superficies regladas Definición: Superficie cónica CONICAS: Matemática II FAUD- UNC

Transcripción

1 Recordemos que l comenzr el estudio de l Geometrí Anlític pln, decímos que l mism us el álgebr el cálculo pr estudir ls propieddes de ls curvs en el plno. Su ide fundmentl es estblecer un correspondenci entre un ecución F(, )= 0 su lugr geométrico. Un de ls ides centrles de l geometrí nlític es que ddo un lugr geométrico o un curv, sus propieddes pueden deducirse en form lgebric o nlític prtir de su ecución. En bse ests premiss deducimos l ecución de l rect. Pr poder loclizr puntos en el plno que representen el lugr geométrico de un ecución dd, recurrímos l uso de los sistems de coordends, que nos permitín el neo entre l álgebr l geometrí. Siguiendo con este método de nálisis estudiremos ls secciones cónics prtir de los lugres geométricos correspondientes cd un de ells, deduciremos sus ecuciones mtemátics. Pr definir ls cónics desde el punto de vist geométrico, debemos previmente conocer que es un superficie cónic. En el Núcleo temático Nº 3 bordremos con mor profundidd el estudio de ls distints fmilis de superficies, hor nos concentrremos sólo en ls que llmmos cónics. L superficie cónic form prte de l fmili de ls superficies reglds Definición: Un superficie regld es quell que puede ser engendrd por el movimiento de un líne rect. L líne rect en movimiento en culquier de sus posiciones, se llm genertriz de l superficie. Superficie cónic: superficie regld generd por el movimiento de un rect genertriz (g), mnteniéndose en contcto con un directriz (d) curv, teniendo, tods ls posiciones de l genertriz (g), un punto común (V), denomindo vértice. L superficie cónic es un superficie regld, rdid de genertrices concurrentes. CONICAS: De l intersección de un superficie cónic circulr un plno que no ps por el vértice, según l inclinción del plno resultn distints curvs; circunferenci, elipse, prábol e hipérbol. Ests curvs reciben el nombre de cónics. 1

2 Dependiendo si el plno de corte ps o no por el vértice de l superficie cónic resultrán Cónics verdders: el plno secnte no ps por el vértice del cono. Cónics degenerds: el plno secnte ps por el vértice del cono. Desde l geometrí nlític: El lugr geométrico de los puntos cu relción de distncis un punto un rect fijos es constnte recibe el nombre de sección cónic o simplemente cónic. El punto fijo se llm Foco de l cónic, l rect fij directriz de l cónic. L relción constnte se llm ecentricidd se represent generlmente con l letr e Ls secciones cónics se clsificn en tres ctegorís según su form propieddes Ests se estblecen de cuerdo con los vlores de l ecentricidd e Si e < 1 l cónic se llm elipse Si e = 1 l cónic se llm prábol Si e > 1 l cónic se llm hipérbol Muchos utores considern l Circunferenci como un cso prticulr de l elipse donde l ecentricidd e = 0 En l circunferenci los dos focos se confunden son su vez el centro de l cónic. L ecentricidd en l elipse mide, por tnto, lo que ést se lej de l circulridd. L ecución generl de ls cónics verdders o degenerds, es un ecución poli nómic de segundo grdo en e. en donde A, B, C no podrán ser igules cero simultánemente. A + B + C + D + E + F = 0 No nulos l vez En donde los coeficientes A, B, C, D, E, F, son números reles que determinn el tipo de Curv correspondiente que, en cso de eistir, tendremos: dos línes rects, un punto, un líne rect, l circunferenci, l prábol, l elipse o un hipérbol. Desrrollremos cd un de ls secciones cónics, inicindo el estudio por ls cónics cerrds: Circunferenci Elipse posteriormente ls cónics bierts: Prábol e Hipérbol. Secciones Cónics cerrds: LA CIRCUNFERENCIA Geométricmente un circunferenci result de l intersección de un superficie cónic circulr con un plno, que no ps por el vértice del cono es perpendiculr l eje del mismo. En geometrí nlític: Se llm circunferenci l lugr geométrico del conjunto de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo ddo en ese plno. El punto fijo se llm Centro l distnci l mismo se llm rdio. Los Elementos de l Circunferenci son: Centro C( h ; k ) rdio r

3 A prtir del lugr geométrico que se muestr, el cul corresponde un circunferenci de Centro C rdio R orientd en un Sistem Coordendo Crtesino Ortogonl vmos deducir l ecución mtemátic que le corresponde. k r C(h,k) P(,) Q Elementos de l Circunferenci C = Centro r = rdio O h ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA Se P(, ) un punto culquier de l Circunferenci de centro C (h,k) rdio r Por definición P debe stisfcer l condición geométric definid. CP = r Si considermos el triángulo CQP rectángulo, en donde CP es l hipotenus CQ = ( - h) PQ = ( - k) sus ctetos, podemos plicr el teorem de Pitágors escribir l relción CP = r en form nlític de l siguiente mner: (-h) + (-k) = r Elevndo mbos miembros l cudrdo (-h) + (-k) = r Que es l ecución de l circunferenci de centro C (h ;k) rdio r. (-h) + (-k) = r Est es l ecución Ordinri de l circunferenci Si l circunferenci tiene su centro C (h ;k) coincidente con el origen del sistem de coordends tendremos entonces: h = k = 0 l ecución será () + () = r () + () = r Est es l ecución cnónic de l circunferenci. Desrrollo lgebrico pr obtener l Ecución generl de l circunferenci. (-h) + (-k) = r Si desrrollmos l ecución ordinri ( ( )) ( ) ( ) + h + ( h ) + + k + ( ) = r h + h + k + k = r ordenndo los términos de cuerdo ls potencis decrecientes de e + h k + h + k r = 0 (1) 3

