Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10. Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10 Sistemas de ecuaciones lineales NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 1) Resolver los tres sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes en R siguientes: 3x 2y =6 6x +6y = 102 x + y 2z =9 2x y +4z =4 2x y +6z = 1 2x 4y +7z = 31 2x +3y +5z = 11 x 5y +6z = 29 2)(*) Discutir los dos sistemas siguientes en función del parámetro m y de los parámetros r y s respectivamente: x +2y + z =1 x +2z =3 3x +2y + mz =1 3x + y + rz =0 x y z =0 sx + y + z =0 x + sy z =0 3)Resolver, si es posible, los sistemas lineales siguientes: x +2y +2z s +3t =0 x +2y +3z + s + t =0 3x +6y +8z + s +5t =0 3x 2 6x 3 4x 4 3x 5 = 5 x 1 +3x 2 10x 3 4x 4 4x 5 = 2 2x 1 6x x 3 +2x 4 +8x 5 = 8 Problemas relacionados con la vida cotidiana y las ciencias: 3) Hierón, rey de Siracusa, había dado a un platero 7465 gramos de oro para hacer una corona que quería ofrecer a Júpiter. Para conocer si el orfebre había reemplazado oro por plata le pidió a Arquímedes que lo averiguara sin estropear la corona. Arquímedes metió la corona en agua y perdió 467 gramos de su peso (es decir, el agua desalojada pesó 467 gramos). Se sabe que el oro pierde en el agua 52 milésimas de su peso y que la plata pierde 95 milésimas. Hallar los gramos de oro y plata de la corona real.

2 4)Podemos mezclar, bajo condiciones controladas, tolueno C 7 H 8 y ácido nítrico HNO 3 para producir trinitolueno (TNT) C 7 H 5 O 6 N 3 y agua. Determinar en qué proporción deben mezclarse estos componentes, es decir, ajustar la correspondiente reaccón química: αc 7 H 8 + βhno 3 γc 7 H 5 O 6 N 3 + δh 2 O Indicar qué ocurre si reemplazamos el agua, H 2 O por agua oxigenada, H 2 O 2. 5)Un excursionista comprueba, tras recorrer 7 km en la primera hora, que manteniendo ese ritmo, llegaría con una hora de retraso al tren que pretende tomar. Acelera el paso y durante el resto del camino recorre 10 km cada hora, por lo que llega con media hora de adelanto a la estación. Cuánto tiempo estuvo andando? Qué distancia recorrió? Problemas que relacionan Álgebra y Geometría 6)Sea Ax + By + Cz + D = 0 la ecuación del plano de R 3 que pasa por los puntos (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0). Calcular el valor de A, B, C, D. 7) Resolver el sistema de ecuaciones siguiente e interpretarlo como la intersección de dos rectas en el plano R 2 : x + y =2 3x y =2 8) La misma cuestión del problema 6) para la circunferencia de R 2, x 2 + y 2 +2ax + 2by = c, que pasa por los puntos (0, 0), (2, 0), (1, 1). Calcular el valor de a, b, c. Otros problemas 9)(*) Si la suma de tres números reales es el doble de la suma del primero y el tercero y el primero menos el segundo es el triple del tercero, probar que alguno de los tres números tiene que ser cero. Cuántas ternas de números hay que cumplan estas condiciones? 10)(*) Sean x, y dos números reales. Si verifican las dos condiciones x 2 + y 2 = 9; x 2 8y 2 =1, utilizar ecuaciones lineales para calcular los valores que pueden tomar x e y.

3 Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10 Matrices. Transformaciones elementales NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 12) Identificar las transformaciones elementales aplicadas a la matriz identidad para llegar a las matrices siguientes: ; ; ) Para las siguientes matrices se pide: calcular su forma normal de Hermite por filas y su rango: A = ; B = ; C = D = ; E = ) Discutir y resolver, utilizando matrices, los sistemas siguientes: x + z = 2 2x y + z = 1 3x + 2y 2z = 1 x 2y + 3z = 2 5x + 2y + 6z = 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 1 x 1 + 2x 3 2x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 4 = 2 x y + z = 1 3x + z = 3 5x 2y + 3z = 5 15) Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel

4 momento, que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán entonces y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años. 16) (*) Un comerciante de telas vende cada metro un 30, 2% más caro que el precio al que lo compra. Desea aumentar sus ganacias sin incrementar los precios para lo cual decide emplear un falso metro para medir la tela delante de sus clientes. Indicar cuánto ha de medir este falso metro para que sus ganancias pasen a ser del 40% 17) Sea un triángulo del plano R 2 cuyos vértices son los puntos (1, 2), (0, 0), (3, 0). Encontrar tres sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas cuya solución sea única y coincida en cada uno de ellos con uno de los vértices del triángulo. 18) (*) Aplicar el Teorema de Rouché - Frobenius para discutir los sistemas: x + my + z = 1 mx + y + (m 1)z = m x + y + z = m + 1 x + y z = 1 2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z = 2

