Control de seguimiento de robots manipuladores, un estudio comparativo

Transcripción

1 Cotol de seguimieto de obots maipuladoes, u estudio compaativo M. e C. Josué R. MARÍNEZ Coodiació de Igeieía Mecatóica, Uivesidad Politécica de Pachuca Zempoala, Hidalgo CP. 4383, México D. Geado V. GUERRERO Depatameto de Igeieía Electóica, Ceto Nacioal de Ivestigació y Desaollo ecológico Cueavaca, Moelos CP. 6249, México D. Luis G. VELA Depatameto de Igeieía Electóica, Ceto Nacioal de Ivestigació y Desaollo ecológico Cueavaca, Moelos CP. 6249, México REUMEN Debido a las exigecias de calidad y apidez e los sistemas de poducció se ha geealizado el uso de obots maipuladoes e muchas aplicacioes e la idustia. Paa cubi dichas exigecias se equiee que el obot maipulado cuete co técicas de cotol más avazadas. E el siguiete documeto, se desaolla u estudio compaativo sobe la opeació que peseta u obot maipulado al se cotolado po u cotolado adaptable, u cotolado obusto y u cotolado PD teiedo como objetivo el cotol de posició y velocidad. El diseño de los cotoladoes se ealiza po medio del método diecto de Lyapuov. Las puebas se ealiza e difeetes situacioes de cambios de caga, cambios e los paámetos del obot, e el seguimieto de difeetes tayectoias. Las gáficas demuesta las caacteísticas de opeació del obot bajo las difeetes accioes de cotol y se detemia e que casos es mejo el uso de ua técica de cotol detemiada. Palabas Claves: Robot Maipulado, Cotol Adaptable, Cotol Robusto, Métodos de Lyapuov, Ídices de desempeño. 1. INRODUCCIÓN El popósito que peseta u sistema de cotol de obots es el matee u movimieto peestablecido del obot a lo lago de ua tayectoia deseada, cosideado las limitacioes físicas de los dispositivos actuadoes. E este atículo se peseta u estudio compaativo de las técicas de cotol PD, obusto y adaptable po medio de simulacioes de la opeació de u obot de 3 gados de libetad (gdl), paa medi el desempeño se utiliza los ídices IE, IAE y CE. E la secció 2 se descibe el modelo diámico de u obot de gdl. E la secció 3 se peseta el diseño de los cotoladoes. E la secció 4 se peseta las caacteísticas del obot CORBO ER-V+ y las simulacioes de su opeació. E la secció 5 se peseta los esultados del desempeño de los cotoladoes. Fialmete, la ecció 6 esume y peseta las coclusioes de este tabajo. 2. MODELO DINÁMICO Modelo Diámico El modelo diámico de obot maipulado co aticulacioes otatoias de gdl, si cosidea la ficció e las aticulacioes esta detemiado po la ecuació: M( q) q q ) q + g( q) = τ (1) Dode: M ( q) es la matiz de iecias, C( q, q ) es la matiz de fuezas cetífugas y de coiolis, g( q) es el vecto de fuezas gavitacioales y τ es el vecto de paes de etada. La Ec. (1) cueta co muchas popiedades impotates deto de las cuales destaca: Popiedad 1: La matiz de iecias M ( q ) es simética y defiida positiva. Popiedad 2: La matiz de iecias M ( q ) y la matiz de fuezas cetífugas y de coiolis cumple: x 1 M( q) C( q, q) x= 2. Popiedad 3: La ecuació (1) es ua epesetació o lieal