Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Análisis: Integrales 171. Tema 8. Integrales. , es fácil hallar su derivada F (x)

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1 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 7 Concepto de integrl indefinid Tem 8 Integrles L derivd de un función permite conocer l ts de vrición (el cmio instntáneo) de un determindo fenómeno prtir de su función Con l integrción, el proceso es inverso: se trt de conocer l función inicil prtir de su derivd: prtiendo del estudio de l vrición de un fenómeno, llegr conocer l función que lo eplic Primitiv de un función Si se conoce un función F (), es fácil hllr su derivd F () Se plicn ls fórmuls El proceso inverso, encontrr F () prtir de F (), se llm integrción F () (derivción) F ( ) = f ( ) (integrción) F () A l función F() se le llm primitiv o ntiderivd de l función f () Pr ver que l primitiv de un función es correct st con derivr, pues: F () es un primitiv de f () F ( ) = f ( ) Ejemplos: ) Si F( ) = +, su derivd es F ( ) = + ; entonces, un primitiv de f ( ) = + será F( ) = + Oservción: Otr primitiv de f ( ) = + es, por ejemplo, F( ) = + +, pues derivndo: F ( ) ( = + + ) = + = f( ) Tods l funciones de l form F ( ) = + + c, donde c es un número, son primitivs de f ( ) = + ) Si F ( ) = ln( + ), su derivd es f ( ) = será F ( ) = ln( + ) + Tods ls funciones de l form c) Pr hllr un primitiv de l ríz ; esto es, que si f( ) = + 7 será y f( ) = = + 7 y F F ( ) = ; en consecuenci, un primitiv de + F ( ) = ln( + ) + c son primitivs de + 7 y = = ( ) = + 7 f ( ) = + hy que ser l fórmul de l derivd de + 7 En consecuenci, un primitiv de Oservción: A lo lrgo de este tem se estudirán los métodos ásicos de integrción, pero si no se conocen con soltur (y de memori) ls fórmuls de derivción el trjo resultrá inútil wwwmtemticsjmmmcom

2 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 7 Integrl indefinid Dd un función f (), si F () es un de sus primitivs, l integrl indefinid de f () es l función F ( ) + c, donde c es un número que se llm constnte de integrción Se escrie sí: f ( ) d = F( ) + c, (d indic l vrile de integrción; de derivción) En consecuenci, l derivd y l integrl son operciones inverss; de mner nálog como lo son l ríz cudrd y el cudrdo o l eponencil y el logritmo Esto es, l plicr sucesivmente l integrl y l derivd un función se otiene l mism función: d f ( ) d d = f ( ) y f ( ) d = f ( ) d d En l segund iguldd deerí sumrse un constnte No se hce pr que quede más clr l ide fundmentl Ejemplos: ) ( + ) d = + + c ) d = ln( + ) + c + c) d = + c d + c = d, pues ( ) Propieddes de l integrl indefinid d d d d Puede comprorse que ( + + c) = + Puede comprorse que ( ln( + ) + c) = + ) L integrl de un número por un función es igul l número por l integrl de l función: kf ( ) d = k f ( ) d Esto signific que los números que multiplicn un función pueden entrr y slir del integrndo, según conveng Así, por ejemplo: = f ( ) f ( ) d kf ( ) d = k k k d Est propiedd fcilit el cálculo de integrles medinte el sencillo procedimiento de justr constntes Ejemplos: ) Pr hllr 8 d puede verse el ejemplo c) nterior y escriir: 8 d = d = d = ( + c) = + c (puede sustituirse c por c) ) Osérvese con un cso prticulr lo que se h dicho más rri sore que l integrl y l derivd son operciones inverss: Primero se deriv, después se integr: d ( ) = ( ) d = ( ) d = d = + c d d Primero se integr, después se deriv: d ( ) d = ( + c) = No hy c d d (Se escrie l constnte c) wwwmtemticsjmmmcom

3 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 7 ) L integrl de un sum de funciones es igul l sum de ls integrles de cd un de ess funciones: ( f ( ) ± g( )) d = f ( ) d ± g( ) d Ls propieddes ) y ) indicn que l integrl se comport como un operdor linel Ejemplos: ) Número por función: 5( + ) d = 5 ( + ) d = 5( + + c ) = 5 5 c OJO: Est propiedd sólo se refiere fctores numéricos Así: ) Pr hllr d se escrie: d = d d = = ( + c) = + c + + (d igul poner c que c ) ( ) d ( + + ) d (se dej l mism c) c) Sum de funciones: ( ) d = d d = ( + c ) ( c ) c + = + (ls constntes c y c no son necesris; st con poner un sol c) d) Siendo que cos d = sin + c y que e d = e + c (recuerd ls derivds de l función seno y de l eponencil), se otienen: ( cos ) k cos d = k sin + c d = sin + c cos sin cos d = + c sin k k d = + c 5 5 pe d pe = + c e d = e + c e e d ; e d = d = = e + c ( ) cos e d = cos d e d = sin e + c Ls propieddes nteriores se utilizn según conveng, de dentro fuer o de fuer dentro Así, por ejemplo: 8 d = 6 d = 6 d = 6( ln( + ) + c) = 6 ln( + ) + c Siempre se uscrá un integrndo del que se sep hllr l primitiv Igulmente: ( ) d = d d = d d = + c wwwmtemticsjmmmcom

