ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL. Sistema de referencia (E3, V3, f). Coordenadas cartesianas.
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- Lucía Montserrat Camacho Méndez
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1 1. Puntos y Vectores. ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL Sistema de referencia (E3, V3, f). Coordenadas cartesianas. 2. Primeros resultados analíticos. Vector que une dos puntos. Punto medio de un segmento. Simétrico de un punto respecto de otro. 3. Ecuaciones del Plano Vectorial. Paramétricas. Implícita. 4. Ecuaciones de la Recta Vectorial. Paramétricas. Continua. 5. Problemas de Incidencia, Intersección y Paralelismo Incidencia: Punto y recta (radiación de rectas). Punto y plano (radiación de planos). Recta y plano (haz de planos). Dos planos (ecuación de la recta). Posiciones relativas de rectas y planos: Dos planos. Tres planos. Recta y plano. Dos rectas. 1
2 6. Producto Escalar. ESPACIO EUCLÍDEO REAL TRIDIMENSIONAL Definición. Propiedades: Norma de un vector. Condición de ortogonalidad. Conmutatividad. Seudoasociatividad. Distributividad. Expresión analítica. Proyecciones. Bases. 7. Producto vectorial. Definición. Propiedades. Anticonmutatividad. Seudoasociatividad. Distributividad. Colinealidad. Área de un paralelogramo. 8. Producto mixto Definición. Propiedades. Las de los determinantes de orden 3. Volumen de un paralelepípedo. 9. Vector característico (normal) de un plano. 10. Paralelismo Dos vectores. Dos planos. Dos rectas. Recta y plano. 2
3 11. Ángulos Dos vectores. Dos planos. Dos rectas. Recta y plano. 12. Distancias. Dos puntos. Punto y plano. Dos planos. Recta y plano. Punto y recta. Dos rectas. 13. Problemas tipo. Punto medio de un segmento. Plano que pasa por un punto y es perpendicular a una recta. Proyección de un punto sobre una recta. Simétrico de un punto respecto de una recta. Recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra recta. Recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano. Proyección de un punto sobre un plano. Simétrico de un punto respecto de un plano. Proyección de una recta sobre un plano. Perpendicular común a dos rectas. Recta que pasa por un punto y corta (se apoya) a dos rectas. Plano bisectriz de dos planos. 3
4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS (ESPACIO AFÍN) En los problemas siguientes se considerarán los siguientes datos: Puntos: A = (1,2,3), B = (-1,6,0), C = (2,3,-4), D = (0,0,1), E = (4,0,5), F = (2,4,-1) Rectas: r: x 3 y 5 z s: x 7 y 3 z x 10y z 82 t: x 2y z 22 Planos: : 3x + 2y - 4z - 5 = 0 : 8x - y - z + 1 = 0 x 2 8 : y 4 z 4 (1).- Ecuación continua de la recta AB. (2).- Ecuación paramétrica del plano ABC. (3).- Ecuación general del plano ACD. (4).- Ecuación de la recta que pasa por A y es paralela a la recta r. (5) - Son paralelas las rectas AB y s? Se cruzan? Se cortan? En este último caso hallar su punto de intersección. (6).- Son paralelos los planos ABC y? En caso negativo hallar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección. (7).- Hallar la ecuación del plano que pasa por E y es paralelo a. (8).- Hallar la ecuación de una recta que pase por F y sea paralela a. (9).- Hallar la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a y. (10).-Se considera el tetraedro de vértices los puntos A,B,C,D. Hallar las ecuaciones de sus caras y de sus aristas. 4
5 (11).-Considerando el tetraedro de vértices los puntos B,C,E y F hallar los vértices del tetraedro cuyas caras son los planos paralelos a las caras del dado que pasan por los vértices opuestos a las mismas. (12).-Hallar la ecuación continua de la recta intersección de y. (13).-Hallar las coordenadas del punto de intersección de los tres planos dados. (14).-Hallar la ecuación del plano que pasa por D y es paralelo a. (15).-Hallar la ecuación de una recta que esté contenida en el plano. (16).-Hallar la ecuación del plano determinado por las rectas r y s. (17).- Hallar la ecuación de la recta que pasa por F y es paralela a t. (18).- De las tres rectas r, s y t, son paralelas dos de ellas? Se cruzan? Se cortan? En este último caso hallar el punto de intersección. (19).- Hallar la ecuación de un plano que contenga a la recta s. (20).- Hallar la ecuación de un plano que sea paralelo a la recta r. (21).- El punto (2,3,5), pertenece a la recta r? Y el (-1,3,6)? (22).- Hallar el punto de intersección de la recta s con el plano. (23). Hallar x para que la recta que une los puntos A y (-2,x,7) sea paralela a BC. (24).- Hallar el plano que pasa por la recta intersección de y y el punto (2,-3,1). 5
6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS (ESPACIO EUCLÍDEO) 1.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4,-3,2) y es perpendicular a la recta de intersección de los planos x - y + 2z - 3 = 0 y 2x - y - 3z = Hallar la ecuación del plano perpendicular a los planos 3x - y + z = 0 y x + 5y + 3z = 0 y que dista 6 unidades del origen. 3.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (2,-1,6) y (1,-2,4) y es perpendicular al plano x - 2y - 2z + 9 = Demostrar que la recta x 1 y 2 z es paralela al plano 6x + 7y - 5z - 8 = Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,4,3) y es paralela a los planos 6x + 2y +2z + 3 = 0) y 3x - 5y - 2z = Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2,3) y se apoya en las rectas: r x y 3 : z 1 2x 3y z 1 0 y s: x y 3z Hallar la distancia entre las rectas: r x 2 : y 3 z y s 2x 3y z 0 : x y 2z 0 Y la ecuación de la perpendicular común a las dos. 8.- Hallar la perpendicular desde el punto (1,1,1) a la recta r recta. x y z 0 : 2x y 3z 1 0 Y la distancia del punto a la 9.- Dado el punto A = (1,3,0) y el plano x + 2y + z - 1 = 0, hallar las coordenadas del punto A simétrico del A, respecto del plano. 10.-Hallar la ecuación del plano que pasando por los puntos A(1,0,0) y B(0,2,0), corte al eje OZ en un punto C, tal que el área del triángulo ABC valga Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta r 4x y z 0 s: 2x 3y 5z 0 3x 5y 7z 5 0 : x y z 3 0 y es paralelo a 12.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto simétrico de (1,2,3) respecto de la recta x 1 y 1 z y que pasa por la recta 2x y 3z 1 x y z Dados los puntos A(3,2,0), B(1,0,1), C(2,-2,3) y D(-1,1,2), hallar: a) El área del triángulo ABC. b) E1 volumen del tetraedro ABCD. 6
7 c) Ángulo determinado por el plano ABC y la recta CD. d) Ángulo determinado por los planos ABC y BCD. e) Ecuación de la perpendicular común a las rectas AB y CD. 14.-Dado el plano de ecuación 2x - y - z = a, determinar el valor de m para que la recta paralela a ese plano. x 1 y z m 1 m 1 sea 7
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