3.1 Circunferencia 3.2 Parábola 3.3 Elipse 3.4 Hiperbola

Transcripción

1 Moisés Villen Muñoz Cónis. Cirunfereni. Práol. Elise. Hierol Ojetivos. Se ersigue que el estudinte: Identifique, grfique determine los elementos de un óni onoiendo su euión generl. Ddo elementos de un óni enuentre su euión. Resuelv rolems de liión emlendo teorí de ónis 9

2 Moisés Villen Muñoz Cónis L Euión Generl de un óni, tiene l form: A B C D E F 0 Con A 0 ó B 0 ó mos. Considerremos E 0 r l resentión que nos roonemos her... Cirunfereni... Definiión. Se C un unto del lno se r un número rel ositivo. Se define l irunfereni omo el lugr geométrio de los untos P, tl que l distni de P C es igul r. Es deir: { P, / d P, C r} C Al unto C se le denomin entro de l irunfereni r se le denomin rdio de l irunfereni.... Euión nóni de l irunfereni Suongmos que C tiene oordends h, k P, r h k O, C h, k L distni entre los untos P, de l irunfereni el unto, l ul denotmos omo r, está dd or entones, tenemos: r r h k, h k Euión nóni de un irunfereni. Pr r > 0. 50

3 Moisés Villen Muñoz Cónis Si r 0, tenemos h k 0, el lugr geométrio es el unto C h, k. Por qué? Si r < 0, l euión no reresent lugr geométrio. Por qué? Oserve que en l euión generl, deemos tener omo ondiión neesri ero no sufiiente que A B 0. A A C D F 0 Podemos drle otr form l euión. Dividiendo r A: Result A A C D F 0 A A A A A C D F 0 Un tio eseil de irunfereni es quell que tiene or euión: Es deir, un irunfereni on entro C 0,0, el origen: r r O 0,0 r r 5

4 Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemlo Grfir l irunfereni que tiene or euión 6 0 Soluión L euión generl dd, l trnsformmos l euión nóni omletndo udrdos Tenemos un irunfereni de rdio r 5 entro C, r 5 C, Ejeriios Prouestos.. Grfique el lugr geométrio definido or d un de ls siguientes euiones: d Determine l euión de l irunfereni que ontiene los untos A 0,6, B,5 uo entro se enuentr sore l ret definid or l euión. Res. 5. Determine l euión generl de un irunfereni tngente l ret definid or l euión 5 0,, está entrd en el unto Res L interseión de ls rets L : 0 L : 0 es el entro de un L : irunfereni que es tngente l ret 0. Determine l euión de l irunfereni. 8 6 Res Determine l longitud de l uerd de l irunfereni que tiene omo euión 6 0 onoiendo que el unto medio de dih uerd tiene 7 oordends 7,. Res

5 Moisés Villen Muñoz Cónis.. Práol... Definiión Se l un ret se F un unto. L ráol se define omo el lugr geométrio de los untos P, tl que su distni l unto F es igul su distni l ret l. Es deir: Práol { P, / d P, F d, l } Al unto F se le denomin foo de l ráol l ret l se le denomin diretriz de l ráol. euión.. Euión nóni Suongmos que F tiene oordends, on > 0. Oserve l gráfi: 0 l ret l tiene d, F P, F 0, d, l V 0,0 l Oserve que 0 que d P, l d P, F. Igulndo distnis resolviendo: d P, F d P, l 0 0 Al unto V se le denomin vértie de l ráol, en este so tiene oordends 0,0. A l ret erendiulr l diretriz, que ontiene l vértie l foo, se le denomin Eje Fol. Oserve que r l ráol nterior el eje fol es el eje. 5

6 Moisés Villen Muñoz Cónis Oserve demás que l ráol es ónv hi rri. Al segmento de ret erendiulr l eje fol que s or el foo que tiene omo etremos los dos untos de l ráol, se denomin ldo reto tiene un medid de. Demuéstrele! Suong hor que el vértie no es el origen, que tenemos V h, k, entones su euión serí: Y su gráfio serí: h k P, F h, k V h, k l k Pr otros sos, tenemos: h k Un ráol on eje fol vertil, ero ónv hi jo. Eje fol diretriz l V h, k k foo F h, k 5

7 Moisés Villen Muñoz Cónis Si l ráol tiene euión k h, Su eje fol será horizontl demás será ónv hi l dereh: l h V h, k F h, k Si l ráol tiene euión k h. Su eje fol será horizontl, ero hor será ónv hi l izquierd: h l F h, k V h, k 55