4 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 7 Relción de integrles inmedits Ls integrles de ls funciones usules, que conviene ser de memori, son ls siguientes (Pr gilizr l escritur, y por flt de espcio, cundo en l función compuest se escrie f deerí escriirse f( ); por lo mismo, en todos los csos se omite l constnte de integrción, c) TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Función simple Función compuest Ejemplos kd = k d = ; ( ) d = n+ n+ n n f d =, n f f d =, n n + d = ; d = = n + f d = d = f d = 5 f 5 d d = ln f = d = ln f d = ln ; ln( ) f d = + + f f d = f d = ln d = ; d = ln ln ln f f e d = e e f d = e e d = e ; e ( ) d = e cos d = sin f cos fd = sin f 5cos(5 ) d sin (5 ) = sin d = cos f sin fd = cos f 6 sin ( ) d = cos ( ) f d = tn d = tn f tn cos cos f cos d = ( + tn ) d = tn ( + tn ) = tn f f d f f d = rcsin d = rcsin f f f d = rccos d = rccos f f f d = rctn d = rctn f + + f ( ) + tn ( + ) d = tn( + ) / (ln ) d = rcsin ( ln ) e d = rccose e rctn ( ) d = + Ejemplos: ) 5 ( + ) ( + ) d = + c ) ( ) e d = e + c ( ) c) ( ) 6 d = + c d) d = ln( + 6) + c e) ( sin ) cosd = ( sin ) + c Oserv: f f d = f, con f = sin wwwmtemticsjmmmcom

5 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 75 Técnics y métodos de integrción Cundo el cálculo de un integrl no se inmedito, lo que sucede cundo el integrndo no coincide con lgun de ls fórmuls nteriores, se recurrirá lgún método de integrción Estos métodos son procedimientos que permiten escriir el integrndo inicil en otro equivlente cuy integrl se más sencill de clculr Descomposición elementl Consiste en trnsformr el integrndo medinte operciones lgerics ásics, como: multiplicr o dividir por un constnte propid; sumr o restr un número u otr epresión; efectur ls operciones indicds (Pr que ess operciones tengn sentido hy que tener presentes ls fórmuls de ls integrles inmedits; y, ovimente, ls propieddes de l integrl) Ejemplos: ) ( ) d Se descompone en sum de integrles 5 ( ) d = d + d d = ) ( ) d Se hce el cudrdo de l epresión c 5 ( ) d = ( 6 + 9) d = d 6 d + 9 d = c c) d) 5 + d Se hce l división del integrndo ln 5 d = + d = d + d d = c 5 6 d 6 Se justn ls constntes uscndo l integrl del logritmo: 5 6 d 6 ln(5 6 ) 5 6 d = d = 6 + c e) 5 e d Se justn constntes uscndo que quede e d = e d = e + c f ( ) ( ) ( ) e f d = e f + c f) d Se escrie como un potenci de eponente negtivo; después se justn constntes Así: d = d = d = + c = + c g) Igulmente: ( + ) ( ) + ( ) ( ) + d = + d = + d = + c = + c ( ) wwwmtemticsjmmmcom

6 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 76 Ejercicios de integrción por descomposición elementl Ejercicio Clcul l integrl ( ) 6 + d del siguiente modo: ) Operndo el integrndo; ) Ajustndo constntes y plicndo l fórmul Solución: ) Operndo se tiene: 6( + ) d = 6 5 ( ) = ( ) = f n f d = d d = d + 8 d + 96 d = + d + 8 d = c ) Ajustndo constntes: 6( + ) d = ( ) ( + ) f f n ( ) n+ + + d = f f d = = + c = + + c 5 5 Ejercicio Clcul justndo constntes ls integrles: ) d ; ) d + ( + ) Solución: Hy que serse ls integrles: f ( ) ) d = f ( ) + c ; ) f ( ) d = ln ( f ( )) + c f( ) f( ) Con esto: ) Como l derivd del rdicndo, f( ) = +, es f ( ) =, l integrl inicil puede escriirse e integrrse como sigue: 5 ( 5 ) 5 5 d = d = d = + + c ) Como en el cso ), l ser f ( ) =, l integrl inicil es: 5 ( 5 ) 5 5 d = d = d = ln ( + ) + c ( ) ( ) ( ) ; ) Ejercicio Clcul justndo constntes ls integrles: ) sin ( ) d Solución: Hy que ser: f ( ) sin( f ( )) d = co ( s f ( )) + c ; ( ) co ( s ( )) sin ( ( ) ) Con esto: ) sin ( ) d = sin ( ) cos( ) d = + c, ) cos d = cos d = sin + c 5 5 f f d = f + c 5 cos d wwwmtemticsjmmmcom

7 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 77 Integrción por cmio de vrile Aunque l descomposición elementl (el juste de constntes) suele dr resultdo en muchos csos, no siempre es sencillo, pues hy veces que no se ve lo que puede hcerse Por eso, un método lterntivo y válido pr csos más complicdos es el del cmio de vrile Este método consiste en hcer un cmio de vrile en el integrndo ( = gt () o t= h ( ), según conveng) de mner que l integrl inicil resulte más fácil de clculr El proceso es el siguiente: Pr clculr l integrl f ( ) d, si se hce = gt () d = g ( t) dt Con esto, puede escriirse: f ( ) d = f ( g()) t g () t dt Aunque, prentemente, está integrl se ve más difícil, de lo que se trt es de que l nuev integrl resulte csi inmedit: que se juste lgun de ls fórmuls de integrción Muchs veces no se consigue, pues el cmio puede ser poco fortundo; en ese cso, hrá que hcer otro cmio (A este nivel, suele indicrse el cmio decudo) Tres coss más: ) El cmio tmién fect l d Y se h indicdo rri: d = g ( t) dt ) Csi siempre hrá que recurrir lgún juste de constntes en lgún momento del proceso ) Un vez resuelt l integrl en l vrile t hy que deshcer el cmio inicil, pues l solución dee drse en función de Ejemplos: ) Pr clculr ( ) d 5 puede hcerse el cmio: t = 5 5 Luego: t = ( ) ; dt = d d = dt Sustituyendo en l integrl inicil: t 6 6 ( ) d t = dt = t dt = + c = t + c = ( ) + c 6 ) Pr clculr e d, si se hce: u = du = d d = du u u u Sustituyendo los cmios se tiene: e d e = du = e du = e + c = e + c c) L integrl d, hech nteriormente medinte juste de constntes, se puede 5 6 resolver hciendo el cmio: t = 5 6 dt = 6d d = dt 6 Luego, d = dt = dt = ln t + c = ln ( 5 6) + c 5 6 u 6 6 t 6 6 Oservción: En ninguno de los csos nteriores es imprescindile cmir de vrile Así, en el ejemplo ), puede hcerse: ( ) 6 ( ) d = ( ) d = + c = ( ) + c 6 wwwmtemticsjmmmcom