5 Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10 Operaciones con matrices NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 19) Resolver la ecuación matricial: ( ) ( ) ( x 1 x = y y 1 ) ( ) ) Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema: ; 2A + B = A 3B = ( 1 2 ) ( 4 3 ) ) Calcular el rango de la matriz 1 i 1 2i (1 + i) ( i) 0 (3 + i) 3i 22) Explicar por qué en general (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2 y (A B)(A + B) A 2 B 2 23) Una matriz se llama idempotente si A 2 = A. Probar que la matriz siguiente es idempotente:

6 A = ) Calcular A 2, A 3, A 4, siendo A = Lo mismo para B = ) Probar que la suma de matrices simétricas es simétrica. Demostrar que el producto no lo es en general. 26)(*) Dada una matriz cuadrada A, demostrar que A + A t es una matriz simétrica. Probar que toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. 27) Para la matriz cuadrada de orden 3 de números complejos A = 4 2 2i 2 1 i 2i i 1 pruébese por inducción que A k = 4 k 1 A y 28) Consideramos las matrices A = ( 1 1 ) B = Averiguar si existe alguna matriz no nula, X, tal que XA = BX t

7 Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10 Matrices regulares NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 29) Demostrar que la matriz inversa de A es B: A = ; B = ) Calcular el cuadrado de: Indicar cuál es la inversa de A A = ) Probar que si A es una matriz idempotente (A 2 = A) entonces también lo es B = I A y además AB = BA = 0 ( ) ) Demostrar que la matriz A = verifica una ecuación del tipo A αa + βi = 0 calculando para ello los valores de α y β. Utilizar este resultado para calcular la inversa de A. 33) Determinar cuáles de las matrices siguientes son regulares y calcular la inversa de las que lo sean: ;

8 ) Dadas las matrices A, B y C, comprobar que AB = AC y concluir que dicha igualdad no implica necesariamente que B = C. Razonar por qué A tiene que ser singular. A = B = C = ) (*) Demostrar las siguientes propiedades para una matriz regular A de orden n y elementos reales: 1. (A 1 ) 1 ) = A 2. (ra) 1 = 1 r A 1 para cada r 0, número real 3. (A p ) 1 = (A 1 ) p, siendo p un número entero positivo 36) Una matriz cuadrada A, de orden n, es idempotente si verifica A 2 = A. Razonar que una matriz idempotente que no sea la identidad no puede ser regular. 37) (*) Sean las matrices A = ; B = Se pide a ) Calcular la forma de Hermite por columnas de B b ) Encontrar una matriz regular Q tal que QA = c ) Indicar razonadamente si A y B son equivalentes

9 Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10 Determinantes NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 38) Calcular los determinantes siguientes: )(*) Calcular los determinantes de Vandermonde: V 3 = a b c a 2 b 2 c a 1 a 2 a 3 a n V n = a 1 a 2 a 3 a n n 1 n 1 n 1 n 1 a 1 a 2 a 3 a n (Indicación: resolver el primer caso y luego aplicar inducción). 40) Calcular el determinante de la matriz 1 n n n n n 2 n n n n n 3 n n A n = n n n n 1 n n n n n n

10 41) Calcular, utilizando determinantes, el rango de la matriz siguiente en función de los valores del parámetro a: a a a ) Resolver los sistemas siguientes mediante la regla de Cramer o la regla de Cramer generalizada : 3x +4y = 6 a) = x +7y = 0 c) = b) = x +y +z = 6 x +y z = 0 2x y +z = 0 x 1 x 2 +x 3 +4x 4 = 6 2x 1 +3x 2 x 3 11x 4 = 7 x 2 +x 3 +x 4 = 1 d) = x +y +z = 3 x y +z = 1 2x +az = b 43) Calcular para cada x C el rango de la matrix x 1 x 0 x 0 x x x 1 x x x 0 44)(*) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores de a: x + 3y az = 4 ax + y + az = 0 x + 2ay = a + 2 2x y 2z = 0

11 Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10 Espacios vectoriales. Bases NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 45) Dados los vectores v 1, v 2,..., v n linealmente independientes, probar que también lo son los vectores u 1 = v 1 u 2 = v 1 + v 2... u n = v 1 + v v n 46) En el espacio vectorial V sobre el cuerpo de los números reales se consideran los conjuntos: V 1 formado por todas las combinaciones lineales de x 1, x 2,..., x n ; V 2 formado por todas las combinaciones lineales de x 1, x 2,..., x n, y; V 3 formado por todas las combinaciones lineales de x 1, x 2,..., x n, z, donde x 1, x 2,..., x n, y, z son vectores de V. Sabiendo que z / V 1 y z V 2, probar que y V 3. 47) Sean u, v, w tres vectores linealmente independientes. Mostrar que u + v, u v, u 2v + w son linealmente independientes. 48) (*) Sean u 1, u 2, u 3 yu 4 cuatro vectores distintos de K n tales que los conjuntos {u 1, u 2, u 3 }; {u 1, u 2, u 4 }; {u 1, u 3, u 4 }; {u 2, u 3, u 4 } son linealmente independientes. Razonar si se puede asegurar que {u 1, u 2, u 3, u 4 } es linealmente independiente también. 49) Los vectores e 1, e 2,..., e n y x vienen dados por sus coordenadas en cierta base. Comprobar en cada caso que {e 1, e 2,..., e n } es una base y hallar las coordenadas del vector x en dicha base:

