Àmbit de les Matemàtiques, de la Ciència i de la Tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 4 POTÈNCIES I ARRELS

Transcripción

1 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels UNITAT POTÈNCIES I ARRELS

2 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels Què treballaràs? E acabar la uitat has de ser capaç de... Resoldre operacios amb potècies. Utilitzar la calculadora e les operacios amb potècies. Treballar amb otació cietífica. Resoldre operacios amb arrels.

3 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels. Potècia d expoet atural Ua potècia és u producte e què tots els factors só iguals. és ua potècia i l escrivim abreujadamet. Es llegeix : dos elevat al cub o dos elevat a tres i el seu valor és 8. (-) (-) (-) (-) és ua potècia i l escrivim abreujadamet (-). Es llegeix: meys cic elevat a la quarta o meys cic elevat a quatre i el seu valor és 6. és ua potècia i l escrivim abreujadamet. Es llegeix dos terços elevats a la ciquea o dos terços elevats a cic i el seu valor és o és ua potècia, perquè és u producte que o té tots els factors iguals. El factor que es repeteix s aomea base i el ombre de vegades que es repeteix, expoet. E la potècia la base és i l expoet és i l escrivim abreujadamet. E la potècia (-) (-) (-) (-) la base és (-) i l expoet és i l escrivim abreujadamet (-). expoet (-) expoet base base

4 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels Per calcular ua potècia amb la calculadora cal que localitzis la tecla x y o bé la tecla y x (depeet de la calculadora hi trobaràs ua o altra tecla). Si vols calcular, per exemple, ho has de fer seguit la seqüècia de tecles següet: X y y i veuràs que a la patalla apareix, que és el resultat de la potècia.. Potècia d expoet eter HI ha potècies que tee com a expoet u ombre eter egatiu. Per a calcular-les has de teir e compte el següet: Qualsevol potècia que té expoet eter egatiu és igual a l ivers de la mateixa potècia amb expoet positiu (-) - ( ) 6 8 Per calcular el valor de - amb la calculadora pots fer-ho seguit la seqüècia de tecles següet: X y +/- Veuràs que e la patalla t apareix 0, que és el resultat de la potècia.

5 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels. Sige d ua potècia El sige de les potècies depè del sige de la base i de si l expoet és parell o imparell. Vegem-ho e la taula següet: Expoet parell Base sige positiu La potècia té sige positiu Expoet imparell La potècia té sige positiu. 8 Base sige egatiu La potècia té sige positiu. (-) (-) (-) (-) (-) La potècia té sige egatiu. (-) (-) (-) (-) (-) (-) (-) A partir de la taula podem dir : -Si l expoet és parell, la potècia sempre té sige positiu. -Si l expoet és imparell, la potècia té igual sige que la base. Activitats d apreetatge Activitat Escriu cada ua de les expressios següets e forma d ua sola potècia, sempre que sigui possible. a) b) (-) (-) c) (-) (-) + (-) d). e) f) g).. h) Activitat Calcula el resultat de les expressios ateriors que has expressat e forma de potècia.

6 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels Activitat Escriu les següets expressios amb expoet positiu. a) (-) - b) c) d) 9 -. Operacios amb potècies.. Producte de potècies de la mateixa base Per multiplicar potècies de la mateixa base sumem els expoets i coservem la base.. 8 ( + 8) (-) (-) (-) (-) 9 (+ + ).. Activitats d apreetatge Activitat Escriu e forma d ua sola potècia els productes següets: a) b) (-) (-) (-) (-) c) d).. Activitat Completa les igualtats següets: a).?? b).? c) 8.?? d).? 6

7 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels.. Quociet de potècies de la mateixa base Per dividir potècies de la mateixa base, restem els expoets (expoet del umerador meys expoet del deomiador) i coservem la base. 8 : 6 (-) : (-) (-) (-) Activitats d apreetatge Activitat 6 Expressa les operacios següets e forma de quociet de potècies: a) b) c) d) Activitat Calcula els quociets de les potècies ateriors. a) c) b) d) Activitat 8 Calcula els productes i els quociets següets. a) (-) (-) c) (-) 6 : (-) e) : b) d) 9 6 : 9 f) 0 6

8 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels.. Potècia d expoet Teim dues maeres de resoldre el quociet següet : 6 :. Procedimet Procedimet 6 : 6-6 :.6 :. El resultat és el mateix:. L expressió o és ua potècia perquè o és u producte de dos o més factors iguals, però per covei diem que és ua potècia d expoet i escrivim. D igual maera: ; (-) -, i, e geeral, Qualsevol ombre elevat a val el seu valor... Potècia d expoet zero Les potècies d expoet zero só també potècies especials. Calcularem de dues maeres el quociet següet: 6 : 6. Procedimet Procedimet 6 : : 6.6 : 6 El resultat dels dos procedimets ha d ésser el mateix, per tat 0. D igual maera: 0 ; (-) 0 ; 0 i, e geeral, Qualsevol ombre elevat a 0 val Activitat d apreetatge Activitat 9 Calcula : a) 9 b) (-) 0 c) d) 0 8