8 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 78 Algunos cmios de vrile estándr Como y se h indicdo, es frecuente que se indique un cmio decudo De hecho, esto cmios se pueden generlizr pr distintos tipos de integrles Aquí, pr prcticr el método, se drán los cmios Ejercicio Hll, medinte el cmio + = u, l integrl + d (Oserv que con este cmio puede evitrse l ríz cudrd) Solución: Si + = u + = u = u ; d = udu Llevndo estos vlores l integrndo, result: + d = ( u ) u ( udu) = ( u u ) du = u du Deshciendo el cmio, u = +, se tendrá 5 + d = ( + ) ( + ) + c 5 u du = u c u Ejercicio e Clcul, medinte el cmio e = t, l integrl d + e Solución: Si e = t e d = dt e Por tnto: d e d dt ln ( t) c ln ( e ) c + e = + e = + t = + + = + + Ejercicio Clcul, hciendo el cmio sin = t, l integrl ( sin ) cos d Solución: Si sin = t cos d = dt ( ) sin Sustituyendo: ( sin ) cos d t = t dt = + c = + c Ejercicio Clcul, hciendo el cmio ln Solución: = t, l integrl ln d Si ln = t d = dt Además, l integrl dd puede escriirse de otr mner ln d ln d = Sustituyendo: ln d = td = t + c Deshciendo el cmio: ln d = ( t + c ) = ( ln ) + c wwwmtemticsjmmmcom

9 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 79 5 Integrción de frcciones rcionles P( ) Ls frcciones rcionles son de l form, donde P ( ) y Q ( ) son polinomios Q( ) Si el denomindor es de grdo menor o igul que el numerdor, l epresión nterior puede P( ) R( ) escriirse sí: = C( ) +, donde C() y R() son, respectivmente, el cociente y el Q( ) Q( ) resto de l división (Como dee serse, el grdo de R() es menor que el de Q()) P( ) R( ) Con esto: d = C( ) d + d Q( ) Q( ) Aquí estudiremos solo dos csos: ( ) ) cundo Q ( ) es de primer grdo: P d + ) cundo Q ( ) es de segundo grdo: P ( ) d + + c 5 Frcciones rcionles con denomindor de primer grdo: Q( ) = + L descomposición se hce dividiendo L división de P( ): ( + ) puede hcerse por culquier método; sí, por ejemplo, si =, se hce plicndo l regl de Ruffini Ejemplos: + ) L epresión puede escriirse como sum de frcciones dividiendo cd término del numerdor por : + = + = + Con esto: + d = + d = d d + d = + ln + c + ) L epresión = + Est descomposición se otiene + + dividiendo por Ruffini El cociente de l división es C ( ) = ; el resto, r = + d se hce como sigue: Con esto, l integrl + + d = + d + + = d d d + d = + ln ( + ) + c + = (descomponiendo en sums de integrles) wwwmtemticsjmmmcom

10 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 8 5 Frcciones rcionles con denomindor de segundo grdo: Método de descomposición en frcciones simples Q( ) c = + + Si el numerdor, P, ( ) es de grdo myor o igul que, se hce l división, oteniéndose: P( ) m + n P( ) m + n = C ( ) + d = C( ) d + d + + c + + c + + c + + c L únic integrl que present dificultdes es l segund Pr resolverl se recurre l método m + n de descomposición de l epresión en sum de frcciones simples + + c Este método present distints opciones dependiendo de ls ríces de + + c = m + n A B L descomposición que se hce es: = c ( ) ( ) Con esto: m + n A B A d = d + d = ln ( ) + B ln ( ) + c + + c ( ) ( ) Los vlores de A y B se determinn por el llmdo método de identificción de coeficientes Cso Si hy dos ríces reles simples: =, = + + c = ( )( ) Ejemplos: ) Pr hllr l integrl d se procede sí: + Se hlln ls ríces de + = Son = y = Por tnto, l descomposición en frcciones simples será: A B A( + ) + B( ) = = = A( + ) + B( ) ( )( + ) El método de identificción de coeficientes consiste en igulr los coeficientes de los términos del mismo grdo de mos miemros de l iguldd Esto es: = A + B A = / = A( + ) + B( ) + = ( A + B) + A B = A B B = / / / Con esto: d = d + d = ln( ) + ln( + ) + c ) Pr clculr d, primero hy que dividir el integrndo, oteniéndose: + 7 ( + ) = = + (Se divide por culquier método) Ahor se descompone l segund frcción (ls ríces son ls de rri: = y = ) 5 A B = = A( + ) + B( ) A = 5 = A ( + ) + B ( ) ( )( + ) B = Por tnto: 7 5 d d = d + = + + = ln( ) + ln( + ) + c wwwmtemticsjmmmcom