4 Si comprmos est ecución con l ecución generl de ls cónics vemos que es un cso especil de l mism en donde A = C el coeficiente B = 0 (que de hecho es un condición necesri pr que l ecución generl de ls cónics represente un circunferenci) Como h, k, r son números, dtos del problem conocemos el vlor de - h l que llmremos D; el de - que llmremos E el de h +k r que llmremos F. De est mner si reemplzmos en l ecución (1) l mism tomrá l form + +D+E+ F = 0 Que es l ecución Generl de l Circunferenci Anlizndo l ecución vemos que D = - h h = - D/ E = - k k = - E/ F = h + k r r = h + k F si etremos l ríz cudrd en mbos miembros r = + - F = r = + - F Lo que nos permite determinr el vlor de ls Coordends de Centro l medid del rdio, en consecuenci poder relizr el gráfico de un circunferenci cundo se conoce su ecución generl. Pr tener en cuent: Pr que un ecución de º grdo se de un circunferenci se deben presentr ls siguientes crcterístics: 1. Ser un ecución de segundo grdo respecto de ls vribles e. No contener el término rectngulr es decir el termino en 3. Los coeficiente de e -términos cudráticos- tienen que ser igules. Ecuciones Incomplets de l circunferenci + +D+E+ F = 0 D = 0 h =-D/ E = 0 K = - E/ D = E = 0 Será h = 0 Será K = E + F = D + F = F = 0 F = 0 h + k r =0 D = F = 0 E = F = 0 h + k = r + + E = D + E = D = 0 4

5 En l ecución se presentn csos de coeficientes nulos. Según sen esos coeficientes l circunferenci ocup posiciones prticulres como podemos ver en l lámin que se djunt Si D = 0 l ser h =-D/ será h = 0 El centro de l circunferenci está, entonces sobre el eje de ordends. Si E = 0 l ser k = - E/ será k = 0 El centro de l circunferenci está sobre el eje de bsciss. Si D = E = 0 El centro de l circunferenci coincide con el origen del SCC. Si F = 0 result h + k r = 0, entonces h + k = r L circunferenci ps por el origen SCC Si D = F = 0 h = 0 L circunferenci es tg l eje en el origen. Si E = F = 0 L circunferenci es tg l eje en el origen. Ejemplos 1. Dr l ecución de un circunferenci de centro en C (-3;5) rdio r = 4 Dtos h = -3 k = 5 r = 4 Respuest: (-h) + (-k) = r (+3) + (- 5) = 4. ) Epresr de qué lugr geométrico es l ecución X = 0 b) Determinr sus elementos fundmentles. c) Determinr sus intersecciones con los ejes coordendos e. d) Representr el lugr geométrico. Respuest: ) Es l ecución de un circunferenci porque es de º grdo respecto de e. Además si revismos l ecución veremos que flt el término rectngulr los coeficientes de los términos cudráticos son igules. b) Elementos fundmentles. Coordends del Centro (h,k) vlor del rdio r 5

6 = 0-4 h = - = M Q N L bscis del Centro h = 8 k = - 4 = P L ordend del Centro k = 4 F= h + k - r r = h + k - F r = +(- 4) - (-16) = 6 El vlor del rdio r = 6 c) Intersección con los ejes coordendos: Con el Eje X Hciendo = 0 l ecución qued = 0 resolviendo l ecución generl de do Grdo -b ± b - 4c X1,X= 1 = - 5 = 5 + Los vlores proimdos de los puntos de intersección con el eje X serán M (-.8; 0) N(6.3; 0) Con el eje Hciendo = = 0 1 = = 4-4 Los vlores proimdos de los puntos de intersección con el eje serán P (0;- 9.7) Q (0:1.7) 3. Escrib l ecución de l circunferenci cuo centro est en (-;1) cuo rdio es 3 Represente gráficmente en un sistem Coordendo Crtesino. D Respuest: L ecución es ( +) + ( -1) = 9 6

7 4. Trzr el lugr geométrico de l ecución = 0 Respuest: Resolvemos completndo cudrdos por seprdo. Primero completmos los cudrdos en luego los cudrdos en 3 + [9/4] [9] = 5 +[9/4]+[9] Se h trnspuesto el 5. Los corchetes indicn los términos que se hn ñdido pr completr cudrdos. Pr completr el cudrdo en se elev l cudrdo l mitd del coeficiente de summos este nro mbos miembros de l iguldd. (1/).3 = (3/). De igul mner procedemos pr completr el cudrdo en (1/).6 = (3) El resultdo nterior podrí epresrse 3 65 ( - ) + ( + 3) = 4 Est epresión tiene precismente l form ordinri de l ecución, en consecuenci el grfico de l circunferenci será con centro en ls coordends (3/; -3) el vlor del rdio = 65 1 r = = 65 4 Intersección de un rect un circunferenci Se l Circunferenci = 0 (1) l rect = +3 () Hllr l intersección Desrrollo del cálculo - Reemplzndo el vlor de l vrible de l ecución () por el vlor de de l ecución (1) + ( +3) 4 6 ( + 3) + 9 = = = 0-4 = 0 cus ríces son: 1= 0 = sustituendo estos vlores en () result: A B 1 = 3 Y = 5 Ls coordends de los puntos de intersección son entonces A ((0;3) B (;5) ***Cálculos Gráficos relizdos con DERIVE 6 7

8 Secciones Cónics cerrds: LA ELIPSE P (;). V V F F P- punto perteneciente l elipse F, F focos V, V - Vértices FP + F P= = eje mor DEFINICIÓN: Es el lugr geométrico de los puntos del plno tles que l sum de ls distncis dos puntos fijos llmdos focos es un constnte positiv e igul l distnci entre los vértices, es decir, igul l medid del eje mor. Recordmos que se llm lugr geométrico l conjunto de puntos formdos por el producto entre dos conjuntos, tles que un subconjunto de ellos stisfcen un propiedd que solo estos puntos stisfcen dich propiedd. El foco o focos se refiere uno o vrios puntos especiles pr ciert fmili de curvs, en cd un de ells se define diferente. Los focos de l elipse son ectmente dos puntos fijos los que l sum de ls distncis culquier otro punto de l elipse es constnte. Un poco de histori. L elipse, como curv geométric, fue estudid por Menechmus, investigd por Euclides, su nombre se tribue Apolonio de Perge. El foco l directriz de l sección cónic de un elipse fueron estudids por Pppus. En 160, Kepler creí que l órbit de Mrte er ovld, unque más trde descubrió que se trtb de un elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo l plbr «focus» publicó su descubrimiento en Hlle, en 1705, demostró que el comet que hor llev su nombre trzb un órbit elíptic lrededor del Sol. V M ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA ELIPSE: P o: centro de l elipse B : diámetro mor o eje mor N b: diámetro menor o eje menor c: distnci focl. b V,V, B, B : Vértices F o F c c B V b F; F : Focos de l elipse F F : Eje focl rect que ps por los focos : semieje mor b : semieje menor c : semieje focl MN: cuerd Sobre el «eje mor» se ubicn los focos. El punto P puede estr ubicdo en culquier lugr del perímetro de l elipse. 8