especto a u vecto de estado q= [ q1 q2... q ], y se puede expesa e paámetos lieales especto a los paámetos costates del obot maipulado: M ( q) q q ) q + g( g) = Y( q, q, q ) θ 3. DIEÑO DE LO CONROLADORE DE EGUIMIENO DE RAYECORIA Paa el cotol de seguimieto de tayectoia (cotol de posició y velocidad) como pime paso, se defie el eo combiado de seguimieto como: s = q +Λq (2) Dode Λ= diag [ λ λ λ ], y defiiedo a la velocidad de efeecia: q = q Λq (3) d 38 IEMA, CIBERNÉICA E INFORMÁICA VOLUMEN 3 - NÚMERO 2 - AÑO 26 IN:

2 e tiee: s = q q (4) Popoiedo la fució cadidata Lyapuov: V( s) = s M( q) s (19) E [13] se obseva que cuado s y t se peseta que q y q. Cotolado Popocioal-Deivativo M q q + C q, q q a ambos lados de la Ec. (1): Restado ( ) ( ) ( ) + (, ) + ( ) = τ ± ( ) + (, ) M qq Cqqq gq M qq Cqqq (5) Agupado témios y aplicado la popiedad 3: M q s + C qq, s= τ Y qqq,,, q θ (6) ( ) ( ) ( ) Deivado la ecuació ateio y evaluado a lo lago de la tayectoia. V ( s) = s Ks+ s ω + Y( q, q, q, q ) θ (2) E la Ec. (2) el pime témio es defiido egativo, peo se tiee que aaliza el sigo del segudo témio. upoiedo que la icetidumbe esta acotada ( θ θ ρ). Haciedo ω = Y( q, q, q, q ) χ y sustituyedo e la ecuació (2). V s = s K s+ s Y q, q, q, q θ + χ (21) ( ) ( )( ) Paa el aálisis de la estabilidad la ecuació cadidata a Lyapuov popuesta es: V( s) = s M( q) s (7) Popoiedo que: ( Y s) 2 ; χ = ρ ε ρ sy + ε > (22) Deivado, evaluado a lo lago de la tayectoia y educiedo. V ( s) = s τ Y( qqq,,, q ) θ (8) Paa que la deivada de la ecuació de Lyapuov sea meo que ceo, y e cosecuecia el sistema sea estable, se popoe Ks = τ Y( qqq,,, q ) θ, sustituyedo e la ecuació (8). V ( s) = s K s (9) Co la Ec. (9) se ve que el sistema es asitóticamete estable y el eo combiado de seguimieto tiede a ceo. La ecuació del cotolado es: τ = Y( q, q, q, q ) θ K s (1) Cotolado Robusto Como pime paso, patiedo del cotolado popocioal Deivativo (Ec. (1)) y cosideado u vecto de paámetos omiales θ : τ = Y( q, q, q, q ) θ Ks (11) umado u témio a la Ec. (11) paa cotaesta la icetidumbe e los paámetos: τ = Y( q, q, q, q ) θ Ks+ ω (12) ustituyedo la Ec. (12) e la Ec. (1) paa obtee la ecuació de lazo ceado y estado M ( q) q q ) q a ambos lados de la ecuació. M( qs ) + Cqqs (, ) = M( qq ) + C( qqq, ) + g( q) M ( q) q q ) q g( q) (13) Ks+ ω Defiiedo: M ( q) = M ( q) M( q) (14) (, ) = (, ) (, ) g ( q) = g ( q) g( q) (16) θ = θ θ (17) C q q C q q C q q (15) Agupado témios y aplicado la popiedad 3: M( q) s + C( qq, ) s= Ks+ ω + Y( qqq,,, q ) θ (18) Co la poposició ateio se evita las discotiuidades e la señal de cotol, y paa que el sistema sea estable se equiee que s K s ε, co lo que el eo combiado de seguimieto se acota po: ε s (23) λ { K } mi Cotolado Adaptable Patiedo del cotolado omial (Ec. (1)) y tomado e cueta la icetidumbe e los paámetos: τ = Y( q, q, q, q ) ˆ θ K s (24) ubstituyedo la Ec. (24) e la Ec. (1) y estado M ( q) q q ) q a ambos lados: M ( q) s q ) s= Mˆ ( q) q ˆ (, ) ˆ + C q q q g( q) + Ks (25) M ( qq ) + Cqqq (, ) gq ( ) Agupado témios y aplicado la popiedad 3: M( q) s + C( qq, ) s= Ks+ Y( qqq,,, q ) θ (26) Popoiedo la fució cadidata Lyapuov. ( ) 1 1 ( ) 1 V s = s M q s+ θ Γ θ (27) 2 2 Deivado la Ec. (27) y evaluado a lo lago de la tayectoia. 