11 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles c = m + n A B Se hce l descomposición: = c ( ) ( ) m + n A B A Con esto: d = d + d = + B + + c ( ) ( ) ln Cso Si hy un sol ríz rel dole, = ( ) ( ) Ejemplos: ) d + + L ecución + + = tiene un sol ríz dole, = Por tnto: A B A + B( + ) = + = = A + B( + ) + + ( + ) + ( + ) Se identificn coeficientes: = B B = = B + A + B = A + B A = Luego, d = d + d = + ln( + ) + c + + ( + ) + + ( ) + c ) d 6+ L ecución 6+ = tiene un sol ríz, =, dole: 6+ = ( ) Por tnto: A B = + 6+ ( ) = A+ B ( ) = A+ B ( ) ( ) Se identificn coeficientes: = B B = / = B + A B = A B A = Luego, / d d d d d 6 = ( ) + = ( ) + = + = + ln ( ) + c Oservciones: ) En el cso ), el coeficiente de l no dee olvidrse ( ) ) Tmién pr el cso ): l integrl d = ( ) d = = ( ) ) Alguns veces ests integrles resultn inmedits Así, por ejemplo: d = d = + c (se plic lo dicho rri) ( + 5) + 5 ) Igulmente, d = ln ( + ) + c Dee oservrse que el numerdor es + l derivd del denomindor wwwmtemticsjmmmcom

12 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 8 6 Método de integrción por prtes Este método suele ser propido cundo en el integrndo figurn funciones trigonométrics, eponenciles y logrítmics multiplicds entre ells o por epresiones polinómics El método consiste en descomponer el integrndo en dos prtes: un de ells se llm u; l otr, que se design por dv, suele ser el myor trozo (l myor prte) del integrndo que pued integrrse fácilmente Un vez integrd dv surgirá otr integrl que deerá ser más sencill que l inicil El esquem es el siguiente: udv = uv vdu Est fórmul se otiene prtir de l propiedd de l diferencil (de l derivd) del producto de dos funciones, u = f () y v = g() Así: d( f ( ) g( ) ) = d( f ( ) ) g( ) + f ( ) d( g( ) ) = f ( ) g( ) d + f ( ) g ( ) d (Recuérdese que df ( ) = f ( ) d ) Despejndo: f ( ) g ( ) d = d( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) d Integrndo, miemro miemro, se otiene l fórmul de integrción por prtes: ( f ( ) g( ) ) f ( ) g ( ) d = d f ( ) g( ) d f ( ) g ( ) d = f ( ) g( ) f ( ) g( ) d De mner esquemátic: d ( u v) = d( u) v + u d( v) = vdu + udv udv = d( u v) vdu ) udv = uv vdu Oservción: Pr l elección de ls prtes u y dv no hy un criterio concreto; pero, como se h indicdo más rri, puede ser recomendle tomr dv como l prte más grnde del integrndo que se pued integrl de form inmedit El resto del integrndo será u Ejemplo: ) Pr integrl ( sin ) d pueden tomrse ls siguientes prtes: () u = y dv = sin d du = d; v = sin d = cos () u = sin y dv = d du = cos d ; = y d = dv ( sin cos ) () u sin v = d = du = + d ; v = d = Si se hce (): ( sin ) d = cos cos d + = cos + sin + c Si se hce (): sin d = sin cos d (L segund integrl es más complicd que l primer Por tnto, est prtición no es certd) Si se hce (): sin d = sin ( sin + cos ) d (Tmién l segund integrl es más complicd que l inicil Tmpoco es certd est prtición) wwwmtemticsjmmmcom

13 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 8 6 Ejemplos pr prcticr Ejemplo ) Clcul l integrl e d Tomndo: u = du = d; e d = dv v = e Se tiene: e d = e e d = e e + c Ejemplo ) Hll ln d Hciendo: u = ln y dv = d du = d; v = d = Por tnto: ln d = ln d = ln + c 9 Ejemplo c) Pr clculr e cos d hy que reiterr el método Oserv: Hciendo: u = e y cos d = dv du = e d ; v = sin d Luego: e cos d = e sin e sin d L segund integrl, e sin d, tmién dee hcerse por el método de prtes e Tomndo: u = y sin d = dv du = e d ; v= cos Por tnto, e cos d = e sin e sin d = e sen e ( cos ) e ( cos ) d e cos d = e sin + e cos e cos d (trsponiendo l integrl) e cos d = e sin + e cos Despejndo se tiene: e cos d = e c (sin + cos ) + Ejemplo d) Pr hllr ln( + ) d hy que plicr el método de prtes y el de descomposición en frcciones Primero prtes Se hce: u = ln( + ) du = d ; d = dv v = + Luego, ln( + ) d = ln( + ) d = (descomponiendo en frcciones) + = ln( + ) d = ln( + ) + ln( + ) + c + Oserv que d d ln ( ) + = + = + wwwmtemticsjmmmcom

14 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 8 7 Integrl definid: áre jo un curv L integrl definid permite clculr el áre del recinto limitdo, en su prte superior por l gráfic de un función f (), continu y no negtiv, en su prte inferior por el eje OX, y en los lterles por ls rects = y = Esto es, el áre S del recinto coloredo en l figur djunt En l ntigüedd est áre se clcul, de mner proimd, sumndo ls superficies de muchos rectángulos de se muy pequeñ y de ltur el mínimo (o el máimo) de l función en cd uno de los suintervlos en los que se divide el intervlo [, ], tl y como puede oservrse en ls siguientes figurs L sum de ls áres de los rectángulos interiores se llm sum inferior; puede denotrse por s Evidentemente est sum es menor que l superficie S: s < S L sum de ls áres de los rectángulos eteriores se llm sum superior; puede denotrse por S Evidentemente est sum es myor que l superficie S: S < S Cundo se divide el intervlo en otros más pequeños se dice que se hce un prtición del intervlo Aquí se divide en n suintervlos que pueden ser de l mism mplitud, o no Si se prte por los puntos =,,,, i,, n, n =, ls ses de los rectángulos considerdos serán:,,, i i,, n n Si l ltur mínim de l función en el intervlo [, i i] es m i, l sum de ls superficies de los rectángulos interiores será: n m + m + + m + + m = m = s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i n n n i i i i=, i i Si l ltur máim de l función en el intervlo [ ] es M i, l sum de ls superficies de los rectángulos eteriores será: n M + M + + M + + M = M = S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i n n n i i i i= Si ls prtes (ls ses) de los rectángulos se hcen más pequeñs, ls sums de sus áres se proimn más l vlor rel Así, en un proceso de pso l límite, se otienen dos S, sucesiones de sums: un creciente, { i } l sum de áres eteriores Ests sucesiones cumplen que lim{ s} S lim{ S } s, l sum de áres interiores ; otr decreciente, { } n i = = Al vlor de este límite se le llm integrl definid de f() entre y y se escrie como sigue: f ( ) d n i i wwwmtemticsjmmmcom