9 ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN COORDENADAS CARTESIANAS CON CENTRO EN EL ORIGEN DEL SISTEMA ELIPSE DE EJE HORIZONTAL ELIPSE DE EJE VERTICAL F F F O (0;0) O (0;0) F + b = 1 ECUACIÓN CANÓNICA donde > 0 b > 0. b son los semiejes de l elipse. El centro de l elipse coincide con el origen del sistem de coordends. b + = 1 Ejemplos 1) Dd un elipse centrd de eje horizontl, cuo eje mor es igul 1 m su eje menor igul 8 m. Cuál es su ecución? R: / 36 + / 16 = 1 donde = 6 b = 4 porque = 1 b = 8 ) Dd un elipse centrd de eje verticl, cuo eje mor es igul 4 m su eje menor igul 16 m. Cuál es su ecución? R: / 64 + / 144 = 1 donde = 1 b = 8 porque = 4 b = 16. 3) Dd l ecución de l elipse: / 9 + / 4 = 1 Responde si se trt de un elipse centrd, define ls medids de sus ejes mor menor de sus semiejes. R: Se trt de un elipse centrd de eje horizontl ( el semieje mor es denomindor de )donde = 3 = 6 b = b = 4 Fórmuls útiles: Áre interior de un elipse : A =.. b Siendo b los semiejes mor menor. Longitud o perímetro de un elipse : P ½ ( + b ) 9

10 ECUACIÓN DE LA ELIPSE EN COORDENADAS CARTESIANAS CON CENTRO NO COINCIDENTE CON EL ORIGEN DEL SISTEMA ELIPSE DE EJE HORIZONTAL ELIPSE DE EJE VERTICAL F F O (h;k) O (0;0) F O (0;0) O (h;k) F ( h) + ( k) b = 1 ECUACIÓN GENERAL donde > 0 b > 0. b son los semiejes de l elipse. El centro de l elipse NO coincide con el origen del sistem de coordends. ( h) b + ( k) = 1 Ejemplos 4) Dd un elipse desplzd, de eje horizontl, cuo eje mor es igul 18 m su eje menor igul 6 m. El centro de l mism tiene coordends crtesins ( -1; 5). Cuál es su ecución? En qué cudrnte del plno crtesino se ubic el centro de l elipse? R: (+1) / 81 +( -5) / 9 = 1 donde = 9 b = 3 porque = 18 b = 6 Centro posiciondo en el segundo cudrnte. 5) Dd l ecución de l elipse: (-3) / 5 +( +4) / 6,5 = 1 Definir ls coordends del foco, si l elipse es de eje verticl u horizontl ls medids de sus ejes de sus semiejes. En qué cudrnte se posicion el centro de l elipse? R: Es un elipse de eje horizontl, desplzd. Coordends del Centro O (3;-4). = 5 b =,5 = 10 b = 5 Centro posiciondo en el curto cudrnte- Pr grficr l elipse, se pueden utilizr diferentes métodos de construcción 10

11 DETERMINACIÓN DE LOS FOCOS DE LA ELIPSE En tod elipse se verific que: = b + c c = Luego ls coordends crtesins de los focos son: F ( c; 0) F ( -c; 0) pr l elipse del ejemplo gráfico b b c (0;0) F F F ( 0; c) F ( 0; -c) pr l elipse centrd de eje verticl, con eje focl coincidente con el eje. Ejemplos 6) Determinr ls coordends crtesins de los focos de l elipse del ejercicio 3. Ecución de l elipse: / 9 + / 4 = 1 = 3 = 6 b = b = 4 Recordmos que es un elipse centrd de eje horizontl, luego ls coordends crtesins de los focos serán: F ( c; 0) F ( -c; 0) Resolviendo: = b + c c = b c = 3 c = 9 4 = 5 =,36 Por tnto ls coordends crtesins de los focos son F(,36; 0 ) F ( -,36 ; 0 ) Ubicción gráfic de los focos cundo se conocen ( semieje mor ) b (semieje menor) 7) Retommos el ejercicio 1) donde = 6 b = 4 luego = 1 b = 8 trtándose de un elipse de eje horizontl centrd: es l hipotenus, b c son B los ctetos. Con centro en B rdio se trz un rco de circunferenci, donde cort l eje mor se encuentrn los focos. Resolviendo nlíticmente: b c = = 0 = 4,47 c (eje focl) = 8,944 Por tnto ls coordends crtesins de los focos son: F( 4,47; 0 ) F (- 4,47 ;0 ) V' F' (0;0) c F V 11

12 Coordends crtesins de los focos cundo el centro de l elipse no coincide con el origen del sistem Ejemplos 8) Retommos el ejercicio 5) Dd l ecución de l elipse: (-3) / 5 + ( +4) / 6,5 = 1 Es un elipse de eje horizontl, desplzd. Coordends del Centro O (3;-4) = 5 b =,5 = 10 b = 5 Resolviendo nlíticmente: c = 5 6,5 = 18,75 = 4,33 c (distnci focl) =8,66 Ls coordends crtesins de los focos son: F ( -1,33; - 4 ) F (7,33;- 4 ) B V' (-1,33;-4) F' O(3;-4) (7,33;-4) F V.50 B' 4, EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE L ecentricidd de un elipse es l rzón entre su semidistnci focl su semieje mor. Su vlor se encuentr entre cero uno. c e = c < 0 e < 1 Ejemplos 9) Encontrr l ecentricidd de ls elipses de los ejercicios 7 8 En 7 ) = 6 c = 4,47, luego e = c/ e = 4,47 / 6 e = 0,745 En 8) = 5 c = 4,33, luego e = c/ e = 4,33 / 5 e = 0,866 L ecentricidd indic l form de un elipse; un elipse será más redonded cunto más se proime su ecentricidd l vlor cero. 1