12 1. e 1 = (2, 1, 3), e 2 = (3, 2, 5), e 3 = (1, 1, 1); x = (6, 2, 7) 2. e 1 = (1, 2, 1, 2), e 2 = (2, 3, 0, 1), e 3 = (1, 3, 1, 0), e 4 = (0, 0, 0, 1); x = (7, 14, 1, 2) Dar también las matrices del cambio de base. 50) Contestar verdadero o falso a las siguientes cuestiones: 1. Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene un número finito de bases 2. Si {u 1, u 2,..., u n } son vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensión n entonces constituyen una base. 3. Si {v 1, v 2, v 3, v 4 } es un conjunto de vectores linealmente independientes de V, entonces el conjunto {v 1, v 1 +v 2, v 1 +v 2 +v 3, v 1 +2v 2 +7v 3 +25v 4 } es también linealmente independiente. 51) (*) Sea P 2 (x) el espacio vectorial de los polinomios en una indeterminada x con coeficientes en un cuerpo K y grado menor o igual que 2. Si a, b, c son tres escalares cualesquiera de K, indicar razonadamente si los polinomios 1 + ax + a 2 x 2, 1 + bx + b 2 x 2, 1 + cx + c 2 x 2 son linealmente independientes según los valores de a, b, c. n. Generalizar el resultado obtenido para n + 1 polinomios del mismo tipo y de grado 52) (*) En el espacio vectorial sobre R de las funciones de R en R, estudiar si las funciones senx, cosx, 3 + senx, 2 + cosx son linealmente independientes. Lo mismo para las funciones cosx, sen(x + π/4), sen 2 x (Indicación: evaluar las funciones en valores de x adecuados)

13 Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10 Subespacios vectoriales NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 53) Sea V = R 3. Estudiar si son o no subespacios vectoriales los conjuntos siguientes: 1. {(a, a, a)/a R} 2. {(a, b, 0)/a, b R} 3. {(a, b, c)/a + b + c = 0, a, b, c R} 4. {(a, b, c)/a 2 + b 2 + c 2 = 1, a, b, c R} 54) Indicar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios del espacio vectorial de todas las funciones de R en R: 1. Las funciones tales que f(0) = 0 2. Las funciones tales que f(0) es un entero 3. Las funciones polinómicas de grado n 4. Las funciones polinómicas de grado menor o igual que n 55) (*) Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que la unión de dos subespacios vectoriales sea un subespacio vectorial es que uno de ellos esté contenido en el otro. 56) Extender el conjunto S = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 2, 1, 1)} para formar una base R 4 57) En R 4 se considera E = L((4, 2, 1, 7), (1, 0, 2, 4)). Dado el vector ( 1, 2, 5, x), calcular el valor de x para que este vector pertenezca a E. 58) Sea V un espacio vectorial de dimensión 3 sobre R y sea B = {e 1, e 2, e 3 } una base de V. Se pide:

14 1. Calcular una base de V que contenga al vector x = e 1 e 2 + e 3 Dados los vectores y 1 = e 1 e 2 e y 2 = e 2 + e 3, hallar un tercer vector y 3 de manera que {y 1, y 2, y 3 } formen una base de V y x tenga coordenadas (1, 1, 1) en esta base. 59) (*) Consideremos el espacio vectorial de los polinomios en una indeterminada con coeficientes reales y grado menor o igual que 3 y en él la base {1, x, x 2, x 3 } 1. Escribir las ecuaciones del cambio de base (en alguno de los dos sentidos) entre la anterior y la formada por los polinomios {1, (x 1), (x 1) 2, (x 1) 3 } 2. Calcular la dimensión y dar una base del subespacio generado por p(x) = x 2 2x y sus sucesivas derivadas. 60) Se considera la matriz A = ( ) Probar que el conjunto de matrices que conmutan con A es un subespacio vectorial del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 y elementos en R. 2. Calcular la dimensión y una base de dicho subespacio vectorial. 61) Calcular la dimensión del siguiente subespacio de R 4 en función de los parámetros que aparecen: U = L((1, a, 0, a), (0, 1, 1, a), ( 1, 0, a, 0), (2, a + 1, a + 1, 0)) 62) Determinar los valores de los parámetros λ y µ para que las matrices de elementos reales cuadradas de orden 2 ( ) ( ) ( ) ( ) λ µ 0 λ 0 0 µ 0 ; ; ; 0 0 µ 0 λ µ 0 λ 1. generen un subespacio de dimensión 3 2. sean linealmente independientes 3. generen un subespacio de dimensión 1 4. Sean base del espacio de matrices cuadradas de orden 2 y elementos reales 63)(*) Sea el espacio vectorial sobre K, K 2, cuando K = Z/(2) y la suma y el producto son los habituales en K n. Determinar todas sus bases y todos sus subespacios vectoriales. Lo mismo para K 3.