1 V ( s) = s Ks+ θ Y ( q, q, q, q ) s+γ θ (28) Paa que la Ec. (28) sea defiida egativa se equiee: θ = ΓY ( q, q, q, q ) s (29) Co lo que la Ec. (28) se vuelve defiida egativa y e cosecuecia el sistema es estable: V ( s) = s K s (3) Los paámetos o vaía o lo hace muy leto, co lo que se cosidea θ = cte y θ =, po cosiguiete, la ecuació (29) se vuelve la ley de actualizació de paámetos. ˆ θ = ΓY ( q, q, q, q ) s (31) IN: IEMA, CIBERNÉICA E INFORMÁICA VOLUMEN 3 - NÚMERO 2 - AÑO 26 39

3 4. IMULACIÓN La figua 7 muesta al obot CORBO ER-V+, este obot es usado como objeto de estudio e las simulacioes, paa cotola paa posició del efecto fial. Los paámetos del obo maipulado so: Masa del elemeto i. m i m1 = kg, m2 = kg, m3 =.9888 kg, m = caga +.5 l i l ci I i f Logitud del elemeto i. l2 =.22 m, l3 =.22 m Distacia del ceto de masa al eje de gio del elemeto i. lc2 =.52 m, lc3 =.137 m Iecia del elemeto i I =.4624 kg m, m =.2545 kg m, m =.3616 kg m A cotiuació se peseta las gaficas de los eoes que peseta el sistema e el caso de que se tuviea u eo del 1 % y del 25 % e el valo de paámetos. La siguiete ecuació costituye la tayectoia a segui po las aticulacioes del obot y se muesta e la figua 8. π π 2t π 2t + ( 1 e ) + ( 1 e ) se( 2t) qd1 2t 2t q π π π d 2 ( 1 e ) ( 1 e ) se( 3t) = + + (32) q d 3 π π 2t π 2t + ( 1 e ) + ( 1 e ) se( 5t) Figua 3. Eoes de posició co eo del 1% e el valo de los paámetos Las siguietes gaficas muesta los eoes de posició y velocidad paa el caso ideal (modelado exacto y paámetos exactos). Figua 4. Eoes de velocidad co eo del 1% e el valo de los paámetos Figua 1. Eoes de posició del caso ideal Figua 5. Eoes de posició co eo del 25% e el valo de los paámetos Figua 2. Eoes de velocidad del caso ideal 4 IEMA, CIBERNÉICA E INFORMÁICA VOLUMEN 3 - NÚMERO 2 - AÑO 26 IN:

4 5. DEEMPEÑO DE LO CONROLADORE E la secció ateio se pesetao las gáficas de los eoes de posició y velocidad paa los casos dode el coocimieto de los paámetos es exacto, cuado se tiee u eo del 1 % y u eo del 25 % e el valo de los paámetos. E esta secció se peseta los valoes de los ídices de desempeño IE, IAE y CE paa los eoes de posició y velocidad. abla 1. Ídices de desempeño paa el caso ideal Posició Velocidad IE IAE IE IAE CE PD Robusto Adaptable Figua 6. Eoes de velocidad co eo del 25% e el valo de los paámetos Como se obseva e las figuas 1, 3, 5 (gáficas del eo de posició) los eoes de los tes cotoladoes se ecueta e iveles muy bajos (alededo del.18 e su caso máximo). El cotolado adaptable va mejoado su espuesta a segú se icemeta el mage de eo de del coocimieto de los paámetos y ateioes, e los cotoladoes PD y obusto el eo se icemeta auque e el cotolado obusto lo hace e u mage muy pequeño. E las figuas 2, 4, 6 (gaficas del eo de velocidad) el