13 LADO RECTO DE LA ELIPSE Se denomin ltus rectum (ldo recto) de l elipse l cuerd perpendiculr l eje mor que ps por uno de los focos. Su longitud es: b / Ejemplos. 10) En el cso de l elipse del ejercicio 7) el ldo recto será: l = b / pr = 6 b = 4, luego l =. 4 / 6 l =. 16 / 6 l = 3 / 6 l = 5,33 B ldo recto = 5,33 ldo recto = 5,33 eje focl c =8,944 V' F' (0;0) F V eje menor b = 8,00 B eje mor = 1,00 INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS X E Y Intersección de l elipse con el eje X Elipses con centro en O (0;0) Pr = 0 / + / b = 1 luego: / + 0 / b = 1 B (0;4) eje menor b = 8,00 / = 1 = ± Son los puntos V (;0) V ( - ;0) V' (-6;0) F' eje focl c =8,944 F V (6;0) Intersección de l elipse con el eje Y Pr = 0 / + / b = 1 luego: 0 / + / b = 1 B' (0;-4) eje mor = 1,00 / b = 1 = ± b Son los puntos B (0; b) B (0;-b) Tommos como ejemplo el ejercicio 7 13

14 Intersección de l elipse con el eje X Intersección de l elipse con el eje Elipses con centro en O (h;k) Pr = 0 (-h) / + (-k) / b = 1 luego: (-h) / + 0 / b = 1 Resolveremos con el ejemplo del ejercicio 5) (-3) / 5 +( +4) / 6,5 = 1 Reemplzmos: (-3) / 5 +( 0+4) / 6,5 = 1 Luego (-3) / 5 +16/ 6,5 = 1 (-3) / 5 = 1-16/ 6,5 (-3) = - 1,56. 5 = (no tiene solución en el cmpo de los números reles)en este ejemplo l elipse no tiene intersección con. Pr = 0 Seguimos con el ejemplo (-3) / 5 +( +4) Reemplzmos: / 6,5 = 1 (0-3) / 5 +( +4) / 6,5 = 1 Luego (-3) / 5 +( +4) / 6,5 = 1 9 / 5 +( +4) / 6,5 = 1 ( +4) / 6,5 = 1-9/5 ( +4) / 6,5 = 1-9/5 ( +4) = 0,64. 6,5 = (± 4 ) 4 = -4 e = - -4 = - e = -6 Son los puntos I (0;-) I (0;- 6) como se observ en el gráfico. I (0;-) B Los mismos procedimientos son válidos pr encontrr ls intersecciones con los ejes coordendos cundo ls elipses son de eje verticl, es decir cundo el eje mor coincide o es prlelo l eje de ls ordends.50 V' F' O(3;-4) F V I (0;-6) B' 4, ( - 3) / 5 + ( + 4) / 6,5 = 1 14

15 MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE 1- CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE POR TRAZO CONTINUO ( del jrdinero) Ddos l posición de los focos el segmento ( eje mor), se tom un hilo de longitud igul ese segmento se fijn sus etremos los focos F F. Se estir el hilo con l punt de un lápiz se mueve este último hst dr un vuelt complet. En este movimiento el lápiz h dibujdo un elipse, puesto que pr culquier posición del mismo, l sum de ls distncis de un punto los focos es igul l longitud totl del hilo, es decir, l segmento ddo (, eje mor). Long. Hilo = - CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE POR PUNTOS DADOS LOS FOCOS Y EL SEGMENTO ª Sobre un segmento de longitud = (eje mor de l elipse), se mrc O (punto medio del segmento centro de l elipse); los focos F F. Se tom hor un punto culquier, por ejemplo el punto M del segmento FF. Con un compás con rdios VM V M, hciendo centro en los focos se trzn rcos de circunferenci que se cortn. Esos punto P pertenecen l elipse ddo que se verific que l sum de sus distncis los focos es igul (eje mor). = eje mor V' F' O M F V PF = MV PF = MV P PF + PF = MV+MV = V V = V' F' O M F V 15

16 3- CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE CONOCIENDO (semieje mor) b (semieje menor) V' P O V Se trzn dos circunferencis concéntrics de rdio de rdio b. Por el centro de ls misms se trzn ros ( línes rects) hci culquier punto del contorno. Ess línes cortn mbs circunferencis en dos puntos. Por dichos puntos se trzn rects perpendiculres: de l circunferenci mor, perpendiculr l eje horizontl; de l circunferenci menor, perpendiculr l eje verticl. El punto de intersección de ess perpendiculres es un punto que pertenece l elipse. Uniendo los puntos hlldos podemos dibujr un elipse perfect. Ejemplos 11) Representr por este método de construcción, l elipse de eje verticl del ejercicio ). / 64 + / 144 = 1 donde = 1 b = 8 porque = 4 b = 16. V P F B O B F Cálculo de c : c = =8,944 c = 17,88 Si l elipse está centrd en el origen, ls coordends de los focos son: F (0;8,944) F (0; - 8,944) Los puntos de intersección con el eje B (8;0) B (-8;0) Los puntos de intersección con el eje V (0;1) V (0 ; -1) V' b Sup: 301,59 m Perímetro: 64,076 m 16