15 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 85 7 Aclrciones sore l integrl definid Como se c de decir, l integrl definid entre y se escrie f ( ) d Aquí le dremos sentido solo cundo l función f( ) se continu y el intervlo [, ] se finito El signo es en relidd un ese (S de sum) estird Los números y son los límites (en el sentido de ordes) de integrción: es el límite inferior;, el superior L función f () se llm integrndo Así pues, f ( ) d indic que hy que integrr (sumr) f () desde el punto hst el punto El símolo d se lee diferencil de, y lude l diferenci de dos vlores: d = i i, siendo l vrile independiente de l función f L vrile puede designrse con culquier otr letr, por ejemplo t Esto es, f ( ) d = f () t dt L epresión f ( ) d puede considerrse el áre del rectángulo señldo l derech, cuy se es d y su ltur, f () ; mos vriles, con d pequeñ L integrl definid tom un vlor numérico, que coincide con un áre cundo l función es positiv en todo el intervlo de integrción Ejemplo: L superficie somred en l figur djunt, donde l gráfic es l de f( ) =, vendrá dd por el vlor de d 7 Propieddes de l integrl definid Eisten un serie de propieddes que permiten clculr el vlor de l integrl definid prtir de l integrl indefinid L más importnte recie el nomre de teorem fundmentl del cálculo integrl, siendo su plicción más utilizd l llmd regl de Brrow Otrs propieddes son: L integrl definid de un número por un función es igul l número por l integrl de l función: k f ( ) d = k f ( ) d f ( ) d = f ( ) En prticulr, si k =, ( ) d L integrl definid de un sum de funciones es igul l sum de ls integrles definids de cd un de ess funciones: ± [ f ( ) ± g( ) ] d = f ( ) d g( ) d El intercmio de los límites de integrción cmi el signo de l integrl definid: f ( ) d = f ( ) d Por consiguiente, si =, f ( ) d = (El número es el único que es igul su opuesto) wwwmtemticsjmmmcom

16 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 86 Si f( ) = k, siendo k un constnte, kd = k ( ) (Es el áre de un rectángulo de se y ltur k) 5 Si f () es un función continu en el intervlo [, ] y < c <, se cumple que c + f ( ) d = f ( ) d f ( ) d c En el cso de f ( ) > en [, ], l interpretción de l integrl como áre permite un compresión inmedit de est propiedd: el áre desde hst es igul l áre desde hst c más el áre desde c hst 6 Teorem del vlor medio del cálculo integrl Si f () es un función continu en [, ], eiste un número c [, ] tl que ( ) f () d = () f c Esto es, eiste un rectángulo de se y ltur f() c que tiene l mism áre que l determind por l integrl A f() c se le llm vlor medio de f () en el intervlo [, ] L demostrción de est propiedd se s en l considerción de que l función áre es continu y está comprendid entre ( ) m y ( ) M, siendo m y M los vlores mínimo y máimo de f () en el intervlo Por tnto, l función áre, l integrl, tom todos los vlores intermedios; luego será igul l áre de un rectángulo cuy ltur esté entre m y M: m f() c M 8 Teorem fundmentl del cálculo integrl El teorem fundmentl del cálculo integrl dice: Si f () es un función continu en [, ] y F () se define como F ( ) = f ( t) dt, entonces F () es derivle en [, ] y su derivd es F ( ) = f ( ) Aclrción: Si se oserv l figur djunt, cundo f () es positiv, l función F () determin el áre por dejo de l curv de f () desde hst Por consiguiente, el áre entre y podrí otenerse restndo F ( ) F ( ); pero esto supone conocer F( ), que es lo que proporcion este teorem, cuy conclusión es l siguiente: L integrl definid de un función, f ( ) d, puede hllrse encontrndo otr función F (), tl que f( ) = F ( ) ; esto es, encontrndo un primitiv de f (), hciendo f ( ) d En definitiv, l integrl definid y l indefinid están relcionds L plicción práctic de este resultdo se concret con l regl de Brrow wwwmtemticsjmmmcom

