Optimización multicriterio. Andrés Ramos Universidad Pontificia Comillas

Transcripción

1 Optmzacón multcrtero Andrés Ramos Unversdad Pontfca Comllas

2 Contendo 1. Conceptos báscos 2. Métodos contnuos 3. Métodos dscretos Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI 2

3 Conceptos báscos Métodos contnuos Métodos dscretos 1 Conceptos báscos

4 Teoría de la decsón Decsón: elegr el mejor posble defnr qué sgnfca mejor y qué sgnfca posble Solucones posbles o factbles: Conjunto fnto: las alternatvas se pueden enumerar Conjunto nfnto: las alternatvas se defnen medante restrccones Mejor: Un únco crtero (Optmzacón clásca o Teoría de la Decsón clásca) Múltples crteros (Decsón Multcrtero) o múltples decsores (Teoría de Juegos) Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI 4

5 Decsón Multcrtero Conceptos báscos Métodos multcrtero: lo posble: contnuo Optmzacón multobjetvo Programacón compromso Métodos satsfacentes (metas) lo posble: dscreto Procesos Analítcos Jerarquzados (AHP) Formulacón general: Métodos de sobreclasfcacón (Electre, Promethee,...) opt z = ( z ( x),..., z ( x)) x F n F: espaco de decsones o solucones(contnuo: regón factble, F R ) p z( F) : espaco de objetvos o resultados(crteros numércos: z( F) R ) 1 p Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI 5

6 Cuál es el anmal más rápdo correndo, volando y nadando smultáneamente? El más veloz en terra? El guepardo es el anmal terrestre más rápdo El que mejor vuela? El halcón peregrno es el pájaro más veloz El mejor nadador? Pez espada es el pez más rápdo del mundo Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI 6

7 Y el ganador es el PATO Es capaz de correr aunque menos que un guepardo Es capaz de volar aunque menos que un halcón peregrno Es capaz de nadar aunque menos que un pez espada Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI 7

8 Decsón Multcrtero Conceptos báscos Defncones báscas: Atrbuto: "valor" observado (meddo) de una decsón ndependentemente del decsor Objetvo: dreccón mejora de un atrbuto (max. o mn. s es numérco; s no preferencas) Nvel de aspracón: nvel aceptable de logro de un atrbuto Meta: Combnacón de un atrbuto y su nvel de aspracón Crtero: atrbutos, objetvos o metas relevantes en un problema de decsón Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI 8

9 Decsón Multcrtero Conceptos báscos Concepto de solucón: crtero de optmaldad paretana Una alternatva es efcente o paretoóptmas toda alternatva que proporcone una mejora en un atrbuto produce un empeoramento en al menos otro de los atrbutos Alternatva domnada o no efcente: hay otra con todos los atrbutos mejores max ( z, z ) Espaco de objetvos Conjunto efcente o de Pareto Alternatvas domnadas 1 2 z 2 Atrbutos numércos, objetvos de maxmzacón Conjunto efcente: { x F : / x' F tal que zk ( x ) zk ( x) k y zt ( x ) zt ( x) para al menos un t { 1,..., p} } ε = > Solucón mejor compromso: solucón efcente selecconada por decsor z 1 Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI 9

10 Conceptos báscos Métodos contnuos Métodos dscretos 2 Métodos contnuos

11 Decsón Multcrtero Optmzacón multobjetvo max z = ( z ( x),..., z ( x)) 1 p z ( x): funcón matemátca del atrbuto -ésmo x F x : vector de varables de decsón F : conjunto de restrccones que defnen las solucones posbles Matrz de pagos(pay-off matrx): valor óptmo un objetvo sn consderar otros, y valores del resto objetvos en esa solucón. Grado conflcto Tasas de ntercambo(trade-offso costes de oportundad): lo que se está dspuesto a empeorar un objetvo por mejorar en una undad otro objetvo (pendentes del conjunto efcente) Coste 3500 C D 2000 E B 1000 A T A ' B ' Caldad Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI Matrz de pagos: Coste Caldad Coste Caldad Tasas de ntercambo: = = T B ' C ' = =

