TEMA 8: TEOREMA DE PITÁGORAS. SEMEJANZA

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1 TEMA 8: TEOREMA DE PITÁGORAS. SEMEJANZA 8.1 Teorema de Pitágoras Tareas A: todas las actividades de la página 172. Tareas B: todas las actividades de la página 172. Ejemplo Aplica el Teorema de Pitágoras en las siguientes situaciones: a a La hipotenusa vale cm c c El cateto mide cm 1

2 Tareas A: todas las actividades de la página 173. Tareas B: todas las actividades de la página Aplicaciones del Teorema de Pitágoras Tareas A: todas las actividades de la página 175. Tareas B: todas las actividades de la página Figuras semejantes Ejemplo 1. Queremos ampliar esta lámina al tamaño que se indica. a. Calcula. La razón de semejanza La anchura, x, de la lámina ampliada: x cm La longitud del listón de la lámina ampliada: cm 2. Queremos hacer una fotocopia reducida de esta lámina, para que tenga el tamaño que se indica. a. Calcula el porcentaje que habría que introducir en la fotocopiadora para hacer la reducción P P % 12 b. Cuál sería la razón de semejanza entre las dos figuras? 2

3 12 razón de semejanza O también: 7. 8 razón de semejanza Tareas A: todas las actividades de la página 177 y 178. Tareas B: todas las actividades de la página 177 y Planos, mapas, maquetas Tareas A: encontrar tres mapas, uno con cada escala (numérica, gráfica, unidad) Tareas B: encontrar tres mapas, uno con cada escala (numérica, gráfica, unidad) Ejemplo 1. Sabiendo que hay 27 km en línea recta entre Altavista y Puerto Nuevo, calcula las distancias: a. Altavista-Puerto Oeste b. Puerto Nuevo-Punta Oeste Antes de nada mide con la regla: Altavista-P. Nuevo Altavista-P. Oeste 13.5 cm 8.8 cm P. Nuevo-P. Oeste 10 cm Ahora completa y calcula: Distancia en el mapa (cm) Altavista-P. Nuevo 13.5 cm 27 Altavista-P. Oeste 8.8 cm x P. Nuevo-P. Oeste 10 cm y a. x cm km b. y cm 20 km 2. Teniendo en cuenta la escala, calcula las distancias. a. Altavista-P. Nuevo b. Altavista-P. Oeste c. P. Nuevo-P.Oeste Dibujo anterior con la escala 1 : Antes de nada, mide con la regla: Distancia real (km) 3

4 Altavista-P. Nuevo Altavista-P. Oeste 13.5 cm 8.8 cm P. Nuevo-P. Oeste 10 cm Teniendo en cuenta la escala, calcula las distancias Ahora, calcula: a. Altavista-P. Nuevo km b. Altavista-P. Oeste cm km c. P. Nuevo-P. Oeste cm 20 km 3. Sabiendo que la distancia real entre Altavista y Puerto Nuevo es de 27 km, calcula: a. La escala a la que se ha dibujado el mapa. b. La distancia que recorrerá una avioneta que va de Altavista a P. Oeste, haciendo escala en P. Nuevo. Dibujo anterior con a. Calculo de la escala: Altavista-P. Nuevo 13.5 cm P. Nuevo-P. Oeste 10 cm en el mapa cm Distancia Altavista-P.Nuevo en la realidad 27 km Si la escala es 1 : e e e La escala es 1 : b. Distancias en el plano Altavista-P. Nuevo 13.5 cm P. Nuevo-P. Oeste 10 cm Recorrido en el plano de la avioneta cm Distancia total del viaje km 4. Este es el plano de una vivienda a escala 1 : cm Mide con la regla las distancias oportunas y calcula: a. Las dimensiones del salón. En el plano 9 cm x8 cm En la realidad cm 400 cm 4. 5 m 4 m b. La superficie del salón S salon m 2 c. Las dimensiones de la cocina. En el plano 4. 6 cm x6 cm 4. 5 m x4 m 4

5 En la realidad d. La superficie total de la vivienda. largo ancho cm 300 cm 2. 3 m 3 m cm 700 cm 8 m 7 m 2. 3 m x3 m 8 m x7 m 56 m2 Tareas A: todas las actividades de la página 180 Tareas B: encontrar tres mapas, uno con cada escala (numérica, gráfica, unidad) Tareas B: todas las actividades de la página Teorema de Tales Tareas A: todas las actividades de la página 181 Tareas B: todas las actividades de la página Semejanza de triángulos Tareas A: todas las actividades de la página 182 Tareas B: todas las actividades de la página 182 Ejemplo 1. Observa y completa paso a paso. Se trata de triángulos en posición de Tales, entonces son semejantes, por lo que se tiene que: x x Propiamente resuelto, sería: x6 72 x x 6 5