17 Secciones Cónics bierts: LA HIPÉRBOLA DEFINICIÓN: Geométricmente un hipérbol result de l intersección de un superficie cónic circulr con un plno, que no ps por el vértice del cono es prlelo dos genertrices En geometrí nlític: Hipérbol: Es el lugr geométrico de los puntos del plno cu diferenci de distncis los puntos fijos llmdos focos es constnte. ASÍNTOTA GRÁFICA 1 w Y b c P(X;Y).. F v o v F w c ASÍNTOTA Eje Focl = c Eje rel = Eje imginrio = b PF - PF = X ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA Los puntos F F son los focos de l hipérbol. L distnci entre los puntos llmdos focos se llm distnci focl. L semidistnci focl OF = OF se conoce como c. L rect determind por los focos se llm eje focl. El punto medio O entre los focos se llm centro de l hipérbol. Los puntos de intersección de l hipérbol con el eje focl se llmn vértices ( V V ). Eje norml: rect que ps por el centro de l Hipérbol es perpendiculr l eje focl. L distnci del vértice l centro se conoce como.. El segmento VV se llm eje principl o eje trnsverso o eje rel de l hipérbol, donde VV = Eje no trnsverso o imginrio: es el definido por el segmento WW = b (ver gráfic ). 17

18 GRÁFICA w b c.. F v o v F b Anlizndo el triángulo formdo por, b c c w c Eje Focl = c Eje rel = Eje imginrio = b Según Pitágors: c = +b ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Estudiremos l ecución de l hipérbol pr dos csos específicos, sber: 1 Cundo el eje focl es horizontl el centro de l hipérbol coincide con el origen de coordends, l ecución result : ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE ABSCISAS / /b = 1 Cundo el eje focl es verticl el centro de l hipérbol coincide con el centro de coordends del sistem referencil, l ecución será: ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE ORDENADAS / /b = 1 De lo visto podemos inferir que l posición de un hipérbol con relción los ejes coordendos, puede determinrse por los signos de los coeficientes de ls vribles en l form cnónic de l ecución. Así es como, l vrible de coeficiente positivo, indic l eje que contiene l eje focl. - Como serí l ecución de un hipérbol con eje focl prlelo pero no coincidente con el eje de bsciss cuo centro no se encuentr sobre el eje de ordends? 18

19 L respuest surge de ver que en este cso ls coordends del centro (h;k) tienen un vlor distinto de cero, por lo tnto, seleccionndo l ecución correspondiente gregremos en el numerdor los vlores (h;k) tl como hiciérmos nteriormente con ls ecuciones de ls cónics vists: (-h) / (-k) / b = 1 EXCENTRICIDAD Como viérmos nteriormente, c = +b luego c= + b Dividiendo mbos miembros por : c/ = ( + b )/ El cociente c/ se denomin ecentricidd de l hipérbol, como viérmos en l gráfic, el vlor de c (siendo c un segmento) es siempre mor que el vlor de, por lo que l ecentricidd de l hipérbol es siempre mor que l unidd. CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA POR PUNTOS: Ddos los focos F F el segmento VV = pueden determinrse tntos puntos como se quier pr l construcción de l hipérbol. El procedimiento es el siguiente: 1. Considermos un punto culquier M tl que el mismo pertenezc l rect del eje trnsverso, siendo dicho punto M eterior l segmento FF.. Hciendo centro en F con rdio igul l segmento VM se trzn dos rcos de circunferenci correspondiente l rdio. 3. Ahor hcemos centro en el otro foco F utilizndo el mismo rdio se trzn otros dos rcos de circunferenci correspondiente l rdio. 4. Hciendo hor centro en F con rdio V M se cortn dos de los rcos trzdos luego con centro en F el mismo rdio se cortn los dos rcos restntes. 5. De est mner hemos determindo cutro puntos pertenecientes l hipérbol M 1, M, M 3, M Hciendo vrir l posición de M considerndo hor otros puntos, tles como T R eteriores FF, procediendo como lo hiciérmos nteriormente pr M determinmos otros cutro puntos por cd punto eterior FF. 7. Finlmente uniendo los puntos sí obtenidos grficremos ls dos rms de l hipérbol. Rdio V M Rdio VM M 1 M Rdio VM Rdio V M V V M F F T R Rdio VM M 3 M 4 Rdio V M 19

20 ASÍNTOTAS: Se dice que un rect es síntot un curv cundo l distnci de un punto de l curv l rect tiende nulrse, si el punto se lej indefinidmente sobre l curv. Como vemos en l siguiente gráfic l hipérbol tiene dos síntots oblicus cus ecuciones son: = b/ e = - b/ pr el cso de que l hipérbol teng su eje trnsverso prlelo o coincidente con el eje de bsciss. En el cso de que el eje trnsverso se coincidente con el eje de ordends ls síntots serán = /b e = - /b. = - b/ Y= b/ c b HIPÉRBOLA EQUILÁTERA: Cundo ls distncis b son igules ls síntots son bisectrices del 1º º cudrnte. Luego l ecución de est hipérbol, cuo eje principl o rel es igul su eje imginrio será: - = Pr rribr est ecución se siguen los siguientes psos: 1- Plntemos l ecución de l hipérbol, en este cso considerremos el eje rel coincidente con el eje de bsciss, sí result: / - / b = 1 - Como señlármos nteriormente en el cso de l hipérbol equiláter result = b, luego l ecución quedrí: / - / = 1 3- Multiplicndo mbos miembros por result: - = ecución de l hipérbol equiláter con eje rel coincidente con el de bsciss. Y=-X Ec. De l síntot V Y W V Y=X Ec. De l síntot X GRÁFICA DE LA HIPÉRBOLA EQUILÁTERA Y SUS ASINTOTAS. EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE ABSCISAS W 0

21 Secciones Cónics bierts: LA PARABOLA L Prábol l Hipérbol se ls denominn CÓNICAS ABIERTAS que ests curvs se etienden indefinidmente; diferenci de l Circunferenci l Elipse que, como, vimos son curvs cerrds. Podemos nlizr l prábol desde l geometrí básic decimos que es un curv pln biert de un rm que se obtiene l seccionr un superficie cónic circulr rect, con un plno secnte prlelo un genertriz del cono Desde el nálisis mtemático como un función poli nómic; que desrrollremos ms delnte. Y estudiándol desde el punto de vist de l geometrí nlític podemos etendernos hllr sí su: DEFINICION Un prábol es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un rect dd, llmd directriz, un punto fijo fuer de l rect que se denomin foco. Prábol d(pf) = d(pd) d D V P 1 P 1

