Algoritmo para la ubicación de un nodo por su representación binaria

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1 Título: Ubcacón de un Nodo por su Representacón Bnara Autor: Lus R. Morera González En este artículo ntroducremos un algortmo de carácter netamente geométrco para ubcar en un árbol natural la representacón bnara encontrada utlzando los algortmos de las operacones báscas (suma, resta, multplcacón y dvsón) descrtas en artículos anterores. Sea n, m dos nodos en un árbol natural, el sguente algortmo permte ubcar la suma, resta, multplcacón y dvsón de estos nodos, ha partr de la representacón bnara encontrada utlzando cualquera de los algortmo utlzados. Algortmo para la ubcacón de un nodo por su representacón bnara Sean n, m dos nodos en un árbol natural y b = {b X,., b 1, b 0 } la representacón bnara de la de las operacones bascas. Paso 1: P 0 1 poscón en el árbol natura Paso 2: S hay un solo bt encenddo en la representacón bnara pasar al Paso 5. Paso 3: Sea DL(,j) = j la dferenca en nveles entre los prmeros dos bt encenddos de la representacón bnara b, estamos suponendo que > j son los enteros más grandes para los cuales b =1, b j =1. a) b 0 b) P 1 2 DL(,j) P c) P 0 P 1 Paso 4: Regresar al Paso 2. Paso 5: La suma esta dada por P 0 2 P 0 Gráfcamente cada vez que se completa el Paso 3, pasamos al nodo cuya etqueta es P 0. Al Fnal del Paso 5, P 0 es la etqueta de la suma.

2 Incalmente explcaré el algortmo anteror hacendo todos los pasos, para encontrar la poscón del nodo que representa la suma de n = 13 y m = 15. Para esto ncalmente buscamos la representacón bnara de la suma utlzando el algortmo de la suma, como se muestra en la Fgura 1. Fgura 1 Esto mplca que b = {b 4 =1, b 3 =1, b 2 =1, b 1 =0, b 0 =0}. Utlzando el algortmo anteror tenemos: recuerde que ya las orbtas de n y m, no son necesaras Paso 1: P 0 1 esto es que nos ubcamos en la raíz, como se muestra en la Fgura 2. Fgura 2 Paso 2: Como no hay un solo bt encenddo en la representacón bnara contnúe.

3 Paso 3: Como DL(4,3) = 4 3 = 1 a) b 4 0 b) P =3 c) P 0 P 1 Esto es nos posconamos en el nodo etquetado con 3, este es el nuevo P 0 gráfcamente se sube un nvel y se mueve a la derecha la poscón x anteror y creamos la tabla A en la cual se puso 0 en b 4. Como se muestra en la Fgura 3. Fgura 3 X Paso 4: Regresar al Paso 2 utlzando la columna A de la fgura anteror. Esto es b = {b 4 =0, b 3 =1, b 2 =1, b 1 =0, b 0 =0}. Paso 2: Como no hay un solo bt encenddo en la representacón bnara contnúe. Paso 3: Como DL(3,2) = 3 2 = 1 a) b 3 0 b) P =7 c) P 0 P 1 Esto es nos posconamos en el nodo etquetado con 7, este es el nuevo P 0 gráfcamente se sube un nvel y se mueve a la derecha la poscón x anteror y creamos la tabla B en la cual se puso 0 en b 3. Como se muestra en la Fgura 4.

4 Fgura 4 Paso 4: Regresar al Paso 2 utlzando la columna B de la fgura anteror. Esto es b = {b 4 =0, b 3 =0, b 2 =1, b 1 =0, b 0 =0}. Paso 2: Como hay un solo bt encenddo en la representacón bnara pasar al Paso 5. Paso 5: La suma esta dada por P = 28. Esto es subr 2 nveles P 0 esto es así debdo a que el bt encenddo en la columna B de la fgura anteror esta en el nvel 2. Como se muestra el la Fgura 5. Fgura 5 Note que la x en el nvel 4 de la fgura anteror representa el número 28 que es el decmal que representa la representacón bnara

5 La Fgura 6 muestra la poscón en el árbol natural de la suma de , utlzando la representacón bnara de la suma y el algortmo estudado anterormente. Fgura 6 La ubcacón esta dada por la x en el nvel 5. Este nodo esta etquetado con el número 39. Justfcacón del algortmo para la ubcacón de un nodo por su representacón bnara Sea b = {b Max{L(n),L(m)}+1,., b 1, b 0 } la representacón bnara de la suma de n y m, donde 1 s 2 esta en la representacón bnara de la suma b = 0 en caso contraro Sea b = b =... = b = b = 1 donde 1 > 2 >... > -1 > por lo cual tenemos que la suma queda representada por S = Para evaluar esta suma se usa el equvalente gráfco de la regla de Hörner. Utlzando el algortmo y la suma S, tenemos: P 0 = 1 Sacando factor común entre los prmeros dos térmnos de S S = 2 (2 + 1) = 2 P Ahora P 0 P 1 esto mplca: (1) S = 2 P Sacando factor común entre los prmeros dos térmnos de (1) S = 2 (2 P0 + 1) = 2 P Ahora P 0 P 1 esto mplca: (2) S = 2 P

6 S contnuamos con el proceso tenemos: S = 2 (2 P0 + 1) -1 = 2 P1 Por últmo P 0 P 1 esto mplca: S = 2 P0 Por lo tanto: P0 = 2 P0

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