15 Álgebra Lineal y Geometría Grupo A Curso 2009/10 Subespacios vectoriales - Segunda parte NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 64) En R 3 se consideran los vectores u = (1, 2, 1), v = (1, 3, 2), x = (1, 1, 0), y = (3, 8, 5). Probar que L(u, v) = L(x, y) 65) Calcular las dimensiones de los siguientes subespacios de R 3 : W 1 = {(x 1, x 2, x 3 )/x 1 + x 2 + x 3 = 0} W 2 = L((1, 1, 1), (1, 1, 0), ( 1, 1, 1)) W 3 = {(x 1, x 2, x 3 )/x 1 + x 2 = 0; 2x 1 + 2x 2 = 0} 66) Sea U el subespacio de R 3 dado en ecuaciones cartesianas: U {x + y + z = 0 : z = 0} Encontrar un subespacio V de R 3 tal que U V = {0} y U + V viene dado por la ecuación x + y + z = 0. Justificar la respuesta. que 67) Sea u 1, u 2,..., u n una base de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. Probar V = L(u 1 )... L(u n ) y que para todo r n, L(u 1,..., u r ) L(u r+1,..., u n ) = V 68) Sea V = R 4, B c, su base canónica y sean los subespacios U = L((1, 2, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (2, 2, 1, 0))

16 y W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 )/x 1 x 3 = x 2 = 0} Se pide: a ) Una base y dimensión de U y de W respectivamente. b ) Ecuaciones paramétricas y cartesianas de U y de W. c ) Una base de U W y de U + W. d ) Ampliar una base de U a una de R 4. e ) Una base de R 4 /U y coordenadas de la clase (1, 0, 0, 0) + U respecto de dicha base. 69) Dados los subespacios W y W de R 4 : W = {(a, b, c, d)/b + c + d = 0 W = {(a, b, c, d)/a + b = 0; c = 2d)} Calcular sus dimensiones y dar bases de W, W, W W y W + W 70) Sean U y W dos subespacios vectoriales distintos de dimensión 2 en un espacio vectorial de dimensión 3. Probar que U W tiene dimensión 1. 71) Sean los subespacios U y W de R 3 tales que unas ecuaciones paramétricas de U son: x = λ + γ; y = µ + γ; z = λ + µ + 2γ y una ecuación implícita de W es x y + 2z = 0. Se pide: 1. Bases de U, W, U W, U + W. 2. Unas ecuaciones implícitas de U W 3. Una base de un subespacio suplementario de U + W 4. Coordenadas de (2, 3, 5) respecto de la base de U + W obtenida en el apartado anterior. 72) Se considera el subespacio de R 5 generado por Obtener un subespacio complementario. (0, 2, 1, 1, 0), (0, 3, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 2, 1)

17 73) Sea V = R 5 y W = {(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R 5 x 4 = x 5 = 0}. Indicar cuáles son los elementos de V/W. Hallar una base y la dimensión de V/W. 74) Sea V = C 4, y los dos subespacios vectoriales de V, W = L((1, 2, 3, 4), (2, 2, 1, 1), (0, 1, 2, 3)) y W = L((1, 0, 1, 2), (2, 3, 0, 1)). Hallar una base y la dimensión de V/W y de V/W. Describir las clases de equivalencia en ambos casos. 75) En R 3 se consideran los subespacios U = L((2, 0, 1), (1, 2, 0), (0, 4, 1)) y W = {(x, y, z) x = 0, y + z = 0}. Calcular bases de los espacios R 3 /U, R 3 /W, R 3 /(U W) y R 3 /(U + W). Hallar las coordenadas de ( 1, 2, 1) + U en la base obtenida para R 3 /U., y 76) Dados los subespacios del espacio de las matrices reales 2 2, V 1 y V 2, ( ) a b V 1 = {, a, b R} b a ( ) c d V 2 = {, c, d, e R} e c, calcular la dimensión y una base de los subespacios V 1, V 2, V 1 V 2, V 1 + V 2.

18 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Espacios vectoriales euclídeos NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 77) Calcular la matriz de Gram del producto escalar usual de R 3 respecto de la base B = {(1, 1, 2), (3, 1, 1), ( 2, 1, 2)} 78) Probar que si uy v son dos vectores de un espacio vectorial euclídeo tales que u = v, entonces los vectores u + v y u v son ortogonales. 79) En un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3, el producto escalar tiene por matriz de Gram respecto de una determinada base B. Sea U el subespacio de V que respecto de la base B tiene ecuaciones cartesianas: U = {(x, y, z) x y = x + z = 0} Determinar el conjunto de vectores que son ortogonales a todos los vectores de U. (En las clases de teoría se probará que dicho conjunto es un subespacio vectorial que es complementario de U, se llama complemento ortogonal de U, U ). 80) En R 4 con el producto escalar usual, se considera el subespacio Calcular una base de U. U = L((2, 1, 5, 1), ( 1, 1, 2, 0)) 81) En un espacio vectorial euclídeo V se consideran dos vectores unitarios, u, v, que forman un ángulo de 60 grados. Calcular 2u + v