22 ELEMENTOS DELA PARABOLA F: foco de l prábol. d: rect directriz. Eje focl: eje de simetrí de l prábol. Es un rect perpendiculr l directriz que ps por el foco. Vértice de l Prábol: V( h; k) es el único punto de l prábol que toc el eje focl. Se observ que AV = VF por lo tnto se demuestr que el Vértice V pertenece l prábol por cumplir con l definición. d De esto se deduce que su Ecentricidd es = 1 D C L unicidd se refiere que tods ls prábols son semejntes, es decir, tienen l mism form, slvo su escl. Ldo recto de l prábol: es l más importnte de sus cuerds. Este segmento une los puntos C C, siendo perpendiculr l eje focl, psndo por el foco. Por lo tnto el ltus rectum o ldo recto, debe ser siempre positivo, l ser un segmento, se consider su vlor bsoluto. V A V p p p C Prámetro: (p) es l distnci del vértice l foco VF. Observmos: Si bien p es l distnci del vértice l foco ; es tmbien l distnci del vértice l pie de l perpendiculr A, en donde se intersect el eje de l prábol con l directriz. Asi, desde A hst F es igul p. Si trsldmos est medid desde el Foco, en form perpendiculr l eje focl ubicremos el punto C luego por simetri C. Por lo que estblecemos que el segmento CC es el Ldo recto de l prábol es = 4p C A V V p p p C p 4 p Est distnci direcciond (p), distnci del vértice l foco VF nos determin un origen un etremo. Por lo tnto p doptrá vlores positivos si se dirige l derech hci rrib vlores negtivos si se dirige hci l izquierd hci bjo. Esto cobr importnci fundmentl en el momento de reconocer en l ecución l posición que doptrá éste lugr geométrico.

23 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Si referimos l prábol un sistem de ejes crtesinos ortogonles se pueden producir dos situciones sber: 1- Que el eje focl coincid, o se prlelo l eje de bsciss con lo que diremos que l prábol es eje horizontl. - Que el eje focl coincid, o se prlelo l eje de ordends con lo que diremos que l prábol es eje verticl. 1 - ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA A EJE HORIZONTAL (h;k) son ls coordends del vértice de l prábol. (-k) = 4p(- h) Si h = k = 0 el vértice estrá en origen del Sist. de coordends será l ecución cnónic (-k) = 4p(-h) El prámetro p con su signo nos permite posicionr el foco, el sentido de ls rms, por lo tnto ubicr l rect directriz. (-0) = 4p(-0) = 4p +p rms l derech -p rms l izquierd 3

24 - ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA A EJE VERTICAL (h;k) son ls coordends del vértice de l prábol ( h) = 4p( - k) Si h = k = 0 el vértice estrá en origen será l ecución cnónic (- h) = 4p (-k) El prámetro p con su signo me permite posicionr el foco, el sentido de ls rms, por lo tnto ubicr l rect directriz. (-0) = 4p(-0) = 4p +p rms hci rrib -p rms hci bjo CONSTRUCCION DE LA PARABOLA POR PUNTOS d A V F Se conocen l directriz d, el eje focl el foco. El vértice V es el punto medio del segmento AF. Se trzn vris perpendiculres l ejefocl, desde el vértice l derech. d A V F 4

25 Con centro en F rdio AA1, se cort dich perpendiculr, obteniendo el punto P su simétrico, que son puntos de l curv. Se obtiene sí r = PF = PN, según l definición de l curv. N d r mp r A V A1 F Est operción se repite pr obtener nuevos puntos que l unirlos delinen l PARABOLA. LA PARÁBOLA- FUNCIÓN POLINÓMICA DE º GRADO L prábol es l únic de ls cónics que podemos verl desde el punto de vist de l Geometrí Anlític tmbién desde el punto de vist del Análisis Mtemático, bjo el concepto de FUNCION. Por est cus sólo se considerrán ls prábols cuos ejes de simetrí, se encuentrn en posición verticl. Si desrrollmos lgebricmente l ecución de l prábol eje verticl (-h) = 4p (-k) Obtenemos LA FUNCION POLINÓMICA PARABOLICA CUADRATICA = + b +c 5

26 Del desrrollo lgebrico de ls ecuciones se desprenden ls fórmuls que continución se detlln que permiten vinculr mbs rms de l mtemátic teniendo un conocimiento completo del comportmiento de est curv. = 1/4p b = -h /4p c = h /4p + k P = 1/4 h = -b / k = - b /4 + c LA PARÁBOLA COMO FUNCIÓN POLINÓMICA: Coeficiente principl Coeficiente del término en = + b + c término de º grdo término de 1º grdo término independiente Como vimos en geometrí nlític h dos tipos de problems; dd l ecución hllr el lugr geométrico vicevers, ddo el lugr geométrico hllr l ecución. Aquí pretendemos lo mismo. Dd l función hllr el lugr geométrico de l prábol signific que deberemos encontrr puntos representtivos que permitn trzr el grfico de dich curv. Estos puntos son: 1- El vértice V( v ; v ). (0;) ( 1 ;0) ( ;0) 0,0 V( v ; v ) - El punto donde l Prábol cort el eje de ordends (0 ; ). V = - b = 1 + V = +c - b 4 Si = 0 = C 3- Los puntos donde l Prábol cort el eje de bsciss, o se cundo es igul 0. Esto es mu importnte: l curv cort en más de un punto l eje. Por que Si = 0 0 = + b +c l función se convierte en ecución de segundo grdo l resolverl tendrá dos ríces; ( 1 ; 0) ( ; 0). 6