17 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 87 8 Regl de Brrow Si F( ) = f () t dt, y conociendo que F ( ) = f ( ), culquier otr primitiv, G (), de f (), se diferencirá de F () en un constnte; esto es, F ( ) G( ) = c O lo que es lo mismo: F ( ) = G( ) + c ; o ien, F( ) = f ( t) dt = G( ) + c, pr todo de su dominio Eligiendo los vlores = y =, se tendrá que: F( ) = f ( t) dt = G( ) + c ; F( ) f t dt = G + c = ( ) ( ) Como F ( ) = G( ) + c = c = G() Luego, F( ) = f ( t) dt = G( ) G( ) Por consiguiente, el vlor de l integrl definid es f () t dt = G( ) G( ), siendo G () culquier primitiv de f () Est regl suele escriirse sí: f ( ) d = ( F( ) ) = F( ) F( ), siendo F ( ) = f ( ) Ejemplos: ) L superficie somred en l figur djunt, donde f ( ) = + +, viene dd por l integrl ( + + ) d = + + = = = = u 6 Not L unidd de medid de est áre (u ) será l correspondiente cd cso: m, dm o l que se Si suponemos que l vrile viene dd en cm, el resultdo de este ejemplo serí / cm ) Alguns veces suele pedirse clculr l superficie encerrd entre un curv y = f () y el eje OX En estos csos no se dn los etremos y del intervlo, sino que hy que determinrlos Pr ello, st con resolver l ecución f ( ) =, pues y son los puntos de corte de l gráfic con el eje OX Así, si se dese clculr l superficie encerrd entre l curv f ( ) = + + y el eje OX, los límites de integrción se otienen resolviendo l ecución + + = (En l figur nterior se oserv que esos puntos son y ) Por tnto, el áre pedid vendrá dd por l integrl ( + + ) d 56 Su vlor es: ( + + ) d = + + = 5 = u 6 6 c) Conviene ser que l integrl definid no siempre está relciond con un áre y que, por tnto, podrí plnterse, sin más, el cálculo de, por ejemplo: ( e ) d Su vlor es ( e ) d = ( e ) = e ( ) = e wwwmtemticsjmmmcom

18 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 88 9 Aplicción de l integrl definid l cálculo de áres de recintos plnos Pueden presentrse los siguientes csos: Cso I L función f ( ) en todo el intervlo de integrción El áre S viene dd por: S = f ( ) d El ejemplo ) visto nteriormente sirve de clrción Cso II L función es negtiv en todo el intervlo de cálculo: f ( ) pr todo [, ]: S = f ( ) d Es evidente que el recinto por dejo del eje, limitdo por f () es y ls rects = y = es igul l recinto superior, limitdo por f () y ls rects = y = Ejemplo: El áre del recinto limitdo por l función f ( ) = y el eje OX viene dd por: = 8 S ( ) d = = + = Cso III L función cort l eje OX en el intervlo de integrción El punto c, de corte, se otiene resolviendo l ecución f ( ) = c S = S + S = f ( ) d f ( ) c d Ejemplos: ) El áre encerrd entre l gráfic de f ( ) = y el eje OX, en el intervlo [, ] viene dd por: ( ) ( ) = S = S + S = d + d = = = Dee oservrse que f ( ) = cort l eje OX en l scis = ; que l curv qued por dejo del eje OX entre y ; y por rri del eje entre y Pr ello result conveniente hcer un representción gráfic wwwmtemticsjmmmcom

19 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 89 Ejemplo ) El áre limitd por l gráfic de viene dd por l sum: S = S + S + S = π / cos d π / π / cos d + f ( ) = cos y el eje OX en el intervlo [, π], π cos d π / Por l simetrí de l curv, el áre es / π / π S = cos = sin = sin sin = π d u Cso IV Si el recinto viene limitdo por dos curvs, con f ( ) g( ) pr todo [, ]: ( f ) g( ) S = ( ) d En prticulr, cundo se pretende hllr el áre comprendid entre dos curvs, hrá que determinr ls sciss y : se otienen resolviendo l ecución f ( ) = g( ) Ejemplo: El áre del recinto cotdo, limitdo por ls gráfics de f ( ) = + + y g ( ) = +, que es el representdo en l figur djunt, viene dd por S = ( + + ( + ) ) d = ( + ) ) d = = + = = u Los límites de integrción, y, se otienen resolviendo l ecución: + + = + Cso V Si ls curvs se cortn en c [, ]: = S + S = c c ( f ( ) g( ) ) d + ( g( ) f ( ) S ) El punto c se hll resolviendo l ecución f ( ) = g( ) Ejemplo: El áre del recinto cotdo, limitdo por ls gráfics de ls funciones f ( ) = y g( ) =, que es el somredo en l figur djunt, viene dd por: ( ) ( ) ( = d + ) ( ) = ( + ) d + ( + ) d = S d = = = = = + = u Los puntos de corte de ls curvs se hlln resolviendo l ecución f ( ) = g( ) = d Se otienen: =, = y = (Hy que ver qué curv v por encim) wwwmtemticsjmmmcom

20 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 9 9 Otrs plicciones de l integrl definid Alguns de ests plicciones son ls que se estudin en los ejercicios que siguen Ejercicio Se se que l polción de un ciudd está umentndo rzón de p ( ) = 5 + persons por mes, siendo el número de meses trnscurridos desde el momento presente Si l polción ctul es de 8 persons ) Cuál será l polción dentro de un ño? ) En cuántos hitntes umentrá durnte el segundo ño? Solución: ) L función p ( ) = 5 + indic l ts de crecimiento de l polción Por tnto el crecimiento totl de l polción en el primer ño será: / / 8 ( 5 + ) d = ( 5 + ) d = / = + = 78,5 79 persons Por tnto, l polción dentro de un ño será de = 879 persons ) El crecimiento en el segundo ño viene ddo por: 8 ( 5 + ) d = ,5 78,5 87 persons Ejercicio El consumo de gu minerl en un ciudd crece eponencilmente (continumente) rzón de un 8% nul Si el consumo ctul es de millones de litros por ño, cuánt gu se consumirá durnte los próimos cinco ños? Solución:,8t L función que d el consumo nul en el instnte t es Ct ( ) = e millones de litros (Recuerd que l epresión del crecimiento continuo (del interés continuo) es Ct () = C e rt, siendo C l cntidd inicil y r l ts de crecimiento) El volumen de gu consumid en los cinco próimos ños viene ddo por: 5 5,8t,8t,8t 5 ( e ) dt = (, 8e ) dt = 5 e 5(, 98 ), 95,8 = = mill de litros Ejercicio L función de ingreso mrginl pr un determindo producto es i ( ) =, euros, siendo es el número de uniddes vendids Hll: ) Qué ingreso se otendrá por l vent de uniddes? ) Cuánto es el ingreso dicionl l psr de uniddes? Solución: El ingreso totl por l vent de uniddes viene ddo por:, (, ) d = = = ) El ingreso dicionl es:, (, ) d = = 995 = 5 Desde el punto de vist económico no le conviene vender más de uniddes Oserv que si =, el ingreso mrginl es, y decreciendo wwwmtemticsjmmmcom