6 Se trata de triángulos en posición de Tales, entonces son semejantes, por lo que se tiene que: y x Propiamente resuelto, sería: y6 90 y y 6 2. Dados los siguientes triángulos en posicion de Tales, calcula los lados desconocidos. Tenemos dos triángulos, AB C y ABC, que tienen un ángulo común, siendo los lados B C y BC paralelos. Entonces son triángulos que están en posición de Tales y son por ello semejantes. En particular se tiene que: 8 a b 8 a 6 9 a b b En cada pareja de triángulos semejantes, calcula y completa: a. b x 5 y x x y x

7 c x 6 y x x y y x y x x y y Tareas A: todas las actividades de la página 183 Tareas B: todas las actividades de la página Aplicaciones de la semejanza de triángulos. Tareas A: todas las actividades de la página 184 Tareas B: todas las actividades de la página 184 Ejemplo 1. Rocío mide 1.70 m y comprueba que cuando su sombra mide 1.20 m, la sombra del árbol mide 4.80 m. Cuál es la altura del árbol? Gráficamente la situación es la siguiente: 7

8 Se trata de dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo igual (pues estamos hablando de las sombras a la misma hora del día): Â Â Entonces son triángulos semejantes por lo que en particular es cierto que: a s a t a a m Marcelo coloca una banderola de dos metros de altura, de forma que el extremo de su sombra coincide con el extremo de la sombra del árbol. Teniendo en cuenta los datos de la ilustración, calcula la altura del árbol. Son dos triángulos rectángulos que están en posición de Tales pues comparten un ángulo agudo, entonces son semejantes. En particular tenemos que: d d m El árbol mide 6.5 m 3. Una antena de comunicaciones se sostiene mediante cuatro cables que tienen la misma inclinación. Tres de los cables están amarrados al suelo, y el cuarto, al techo de una caseta como indica la figura. Con los datos de la ilustración, calcula la altura de la antena. 8

9 Esquemáticamente, la situación es la siguiente: Como todos los cables tienen la misma inclinación, los ángulos F y  son iguales (en los triángulos ABC y BFC, el ángulo B es el mismo). Entonces tenemos dos triángulos rectángulos, ABC y DEF, con un ángulo agudo igual. Por lo tanto son semejantes. En particular se tiene que: BC BC m La torre mide 12 m 4. Para calcular la altura de una torre, María clava en el suelo un listón de tres metros de altura y, después, retrocede hasta que coinciden en la visual los extremos del listón y de la torre. A continuación, toma las medidas que ves en la ilustración. Con esos datos resuelve el problema. Los triángulos ABE y AB E son rectángulos con un ángulo, Â, común. Entonces son 9

10 semejantes. En particular se cumple que: AE AE B E BE x x La torre mide 23 m Tareas A: todas las actividades de la página 185 Tareas B: todas las actividades de la página Construcción de una figura semejante a otra Tareas A: todas las actividades de la página 186 Tareas B: todas las actividades de la página m EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos: b Como tenemos un triángulo rectángulo sobre cuyos lados se construyen cuadrados de los cuáles queremos calcular el área de uno conociendo las áreas de los otros dos, aplicaremos el Teorema de Pitágoras. Es decir, el cuadrado de la hipotenusa sera igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 45 áreab 60 áreab m 2 3 Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo o obtusángulo. g 18cm, 80cm, 82cm lado grande lados pequeños 82cm 18cm, 80cm Calculamos: Las comparamos. Como entonces el triángulo es rectángulo. 4 Calcula el lado desconocido en cada triángulo: 10

11 Tenemos que calcular la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras. b 2 a 2 c b Entonces b 25 m Tenemos que calcular un cateto, aplicando el Teorema de Pitágoras. a 2 b 2 c b b

12 b Entonces b 63 mm 8 Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28dam. Gráficamente es: Como conocemos el perímetro, cada uno de los lados mide dam En el triángulo ABC podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular su diagonal pues es un triángulo rectángulo. c 2 a 2 b c La diagonal mide dam. Tareas A: 9, 10, 12(a,d,b), 13, Calcula la medida del lado de un rombo cuyas diagonales miden 1 dm y 2.4 dm. 12

13 El triángulo ABC es rectángulo por lo que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. b 2 a 2 c b El lado del rombo mide 1.3 dm 12 Halla la longitud x en cada una de las siguientes figuras. c Como tenemos un hexágono regular, el radio y el lado del polígono miden lo mismo.tenemos el triángulo rectángulo ABC donde podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. 13