8 Moisés Villen Muñoz Cónis En l euión generl A B C D F 0 se drá que A 0 o B 0 ero no mos. Ejemlo Grfir l ráol que tiene or euión Indique oordends del vértie, oordends del foo, euión de l ret diretriz. SOLUCIÓN: Desejndo l vrile udráti r omletrle udrdos grundo, tenemos: Se dedue entones que: 5. L ráol tiene vértie V,.. El eje fol es rlelo l eje. L ráol es ónv hi rri. deido que 6. Relizndo su gráfi tenemos: F, 5 V, Ejemlo Hllr l euión generl de l ráol que tiene foo el unto de oordends, diretriz l ret on euión. SOLUCIÓN En rimer lugr reresentmos el foo l diretriz en el lno rtesino. 56

9 Moisés Villen Muñoz Cónis diretriz F, V, Eje fol Conluimos que:. El vértie dee tener oordends,. El eje fol es rlelo l eje. L ráol es ónv hi l izquierd.., distni del vértie l foo o distni del vértie l diretriz. 5. L euión de trjo es k h Bien, reemlzndo los vlores en l euión de trjo, tenemos: Ejemlo Un uente olgnte de 0 m de longitud tiene tretori róli sostenid or torres de igul ltur si l diretriz se enuentr en l suerfiie terrestre el unto más jo de d le está 5 m de ltur de dih suerfiie, hllr l ltur de ls torres. SOLUCIÓN: Primero hemos un reresentión gráfi de l informión rooriond, trjndo en el lno rtesino, es mejor oner el vértie en el origen: 0 m P 60, 60 } V 0,0 } 5m h Suerfiie terrestre Diretriz 57

10 Moisés Villen Muñoz Cónis L euión de l tretori serí: 5 60 Utilizndo l euión de l tretori determinmos : Por lo tnto l ltur de ls torres serí: h h 60 5 h 75m Ejeriios Prouestos.. Grfique el lugr geométrio definido or d un de ls siguientes euiones: Indique todos sus elementos d Determine l euión de l ráol u diretriz es l ret definid or, ontiene l unto 0, l menor distni entre l ráol l diretriz es igul. Res. 8. Determine l euión nóni de l ráol donde l ret diretriz tiene l euión 0 los etremos del ldo reto son los untos A 0, B 8,. Res. 8. Enuentre l euión de l ráol que ontiene los untos: 0,0,,,, Res Enuentre l euión de l ráol que ontiene los untos:,,0,,,0 8 8 Res

11 Moisés Villen Muñoz Cónis.. Elise.. Definiión. Sen F F dos untos del lno se un onstnte ositiv. L Elise se define omo el lugr geométrio de los untos P, tles que l sum de su distni F on su distni F es igul. Es deir: Elise { P / d P, F d P, F }, A F F se les denomin foos de l elise reresent l medid del semieje mor de l elise... Euión Cnóni Sen F,0 F,0, oserve el gráfio: P, V,0 F,0 O0,0 F,0 V,0 Eje fol De l definiión tenemos: P F d P, F, d 0 0 Desejndo un rdil, elevndo l udrdo reduiendo términos semejntes: 59

12 Moisés Villen Muñoz Cónis 60 Dividiendo r, elevndo l udrdo reduiendo términos semejntes: [ ] [ ] Dividiendo r Finmente, llmndo tenemos: Euión nóni de l elise on entro 0,0 O eje fol horizontl reresent l longitud del semieje menor, Oserve l gráfi nterior. Aquí el ldo reto tiene dimensión. Demuéstrelo! Pr los sos generles tenemos: Suong que el vértie es el unto, k h V, que el eje fol se horizontl entones su euión serí: k h Y su gráfi serí:

13 Moisés Villen Muñoz Cónis V h, k F h, k O h, k F h, k V h, k Oservión: L direión del eje fol está indid or el término que tiene el mor denomindor, es este so ese serí el vlor de. Oserve tmién que >. Por lo tnto, si el eje fol fuese vertil, su euión serí: Y su gráfi serí: k h V h, k F h, k O h, k F h, k V h, k 6

14 Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemlo Grfir l Elise que tiene or euión Indique todos sus elementos. Soluión L euión generl dd, l trnsformmos l euión nóni omletndo udrdos 5 5 Ahor dividimos r L últim euión nos indi que l elise tiene:. Centro 0, Eje fol vertil, deido que el mor denomindor está sore el termino que ontiene Entones Lo nterior nos ermite lulr el vlor de. Por lo tnto l gráfi serí: V,8 Eje Fol F,6 O, F,0 V, 6