19 82) Sea un espacio vectorial euc lídeo V de dimensión 3. Calcular la matriz de Gram respecto de una base B de V, del producto escalar dado por: < x, y >= 2x 1 y 1 + 2x 2 y 2 + 2x 3 y 3 + x 1 y 2 + x 1 y 3 + x 2 y 1 + x 2 y 3 + x 3 y 1 + x 3 y 2 donde (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ) son las coordenadas en la base B de x e y. Indicar razonadamente si la base B es ortogonal respecto a este producto escalar (los vectores de B ortogonales dos a dos). En caso negativo calcular una base ortogonal a partir de B. 83) En R 4, con el producto escalar usual, calcular una base ortonormal a partir de los vectores (1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0). 84) Hallar una base ortogonal del subespacio de R 4 de ecuación cartesiana 2x 1 + 4x 2 x 3 + 3x 4 = 0. 85) Sean x e y dos vectores de R 3 cuyas coordenadas respecto de una base ortonormal B son x = (1, 1, 1), y = (1, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vectores que son ortogonales a ambos. 86) En R 4 con el producto escalar usual se considera el subespacio U generado por los vectores u 1 = (1, 1, 1, 1), u 2 = (1, 1, 1, 1), u 3 = (1, 1, 1, 1). Se pide: 1. Calcular el complemento ortogonal U de U dando una base y unas ecuaciones cartesianas. 2. Hallar una base ortonormal de U 3. Hallar p U (x) y p U (x) siendo x = (1, 1, 3, 4). 87) En R 3 con el producto escalar usual, 1. Calcular la proyección ortogonal del vector v = (1, 2, 1) sobre el subespacio U = L((0, 1, 2), (1, 2, 3)) 2. Si llamamos d(v, U) = min{ v u /u U}, indicar cuánto vale d(v, U) siendo v, U los del apartado anterior. 88) Dado el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 1 y el producto escalar < p(x), q(x) >= 1 0 p(x)q(x)dx

20 se pide: 1. Matriz de Gram respecto de la base {1, x} 2. Ángulo que forman los polinomios x + 3 y 2x Calcular la proyección ortogonal de x + 3 sobre el subespacio U generado por x Calcular una base ortonormal a partir de la base {1, x} 89) En R 4 con el producto escalar usual, calcular una base ortonormal a partir de los vectores (1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0)

21 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Aplicaciones Lineales. Núcleo e imagen NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. Definición: Dados dos K-espacios vectoriales, V y V, se dice que f : V V es una aplicación lineal si verifica: 1. f(u + v) = f(u) + f(v), u, v V 2. f(au) = af(u), u V, a K 90) Indicar razonadamente si las aplicaciones siguientes entre R 3 y R 2 son lineales: f(x, y, z) = (x + 2, y + z) f(x, y, z) = (z x, 0) f(x, y, z) = (x + y + z, x yz) 91) Probar que: una aplicación f : V V entre dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K es lineal si y sólo si f(ax + by) = af(x) + bf(y), a, b K, x, y V 92) Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea U un subespacio vectorial de V. Consideramos el espacio cociente V/U y la aplicación π : V V/U dada por π(x) = x + U. Probar que es lineal. 93) Probar que la aplicación siguiente (llamada homotecia vectorial) es lineal: Sea λ un escalar y V un espacio vectorial sobre K, h λ : V V, h λ (u) = λu. 94) Dada una aplicación lineal f : V V,

22 a) probar que para cada subespacio vectorial U de V el conjunto f(u) = {f(u)/u U} es un subespacio vectorial de V. b)de igual forma, para cada subespacio W de V, el conjunto f 1 (W ) = {u U/f(u) W } es un subespacio vectorial de V. 95) Sea f : V V una aplicación lineal, probar que: 1. f(0) = 0 2. f( u) = f(u) 3. f(a 1 u 1 + a 2 u a n u n ) = a 1 f(u 1 ) a n f(u n ). a 1,..., a n K, u 1,..., u n 96) Estudiar si las aplicaciones siguientes son lineales y en caso afirmativo calcular su núcleo y su imagen y dar una base de cada uno de ellos: f : R 2 R, f(x, y) = x 2 y 2 f : R 4 R 2, f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (3x 1 2x 2 x 3 4x 4, x 1 + x 2 2x 3 3x 4 ) f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (x + y, 0) 97) Se considera la aplicación T : M n (R) M n (R) dada por T (A) = A A t 1. Comprobar que T es una aplicación lineal 2. Calcular Ker(T ), Im(T ), Ker(T ) Im(T ) y Ker(T ) + Im(T ) 98) Teorema de isomorfía: Sea f una aplicación lineal entre dos K-espacios vectoriales, f : V V. Consideramos la aplicaciń π : V V/Kerf dada por π(x) = x + Kerf y la aplicación i : Imf V dada por i(y) = y. Sea también b : V/Kerf Imf definida por b(x) = f(x). Probar: a) π es un epimorfismo b) i es un monomorfismo c) b es un isomorfismo d) f = i π i (factorización canónica de f). 99) Sea f : R n R n el endomorfismo definido por f(x 1, x 2,..., x n ) = (x 1, x 2,..., x k, 0,..., 0)