14 b 2 x 2 a x x x La apotema mide km Se trata de la apotema pues es el segmento perpendicular a un lado por su punto medio: este segmento pasa por el centro del polígono regular. 15 En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcular la medida de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo,...). Si no es exacta, hállala con una cifra decimal. Tenemos que Perímetro Perímetro cuadrado Perímetro círculo Para calcular el primero me hace falta el lado del cuadrado. Consideramos el triángulo ABC que es isósceles rectángulo. En el podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. c 2 a 2 b c El lado del cuadrado mide 7.1cm Perímetro cuadrado cm Perímetro círculo cm Perímetro cm Área área círculo - área cuadrado c m 2 área círculo c m 2 área cuadrado c m 2 Tareas A: 16,17,18 Tareas B: 16,17,

15 En el triángulo ABC, como es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular el cateto c. b 2 a 2 c c 2 c c c 12m En el triángulo AEB, como es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular el cateto f. d 2 f 2 c f f f 25 5 f 5m En el triángulo BED, como es rectángulo, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular el cateto e. f e e 2 e e 16 4 e 4m El perímetro es m Finalmente Àrea azul área triángulo grande área triángulo pequeño m 2 área triángulo grande base altura m área triángulo pequeño m 2 Tareas A: 20, 21, 22, 24 Tareas B: 20, 21, 22, Dibuja en tu cuaderno una figura como la siguiente y amplíala al doble de su tamaño proyectándola desde el punto exterior O. 15

16 Desde O, trazar semirectas que pasen por los vértices de nuestro cuadrilátero. Elegir al azar uno de esas semirectas y medir la distancia, por ejemplo, entre O y A. Despúes, sobre esa misma semirecta, determinar otro punto, A, a partir de A, cuya distancia también sea la medida. Después, desde A, trazar paralelas a los lados que salen desde A para determinar otros dos puntos, B y D. Finalmente, desde uno de estos, por ejemplo B, trazar una nueva paralela al otro lado que llega a B, para determinar C. Tareas A: 26, 27, 28 Tareas B: 26, 27, Explica por qué estos dos triángulos isósceles son semejantes. Son dos triángulos isósceles cuyo ángulo desigual mide 20º. Entonces, los otros dos ángulos, que son los iguales, médiran º. 2 Por lo tanto, tenemos dos triángulos cuyos ángulos respectivos son iguales, entonces son semejantes. Tareas 26-h A: 30 Tareas B: Explica por qué son semejantes dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual. 16

17 Al ser triángulos rectángulos, tienen un ángulo recto, es decir, de 90º. Por lo tanto, en los dos triángulos, tendríamos dos ángulos que al sumarlos nos daría lo mismo, concluyendo que el tercer ángulo es igual. Por lo tanto, tenemos dos triángulos cuyos ángulos respectivos son iguales, entonces son semejantes. Tareas A: 31 los dibujos,32, 33 Tareas B: 31 los dibujos, 32, Para determinar que la altura de un eucalipto es de 11 m, Carlos ha medido la sombra de este (9.6 m) y la suya propia (1.44 m), ambas proyectadas por el Sol a la misma hora. Cuánto mide Carlos? Al estar hablando de la sombra a la misma hora del día, los dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual (Ĉ Ĉ (también podría ser  Â. Entonces son semejantes. En particular, sus lados respectivos son proporcionales: a c a c c c m Carlos mide 1.65 m Tareas A: 35 Tareas B: En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella que mide 1 m de altura en medio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. A qué distancia del suelo queda la estrella? Vamos a trabajar en el triángulo rectángulo BGC, donde aplicaremos el Teorema de Pitágoras 17

18 para calcular el cateto BG. BG 2 GC 2 BC 2 BG BG 64 8 El lado BG 8 m La altura a la que está la estrella será m Tareas A: 37, 38 Tareas B: 37, Las medidas de un coche teledirigido de Fórmula 1, a escala 1:40, son cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto. Cuáles son las dimensiones reales del coche? Como la escala es 1:40, esto quiere decir que 1 cm de la maqueta son 40 cm de la realidad. Entonces: cm 4. 7 m largo real cm 2 m ancho real cm 1. 2 m alto real Tareas A: 40 Tareas B: Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el agua)? Consideramos los triángulos rectángulos FEG y GAD. Como estamos considerando un haz de luz que sale de los ojos del chico reflejándose en el agua llegando hasta la punta de la torre, los ángulos Ĝ, son iguales en esos dos triángulos. Por lo tanto, tenemos dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo igual, entonces son semejantes. En particular los lados respectivos son proporcionales: FE EG BC DG DG DG Entonces la distancia entre el chico y la base de la torre es m Tareas A: 42, 43, 44 Tareas B: 42, 43, 44 18

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