TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS

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1 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 1 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 1 : Halla la ecuación de la circunferencia cuo centro es el punto P (1, ), que es tangente a la recta r : 1 0. El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, P (1, ), a la recta tangente, r : 1 0: R distp, r La ecuación de la circunferencia será: 1 ; es decir: EJERCICIO : a) Calcula el centro el radio de la circunferencia de ecuación: b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio, que es concéntrica con la anterior. a) Dividimos entre la ecuación: Centro,, Radio b) Si tiene centro (, ) radio, su ecuación será: ( ) ( ) 9, es decir: 6 0 EJERCICIO : Estudia la posición relativa de la recta r : 0 la circunferencia: Hallamos en centro el radio de la circunferencia: 6 Centro C,, 1 Radio R Hallamos la distancia del centro a la recta dada: distc, r, Por tanto, la recta es eterior a la circunferencia. EJERCICIO : 9 a) Halla el centro el radio de la circunferencia: 0 b) Estudia la posición relativa de la recta 0 respecto a la circunferencia anterior. 0 a) Centro, 1, Radio b) Hallamos la distancia del centro a la recta dada: distancia radio Son secantes

2 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. EJERCICIO : Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 0 cuo centro es el punto C (, 1). El radio de la circunferencia es la distancia del centro a la recta dada: Radio La ecuación de la circunferencia es: 1, es decir: EJERCICIO 6 : Escribe la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (, 1), Q (, 0) R (0, ). La ecuación de la circunferencia es A B C 0. Hallamos A, B C teniendo en cuenta que P, Q R satisfacen la ecuación, por ser puntos de la circunferencia: 1 A B C 0 A B C A 9 0 A 0 C 0 A C 9 B 7 Por tanto, la ecuación es: B C 0 B C C 18 EJERCICIO 7 : Halla el valor de k para que la recta k 0 sea tangente a la circunferencia 0. Hallamos el centro el radio de la circunferencia: 0 Centro, 0, Radio Calculamos la distancia del centro a la recta dada: d 9 16 La recta es tangente a la circunferencia cuando: k 8 k 8 1 k k 8 1 k 8 1 k 7 k k 8 EJERCICIO 8 : Obtén el centro el radio de la circunferencia cuo centro está en la recta que pasa por los puntos (, ) (1, ). Si tiene su centro en la recta, las coordenadas de este son C (, ). La distancia de cada uno de los puntos dados al centro ha de ser igual (esta distancia es el radio de la circunferencia): El centro de la circunferencia es El radioes : r dist C,, 1 C, EJERCICIO 9 : Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,) B(1,) tiene su centro en la recta. Si tiene su centro en la recta, las coordenadas de este son C(, ).

3 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. La distancia de A al centro ha de ser igual que la distancia de B al centro (esta distancia es el radio de la circunferencia): dist (A, C) dist (B, C) El centro de la circunferencia es C(1, ). El radio es: r dist A, C La ecuación será: ( 1) ( ) 1 0 EJERCICIO 10 : Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (, ) que es tangente a la recta 0. El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro a la recta dada: 6 1 R distc, r La ecuación será: EJERCICIO 11 : Obtén la ecuación de la circunferencia de radio que pasa por los puntos (1, 0) (, ). El centro de la circunferencia pertenece a la mediatriz del segmento de etremos A(1, 0) B(, ): Punto medio de A B 1 0 M,, 1 Pendiente de la recta que pasa por A B 0 m 1 1 Pendiente de la mediatriz(perpendicular) m 1 Ecuación de la mediatriz: 1 1( ) 1 Las coordenadas del centro de la circunferencia son C(, ). La distancia del centro a los puntos A B debe ser igual a : dista, C Ha dos soluciones: Centro (, 0) radio : ( ) 6 0 Centro (1, ) radio : ( 1) ( ) 1 0 EJERCICIO 1 : a) Halla el centro el radio de la circunferencia de ecuación: b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio, que es concéntrica a la del apartado anterior. a) Centro,, Radio 9 9 b) La circunferencia tiene radio centro (, ). Su ecuación será: ( ) ( ) 6 1 0

4 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. EJERCICIO 1 : Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 0 cuo centro es el punto de intersección de las rectas Hallamos su centro: El centro es C(, 1). El radio, R, es igual a la distancia del centro a la recta tangente: 8 0 R dist C, r La ecuación será: ( ) ( 1) EJERCICIO 1 : Estudia la posición relativa de la recta r: 1 la circunferencia 0. Hallamos el centro el radio de la circunferencia: Centro C,, 1 Radio R Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist C, r 1,79 radio 1 Por tanto, la circunferencia la recta son secantes. Se cortan en dos puntos. EJERCICIO 1 : Halla la posción relativa de la recta 0 con respecto a la circunferencia 0. Si se cortan en algún punto, halla sus coordenadas. Como tenemos que hallar los posibles puntos de corte, resolvemos el sistema: Se cortan en el punto (, ). Por tanto, son tangentes. EJERCICIO 16 : Obtén el valor de k para que la recta s: k 0 sea tangente a la circunferencia Hallamos el centro el radio de la circunferencia: Centro C,, 1 Radio r k k Hallamos la distancia del centro a la recta dada: distc, s Para que la recta sea tangente a la circunferencia, esta distancia ha de ser igual al radio:

5 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. k k k k Ha dos soluciones: k1 ; k k k EJERCICIO 17 : Estudia la posición relativa de la recta = Hallamos el centro el radio de la circunferencia: 1 6 Centro C, 6, 8 la circunferencia Radio r Hallamos la distancia del centro a la recta dada: s : distc, s radio Como la distancia del centro a la recta es igual al radio, la recta es tangente a la circunferencia. EJERCICIO 18 : Halla la posición relativa de la recta r: con respecto a la circunferencia 10 Hallamos el centro el radio de la circunferencia: Centro C, 1, Radio R Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist C, r, radio Por tanto, la recta es eterior a la circunferencia. ELIPSE EJERCICIO 19 : Escribe la ecuación de la siguiente elipse halla sus semiejes, sus focos su ecentricidad: 11 Ecuación: 1 9 Semieje maor: ; semieje menor: Focos :, F ', F Ecentricidad: 0,7

6 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 6 EJERCICIO 0 : Halla los semiejes, los focos la ecentricidad de la siguiente elipse. Escribe su ecuación: Semieje maor: ; semieje menor: 1 F' 0, 1 Focos : F 0, 1 Ecentricidad: 0,87 Ecuación: 1 16 HIPÉRBOLA EJERCICIO 1 : Pon la ecuación de la siguiente hipérbola, su semieje, sus focos, su ecentricidad sus asíntotas: Ecuación: 9 Semieje: 1 1 F ' 0, 1 Focos : F 0, 1 Ecentricidad: 1,8 Asíntotas: ; EJERCICIO : Escribe la ecuación de la siguiente hipérbola halla sus semieje, sus focos, su ecentricidad sus asíntotas:

7 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 7 Ecuación: 9 Semieje: 1 1, 0 F ' 1, 0 Focos : F 1 Ecentricidad: 1, Asíntotas: ; PARÁBOLA EJERCICIO : Halla el foco, la directriz la ecuación de la siguiente parábola: Directriz: 1. Foco (1, 0). Ecuación: LUGARES GEOMÉTRICOS EJERCICIO : Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r 1 : 1 0 r : 0. Los puntos P(, ) de las bisectrices cumplen que: 1 dist (P, r 1 ) dist (P, r ), es decir: Son dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en el mismo punto que r 1 r. EJERCICIO : Obtén la ecuación de la mediatriz del segmento de etremos A(, ) B(, 1). Los puntos P(,) de la mediatriz cumplen que: dist (P, A) dist (P, B), es decir: 1 Elevamos al cuadrado en los dos miembros operamos: Es una recta perpendicular al segmento AB, que pasa por su punto medio.

8 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 8 RECOPILACIÓN EJERCICIO 6 : Cuál es el lugar geométrico cua suma de distancias a los puntos A(0, 1) B(0, 1) es 8?. Halla su ecuación. Es una elipse de focos A B constante k 8. Hallamos su ecuación: Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, A) dist (P, B), es decir: 1 1 Elevamos al cuadrado operamos para simplificar: Dividimos entre1 : 1. Es una elipse EJERCICIO 7 : Halla el lugar goemétrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(, ) sea igual a. De qué figura se trata? Es una circunferencia de centro (, ) radio. Hallamos su ecuación: Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, Q), es decir:. Elevamos al cuadrado operamos : EJERCICIO 8 : Identifica halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a la recta r 1 : 1 0 sea igual que su distancia a la recta r : 0. Las dos rectas dadas, r 1 : 1 0 r : 0, son rectas paralelas. Por tanto, el lugar geométrico pedido será otra recta, paralela a las dos, a igual distancia de ellas: Hallamos su ecuación: Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: 1 dist (P, r 1 ) dist (P, r ), es decir: Observamos que la recta obtenida es paralela a r 1 r.

9 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 9 EJERCICIO 9 : Halla el lugar geométrico de los puntos del plano, P(, ), tales que el triángulo ABP sea rectángulo en P, siendo A(, 1) B(6, 1). Interpreta la figura que obtienes. Para que el triángulo sea rectángulo en P, se ha de cumplir que: PA PB PA PB ; es decir :, 1 6, 1 0 Obtenemos una circunferencia de centro (, 1) (que es el punto medio del segmento AB) de radio. EJERCICIO 0 : Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cua suma de cuadrados de distancias a los puntos A(, 0) B(, 0) es 0. Identifica la figura resultante. Solucion: Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que: dist P, A dist P, B 0 ; es decir : Obtenemos una circunferencia de centro (0, 0) radio. EJERCICIO 1 : Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(1, 0), es el triple de su distancia a la recta. Identifica la figura que obtienes. Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist P, A dist P,, es decir : 1. Elevamos al cuadrado operamos : Es una hipérbola. EJERCICIO : Obtén el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que: dist P, A, siendo A 1,0 r : dist P, r Qué figura obtienes? Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist P, A, es decir : dist P, A dist P, r dist P, r 1. Elevamos al cuadrado operamos : Es una hipérbola.

10 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 10 EJERCICIO : Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cua distancia a A(, 0) sea el doble de la distancia a B(1, 0). Identifica la figura resultante. Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist P, A dist P, B, es decir : 1. Elevamos al cuadrado operamos : Es una circunferencia de centro, 0 radio. EJERCICIO a) Describe la siguiente cónica represéntala gráficamente: b) Cuáles son sus focos? a) Es una elipse de semiejes 1. Su gráfica es: b) Puesto que a b c, a 16 b 1 c 1 Los focos son F 0, 1 F' 0, 1. EJERCICIO a) Identifica la siguiente cónica represéntala: b) Cuáles son sus focos? a) 1 1 Es una hipérbola, cua gráfica es: b) Como c a b, a 1 b c c Los focos son F 0, F' 0,.

11 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 11 EJERCICIO 6 : Identifica la siguiente cónica represéntala: Es una elipse de semiejes. Su gráfica es: EJERCICIO 7 : Obtén la ecuación de la cónica cua gráfica es: Observamos que la ecuación es de la forma: 1; que a. a b Como las asíntotasson a b Así, la ecuación será: 1 9 EJERCICIO 8 : Describe la siguiente cónica represéntala: Es una elipse se semiejes 6. Su gráfica es:

12 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 1 EJERCICIO 9 : Escribe la ecuación de la siguiente cónica: 9 1 Es una elipse de centro (, ) semiejes 1. Su ecuación será: 1 EJERCICIO 0 : Identifica la siguiente cónica represéntala gráficamente: Es una hipérbola, cua gráfica es: EJERCICIO 1 : Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos represéntalas: a) 100 b) a) Es una elipse: b) Es una hipérbola : Semieje maor: Semieje menor: Focos : F Ecentricidad 1, 0 F' 1, Semieje: 1 Focos : F 0, Ecentricidad 1 Asíntotas: 0,9 F' 0, 1 ;, 1

13 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 1 EJERCICIO : Identifica las siguientes cónicas, dibújalas halla sus focos su ecentricidad: a) 16 1 a) Es una hipérbola de centro P(, 0). Los focos son: b) 1 9, 0 F', 0 F La ecentricidad es: Las asíntotasson: e 1 1,1 1 ; b) Es una elipse de centro C(0,0) Es una elipse : Semieje maor: 7 Semieje menor: Focos : F 0, Ecentricidad F' 0, 7 0,7 EJERCICIO : Identifica las siguientes cónicas, dibújalas halla sus focos su ecentricidad: a) 16 1 a) Es una hipérbola de centro P(, 0). Los focos son: b) 1 9, 0 F', 0 F La ecentricidad es: e 1,1 Las asíntotasson: 1 1 ; b) Es una elipse de centro C(0,0) Es una elipse : Semieje maor: 7 Semieje menor: Focos : F 0, Ecentricidad F' 0, 7 0,7

14 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 1 EJERCICIO : Identifica estas cónicas, halla sus elementos dibújalas: a) b) a) Es una elipse de centro P(0, 1). Semieje maor: 6; semieje menor: 11, 11 F' 11, 1 Focos : F 11 Ecentricidad: 0, 6 0 b) 0 Es una parábola : 0, 1, 0 Vértice: Foco: Directriz: 0 1 EJERCICIO : Halla los elementos característicos de las siguientes cónicas, descríbelas represéntalas gráficamente: a) 1 b) a) Es una hipérbola. Semieje: 1 F' 0, 1 Focos: F 0, 1 Ecentricidad: 1,8 Asíntotas: ; b) Semieje maor: 10; semieje menor: Es una elipse : Focos: F, 0 F', 0 Ecentricidad : 0,87 10

15 Tema 9 Lugares geométricos. Cónicas. Matemáticas I 1º Bach. 1 EJERCICIO 6 : Dadas las siguientes cónicas, identifícalas, obtén sus elementos característicos represéntalas gráficamente: a) a) Es una elipse de centro P(1, ). Semieje maor: ; semieje menor: Focos : b) 7, F' 1 7, F 1 7 Ecentricidad: 0, b) 9 9 Es una hipérbola: Semieje: Focos : F 0, 10 F' 0, Ecentricidad 1,0 Asíntotas: ;