23 , donde k < n. Determinar el núcleo y la imagen de f. 100) Consideremos el conjunto de endomorfismos G = {I, S x, S y, S 0 }de R 2 dado por: I(x, y) = (x, y). S x (x, y) = (x, y) S y = ( x, y) S 0 (x, y) = ( x, y) a) Probar que cada uno de los endomorfismos de G es biyectivo, es decir que son automorfismos. b) Dar una interpretación geométrica en el plano R 2 de estas aplicaciones. c) Comprobar que la composición de dos cualesquiera de los elementos de G es otro elemento de G y demostrar que (G, ) es un grupo abeliano.

24 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Aplicaciones Lineales y matrices NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 101) Sea f : R 2 R 3 una aplicación lineal dada por y sea g : R 3 R 4 dada por f(1, 0) = (2, 3, 0), f(0, 1) = ( 1, 1, 1) g(1, 0, 0) = (2, 1, 0, 0), g(0, 1, 0) = (3, 0, 1, 0), g(0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1) Hallar la expresión matricial de f, g, g f respecto de las correspondientes bases canónicas de R 2, R 3, R 4 102) Sea f el endomorfismo de R 3 cuya matriz asociada respecto de la base B = {e 1, e 2, e 3 } es Probar que B = {e 3, f(e 3 ), f 2 (e 3 )} es base de R 3 y calcular la matriz asociada a f respecto de dicha base. 103) Sea U el subespacio de R 4 dado por las ecuaciones cartesianas: x 1 2x 2 = 0; x 1 + x 3 + x 4 = 0 1. Hallar un subespacio W de R 4 de forma que U W = R 4 2. Determinar un endomorfismo f de R 4 de forma que Ker(f) = U e Imf = W 104) Sea f : R 3 R 4 una aplicación lineal que, respecto de ciertas bases, viene dada por la matriz 1 a 2a a 1 a A = 2a 2a 1 2a + 1 3a 2a + 1

25 en la que a es un parámetro. Determinar qué valor ha de tomar el parámetro a para que se verifique dim(imf) = 2 105) Sean V y V R-espacios vectoriales de dimensiones 3 y 4 respectivamente, y sean B = {e 1, e 2, e 3 } una base de V y B = {u 1, u 2, u 3, u 4 } una base de V. Sea f : V V la aplicación lineal que verifica: f(e 1 + 2e 2 + 3e 3 ) = u 1 + 3u 2 + 5u 3 + 3u 4 f(e 1 + e 3 ) = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 f(2e 2 + 3e 3 ) = 2u 2 + 5u 3 + 3u 4 1. Calcular la matriz de f respecto de las bases B y B 2. Calcular el núcleo de f e indicar si f es inyectiva 3. Dar una base de la imagen de f y razonar si f es sobreyectiva 106) Se considera la aplicación lineal T : R 3 R 4 que, con respecto de dos bases B = {e 1, e 2, e 3 }, B = {e 1, e 2, e 3, e 4}, verifica e 1 + 2e 2 3e 3 Ker(T ) T (e 2 ) = e 1 + e 2 + e 4 T (3e 3 ) = 3e 1 + e 3 Calcular: 1. T (2, 1, 3) 2. Ker(T ) e Im(T ) 3. Una base de R 3 /Ker(T ) 107) Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal determinada por las condiciones: 1. Si U = {(x, y, z)/x + y + z = 0}, se tiene que f(u) = 5u para todo u U 2. f(0, 0, 1) = (10, 5, 3) Se pide: 1. Calcular la matriz de f respecto de la base canónica 2. Ecuaciones, bases y dimensión de Ker(f) e Im(f)