cotolado PD peseta los eoes de estado estable más gades. Los cotoladoes obusto y adaptable peseta u mejo cotol e estado estable, po muy poca difeecia la espuesta es mejo del cotolado adaptable. E la tabla 1, se ve que el cotolado obusto se destaca pues peseta los ídices de eo más pequeños ealizado el meo esfuezo de cotol. El cotolado PD y el cotolado adaptable cueta co valoes similaes e todos los ídices, cotado co valoes más pequeños el cotolado PD. El cotolado adaptable peseta el peo desempeño de los tes cotoladoes, paa el caso omial esto es debido a la adaptació de paámetos e base a la existecia de eo. abla 2. Ídices de desempeño co u eo de 1 % e los paámetos Posició Velocidad IE IAE IE IAE CE PD Robusto Adaptable E la tabla 2 se destaca que el cotolado adaptable peseta el mejo desempeño de ua maea global al tee meo eo co el meo esfuezo de cotol, el cotolado obusto sigue pesetado u bue desempeño si embago cueta co tasitoios más lagos que el cotolado adaptable, el cotolado PD elevó sus ídices de eo tato e el cotol de posició como e el cotol de velocidad. abla 3. Ídices de desempeño co u eo de 25 % e los paámetos Posició Velocidad IE IAE IE IAE CE PD Robusto Adaptable Figua 7.- Robot CORBO ER-V+ [11] E la tabla 3 se cotiúa la tedecia de degadamieto e la espuesta del cotolado PD. El cotolado obusto icemeta sus ídices de eo (debido al icemeto del eo de estado estable) El cotolado adaptable cotiúa pesetado el mejo desempeño. 6. UMARIO Y CONCLUIONE e desaollo ua compaació del desempeño de los cotoladoes de seguimieto del tipo PD, adaptable y obusto po medio de la simulació de la opeació del obot CORBO ER-V+ ate cambios e los paámetos del obot icluyedo cambios e la caga. Figua 8.- ayectoias deseadas A pati de los esultados de las simulacioes vemos que el cotolado adaptable es la mejo opció debido a que e los tes casos pesetados peseta bue desempeño co u esfuezo de cotol bajo. El cotolado obusto es ua buea opció espeado que el coocimieto de los paámetos sea pequeño. Como ea de espease el cotolado PD es el cotolado que peseta los peoes ídices de eo a lo lago IN: IEMA, CIBERNÉICA E INFORMÁICA VOLUMEN 3 - NÚMERO 2 - AÑO 26 41

5 de las tes puebas. Los esultados de las simulacioes os muesta que los tes cotoladoes peseta u mage de eo muy pequeño, lo que idicaía que e la páctica cualquiea de los tes cotoladoes puede se utilizado cofiado e tee ua buea espuesta po pate del obot. 7. AGRADECIMIENO Al CENIDE po cota co sus istalacioes paa este poyecto. A CONE po el apoyo bidado a este poyecto. 8. REFERENCIA [1] R. Kelly y V. atibáñez, Cotol de Movimieto de Robots Maipuladoes, Peaso Educació, 23 [2] J. J. E. lotie, Applied Noliea Cotol, Petice Hall, [3] J. R. Matíez, Cotoladoes de Robots Rígidos: U Aálisis Compaativo de las Metodologías de Cotol Clásico, Adaptable y Robusto Basadas e el Método de Lyapuov, CENIDE, 26. [4]. Abdala y R. Ñeco. Caacteizació de u obot maipulado aticulado, CENIDE, IEMA, CIBERNÉICA E INFORMÁICA VOLUMEN 3 - NÚMERO 2 - AÑO 26 IN: