es el lugar geométrico de los puntos p tales que ; R (1)

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2 LA RECTA DEL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS La recta en el plano como lugar geométrico Dados un punto p un vector no nulo u, la recta T paralela a u que pasa por p es el lugar geométrico de los puntos p tales que p o p // u o p o p o. T Recordar: Lugar geométrico (L.G.) es el conjunto de todos los puntos solo aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones dadas. p p o u De la definición anterior, podemos concluir: p T p o p // u o pp o pp u; R () A la expresión () la llamamos ecuación vectorial de la recta T paralela a u que pasa por p. Observación: Para distintos valores reales de se obtienen distintos puntos p pertenecientes a la recta. En particular para obtenemos el punto p. Fijado un sistema o; i; j, en él un punto u u ; u, para todo p x ; un vector no nulo punto p x; perteneciente a la recta T paralela a u que pasa por p resulta: pp u; R T p u x x ; u ; u x x ; u ; u de donde: x x u ; R u j i p x Es decir: P O L I T E C N I C O

3 Recta en el plano Matemática x x u T) u ; R () Coordenadas del punto de paso Parámetro Componentes escalares del vector dirección A la expresión () la llamamos ecuaciones paramétricas de la recta T que pasa por p es paralela al vector u. Ejemplo : Dados el punto b(-; 3) el vector u ( ; 4), determina: a) la ecuación vectorial de la recta A que tiene la dirección de u pasa por b. b) las ecuaciones paramétricas de A c) los puntos de la misma para los siguientes valores del parámetro: ; ; 3 d) si t(4 ;5) pertenece a A e) para que valores de se obtendrán los puntos simétricos de los anteriores con respecto al punto b Solución: a) la ecuación vectorial es A) x ; 3 ;4 con R x b) las ecuaciones paramétricas son : A) 3 4 ; R 5 c) Si = b ( 3; 7); si = b ; 5 si =- 3 b ; d) Reemplazando el punto en la recta A, resulta por lo tanto el punto t no pertenece a la recta A. = 6 4 ; R 5 34 = e) Para ; ; 3 se obtendrán los puntos simétricos del apartado ' anterior; a que si b es el simétrico de b, con respecto a b, entonces b b bb. P O L I T E C N I C O

4 ECUACIÓN CANÓNICA Ó SIMÉTRICA Sea una recta T dada por sus ecuaciones paramétricas: T) x x u u (a) ; (b) R Suponiendo u u distintos de cero, despejando de (a) de (b), resulta: x x () u u Igualando () (), obtenemos: () x x T) u u ; R A esta última expresión la llamamos ecuación canónica ó simétrica de la recta T. PROBLEMAS ) Determina la ecuación canónica de la recta que: u ; 5 a) es paralela al vector contiene al punto 6; 4 b) pasa por los puntos a5; 4 b 3; x 3 ) Dadas las rectas R) ; R x 4 a) un vector paralelo a T b) si son paralelas c) un punto de R otro de T x T) 5 8 4, determina: 5 x 3) La recta M tiene como ecuaciones paramétricas: ; R, determina. 3 a) Un punto perteneciente a M. b) Un vector paralelo a dicha recta. c) El gráfico de M. d) Las coordenadas de los puntos de intersección de M con los ejes coordenados. P O L I T E C N I C O 3

5 Recta en el plano Matemática 4) a) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta S que contiene al punto b (-; 4) es paralela al vector u 5;. b) Cómo determinarías un punto q, distinto de b, que pertenezca a la recta S?. Justifica c) Pertenece el punto de coordenadas (; -) a la recta S? Justifica. ECUACIÓN CARTESIANA Sea la recta T dada por su ecuación canónica T) x x u u (3) Trabajando algebraicamente en (3) resulta: u x x u u x u x u u u x u x u u u x u ux u (4) Si reemplazamos en (4) a u por a ; u por b ux u por c, obtenemos: ax b c A esta última expresión la llamamos ecuación cartesiana de la recta T dada por los coeficientes directores a b. Notemos que: el vector ;u b;a la recta. u es el que da la dirección de la recta, pues es paralelo a el vector a ;b verifica que a;b b;a a b b a, por lo tanto a ;b es perpendicular a b; a. Entonces en la ecuación cartesiana de una recta, los coeficientes de x e, en ese orden, dan las componentes de un vector perpendicular a la misma. En particular: Si u ;u o sea u // j. Las distintas ecuaciones de una recta paralela u, resulta que 4 P O L I T E C N I C O

6 a ;u u (paralela al eje ) que pase por x son: x x paramétricas: ; R u cartesiana x x Si u, la recta es paralela al eje x sus ecuaciones son: x x u paramétricas: ; R cartesiana Definición: Dadas las constantes a; b; c R con a b no simultáneamente nulas, se llama ecuación lineal en dos variables x e la expresión: ax b c donde a b son los coeficientes c es el término independiente. Teniendo en cuenta la definición anterior, resulta: Ejemplos: La ecuación de una recta es una ecuación lineal en dos variables. a) Dado el punto p; 4 el vector v 8; 6, determina la ecuación cartesiana de la recta R que pasa por p es paralela al vector v. P O L I T E C N I C O 5

7 Recta en el plano Matemática Solución: Como v 8; 6 // R (6; 8) R, es decir (a; b) = (6;8) reemplazando en la ecuación: ax b c resulta 6x 8 c pero p R 6. 8.(-4) c c, luego : 6x 8 es la ecuación de la recta R, o lo que es lo mismo, su equivalente : 3x 4 b) Halla la ecuación cartesiana de la recta T perpendicular al vector n ; 3 contiene al origen de coordenadas. Solución: Como n ; 3 T, reemplazando en: ax b c resulta que x - 3 c como (; ) T - 3. c c, luego : x - 3 es la ecuación cartesiana de la recta T, o su equivalente - x 3 Observación: O (;) R) ax+b+c = c = PROBLEMAS ; 3 ; 4, obtiene la ecuación cartesiana de la recta que ellos determinan. 6) Dado el triángulo abc con vértices a (-; ), b (5; ) c (; 3), halla la ecuación cartesiana de la recta que contiene a la mediana correspondiente al lado ab. 4; ; 6 c ; se le aplica una S, obteniéndose el 5) Dados los puntos 7) Al triángulo abc, donde a ; b triángulo a 'b'c'. Realiza el gráfico determina las coordenadas de los vértices del nuevo triángulo. Algunas coordenadas coinciden con las del triángulo abc?. Por qué? 8) Determina la ecuación de la recta que contiene al punto (-; 5) : a) es paralela a la recta de ecuación 3x + = b) es perpendicular a la recta de ecuación x + = c) al origen de coordenadas. ac 6 P O L I T E C N I C O

8 9) Determina la ecuación la gráfica del lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de a(3; ) b(; -). ) Determina analíticamente si los puntos a(; ), b(; 3) c(-; -) están alineados. ) Justifica que los puntos a(; 3); b(; ) c(,5;,5) son los vértices de un triángulo rectángulo. Luego determina: a) el punto intersección de las mediatrices de los catetos b) el punto medio de la hipotenusa. qué puedes concluir? ) Determina en cada caso, la ecuación de la recta R tal que p ; R a) es perpendicular al vector u 5; b) es perpendicular al eje x c) es perpendicular al eje d) tiene la dirección de la bisectriz del do 4 to cuadrante. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Definición: El ángulo entre dos rectas R R coincide con el ángulo que forman un par de vectores paralelos a cada una de ellas o su suplementario. Simbólicamente: R v v R, siendo v // R v // R Recordando la definición de producto escalar, resulta: R R R v v arccos v v v. v RR vv v v DOS POSICIONES MUY PARTICULARES R RECTAS PARALELAS Si dos rectas R ) ax b c R ) ax b c son paralelas, debe ocurrir que los vectores que definen la dirección de las mismas sean paralelos, es decir: P O L I T E C N I C O 7

9 Recta en el plano Matemática R //R b ; a // b ; a b ; a. b ; a R; b.b b a Entonces: con a b a.a b a Los cocientes de los coeficientes en x e de las rectas dadas son directamente proporcionales. Notemos que si alguna de las componentes de un vector es nula deberá ser nula la correspondiente en el otro vector dirección. (las rectas paralelas en este caso son paralelas a uno de los ejes coordenados). RECTAS PERPENDICULARES Si dos rectas R ) ax b c R ) ax b c son perpendiculares, debe ocurrir que: v v cosrr cosvv v v Entonces: v v v v v v, siendo v b ; // a R v b ; // R a b; a b; a bb aa bb aa O lo que es equivalente: a b a con b b b Notemos que si la primera de las componentes de uno de los vectores es nula deberá ser nula la segunda del otro vector (las rectas perpendiculares en este caso son paralelas a los ejes coordenados). Piensa responde: Qué significa geométricamente que: a b c sea? a b c a b c sea? a b c sea a b? a b 8 P O L I T E C N I C O