27 Resolvemos l ecución encontrmos sus dos Ríces plicndo: 1 = ( - b + b.b-4c ) / = ( - b b.b-4c ) / Un ecución cudrátic puede rribr tres tipos de soluciones según el signo del Discriminnte D, sber: Discriminnte = b - 4..c Si el discriminnte es positivo, de l ríz cudrd se obtiene dos números reles generándose dos ríces reles distints. 0,0 Si el discriminnte es cero, l ríz cudrd es cero, mbs ríces resultn el mismo número.. 0,0 Si el discriminnte es negtivo, l ríz cudrd no tiene solución dentro del cmpo de los números reles; se obtiene dos ríces imginris o complejs; l prábol no toc el eje de bscis. 0,0 ANALIZANDO AHORA LOS DISTINTOS TÉRMINOS VEMOS QUE: Si el coeficiente tiene signo positivo, >0 tendremos un función decreciente luego de su punto mínimo comienz crecer, o se que ls rms irán hci rrib. 0,0 Si el coeficiente tiene signo negtivo, <0 tendremos un función creciente luego de su punto máimo comienz decrecer, o se que ls rms irán hci bjo. 0,0 7

28 Si l form de l ecución es incomplet sólo se encuentr el término de segundo grdo, se este positivo o negtivo, por ejemplo = + el eje de ordends es el eje de simetrí su vértice coincide con el origen del sistem. Por lo tnto, pr poder grficr est curv será necesrio vlur los distintos punto de pr hllr los vlores de. Si l form de l ecución es incomplet flt el término en por ejemplo = + c el eje de ordends es el eje de simetrí su vértice dist un vlor igul c del origen del sistem. Por lo tnto el término c indic en que punto cort l prábol l eje de ordends. 0,0 Cunto mor se el vlor de en vlor bsoluto menor será l pertur de ls rms de l prábol. Ls rms se cercn l eje de simetrí (líne continu). 0,0 C 0,0 0,0 Cunto menor se el vlor de en vlor bsoluto mor será l pertur de ls rms. se cercn l eje (líne de trzo). 0,0 Si los signos de los términos fectdos por l vrible son igules, por ejemplo = + +b + c l prábol se desplz hci l izquierd del eje de ordends. Si los signos de los términos fectdos por l vrible son distintos, por ejemplo = + - b + c l prábol se desplz hci l derech del eje de ordends. 0,0 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Dd l función se pudo construir l gráfic de l prábol l encontrr los puntos necesrios. Ahor bien, se plnte l posibilidd invers; que dd sus ríces pued determinr l función, cundo el coeficiente principl es = 1, plicndo l propiedd de ls ríces. - ( 1 + ) = b Cundo = 1 1. = c Cundo es distinto de 1 se deberá multiplicr cd término de l función por el mismo vlor del coeficiente principl desedo. 8

29 Hciendo un poco de Histori: L geometrí de ls cónics, elipse, hipérbol prábol, es un de ls secciones profunds de l mtemátic que, por su bellez, rmoní riquez de ides, se h desrrolldo más precozmente. Los tres grndes genios de l mtemátic grieg, Euclides, Arquímedes Apolonio son los responsbles de que finles del siglo III. de C. se conociese prácticmente tnto como ho conocemos sobre ls propieddes de ls cónics. Apolonio Nció hci 6. de C. en Perg, un ciudd grieg situd en l ctul Turquí. Estudió enseñó tmbién en Alejndrí, donde murió en 190. de C. Se ocupó tmbién de óptic stronomí, introduciendo métodos mu originles obteniendo resultdos mu profundos. Pr los ntiguos geometrís griegos un sección cónic (prábol, elipse e hipérbol) er un curv en el espcio, l cul resultb de l intersección de un plno con un cono de dos mntos o rms, siempre cundo el plno no psr por el vértice del cono. En cso de que lo hicier db lugr ls llmds cónics degenerds un punto (el vértice del cono), un rect (un genertriz del cono) o un pr de rects que se intersecn (un pr de genertrices)). Los griegos en su tiempo se dedicron con persevernci l estudio de sus propieddes geométrics. Apolonio demostró que ls curvs cónics tienen muchs propieddes interesntes. Alguns de ess propieddes son ls que se utilizn ctulmente pr definirls. Quizás ls propieddes más interesntes útiles que descubrió de ls cónics son ls llmds propieddes de refleión. Si se construen espejos con l form de un curv cónic que gir lrededor de su eje, se obtienen los llmdos espejos elípticos, prbólicos o hiperbólicos, según l curv que gir. Sin embrgo, es hst inicios del siglo XVII (1637), con el descubrimiento csi de mner independiente de l geometrí nlític, por prte de Descrtes Fermt, que se tom concienci de su utilidd psn ocupr un lugr de privilegio, dicionlmente Kepler descubrió ( Newton eplicó) que ls órbits de los plnets otros cuerpos en el sistem solr son secciones cónics. Aplicciones Fue Apolonio de Perg, el primero que introdujo públicmente ls secciones cónics escribiendo el más ntiguo e importnte trtdo sobre ls misms. Lo que no es tn conocido es que el motivo que origino l creción de est obr que no fue precismente el de eplicr ls orbits de los plnets ni construir prtos de rdr, sino el de buscr soluciones solo con regl compás de los tres fmosos problems griegos que ho sbemos irresolubles, como son el de l duplicción del cubo, l trisección del ángulo l cudrtur del cırculo. Durnte muchos siglos, ls cónics fueron descrtds en los trbjos de los mtemáticos hst que volvieron súbitmente l vid, l comprobrse que el mundo que nos rode est lleno de secciones cónics constntemente precen en situciones reles como podemos ver en ls imágenes que ilustrn ls plicciones. En l elipse encontró Kepler l respuest l enigm del movimiento plnetrio, descubriendo que el plnet Mrte (hor sbemos que l igul que el resto de los plnets) tiene orbits elıptics el sol est situdo en uno de sus focos (de híı el nombre ddo estos puntos). En bse este descubrimiento Newton enunció l fmos le de l grvitción universl; síı el descubrimiento de Kepler se deduce como consecuenci mtemátic de dich le. Tmbién los stélites los comets tienen orbits elıptics, de mor o menor ecentricidd, lo cul es en cierto modo providencil, pues si se trtr de hipérbols o prábols, no volverın repetir su ciclo. Tmbién Glileo demostró que ls trectoris de los proectiles son prbólics. Donde encontrmos l presenci de ls cónics en el mundo que nos rode Prábol Trectori de un proectil (desprecid l resistenci del viento) Cble de un puente suspendido. (Un cble de suspensión colgdo entre dos postes sostiene un estructur de densidd uniforme mucho más pesd que el propio cble tom l form proimd de un prábol) Reflectores prbólicos- todo ro prlelo l eje se reflej de mner que ps por el foco. Si un espejo de un telescopio es prbólico (prboloide), un ro de luz que incide en el espejo se reflejrá en el foco. El prboloide es un superficie que se obtiene l girr un prábol lrededor de su eje. Los espejos prbólicos tienen form de prboloide, se usn principlmente en l construcción de telescopios 9 F