21 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 9 Integrles inmedits Prolems Propuestos Clcul ls siguientes integrles: ) ( + 6 ) d ) ( + ) d c) ( + ) d d) ( ) d e) 5 ( ) d f) ( ) d g) + d h) ( + / / ) d i) d Clcul ls siguientes integrles: ) 5 ( ) d ) ( ) d c) d) ( ) d e) ( ) Clcul: ) d) d f) d ) ( 7 + ) + d e) d + ( ) d 5 + c) 5 d f) 5 d d d Hll ls integrles: ) 7 d 5 ) d + c) + d d) + d 5 Resuelve ls integrles: ) cos ( + ) d ) d) cos ( ) d e) ( cos( ) ) sen sin cos5 d c) cos d 5 e d f) cos (sin) d g) ( sin cos5) d h) ( sin + cos ) d i) ( sin cos ) 6 Hll: ) d / ) d c) d) d e) d f) e d d d wwwmtemticsjmmmcom

22 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 9 7 Clcul: ) e d 5 ) e d c) e d) ( e e + ) d e) ( e e ) + d f) ( e sin ) Integrción por cmio de vrile 8 Clcul ls siguientes integrles hciendo el cmio que se indic: ) d ( = t) ) (sin ) d (cos = t) d c) ( t = ln ) d) + d ( ln ) ( + = t), d d 9 Hll l integrl indefinid d medinte el cmio de vrile = t + Hciendo el cmio = t, clcul l integrl: + d Hciendo el cmio que se indic, clcul: ) ( e ) 5 d ( t = ) ) e d ( t = 5 ) e Hciendo el cmio de vrile e ) d ) + e ( ) = t, hll: e d + 5e Integrción por descomposición en frcciones rcionles Clcul, descomponiendo el integrndo, ls siguientes integrles: ) d ) d c) d d) d e) d f) d 5 g) d + h) d + i) d + ) Comprue que = ) Clcul l integrl indefinid: d wwwmtemticsjmmmcom

23 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 9 5 Clcul ls siguientes integrles: + 5 ( ) + 5 ) d ) d c) d d) d e) + + d f) d Clcul ls integrles: + 8 d ) d ) + c) d d) + d 7 Clcul ls integrles: ) d ) d c) d d) d 8 Hll: ) + d ) + 5+ d c) + + d + + Método de integrción por prtes 9 Clcul ls siguientes integrles: ) cos d ) e d c) e d d) e d e) ( ln ) d f) Utilizndo el método de integrción por prtes, clcul d e A prtir del resultdo de ln d, clcul ls siguientes integrles: ) ln d ) ln( ) d c) Otrs integrles sin( ) d ln d d) ( ln ) d Clcul ls siguientes integrles ) d ) d c) d d) + + ( + ) d Integr: e ) + e d ) + e e sin d c) + e cos d d) tn d Dd l función f ( ) = 6 +, hll un primitiv F( ) que verific que F () = 8 wwwmtemticsjmmmcom

24 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 9 5 Hll un primitiv de f( ) = e + que pse por el punto (, ) + 6 Dd l función f ( ) =, determin el vlor de pr que un de sus primitivs, ( ) F(), pse por los puntos (, ) y (, ) Indic F() Integrles definids 7 Hll el vlor de: ) ( + ) d ) ( + ) d c) ( + ) d 8 Hll el vlor de: 7 ) 5 + d ) + d c) d 9 Hll el vlor de: ) e d ), e d c) e + d Clcul el vlor de ls siguientes integrles definids: ) ( + ) d ) + d Clcul el vlor de > en los siguientes csos: ) ( + ) d = 5 ) d = + c) d + c) d = + Cálculo de áres de recintos plnos Hz su l represent gráfic de l función l curv de f y el eje OX entre = y = f( ) = + Clcul el áre limitd por Hll el áre encerrd entre l gráfic de l función = + y el eje OX f( ) + si < Dd l función f ( ) = si ) Hz su gráfic Es continu? ) Clcul el áre de l región determind por su gráfic y ls rects =, y =, = 5 Hll el áre encerrd entre l curv y = y el eje OX, entre = y = e wwwmtemticsjmmmcom

25 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 95 6 Clcul el áre de l región limitd por y =, el eje OX y ls rects =, = 7 Hll el áre encerrd entre l gráfic de l función f( ) = + y el eje OX ( + ) si 8 L gráfic de l función f ( ) = es l ( ) si > djunt (Est función se representó en el prolem propuesto del tem nterior) Hll el áre del recinto limitdo por l curv y el eje OX 9 Clcul el áre de l región limitd por l curv de l función f( ) = e, el eje OX y ls rects =, = Clcul el áre encerrd entre l curv de l función intervlo [, ] f ( ) = + y el eje OX, en el Hll el áre de l región pln limitd por l curv y = sin y el eje OX en el intervlo [, π] Clcul el áre de l región limitd por l función puntos (, ) y (, ) y = y l rect que ps por los Hll el áre del recinto plno comprendido entre ls gráfics y = e y = Hll el áre del recinto limitdo por ls curvs de ecución y = e y = Otros prolems + 5 L gráfic de l función f ( ) = es l djunt Hll el áre del recinto somredo (Est función se representó en el prolem del tem nterior) 6 Hll l superficie del recinto plno limitdo por l curv de ecución f ( ) = +, l rect tngente ell en el punto de scis = y el eje OX 7 Determin el áre encerrd entre l curv curv en el punto de scis = y = e, el eje OY y l l rect tngente l wwwmtemticsjmmmcom