15 Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemlo Hllr l euión generl de l Elise ue eje mor mide 0 uniddes los foos son los untos de oordends 0,.5 0, 5. SOLUCIÓN: Primero reresentmos en el lno rtesino los untos ddos. V 0,0 F 0,5 O0,0 F 0, 5 V 0, 0 Oservmos que l elise tiene omo eje fol, el eje, que 5. Como nos dien que el eje mor mide 0 uniddes, entones 0 Esto, nos ermite lulr : Finlmente l euión de l elise serí: Ejemlo Un ist de rros tiene form de elise, el eje mor mide 0 km. Y el eje menor 6 km. Determine l distni que se enuentr un rro del entro de l ist en el momento en que s l ltur de uno de los foos. Soluión Reresentndo en el lno rtesino l informión rooriond, tenemos: 6

16 Moisés Villen Muñoz Cónis rro V 5,0 O0,0 d V 5,0 F,0 F,0 L euión de l elise serí: 5 Como 5 entones L dimensión de l ltur de uno de los foos l elise es l mitd de l dimensión del ldo reto d 9 5 Emlendo el teorem de Pitágors, result: d d Ejeriios Prouestos.. Grfique el lugr geométrio definido or d un de ls siguientes euiones: Indique todos sus elementos Si los foos de un elise son los untos F,, F, el erímetro del triángulo uos vérties son los foos un unto de l elise, es igul 6, determine l euión de l elise. Res El ro de un uente es semielítio, on eje mor horizontl. L se tiene 0 m. su rte más lt on reseto l tierr es 0 m. Determine l ltur del ro 6 m. del entro de l se. Res. h m. Determine los vlores de k r que l euión k desri un elise. Res. k > 9 6

17 Moisés Villen Muñoz Cónis.. Hierol.. Definiión. Sen F F dos untos del lno se un onstnte ositiv. L Hiérol se define omo el lugr geométrio de los untos P, del lno tles que el vlor soluto de l difereni de su distni F on su distni F es igul. Es deir: Elise { P / d P, F d P, F }, A F F se les denomin foos de l hiérol... Euión Cnóni Sen F,0 F,0, oserve el gráfio: P, F,0 V,0 V,0 O0,0 F,0 De l definiión tenemos: P F d P, F, d 0 0 Desejndo un rdil, elevndo l udrdo reduiendo términos semejntes: 65

18 Moisés Villen Muñoz Cónis 66 Dividiendo r, elevndo l udrdo reduiendo términos semejntes: [ ] [ ] Dividiendo r Finmente, llmndo tenemos: Euión nóni de l hiérol on entro 0,0 O eje fol horizontl Aquí reresent l longitud de un segmento Oserve l gráfi nterior llmdo semieje onjugdo,. Pr los sos generles tenemos: Suong que el vértie es el unto, k h V, que el eje fol se horizontl entones su euión serí: k h Y su gráfi serí:

19 Moisés Villen Muñoz Cónis F h, k V h, k O h, k F h, k V h, k OBSERVACIÓN: L direión del eje fol est indid or el término ositivo demás sore este término estrá. Por lo tnto, si el eje fol fuese vertil, su euión serí: Y su gráfi serí: k h Eje fol F h, k V h, k O h, k V h, k F h, k 67

20 Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemlo Grfir l hiérol que tiene or euión 6 0. Indique oordends de los vérties, oordends de los foos euiones de ls síntots. Soluión Agrundo omletndo udrdos r drle l form nóni l euión: Se onlue que:. L hiérol tiene eje fol vertil, deido que el termino ositivo es el que ontiene... El vlor de se lo lul emlendo l fórmul, es deir: Por lo tnto su gráfi serí: Eje fol F, V, V, C, F, Ls euiones de ls síntots se determinn igulndo ero l euión nóni: 0 ± ± ± 68

21 Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemlo Hllr l euión generl de l óni que tiene or foos los untos, 7, ; or vérties los untos, 6, Soluión: Reresentndo los foos vérties en el lno rtesino, smos ls onlusiones neesris r lnter l euión usd F, O, V, V 6, 7, F Del gráfio se oserv que:. El eje fol dee ser horizontl.. El entro tiene oordends 0,.. El vlor de se lul emlendo l formul, es deir: 9 5 Ahor hllndo l euión de l hiérol, tenemos: Ejeriios Prouestos.. Grfique el lugr geométrio definido or d un de ls siguientes euiones: Indique todos sus elementos Determine l euión de ls síntots de l hiérol definid or Res. ± 69

22 Moisés Villen Muñoz Cónis. Determine l euión de l ret que ontiene l entro de l hierol u euión es es erendiulr l ret definid or l euión 9 0. Res Determine l distni entre los vérties de l óni on euión Res Si un hiérol, un irunfereni de rdio 5 el retángulo ABCD de ldo AB 6, están uidos en el lno rtesino omo se muestr en l figur, determine l distni entre los vérties de l hiérol. Res. d 0 Otrs regiones del lno, imortntes onsiderr, serín quells que están definids or ineuiones. Ejemlo Grfique l región del lno R, SOLUCIÓN: { / > } > < 70