10 Ejemplos: a) Determina la ecuación cartesiana de una recta T paralela a S, no coincidente, x siendo S) ; R 3 5 Solución: Como u : 5 es paralelo a S, resulta que T podría ser: -5 x =. b) Si W es la recta de ecuación: x =, determina la ecuación de una recta L tal que L perpendicular a W. Solución: El vector ( ; -) es perpendicular a W, por lo tanto dicho vector es paralelo a L. La ecuación podría ser: x =. PROBLEMAS x 3) Dada las rectas T) ; R S) - x - - 8, determina: 3 a) la medida del ángulo que forman b) las coordenadas del punto de intersección de las mismas 4) Los puntos a(; ), b(-; 3), c( ; 5) d(5; 5) son los vértices de un cuadrilátero. a) Justifica que abcd es trapecio rectángulo b) Indica la ecuación de la recta que contiene a la base media del abcd. x 4 5) Sea la recta T) ; R 3 a) Representa de ella sólo los puntos correspondientes a = = - b) Pertenece El punto p( ; 3) a T? Justifica. x c) Calcula el ángulo formado por las rectas T S siendo S S) 3 d) Escribe la ecuación cartesiana de T grafícala. e) Halla el punto de abscisa 8 que pertenece a T. 6) La recta x, una recta paralela a ella que pasa por el punto (; 5) determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio isósceles. Cuál es su área? P O L I T E C N I C O 9

11 Recta en el plano Matemática 7) Determina de modo que las rectas R ) x R ) x sean: a) Paralelas. b) Secantes 8) Analiza el paralelismo o perpendicularidad de los siguientes pares de rectas. En el caso de ser secantes determina el punto de intersección. x 3 5 x x a) b) e) x 4 3 x 4 6x 3 c) x x ECUACIÓN EXPLÍCITA d) x x 5 Dada la recta R) ax b c con b, resulta: - c ax ax b c b -c ax b De donde: mx h a c x b b m h A esta nueva ecuación la llamamos ecuación explícita de la recta R. Interpretación de m h Si x m h h p ;h pertenece a la recta es el punto de intersección de la misma con el eje de las ordenadas (eje ). Al número h lo llamamos ordenada al origen. ; es decir, el punto h p p x Si tomamos dos puntos p x ; p x ; cualesquiera de la recta, resulta: p mx mx h tg h x x mx h mx x x h m x x x x m P O L I T E C N I C O

12 De lo anterior podemos concluir que el número m es la tangente trigonométrica del ángulo que la recta forma con el sentido positivo del eje de las abscisas (eje x). Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto q( ; -3) forma un ángulo de 35 con el sentido positivo del eje x. Solución: La recta buscada será de la forma: = m x + h Como h = -3 = m x - 3, además m = tg 35 = -, luego su ecuación es: = - x - 3 ECUACIÓN SEGMENTARIA Dada una recta R) ax b c con a ; b c, es decir, no paralela a los ejes ni que pase por el origen de coordenadas, resulta: ax b c De donde: () ax b -c a b x () c c x (3) c c a b p q x p q () Sumando (-c) a ambos miembros. () Multiplicando por a c ambos miembros. (3) Definición de división. Esta última expresión es la ecuación segmentaria de la recta R. Observación: x Si x p el punto p ; es el punto de intersección de la p recta con el eje x al número p lo denominamos abscisa al origen Si x q el punto ; q es el punto de intersección de la q recta con el eje al número q lo denominamos ordenada al origen Es evidente la utilidad de expresar a la ecuación de una recta, no paralela a los ejes ni que pase por el origen de coordenadas, en su forma segmentaria a P O L I T E C N I C O

13 Recta en el plano Matemática que facilita enormemente su representación gráfica PROBLEMAS x, las rectas R ) x R ) ; R, determina: 3 a) Las coordenadas de p tal que R eje x p b) La ecuación de la recta R 3, en forma segmentaria, tal que R3 R que contenga al punto (; 3) c) La ecuación de la recta R 4, en forma explícita, tal que R 4 // R su abscisa al origen es -. 9) Dados en un ; i; j ) Encuentra la ecuación cartesiana de la recta que corta al eje x en (-3; ) forma un ángulo de 6º con dicho eje. ) Determina la ecuación segmentaria de una recta que es paralela al vector 3; 3 pasa por el punto (4; ). ) Escribe la ecuación de la recta R en la forma que más se adecua a los datos suministrados en cada uno de los siguientes casos: a) Corta a los ejes en los puntos (-; ) (; -). b) Corta al eje x en el punto (-; ) forma con el sentido positivo del mismo, un ángulo de 45º. c) Corta al eje en el punto (; -) forma con el semieje positivo de las x un ángulo de 6º. 3) Dada la ecuación de R, en cada caso determina, si es posible, la pendiente, la abscisa la ordenada al origen de la misma: a) x 3 d) x b) 3x 5 x 3 e) ; R c) x x f) 3 4) Determina la ecuación de la recta R si sabes que interseca a los ejes coordenados en los puntos (-3; ) (; -). P O L I T E C N I C O

