ,078485, ,76559, ,6554, ,7799, ,37, ,83 funció cada vegada és menor. És a dir, com més propera és la de p/, menor és el valor de la tangent; a més, no hi ha it inferior per aquest valor de la funció. En un cas com aquest, en el qual la funció no té it inferior quan la tendei a un determinat valor, es diu que la funció tendei a menys infinit ( ) quan tendei a aquest valor. En el cas concret de la funció tangent, tg π + el signe + com eponent de p/ indica que ha de ser sempre més gran que aquest valor; dit d una altra manera, la s ha d acostar a p/ per la seva dreta (en la recta real), tal com es comprova en la gràfica de la funció: p/ En aquest cas, s ha calculat el it per la dreta de la funció tangent en el punt p/. Per tant, es pot dir que el it d una funció f en un punt a eistei si eisteien els seus its laterals, per l esquerra i per la dreta, i són iguals al matei nombre, b; és a dir, si f ( ) f( ) b + a a En aquest cas, el it serà, evidentment, f ( ) b a Per eemple, en el cas de la funció tg, no eistei el it de la funció en el punt p/ perquè els its per la dreta i per l esquerra no coincideien. En el cas d una funció anterior, f() 3 +, ja s ha calculat una taula amb valors de a l esquerra de (és a dir, valors menors que ); per tant, s havia calculat f( ) 7 Podem intentar calcular el it d aquesta funció quan tendei a per la dreta (és a dir amb valors més grans que ). Fem una taula: f() 6., 6,83,5 0,75,7 3,07,9 5,63,99 6,8603,999 6, És fàcil deduir que: f( ) 7 per tant, + 6

12 f( ) f( ) 7 + per la qual cosa es pot afirmar que, com ja havíem afirmat intuïtivament, el it d aquesta funció en el punt és igual a 7: f( ) 7 En aquest altre eemple, la funció és: 4 3 f( ) 3 > Si calculem el it en, observem que f( ) f( ) En canvi, el it per la dreta s ha de calcular amb l altra epressió, 3, ja que la funció per la dreta s obté amb aquesta: f( ) Per tant, encara que eisteiin els its per ambdós costats, aquests no són iguals i, per tant, el it de la funció en no eistei. La gràfica de la funció pot donar una idea d aquest fet: 0 y Què és una indeterminació, quins tipus d indeterminació hi ha i com es resolen? Alguns its, en un primer moment, no es poden calcular perquè el seu resultat no és ni un nombre, ni tampoc infinit. En aquests casos es diu que ens trobem davant una indeterminació. Eisteien diferents tipus d indeterminació i per cadascuna d elles hi ha un mètode general per resoldre-la i, aií, poder trobar el it en qüestió. En certs casos, alguns its d una funció en un punt no es poden calcular, en un primer moment, perquè el seu resultat no és ni un nombre, ni infinit. En aquests casos es diu que ens trobem davant una indeterminació. Hi ha diferents tipus d indeterminacions i cadascuna d elles es resol d una manera especial que veurem a continuació. El tipus d indeterminació rep el nom del valor del it que es troba en primera instància i, com que és un it indeterminat, s ha de resoldre per algun mètode adequat. Per aiò, cal recordar que aquest nom no és el resultat del it, ni pot ser-ho, ja que només un nombre o infinit són els valors vàlids d un it. Per eemple, si diem que un it és del tipus 0/0, aiò no vol dir que aquest valor sigui possible; ben al contrari, 0/0 no és un valor correcte i, per aquest motiu, s ha de buscar algun mètode per trobar el it correcte. 7