23 Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemlo Grfique l región del lno R, { / } < > Ejemlo Grfique l región del lno R, { / } < > > 7

24 Moisés Villen Muñoz Cónis Ejemlo Grfique l región del lno R, { / },5, Ejemlo 5 Grfique l región del lno {, / } R 7

25 Moisés Villen Muñoz Cónis Ejeriios Prouestos.5. Si, :, grfique A,.. Grfique ls regiones en el lno definids or: < Grfique en el lno el onjunto soluión de los siguientes sistems: 6 > < Miseláneos. Grfique el lugr geométrio definido or d un de ls siguientes euiones: indique vérties, foos, entros síntots Clifique omo Verdder o fls d un de ls roosiiones. Justifique formlmente su resuest.. L euión reresent un irunfereni r todos los números reles diferentes de ero,,.. L distni entre los foos de l gráfi de es. L euión k 0 desrie un irunfereni si sólo si k,, d. El vértie de un ráol es el foo de l otr ráol vievers, si l euión de un de ells es 0, entones l euión de l otr ráol es 0 e. L óni de euión, tiene su foo en, 0. f. Se l ráol P, u euión es P: 5 0, su foo tiene or 07 oordends F 0, 0 g. Se l euión A 0 on Re ; A > 0, l euión desrie un hiérol. h.. Determine l euión de l irunfereni que tiene omo entro el vértie de l ráol que tiene or euión 0, ontiene l foo de l mism. Res. 6 7

26 Moisés Villen Muñoz Cónis. Un irunfereni tiene or euión. L ret de euión k donde k R, es tngente l irunfereni. Hlle todos los vlores osiles de k. Res. k ± 5. Determine l euión del onjunto de untos P, tles que l sum de l distni de P los untos,0,0 es. Res Determine l euión del lugr geométrio de los untos P, tles que l distni l unto, es dos vees l distni l ret definid or l euión 0. 5 Res. 7. Un vión sigue un tretori tl que su distni un estión de rdr situd en el unto,0 es igul un terio de su distni un rreter que sigue el treto de l ret definid or. Determine l euión de l tretori que sigue el vión. Res Determine l euión del lugr geométrio omuesto de untos P, que umlen on l ondiión de que su distni l eje es el dole que su distni l unto,-. Res Un unto se mueve de tl mner que su distni l unto,- es siemre igul un terio de su distni l unto,. Determine l euión del lugr geométrio, Res Determine l euión generl del lugr geométrio definido or el onjunto de untos, uidos en el lno tles que l distni l unto, es el dole de l distni l ret definid or l euión 0. Res Determine l euión del lugr geométrio de un unto que se mueve de tl mner que l distni l ret 0 es siemre dos uniddes mor que su distni l unto,. Res. 0. Se 5 0, : hllr A,. 5 0 Res. A, { 7,, 7,, 7,, 7, }. Hllr los vlores de r los ules el sistem: tiene soluión úni. Res. ± Se el sistem,, R. Enuentre los vlores de 8 6 0, r que el sistem teng soluión en R. Res. > 0 > 5. Enontrr el onjunto soluión de los siguientes sistems relie ls resetivs gráfis

27 Moisés Villen Muñoz Cónis A,,9,, Res.. { }. A, {,,, }. A, {,5,,5, 5,, 5, }. A, {,,,,,,, } 6. Hllr l euión de l ret que ontiene l unto -,6 es tngente l lugr geométrio que tiene or euión 6 0. Res Hllr l euión de l ret que tiene endiente es tngente l lugr geométrio que tiene or euión Res. 7 o 8. Hllr l euión de l ret que es rlel l ret que tiene or euión 0 es tngente l lugr geométrio que tiene or euión Res. o 5 9. Determine l euión de l ret l que ontiene l entro de l elise de euión ontiene l foo de l ráol de euión Res Determine l euión de l ráol que es ónv hi rri ontiene tres de los vérties de l elise u euión es 9 6. Res.. Determine el vlor de l distni mínim entre l irunfereni C l ret L, si sus euiones son resetivmente C: 0 L: 6 0. Res. d 5. Dds un irunfereni C un elise E que son onentris de ls ules se onoe l euión de l elise E: que C es tngente l eje, determine l euión de C. Res.. Demostrr que l euión de l ret tngente l irunfereni unto, erteneiente l irunfereni es:. r r, en el 75