26 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 96 8 (Propuesto en Selectividd) El número de psjeros que psn por l terminl de un eropuerto se just durnte un dí determindo l función P( t) = t t, siendo t el tiempo en hors y P(t) el número de vijeros en el momento t ) Represent l gráfic de l función en el conteto del prolem Cuál fue l máim fluenci del dí y en qué momento se d? ) Qué cntidd de vijeros ps por es terminl desde ls hors hst ls 8 hors? 9 Dd l curv de ecución y =, clcul el áre el recinto plno limitdo por dich curv, l rect tngente ell en el punto (, ) y el eje OY 5 Dd l curv de ecución y = + ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de es curv en el origen ) Hz un esquem del recinto limitdo por l gráfic de l curv y l rect hlld c) Clcul el áre de ese recinto 5 El ritmo de crecimiento de un polción de ploms en un ciudd viene ddo por l función p ( ) =,5, en ños, y p ( ) en miles de ploms Si ctulmente hy 5 ploms: ) Cuánts ploms hrá dentro de ños? ) En cuánto umentrá el l polción de ploms durnte el segundo semestre prtir del momento ctul? c) Hst cuándo umentrá l polción de ploms? Qué número máimo lcnzrá? 5 Supongmos que se rompe un tuerí y que t minutos después se pierde gu rzón de f( t) = +,5t litros por minuto ) Cuál es l función que d el gu perdid l co de t minutos? ) Cuánt gu se perderá si no se repr l tuerí durnte l segund hor? 5 L función de coste mrginl de l unidd de un producto viene dd por c ( ) = Hll l función de coste totl si el coste de funcionmiento de l empres es de um 5 Un fricnte de cosméticos esper vender dentro de meses rrs de lios por mes un precio de p ( ) = +, euros por rr de lios Cuál será el ingreso totl del fricnte en los próimos 8 meses si se cumplen sus previsiones? 55 Un empres de de comprvent de coches de segund mno tiene estipuldo que el ritmo,5t de deprecición, en porcentje, de un coche nuevo viene ddo por dt ( ) = +,75e, t en ños Clcul: ) El vlor de un coche con t ños ) El vlor de un coche con dos ños si nuevo costón c) En cuánto se deprecirá dicho coche en los siguientes tres ños? wwwmtemticsjmmmcom

27 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 97 Soluciones 5 ) + + c ) + + c c) / + + c d) + c 5 / 5 e) ( ) + c f) c g) + + c / 5/ h) + + c i) + c ) c ) + + c c) ln ( + ) + c d) + + c e) + + c f) + ln + c 5 ) 7/ / c ) + + c c) 5 ln + c d) + c e) 5 + c f) 5rcsin + c ) 5 ln(7 ) + c ) ln ( + ) + c c) ln ( + ) + c d) rctn + c ) sin( + ) + c ) cos sin 5+ c c) 6sin + cos + c 5 d) sin ( ) + c e) sin( ) e + c f) ( ) sin + c g) cos sin 5+ c 6 5 h) + sin + c i) + cos + c 6 ) e + c ) / e + c c) e + c d) + c e) ln + c f) + c ln ln, 7 ) e + c ) e + c c) e + c d) e e + c e) e e + + c f) e + cos + c 8 ) ( ) + c ) cos + cos + c c) ln ( ln ) + c d) ( + ) + c 8 9 ln( + ) + c rctn ( ) + c ln 5 ) e + c ) e + c ) + c ) ln ( 5 + e ) + c 5 + e 5 5 ) ln + c ) + ln + c c) + + c d) ln c / / 7/ e) ln + c f) + c + + g) + c h) ln( + ) + c i) + 9 8ln( + ) + c ) ln ln( + ) + c 5 5 ) ln + + c ) 9 + ln + c c) 5 + c 8 wwwmtemticsjmmmcom

28 Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 98 d) + 5ln + c e) + 8 ln( + ) + c 5 f) + 5 ln( + ) + c 6 ) ln( ) ln( + ) + c ) ln ( ) ln ( + ) + c c) ln( + ) + ln( ) + c d) ln( ) ln( + ) + c 7 ) ln( ) ln( + ) + c ) ln ( ) + c c) + ln( ) ln( + ) + c d) + ln ( ) + c 8 ) ln( + ) + + c ) + ln( ) + c c) 5rctn + ln( + ) + c + 9 ) sin + cos + c ) e e + c c) e e + e + c 9 7 d) e e + c e) ln + c f) cos + sin + cos + c e e + c ln c ln ln c ln + c ) ( ) + ) ( ) d) ( ln ) ( ln ) + c ) rctn c ln c + ) ( ) + + c) ( ) + + c) ln ( ) ln ( ) c d) ) e + c ) e ln ( + e ) + c c) + c d) tn c cos + F( ) = + 5 F( ) = e ) ) 65/ c) 8 8 ) 8 ) 7/ c) ln 9 ) ( ) e ), ( e e ) c) ( ) 6 e e + c + F( ) = + ) / ) / c) ln ) ) ln c) e 7/ u 6/ ) / 5 6 ln 7 / 8 / 9 e ln 5 ln / / 5 5ln 6 7/ e 7 8 ) h; 56 ) 7 9 / 5 ) y = c) / 5 ) P ( ) = +,5 miles ) 6 ploms c) = ; 78 ploms 6 5 ) Ft ( ) = t+,75t ) litros 5 C ( ) = euros,5t 55 ) Vt ( ) = 5 t 5e, en % ) 75 c),85%; vldrá,5 wwwmtemticsjmmmcom