12 Decsón Multcrtero Optmzacón multobjetvo Método de las ponderacones(weghted-sum Method)(Zadeh, 1963) Multplcar cada objetvo por pesoo factor no negatvo y agregaren una únca funcón Programacón paramétrca(varando pesos se obtene todo el conjunto efcente) λ > 0 p max λ z ( x) = 1 P( λ) x F λ 0 Teorema: S, entonces cualquer solucón óptma de P(λ) es efcente. El recíproco es certo bajo certas condcones (p.ej. lnealdad) Normalzar los crteros (undades) Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI 12

13 Decsón Multcrtero Optmzacón multobjetvo Método de las ε-restrccones (Epslon-Constrant Method) Optmzar unode los objetvos e ncorporar el resto como restrccones paramétrcas Programacón paramétrca (varando térmnos de la dcha. se obtene conjunto efcente) Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI max zl ( x) x F Pl ( ε) zk ( x) εk k = 1,..., l 1, l + 1,..., p Teorema: S la solucón es únca, entonces es efcente. Teorema: S x * es efcente, l ε tal que x * k es sol. óptma de Pl ( ε) Método smplex multobjetvo (Zeleny, 1974) Sólo para objetvos y restrccones lneales Evalúa cada teracón efcenca de las solucones (ptos. extremos) Obtene todos los puntos extremos efcentes Conjunto efcente: combnacones lneales de puntos extremos adyacentes 13

14 2. Decsón Multcrtero Programacón compromso Punto o alternatva deal: valores óptmos de objetvos ndvdualmente tratados z = ( z,..., z,..., z ) * * * * 1 p z * = max z ( x) x F * z : punto ancla Solucón óptma o mejor solucón compromso: solucón efcente más próxma al punto deal (axoma de Zeleny, 1973) * z z ( x) Grado de proxmdad al objetvo -ésmo normalzado: z * d ( x) = z z ant-deal o peor valor posble del objetvo en el conjunto efcente * * mn L x F π p * π z z ( x) = w * = 1 z z * π 1/ π z 2 Ponderacón preferencal de los crteros (subjetva) π= Tchebychev o mnmzar máxma dstanca (lneal) π=1 agregacón lneal de dstancas ponderadas (lneal) Conjunto compromso: varar π (usualmente se da ) Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI [ ] L L 1, z 1 14

15 Decsón Multcrtero Programacón por metas Lógca satsfacente(smon, 1955): en los contextos actuales de decsón (nformacón ncompleta, recursos lmtados, conflctos de ntereses,...) el decsor más que optmzar unas funcones objetvo ntenta que una sere de metas se aproxmen lo más posble a unos nveles de aspracón prefjados. Programacón por metas (GoalAttanmentMethod)(Charnesy Cooper(61), Lee (72) e Ignzo(76)) Atrbuto expresón matemátca: z ( x) Nvel de aspracón: nvel aceptable de logro para un atrbuto Restrccón Meta: z ( x) zˆ z ( x) + n p = zˆ Con varables de desvacón: Varables de desvacón no deseadas: s meta es "al menos" un valor, ; s es "a lo sumo", Modelo (maxmzar): n p mn n x F restrccones meta = 1 p zˆ Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI 15

16 Decsón Multcrtero Programacón por metas: varantes Programacón p por metas ponderadas: mn ( α n + β p ) = 1 Escuela Técnca Superor de Ingenería ICAI x F n 0, p 0 = 1,..., p z ( x) + n p = zˆ = 1,..., p í (dvdr por nvel aspracón: %) Programacón por metas MINIMAX o Tchebychev:(sol. equlbrada) mn D α n + β p D = 1,..., p z ( x) + n p = zˆ = 1,..., p x F í n 0, p 0 = 1,..., p Programacón por metas lexcográfcas: Nveles de prordad en metas. Resolver secuencalmente para cada nvel, mantenendo los valores prevamente obtendos de varables no deseadas para metas con mayor nvel de prordad. Lex mn a= [ g ( n, p) + g ( n, p), g ( n, p), g ( n, p) + g ( n, p) + g ( n, p) ]