26 108)(*) De una aplicación lineal f : R 3 R 3 se sabe que, respecto a la base canónica, - lleva la recta x = 0 = z a la recta x + y = 0 = 2x + z = 0 - f(1, 1, 0) = (0, 1, 2); f(1, 1, 1) = (1, 1, 2) 1. Escribir la matriz asociada a f en la base canónica observando que no está completamente determinada por la información anterior. 2. Calcular bases del núcleo y la imagen de f. Razonar si dependen estos dos subespacios del parámetro que aparece en la matriz. 109) Sean f y g dos endomorfismos de un K-espacio vectorial V. - Probar que si f g = 0 entonces Img Kerf. - Si además g es sobreyectiva determinar f. Si además f es inyectiva, determinar g. - Dar un ejemplo en el que f g = 0,Img Kerf y el contenido en el otro sentido no se verifica. 110) Sea f : V V un endomorfismo y sean B y B dos bases de V. Probar que: - La matriz de cambio de base de B a B coincide con la matriz de la aplicación identidad (f = Id)respecto a las bases B y B. - Si B = {u 1,..., u n }; B = {v 1,..., v n } y f(u i ) = v i para todo i = 1... n, entonces la matriz de f respecto a las bases B y B es la identidad, I n. 111) 1. Razonar si existe alguna aplicación lineal f : K 1957 K 1957 cuya imagen coincida con su núcleo. 2. Razonar si existen una aplicación lineal inyectiva f : V V y otra sobreyectiva g : V V tales que Imf = Kerg, con dimv = )(*) Sean a, b R, f : R 3 R 3, aplicación lineal dada, respecto a la base canónica, por la matriz A = a 1 3 y consideremos el vector u = (1 b, b, 1 + b) 1. Determinar a y b para que u Imf R 3. Obtener una base y unas ecuaciones cartesianas y paramétricas de Kerf e Imf 2. Encontrar un subespacio L R 3 de dimensión mínima entre los que cumplen f(l) = Imf

27 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Espacio dual NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. ; 113) Sea f : R 4 R 3, aplicación lineal tal que y dim Imf = 3. f((1, 1, 1, 1)) = (0, 0, 0) f((1, 0, 0, 0)) = (1, 0, 0) a) Calcular la dimensión de Kerf y dar unas ecuaciones cartesianas respecto de las bases canónicas de R 4 y R 3. b) Si f((0, 1, 0, 0)) = (0, 2, 1), probar que f((0, 0, 1, 0)) no puede ser una combinación lineal de (1, 0, 0) y (0, 2, 1). c) Probar que B = {(1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} es una base de R 4 y determinar una aplicación lineal f que cumpla las hipótesis iniciales y las de b). Dar su matriz respecto de la base B y la canónica de R 3 y su matriz respecto de las dos canónicas. d) Sea g : R 3 R la forma lineal dada por la matriz (respecto de las bases canónicas) ( ). Consideramos la composición g f, perteneciente al espacio dual de R 4. Dar sus coordenadas respecto a la base dual de la canónica de R 4 y una base del núcleo de g f. e) Sea R 4 /Kerf, dar una base de este espacio vectorial y describir un isomorfismo entre él e Imf. 114) En R 4 determinar la forma lineal que hace corresponder a los vectores v 1 = (2, 1, 0, 1), v 2 = (3, 2, 1, 0), v 3 = (1, 1, 2, 0), v 4 = (2, 3, 2, 1) los escalares 0, 5, 1, 6 respectivamente. 115) En un espacio vectorial V de dimensión 3 y respecto de la base B = {e 1, e 2, e 3 } se consideran las formas lineales f 1, f 2, f 3 definidas por f 1 (x, y, z) = x y; f 2 (x, y, z) = y z; f 3 (x, y, z) = x + z

28 1. Comprobar que forman base del espacio vectorial V dual de V 2. Hállese la base de V de la cual es dual {f 1, f 2, f 3 } 116) Sea V un espacio vectorial real de dimensión 3 y B{e 1, e 2, e 3 } una base. Sea f : V R 3 una aplicación lineal Se pide: f(e 1 + e 2 ) = 1; f(e 2 e 3 ) = 2; f(e 3 e 1 ) = 3 1. Ecuación de f en la base B de V 2. Coordenadas de f en la base B dual de B. 117) En R 4 se considera el subespacio U generado por los vectores Determinar el anulador de U. (1, 2, 0, 1), (2, 3, 1, 0), (3, 5, 1, 1) 118) Dados subespacios U y W de un espacio vectorial de dimensión finita V probar que se verifica: 1. an(u + W ) = an(u) an(w ) 2. an(u W ) = an(u) + an/w ) 119) Dadas f : R 3 R 2 por f(e 1 ) = u 1 + u 2, f(e 2 ) = 2u 1, f(e 3 ) = u 1 + 2u 2 y φ : R 2 R por φ(u 1 ) = 3, φ(u 2 ) = 4, calcular f t (φ) 120)(*) Sea V un espacio vectorial de dimensión 3. En la base B = {e 1, e 2, e 3 } las formas lineales f 1, f 2, f 3 tienen por matrices respectivamente A 1 ( ), A 2 ( ), A 3 = ( ) 1. Comprobar que {f 1, f 2, f 3 } es una base del espacio dual de V. 2. Si g : V R viene dada por g(e 1 + e 2 e 3 ) = 1, g( e 1 + 2e 2 e 3 ) = 1, g( e 1 + e 2 ) = 1 calcular las coordenadas de g respecto de la base {f 1, f 2, f 3 }

29 121) (*) Sean las formas lineales φ i : P 3 (R) R, i = 1, 2, 3, 4 dadas por : φ 1 (p(x)) = p(0), φ 2 (p(x)) = p (0), φ 3 (p(x)) = p(1), φ 4 (p(x)) = p (1) 1. Comprobar que B = {φ 1, φ 2, φ 3, φ 4 } es una base del espacio (P 3 (R)) 2. Calcular la base de P 3 (R) de la cual B es su dual 122)(*) Sean P 3 (R) y su dual. En este último consideramos los siguientes subespacios: 1. U está generado por las formas lineales E 1 y E 1 definidas en cualquier polinomio p(x) así : E 1 (p(x)) = p(1), E 1 (p(x)) = p( 1) 2. W está generado por D 1 (p(x)) = p (0), D 2 (p(x)) = p (0), D 3 (p(x)) = p (0) Calcular la suma e intersección de estos dos subespacios.

