GUÍA DE EJERCICIOS GEOMETRÍA ANALÍTICA (CURVAS CÓNICAS)

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1 U N E X P O INTRODUCCIÓN: UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES SECCIÓN DE MATEMÁTICA GUÍA DE EJERCICIOS GEOMETRÍA ANALÍTICA (CURVAS CÓNICAS) En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. En los siguientes apartados se presentan las ecuaciones más sencillas de las curvas cónicas cuyos ejes focales son paralelos a los ejes coordenados. Para lograr responder satisfactoriamente a las actividades propuestas el estudiante tiene que tener un dominio mínimo de los siguientes contenidos teóricos y procedimentales: o Determinar la ecuación de una circunferencia conociendo el centro y el radio. o Pasar de la ecuación canónica de una circunferencia a la ecuación general y viceversa. o Encontrar la intersección entre una recta y una circunferencia conociendo sus ecuaciones. o Encontrar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia conociendo la ecuación de la circunferencia y el punto de tangencia. o Para las cónicas parábola, elipse e hipérbola (considerar solo los casos donde los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes coordenados) : Identificar y graficar la curva a partir de su ecuación Pasar de la ecuación general a la canónica y viceversa. Dada la ecuación encontrar los elementos principales como focos, vértices, excentricidad entre otros. Objetivos: La presente guía fue elaborada con el propósito de que sea utilizada por los estudiantes de matemática I, para reforzar los conocimientos teóricos y procedimentales visto en el tema de geometría analítica (secciones cónicas), así como también para responder al objetivo general número del programa de dicha asignatura, el cual indican que el estudiante debe: ACTIVIDADES: o Caracterizar ecuaciones de dos variables; de primer y segundo orden. 1. Hallar en cada caso la ecuación de la circunferencia. Expresarla en las formas reducida y general. Hacer además la representación grafica en cada caso. a) C (0, -) r = 11 b) C (-, 0) r = c) C (, 4) r = 9 d) C = (, ) r = e) C = (a, 0) r = a Prof. Esther Morales (009)

2 f) C (a, b) r = a + b. Obtener las coordenadas del centro y el radio de cada una de las siguientes circunferencias. a) x + y - 10 x + 1 y + = 0 b) x + y - 6 = 0 c) x + y + x 48 = 0 d) x + y - x 4 y = 0 e) x + y - x + y = 0 f) x + y - x + 10 x + 6 y = 0 g) x + y - x + 10 y + = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos M (4, 1) y N (-1, 0). 4. Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (-, -1) y cuyo centro es el 1 punto C (, ).. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en C (, -) y tangente al eje de las y. 6. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (1, -) tangente a la recta x y = Determinar las coordenadas del punto de contacto entre la circunferencia y la tangente del ejercicio anterior. 8. Determinar la ecuación de la circunferencia de radio 4 y tangente a los dos ejes en el tercer cuadrante. 9. Encontrar las coordenadas de los puntos de contacto de la circunferencia con los ejes, en el ejercicio anterior. 10. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y es tangente a la recta x + 4y + = 0 en el punto (-7, -1). 11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: a) (-,1), (,4) y (-,) b) 0,1), (,) y (1,1+ ) 1. Encontrar las coordenadas del vértice y del foco, la longitud del parámetro, al ancho focal, las ecuaciones de la directriz y del eje de simetría, de cada una de las siguientes parábolas. Construir las curvas. a) y = 6x

3 b) x = y c) x = -7y d) y = -0x e) x - 1y = 0 f) y + 4 x = 0 g) x - 1 y = 0 h) 4y - 9x = 0 i) y x = 0 j) 6 x + y = 0 1. Hallar la ecuación de la parábola y construir la curva en cada caso. a) V (0, 0), F (-6, 0) b) V (0, 0), F (0, ) c) V (0, 0), F (-4, 0) d) V (0, 0), F (, 0) e) V (0, 0), F (0, -1) f) V (0, 0), 4 p = 10, eje de simetría en el eje y, abre hacia arriba g) F (, 0), directriz: x + = 0 h) V (0, 0), directriz: y + 4 = 0 i) V (0, 0), directriz: x = 0 j) V (0, 0), eje de simetría en el eje x, y la directriz pasa por el punto (-, 1) 14. Hallar la ecuación de la parábola y construir la curva en cada caso. a) V (, ), F (, ) b) V (, 4), F (, -) c) V (, ), F (, -1) d) V (, 1), Directriz y = e) V (-4, -), Directriz x = 6 f) F (6, 4), la directriz es el eje de las x g) V (4, -), lado recto = 8, abre hacia la izquierda. h) V (1, -), F ( 1, -) i) Los puntos (-, -7) y 6, -7) son los extremos del lado recto y la parábola abre hacia arriba. j) la abscisa del foco es, V (1, -1) y el eje de simetría es paralelo al eje x? 1. Encontrar las coordenadas del vértice y del foco, la longitud del parámetro, el ancho focal y las ecuaciones de la directriz y del eje de simetría, de cada una de las siguientes parábolas. Construir las curvas. a) x + 4 x 4 y 9 = 0 b) y - 10 y 7 x + 4 = 0 c) y + 16x+ 8 y + 16 = 0 d) x - 1 x 10 y + 6 = 0

4 e) 4x - 1 x 4 y 16 = 0 f) x - 8 x + 16 y = 0 g) y + 16 x 96 = 0. h) x - 9 x + 9 = 0 i) x + x + 1 = 0 j) y + y = Los cables del tramo central de un puente suspendido tiene la forma de una parábola. Si las torres tienen una separación de 800 m y los cables están atados a ellos 400 m arriba del piso del puente, qué longitud debe tener el puntal que está a 100 m de una de las torres? Suponga que el cable toca el piso en el punto medio del puente. 17. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta x + = 0 es siempre dos unidades mayor que su distancia del punto (1,1). 18. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del centro de una circunferencia que es siempre tangente a la recta y 1 = 0 y a la circunferencia x + y = Hallar la ecuación de la elipse y construir la curva en cada caso, sabiendo que: C es el centre, a es la longitud del eje mayor, b es la longitud del eje menor. a) C (0, 0), a = 10, b = 6, eje mayor coincide con el eje x. b) C (0, 0), a = 0, b = 1, eje mayor coincide con el eje y. c) C (4, 0), A (-4, 0), F (, 0) d) C (4, ), eje mayor // al eje y, a = 6, b = 4 e) A (6, 0), A (-6, 0), b = Encontrar las coordenadas del centro de simetría de la elipse, las longitudes de los ejes mayor y menor, la distancia focal, las coordenadas de los focos y de los extremos de los ejes, la longitud del lado recto y el valor de la excentricidad de los siguientes elipses: a) x = 49 (1 - y ) b) x + 9y - 00 x + 90 y = 0 c) 4x + y + 8x 16 y + 64 = 0 d) x + y - 8x 18y -1 = 0 e) 8x + y - 16 x 16y + 8 = 0 f) x + 4y - 6x + 16y = 0 1. Resolver los problemas siguientes: a) Los focos de una elipse son los puntos (6, 0) y (10, 0) respectivamente. Si la suma de sus distancias a un punto móvil (x, y) es 8, encontrar la ecuación de la elipse. 4

5 b) Si la excentricidad de una elipse es igual a y sus focos son los puntos (6, 0) y (-6, 0), encontrar su ecuación. c) El lado recto de una elipse vale 1 y sus focos son los puntos (4, 0) y (-4, 0). Cuál será su ecuación?. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos A (, 0) y B (-, 0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuación de su lugar geométrico.. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta y = -8 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0,-). 4. Hallar la ecuación de la hipérbola y representar gráficamente la curva en cada caso. a) A (4, 0) A (-4, 0); excentricidad = b) F (6, 0), F (-6, 0); lado recto = 10 c) F (, 0), A (-, 0); asíntotas: y = ± 4 x d) Asíntotas: y = ± x; A (, 0) e) C (, ); eje real paralelo al eje x; a = 4, b = f) C (, -); eje real paralelo al eje y; a = 1, b = g) A (, ), A (0, ); F (8, ) h) F (, -4), F (-, -4); A (4, -4) i) F (-, 1), F (-, 4); b = 6 j) F (, ), F (, -1); Excentricidad = k) F (8, -1), F (-4,-1), lado recto = 10. Encontrar las coordenadas del centro de simetría, las longitudes de os ejes real e imaginario, la distancia focal, las coordenadas de los vértices y de los focos, la longitud del lado recto, el valor de la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. a) x - 9 y - = 0 b) x - 4 y - 16 = 0 c) - x + 4 y - 80 = 0 d) x - 4y + 48 = 0 e) x - 4 y + 16 = 0 f) x - y + 16 = 0 g) x - y + 6x 8y + = 0 h) 4 x - 9 y - 8x 6 y 68 = 0 6. Resolver los problemas siguientes:

6 a) Los focos de una hipérbola son respectivamente (-8, 1) y (10, 1). Si la diferencia de las distancias de un punto M (x, y) a los focos es constantemente igual a 6, cuál es la ecuación de la hipérbola? b) Encontrar el valor de la excentricidad de la hipérbola del ejercicio anterior. c) Hallar el valor del lado recto de la misma hipérbola. 7. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia del punto (,) es siempre igual al triple de su distancia a la recta y + 1 = Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia al punto (,-1) es siempre igual al doble de su distancia a la recta x + = La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos (0,0) y (4,0). Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto si uno de los ángulos de la base es siempre igual al doble del otro. RESPUESTA A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. a) x + (y + ) = 11, x + y + 4 y 117 = 0 b) (x ) + y =, x + y - 10x = 0 c) (x + ) + y =, x + y + 10x = 0 d) (x ) + (y + 7) =, x + y - 4 x + 14 y = 0 e) (x - 1 ) + (y + 4) = 81, 4x + 4 y - 4y - 4 x + y 9 = 0 f) (x + 7 ) + (y - ) = 4 9, 4x + 4y + 8 x 0 y + 6 = 0. a) C (, -6), r = 6 b) C (0, 0), r = 6 c) C (-1, 0), r = 7 d) C (1, ), r = 1 0 e) C (, ), r = f) C ( 1 0, ), r = 8 g) C (, - ), r =. x + y - x y 4 = 0 4. x + y - x y 10 = 0. x + y -4 x + 6 y + 9 = 0 6. x + y - 10x + 0 y + 49 = 0 7. P ( 14, ) 8. x + y + 8 x + 8 y + 16 = 0 9. P (-4, 0) en el eje x, P (0, -4) en el eje y. 10. x + y + 8x 6 y = a) (x 1) + (y ) = b) (x ) + (y 1) = 4 1. a) V (0, 0), F (, 0), p =, Lado recto = 6 D: x = -, eje focal: y = 0 b) V(0,0), F(0, ), p=, Lado recto = 4 6

7 D: y - 4, eje focal: x = 0 c) V (0, 0), F (0, ), p = 7, Lado recto = 7 D: y = 4 7, Eje focal: x = 0 d) V (0, 0), F (-, 0), p = 10, Lado recto = 0 D: x =, Eje focal: y = 0 e) V (0, 0), F (0, ), p = 6, Lado recto = 1 D: y = -, Eje focal; x = 0 f) V (0, 0), F (-1, 0), p =, Lado recto = 4 D: x = 1, Eje focal: y = 0 g) V (0, 0), F (0, 1), p =, Lado recto = 4 D: y = -1, Eje focal: x = 0 h) V (0, 0), F ( 16 9, 0) p = 8 9, Lado recto = 4 9 D: x = , Eje focal: y = 0 i) V (0, 0), F (0, 6 1 ), p = 1, Lado recto = 1 D: y = -, Eje focal: x = j) V (0, 0) F (-, 0), p =, Lado recto = 0 ' D: x = 0, Eje focal: y = 0 1. a) y = 4 x b) x = 0 y c) y = - 16 x d) y = - 1 x e) x = - 4 y f) x = 10 y g) y = 0 x h) x = 16 y i) y = - 0 x j) y = 8x 14. a) (y- ) = 1 (y -), y - 6 y 1 x + = 0 b) (x ) = - 4 (y - 4), x - 10 x + 4 y 71 = 0 7

8 c) (x ) = - 4 (y ), x - 4 x + 4 y 116 = 0 d) (x ) = -8 ( y ), x - 6 x + 8 y + 1 = 0 e) (y + ) = - 40 (x + 4), y + 6 y + 40 x = 0 f) (x 6) = 8 (y ), x - 1 x 8 y + = 0 g) (y + ) = - 8 (x 4), y + 4 y + 8 x - 8 = 0 h) (y + ) = (x 1), y + 4y + x + = 0 i) (x ) = -8 (y + ), x - 4 x + 8 y + 44 = 0 j) (y + 1 ) = 16 (x 1), y + y 16 x + 17 = 0 1. a) V (-, -4), F (-, ), p = 1, Lado recto = 4 D: y = -10, Eje focal: x = - 7 b) V (-, ), F (, ), p =, Lado recto = D: x -, Eje focal: y = 4 c) V (0, -4), F (-4, -4), p = 8, Lado recto = 16 D: x = 4, Eje focal: y = - 4 d) V (6, 0), F (6, ), p =, Lado recto = 10 D: y = -, Eje focal: x = 6 11 e) V (, ), F (, ), p =, Lado recto = D: y = -, Eje focal: x = 4 f) V (4, 1), F (4, -), p = 8, Lado recto = 16 D: y =, Eje focal = x = 4 g) V (6, 0), F(4, 0), p = 4, Lado recto = 8 D: x = 8, Eje focal: y = 0 h) Recta x = i) Ningún lugar geométrico j) Dos rectas y = -, y = m 17. y -4x y + 1 = x -4y -4 = 0; x + 8 y 16 = a) 9x + y - = 0 8