9 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels.. Potècia d ua potècia Per elevar ua potècia a ua altra potècia multipliquem els expoets. ( ). ((-) ) (-) (-) 0 Activitat d apreetatge Activitat 0 Expressa les expressios següets e forma d ua sola potècia. a) [(-) ] 6 b) ( ) c) [(9) ] 0 d) ( 0 ).6. Potècia d u producte Per elevar u producte a ua potècia elevem cada u dels factors a aquesta potècia ( ) ( ) ( ) ( ) Potècia d u quociet Per elevar u quociet a ua potècia elevem el umerador i el deomiador a aquesta potècia. Exemple Activitat d apreetatge Activitat Comprova si só correctes o o les següets igualtats: a) ( ) d) ( :6) : 6 b) ( + ) e) 0 6 c) (9 - ) f) 0 8 : 9

10 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels. Operacios combiades Sovit hem de resoldre expressios combiades que pode coteir: parètesis, potècies, multiplicacios, divisios, sumes i restes. L ordre correcte de resolució d aquestes operacios és el següet: r. Resolem els parètesis, claudàtors i claus começat sempre pels més iteriors.. Operem les potècies e l ordre e què apareixe. r. Fem les multiplicacios i les divisios e l ordre e què apareixe. t. Calculem les sumes i les restes e l ordre e què apareixe. Exemple ( + ) 6 : ( + ) 6 : (6) 6 : 6 - Exemple + 0 : -. (8 9 +) + 0 : -. (8 9 +) + 0 : -. () + 0 : - 9. () Activitats d apreetatge Activitat Calcula el valor de les següets expressios: a) c) b) 0 - d) [(-) ] -6 : Activitat Calcula : a) (. 0 ) : 6 0

11 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels b) 8 : c) ( + - ) 0 : 6 ( ) d) 6. Notació cietífica La otació cietífica es facilita l expressió i el treball amb els ombres que só molt gras o molt petits. E la taula següet hi tes algus exemples de ombres gras i petits expressats e otació cietífica: Nombres gras Expressió del ombre e otació cietífica , , 0 Nombres petits Expressió del ombre e otació cietífica 0,, 0-0,06 6, 0-0,0098 9,8 0 - Com s expressa u ombre e otació cietífica? Com a producte d u ombre A per 0 elevat a u expoet b A és u ombre eter de l al 9 o u ombre decimal que té com a part etera u ombre de l al 9. b és u ombre eter positiu o egatiu. Nombre expressat e otació cietífica A 0 b Exemple Expressa el ombre e otació cietífica. Desplacem la coma dotze llocs cap a l esquerra i obteim el ombre, (Aquest ombre compleix la codició de otació cietífica perquè és u ombre decimal que té com a part etera u ombre de l al 9). Ja teim el ombre A. L expoet b té valor dotze positiu. Per tat : , 0

12 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels Exemple Expressa el ombre 0, e otació cietífica. Desplacem la coma u lloc cap a la dreta i obteim el ombre,. Aquest ombre compleix la codició de otació cietífica perquè és u ombre decimal que té com a part etera u ombre de l al 9. Ja teim el ombre A. L expoet b té valor egatiu. Fixa t que l expoet b sempre té el valor del ombre de llocs que has mogut la coma i el seu sige és positiu si has desplaçat la coma cap a l esquerra i egatiu si l has desplaçada cap a la dreta. Activitat d apreetatge Activitat Escriu els ombres següets amb otació cietífica. a) b) 6 c) 0, d) 0,00006 e).000 f), La otació cietífica i la calculadora Les tecles EXP +/- serveixe per itroduir els ombres e otació cietífica a la calculadora. Per itroduir, 0 - hem de fer-ho amb la seqüècia de tecles següet:. EXP +/-. La radicació Fis ara has treballat potècies, ua operació e què es coeix la base i l expoet, i a partir d aquestes dades es troba la potècia. Aquesta operació té ua operació iversa: la radicació. E aquest cas es coeix la potècia i l expoet i s ha de trobar la base. La radicació es l operació iversa de la poteciació