30 ntens: los ros de luz recibidos desde un fuente lejn (como ls estrells) vijn prlelos l eje de l prábol se reflejn pr converger en el foco de l mism. Inversmente, cundo l fuente de luz está en el foco, los ros de luz se reflejn vijn prlelos l eje de l prábol. Este es el principio usdo en los fros de los utomóviles, proectores rdres. L nten de un rdio telescopio L líne que describe culquier móvil que es lnzdo con un ciert velocidd inicil, que no se verticl, es un prábol. Elipse Orbits de los plnets (con el sol en uno de los focos) Orbits de ls luns de los plnets. Propiedd focl: Un ro que sle de un foco se reflej hci el otro. L elipse tiene un propiedd mu interesnte: Si unimos culquier punto, P, de l elipse con sus focos, el ángulo que formn los rdios focles con l tngente en ese punto son igules. Est propiedd se utiliz en l construcción de espejos (de luz sonido), pues l emisión, de luz o sonido, desde uno de los focos se reflej en el otro foco. Engrnjes elípticos de lguns mquinris Hipérbol Utilizd en l construcción de ciertos lentes telescopios. L hipérbol tiene un propiedd interesnte: Si unimos culquier punto, P, de l hipérbol con sus focos, el ángulo que formn los rdios focles con l tngente en ese punto, son igules. (Tmbién se puede decir que l tngente es l bisectriz del ángulo que formn los rdios focles). Est propiedd se utiliz en l construcción de espejos (de luz sonido), pues l emisión, de luz o sonido, desde el foco se reflej en l dirección de l rect que une el otro foco con el punto. L trectori de lgunos comets. Un cuerpo celeste que proveng del eterior del sistem solr se trído por el sol, describirá un órbit hiperbólic, teniendo como un foco l sol sldrá nuevmente del sistem solr. En ls ciencis físics cierts formuls son del tipo hiperbólico Se utiliz en l nvegción, l propiedd de l definición de l hipérbol "l diferenci de ls distncis de los puntos de l hipérbol los focos es constnte". En el sistem de nvegción LORAN, un estción rdioemisor mestr otr estción rdioemisor secundri emiten señles que pueden ser recibids por un brco en ltmr. Puesto que un brco que monitoree ls dos señles estrá probblemente más cerc de un de ls estciones, hbrá un diferenci entre ls distncis recorrids por ls dos señles, lo cul se registrrá como un pequeñ diferenci de tiempo entre ls señles. En tnto l diferenci de tiempo permnezc constnte, l diferenci entre ls dos distncis será tmbién constnte. Si el brco sigue l trectori correspondiente un diferenci fij de tiempo, est trectori será un hipérbol cuos focos están loclizdos en ls posiciones de ls dos estciones. Si se usn dos pres de trnsmisores, el brco deberá quedr en l intersección de ls dos hipérbols correspondientes. 30

31 Tmbién en l Arquitectur podemos precir l presenci de ls secciones cónics Se djuntn imágenes donde se puede verificr l utilizción de ls misms en plnts, cortes vists eplotndo sus propieddes geométric en ls dos dimensiones del plno como generdors (genertrices) de ls superficies llmds cuádrics en ls tres dimensiones del espcio. Circunferencis - Complejo Lúdico Terml en el futuro pisje urbnístico de l provinci de Pontevedr, Espñ Elipse L futur CjSol - proecto de Cesr Pelli - Puerto Trin- Sevill- Elipse El equipo formdo por Enrique Azpilicuet, Plom Lsso de l Veg Luis Enguit h resultdo gndor en el concurso de rquitectur convocdo pr elegir el diseño de uno de los últimos edificios del Cmpus de l Justici de Mdrid que quedbn por signr, el del Juzgdo de Gurdi. Elipse El rquitecto itlino Antonino Crdillo present est viviend, un elipse de hormigón que se dilt hci el este el oeste. L enorme curv cre unos interesntes espcios en el interior, l vez que en su totlidd, el edificio se ve como un único elemento, elegnte, e integrdo en l colin en el que está ubicdo. Prábol: El rco de St. Louis, en el estdo de Missouri es un prodigio de l construcción fue diseñdo por el rquitecto finés-mericno Eero Srinen. Tiene form de ctenri (l cuerd que se form l sujetr un cble desde los bordes dejrlo cer) invertid. Prábol Gzprom tower en Sn Petersburgo- Rusi Proecto del Arq Dniel LIEBESKIND. Prábol Erick vn Egert gnó el concurso interncionl pr l Librerí Ncionl de Ksn, cpitl de l Repúblic de Ttrstn, Rusi. L nuev Librerí Ncionl contrá con un superficie de m estrá ubicd en l Plz Tuk, en el borde sur-este del centro de l ciudd. Hipérbol Ctedrl de Brsili, del Arq. Oscr Niemeer 31

32 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA Geometrí Anlític -Joseph Kindle Serie Schum Geometrí nlític del plno del espcio tomogrfí- Donto Di Pietro- Diccionrio de Mtemátics Sntigo vliente Brders-AWL Mtemátics I- Arqt. Betriz Yeremián- FAUD- Mtemátic Apuntes de Cátedr Modulo III DI. Arqt. Betriz Yeremián - FAUD