14 5) Demuestra que la recta que pasa por los puntos p(x;) q(x;) tales que tiene por ecuación: x x x x 6) Coloca V (verdadero) o F(falso) justificando tu respuesta: x a) El área del triángulo determinado por las rectas ; 4x x es 37, x b) Las rectas M) x S) ; R tienen la misma ordenada al 4 origen. c) La ecuación segmentaria de la recta T, que pasa por p(-; 3) es x perpendicular a la recta 4x 3 5 es. 6 9 d) La pendiente de la recta que contiene a la altura ad del triángulo abc es siendo a(-; 5), b(6; ) c (; -4)., 3 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Analizaremos a continuación el problema de cómo calcular la distancia desde un punto p cualquiera a una recta R ( p no perteneciente a R). Para ello te proponemos algunas estrategias de solución. Procedimiento Ubica R p en un gráfico luego realiza los siguientes pasos: i. ubica un punto p cualquiera de R. ii. determina p iii. considera un vector n normal (perpendicular) a R P O L I T E C N I C O 3

15 Recta en el plano Matemática iv. la distancia de p a R esta dada por dist(p ;R) pro n pp Procedimiento Ubica R p en un gráfico luego realiza los siguientes pasos: i. determina la ecuación de una recta R, perpendicular a R que pase por p ii. halla R R p iii. la distancia de p a R esta dada por dist(p PROBLEMAS ;R) dist(p ;p ) pp 7) Dados la recta R) ax b c desde el punto x ; el punto p x ;, demuestra que la distancia b p a la recta de ecuación R es dist p;r 8) Dada la recta de ecuación R) x, determina: a) La distancia de p ; 3 a R. b) La distancia entre R M) x 3. ax a b c 4 P O L I T E C N I C O

16 Respuestas: ) ) 3) a) x b) x a) 8; 5 b) No son paralelas pues 3; // R ; 8; 5// T el vector 3; no es paralelo al vector 8; 5 c) ; 4R 5; 4 T a) Si, entonces ; 3 M b) u ; 3 c) d) El punto de intersección con el eje x es ; 3 punto de intersección con el eje es ; el x 4) x 5 a) ; R 4 b) Si el punto que se obtiene es distinto del punto b. Por ejemplo si, el punto de coordenadas (-6; 6) pertenece a S c) El punto (; -) no pertenece a S, pues: 6 si x para dicho valor de el valor de sería no ( -) 5 5 5) R) x+-= 6) La ecuación de la recta es x = 7) a' (4;), b ( 7 4 ; ) c (;). Si, porque a c son puntos unidos ) a) -3x+-6 = b) x- +9 = c) 5x + = 9) El lugar geométrico es la mediatriz del ab su ecuación es -3x = P O L I T E C N I C O 5

17 Recta en el plano Matemática ) ab ) - x + - = c ab no están alineados. ) ca x cb = acb = R a) (; 3 ) b) Es el mismo. ) a) 5 x - = b) x = - c) = - d) x = 3) a) El ángulo entre las rectas T S es de 7º ; 5 b) 4) a) Para que abcd sea un trapecio rectángulo, debemos probar que bc // ad que bc ba bc ; bc // ad ad 4; abcd es un trapecio rectángulo bc ba ; ; bc ba b) La ecuación es: -x + 4 = 5) a) Si ; 9 si b) El punto p no pertenece a T 3; 5 c) El ángulo formado por T S es 6º 5 8 d) 7 La ecuación de la recta T es x e) Las coordenadas del punto son 8; - 6) El área del trapecio es. 7) a) = - b) - 8) a) Son paralelas no coincidentes. b) Son paralelas coincidentes. c) Son secantes no perpendiculares se cortan en el punto (-;4) d) Son paralelas no coincidentes. e) Son perpendiculares se cortan en el punto 43 ; 6 P O L I T E C N I C O

18 9) a) p(3; ) x b) La ecuación de la recta R3 es 3 3 c) La ecuación de la recta R4 es = x + ) = 3 x 3 3 x ) 5 5 x ) a) b) = x + c) = 3 x d) 3) a) m = p = 3 p = 5 3 q = 3 5 b) m = 3 q = c) m = p = q = d) m = - p = q = e) m = f) m = 3 p = - q = 3 3 p = q = -3 x 4) R) 3 6) a) b) c) Verdaderos d) Falso 7) Para demostrar que distp;r Entonces: ax b c, utilizaremos el procedimiento. a b p x; R ax b c c ax b () º) tomamos un punto º) determinamos el vector pp x x; 3º) armamos un vector n normal (perpendicular) a la recta R, por ejemplo, n a;b 4º) la distancia de p a R esta dada por dist(p;r) pro n p p pp n n x x ; a;b x x.a a b a b.b ax b a ax b b () ax b c a b 5 8) a ) b) P O L I T E C N I C O 7