9 b) 100 x + 6 y = 0 c) 7x + 16 y - 11 = 0 d) 9 x + 4 y - 7 x 16 y + 14 = 0 e) x + 6 y = 0 0. a) C (0, 0), a = 14, b =, c = 8 F (8, 0) F (-8, 0) A (7, 0) A (-7, 0) lado recto =, e = 7 B (0, 1) B (0, -1) 4 7 b) C (4, -), a = 10, b = 6, c = 8 F (4, -1) F ( 4, -9) A (4, 0) A (4, -10) lado recto = B (7, -) B (1, -) 18, e = 4 c) C (1, 8), a = 4, b =, c = F (1, 8 + ) F (1, 8 - ) A (1, 10) A (1, 6) lado recto = 1, e B (, 8) B (0, 8) f) C (, ), a = 6, b = 4, c = 6 F ( + 6, ) F (- 6, ) A ( +, ) A (, ) lado recto = 4 e = B (, + ) B (, - ) 1 e) C (1, 4), a = 8, b = 4, c = 4 F (1, 4 + ) F (1, 4- ) A (1, 8) A (1, 0) lado recto =, e = B (, 4) B (-1, 4) f) C (, -), a = 10, b =, c = F ( +, ) F ( -, ) A (8, -) A (-, -) 9

10 B (, 1 ) B (, - 9 ) Lado recto =,, e = 1. a) x + 4 y - 48 x = 0 b) 16 x + y = 0 c) x + 4 y - 19 = x + y - 48 = 0.. x + 4 y = a) x - y -48 = 0 b) x - 4 y - 80 = 0 c) 16 x - 9 y = 0 d) 4 x - y -6 = 0 e) x - 4 y - 6 x 16 y 11 = 0 f) x - 4 y - 10 x 16 y + 1 = 0 g) 16 x - 9 y - 96 x + 6 y 6 = 0 h) 7x - 9 y - 14 x - 7 y 00 = 0 i) 7x - 9 y + 70 x y 8 = 0 j) x - y -10 x + 6 y + = 0 k) x - 4 y -0 x 8 y 64 = 0. a) C (0, 0), a = 6, b = 10, c = 4 A (, 0) A (-, 0) F ( 4, 0) F (- 4, 0) 0, e = 4 Lado recto = r 1 : y = x r : y = - x b) C (0, 0), a = 8, b = 4, c = 4 A (4, 0) A (-4, 0) F(, 0 ) F (-, 0) Lado recto =, e r 1 : y = 1 x r : y = - 1 x c) C (0, 0), a = 4, b = 8, c = 1 10

11 A (0, ) A (0, - ) F (0, 6) F (0, -6) 16 Lado recto =, e =. r 1 : y = x r : y = - x d) C (0, 0), a = 4, b = 8, c = 4 7 A (0, ) A (0, - ) F (0, 7 ) F (0, - 7 ) 16 7 Lado recto =, e = r 1 : y = x r : y = - e) C (0, 0), a = 4, b = 8, c = 4 A (0, ) A (0, -) F (0, ) F (0, - ) Lado recto = 8, e = x r 1 : y = 1 x r : y = - 1 x f) C (0, 0), a = 8, b = 8, c = 8 A (0, 4) A (0, -4) F (0, 4 ) F (0, -4 ) Lado recta = 8, e = r 1 : y = x r : y = - x g) C (-1, -), a = 1, b = 1, b = 10, c = 10 A (-1, ) A (-1, ) F (-1, ) F (-1, -7) Lado recto =, e = r 1 : x y + = 0 r : x + y + + = 0 h) C (-, ), a = 8, b = 8, c = 8 A (-, 9) A (-, 1) F (-, + 4 ) F (-, 4 ) 8 1 Lado recto =, e = 11

12 r 1 : x y 8 = 0 r : x + y + 4 = 0 6. a) 8 x - y - 16 x + y 6 = 0 b) e = c) lado recto = x - 8 y - 6 x - y + 4 = 0 8. x - y + 0 x - y + 11 = 0 9. x - y -16 x + 16 = 0 BIBLIOGRAFÍA Edwards y Penney (1994). Cálculo con Geometría Analítica. PRENTICE HALL. 4ta edición. Leithol, L. (1984). El cálculo con geometría analítica. Cuarta edición. Morales, E. (004). Números reales y geometría analítica con estrategias heurísticas y algorítmicas de resolución de problemas. Trabajo de ascenso. UNEXPO. Stein, S. y Barcellos A. (1994). Cálculo y geometría analítica. Volumen 1. McGRAW-HILL. 1