13 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels Ídex Radicad a b Arrel ídex a radicad b arrel Per calcular l arrel (b) has de buscar u ombre que multiplicat per si mateix tates vegades com idica l ídex () et doi el radicad (a). Exemple Doat el radical, idica l ídex i el radicad El radical té ídex i el radicad és. L arrel d ídex parell (,, 6...) d u radicad positiu té dues solucios: ua positiva i ua egativa. L arrel d ídex parell d u radicad egatiu o té solució, perquè u ombre egatiu multiplicat per si mateix u ombre parell de vegades és positiu. Exemple Calcula l arrel i expressa el radicad e forma de potècia de: 6, 8, 8 6 ±6 perquè (-6) 6 i (+6) 6 8 perquè 8 Exemple 8 perquè (-) 8 i (+) 8 ± Calcula l arrel de : 9, 8 Aquestes arrels o tee solució, perquè e tots dos casos l ídex és parell i el radicad és egatiu. Activitats d apreetatge Activitat Asseyala el radicad i l ídex de cada radical: a) 9 c) e) b) d) f)

14 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels Activitat 6 Calcula l arrel i expressa el radicad e forma de potècia: a) 6 c) 9 b) 6 d) L arrel d ídex d u ombre (a) és el mateix ombre: a a L arrel d ídex () d u ombre (a) elevat a la mateixa potècia que idica l ídex, és el mateix ombre: a a Exemple L arrel quadrada de es. Si e l arrel o hi ha escrit cap ídex, vol dir que es tracta d ua arrel quadrada (ídex ). Exemple L arrel d ídex de es 8. L arrel com potècia d expoet fraccioari Ua arrel es pot expressar e forma de potècia e la qual l expoet és ua fracció. El umerador de la fracció de l expoet correspo a la potècia del radicad i el deomiador de l expoet correspo a l ídex del radical: Exemple Activitats d apreetatge Activitat Expressa aquestes arrels e forma de potècia fraccioaria: 6 a) c) 6 e) 9 b) d) f) 00 Activitat 8 Expressa e forma de radical: a) c) e) b) 6 d) f) 9 6

15 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels 8. Operacios amb radicals 8.. Propietats Amb radicals es pode fer les mateixes operacios que coeixes: suma, resta, producte, quociet, potècies i arrels. Ara trobaràs ua sèrie de propietats que et servira per operar amb els radicals. Propietat Exemple Què has de fer Producte de radicals a b a b Per multiplicar radicals del mateix ídex has de deixar el mateix ídex i multiplicar els radicads. Quociet de radicals 9 9 Per dividir radicals dels mateix ídex a a has de deixar el mateix ídex i dividir els radicads. b b Potècia d ua arrel m m ( a ) a Arrel d ua arrel m a m a ( ) Per elevar u radical a potècia has d elevar el radicad a aquesta potècia. L ídex d ua l arrel d ua altra arrel es el producte dels ídex. La primera propietat, el producte de radicals, té ues aplicacios molt iteressats a l hora d operar amb arrels. Fixa t que aplicat aquesta propietat pots descomposar e factors el radicad, i treballar-ho per separat: Activitats d apreetatge Activitat 9 Calcula aquests productes d arrels: a) 9 c) 8 e) 8 b) 6 d) 8 9 f) 00 Activitat 0 Calcula els quociets: a) 8 c) 0 c) 6 b) 08 d) 80 f) 0

16 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels Activitat Fes aquestes operacios simplificat els resultats: a) 9 c) e) 9 b) 8 d) f) 8 8 Activitat Expressa com u sol radical: a) ( ) c) 9 e) 60 b) d) 8 f) Activitat Calcula les potècies d aquestes operacios amb arrels: a) ( ) c) ( ) b) ( ) d) ( ) Activitat Substitueix a pel seu valor, de maera que les igualtats sigui certes: 6 a) 9 a b) a 8.. Sumes i restes amb radicals Per poder sumar o restar diferets radicals ha de teir el mateix ídex i el mateix radicad. Exemple Fes les següets operacios: 6 + Podem treure factor comú, ja que ( 6 + ) 8 està multiplicat tots els termes, per tat: Exemple Suma aquests radicals: + No es pode sumar (tampoc es podrie restar), perquè els radicals tee ídex diferet Exemple Resta aquests radicals: + 0 6

17 M Operacios umèriques Uitat Potècies i arrels No es pode restar (tampoc es podrie sumar) perquè els radicads só diferets. Exemple Resol aquesta expressió: + 8 Com que l arrel d u quociet és el mateix que el quociet d arrels: + 8 Si descomposem e els seus factors teim que.., de la mateixa maera 8. Per tat: + L arrel quadrada d u ombre elevat al quadrat és el mateix ombre, per tat, podem treure de l arrel tat de l arrel del umerador de la fracció com de la segoa arrel: + Això és el mateix que: Activitats d apreetatge Activitat Calcula la fracció resultat : Activitat 6 Determia el valor d aquestes operacios pel mètode d extreure factor comú: a) b) c) Activitat Extreu els factors possibles d aquests radicals, de maera que les arrels resultats tigui el mateix ídex i el mateix radicad: a) b) c)