13 Per tots aquests casos, se suposarà que p és un nombre real, o bé que és + o, segons els casos (aiò es fa per simplificar les fórmules i els casos). Els its seran del tipus: f ( ) Indeterminat p Indeterminació del tipus 0 0 Es tracta d aquells its el resultat dels quals és precisament 0. Generalment es 0 tracta d un quocient de polinomis, de manera que ambdós polinomis s anul len en el punt p en el qual es calcula el it. Per eemple: 4 0 Indeterminat 0 Per resoldre aquests casos s ha de dividir el numerador i el denominador entre p, és a dir, en el cas de l eemple, s ha de dividir numerador i denominador entre, de la manera següent: D aquesta manera, en aquest cas, el it inicialment indeterminat és igual a 4. Indeterminació del tipus Es tracta d aquells its el resultat dels quals és precisament, independentment del signe dels infinits. Generalment es tracta d un quocient de polinomis essent p + o. Per eemple: 4 + Indeterminat El resultat d aquest tipus de its s oferei en aquesta taula, en la qual es recullen els graus del numerador (gn) i denominador (gd), el quocient dels signes dels coeficients de grau màim de numerador i denominador (s), i el signe de p : gn > gd gn gd gn < gd s p + + quocient de coeficients de grau màim 0 p + En l eemple anterior, el grau del numerador és més gran que el grau del denominador, el quocient dels signes dels coeficients de grau màim de numerador i denominador és + i p, per tant, el it ha de ser. És a dir, 4 Indeterminació del tipus 0 Es tracta d aquells its el resultat dels quals és precisament 0, amb independència del signe de l infinit. Ens trobem en aquesta situació en its del tipus: f ( g ) ( ) p S ha de tenir en compte que: g( ) f( ) g( ) f( ) 8

14 D aquesta manera, es pot transformar aquesta indeterminació en una indeterminació del tipus, que ja sabem resoldre. Indeterminació del tipus Aquesta indeterminació és molt usual entre funcions que contenen arrels, en una epressió amb una diferència de funcions, com per eemple: + ( + ) Indeterminació En aquests casos se sol multiplicar i dividir la funció per la seva conjugada, és a dir, per la mateia epressió en la qual s ha canviat el + pel : ( ) ( ) ( + ) + + ( + ) ( ) + ( + ) + + ( + ) + ( + ) + + ( + ) + + ( + ) Aiò és aií, ja que sabem que (a b )(a + b) a b. Aií, doncs, continuem amb el it anterior: ( )... ( ) + ( + ) ( + ) + ( + + ) + + ( + ) + + ( + ) L últim pas és senzill si es té en compte que, en el càlcul d un it quan tendei a infinit, per saber l eponent d una epressió dintre d una arrel, s ha de dividir entre el seu eponent. Aií, doncs, si l epressió dintre de l arrel és +, el terme de grau màim és, i com que es troba dintre d una arrel el seu eponent és /. Per tant, el grau màim de l arrel és. Per tant, el grau màim del denominador és també i el coeficient de grau màim del denominador és + (el primer de l arrel i el segon, com a coeficient de ). 9

15 Eercicis. Calcula aquests its raonadament: a. 3 b. + + c d e. f. g. h. + ( ) e Calcula els següents its, si eisteien, pas a pas: 3 a. + b c. + ( + ) d. e. f. g. h ( ) 3 + a ( ) a + +a 4 a 3 3 (difícil) 0

16 Solucions. a. b. c. d. e. f / /8 + ( ) e ( )( + ) ( )( + )( ) ( + ) ( + )( ) g. h ( 3 )( + ( + 3 ) 3 ) ( + 3 ) ( 3) 3 ( + 3 ) 3/. a. b en principi dóna la indeterminació -, per tant, ( + ( + ) )( + + ( + ) ) + ( + ) + + ( + ) c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) +

17 d. e. f. g. h ( ) 3 3 en aquest cas el resultat dóna -9/0, per tant, s ha d investigar el it per la dreta i per l esquerra. 9 + ( ) 3 9 ( ) 3 + per tant, el it no eistei, només eisteien el its laterals. + a dóna la indeterminació i per tant, + + e ( ) a+ + a per tant, a a 3 3 en principi dóna la indeterminació 0/0, ( ) a ( ) ( a) 3 3 a a ( a) + + a + + ( ) a a 3a ( + a+ a ) ( a a ) l únic valor conflictiu és a 0, perquè s anul la el denominador. En aquest cas, el it queda: en qualsevol cas, perquè el denominador sempre 0 és positiu, independentment que la sigui major o menor que 0. 4 ( ) ( + ) 4

18 3