30 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Isometrías NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 123) Sea R 2 con el producto escalar usual y la aplicación f : R 2 R 2 dada, respecto a la base canónica, por la matriz ( ) 1/2 3/2 3/2 1/2 a) Probar que es una isometría y clasificarla. b) Calcular V f c) Calcular las imágenes de los vectores (1, 0), (0, 1), ( 3, 1) d) Determinar el complemento ortogonal de la recta x 3y = 0 y probar que coincide con V f 124) Sea V un espacio vectorial euclídeo de dimensión 2. Sea B = {e 1, e 2 } una base ortonormal de V. Consideremos V = {v 1, v 2 } la base dada por v 1 = e 1 ; v 2 = e 2 e 1. Sea f : V V el endomorfismo dado por f(v 1 ) = v 1 + v 2 ; f(v 2 ) = 2v 1 v 2 Indicar razonadamente si f es una isometría. Clasificarla en caso afirmativo. 125) Calcular la matriz de la rotación de ángulo π/2 alrededor de la recta x = y = z en la base canónica. 126) En R 2 determinar las isometrías que verifican: 1. f f = I (rotaciones involutivas) 2. f f = I (ángulos rectos)

31 127) Sea R 2 con el producto escalar usual la recta de ecuación x 3y = 0. a) Calcular el complemento ortogonal de dicha recta b) Dar una ecuación matricial de una isometría f de R 2 que tenga a la recta del apartado a) como recta de vectores fijos respecto de la base canónica de R 2 c) Calcular V f. d) Clasificar la isometría anterior. 128) Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal que respecto a la base canónica viene dada por f(x, y, z) = 1 ( x + 2y + 2z, 2x y + 2z, 2x + 2y z) 3 Probar que es una isometría y describirla geométricamente.

32 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Diagonalización por semejanza NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 129) Probar que si A es una matriz cuadrada de orden 2, A = (a ij ), entonces su polinomio característico es p(λ) = λ 2 tr(a)λ + deta Si A es cuadrada de orden 3, entonces p(λ) = λ 3 + tr(a)λ 2 (α 11 + α 22 + α 33 )λ + det(a) En general, si A tiene orden n, el término independiente de su polinomio característico es det(a) y el coeficiente de λ n 1 es la traza de A. 130) Sean f y g endomorfismos de un espacio vectorial V. Demostrar que si v V es vector propio para f y g entonces es vector propio para af (a es un escalar) y f + g. Si λ es el valor propio asociado a v respecto de f y µ respecto de g, indicar quiénes son los valores propios respcto de af y f + g. Demostrar, dando ejemplos, que si λ y µ son valores propios de f y g, λ + µ no es necesariamente valor propio para f + g. 131) Probar que si λ y µ son valores propios de f distintos y v y w son vectores propios asociados a ellos, respectivamente, entonces v + w no es vector propio de f 132) Probar que si todo vector de V es vector propio de un endomorfismo f, entonces f es de la forma f(x) = ax para un cierto escalar a. 133) Hallar los valores y subespacios propios de la aplicación lineal que consiste en la derivación de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales.

33 134) Sea f un endomorfismo de un espacio vectorial V de dimensión finita. Demostrar:.- f es un isomorfismo si y sólo si 0 no es autovalor de f..- λ es autovalor de f si y sólo si λ lo es de f..- Si λ es autovalor de f entonces λ 2 lo es de f 2..- Si λ 2 es autovalor de f 2, entonces λ o λ es autovalor de f..- Si f 2 = f entonces los posibles autovalores de f son 0 y 1..- Si λ es un valor propio de f, y f es isomorfismo, entonces λ 1 es valor propio de f 1..- Si f es diagonalizable, entonces f k = 0 si y sólo si f = ) Sea la matriz a A = b d 1 0 c e f 1 1. Determinar los valores propios de A 2. Discutir las condiciones que deben cumplir a, b, c, d, e, f para que A sea diagonalizable. 3. En las condiciones para que A sea diagonalizable, obtener los subespacios propios asociados a los dos valores propios existentes. 4. Calcular la matriz de paso a forma diagonal. 136) Dada la matriz Probar que 1 es valor propio. Calcular sus multiplicidades algebraica y geométrica. Dar una base del subespacio propio asociado a este valor propio. 2. Estudiar si es diagonalizable y, en caso afirmativo, encontrar una matriz de paso a forma diagonal, así como una base de R 4 formada por vectores propios 137) Se da la matriz A = 1 α 0 0 α Estudiar para qué valores de α la matriz A es diagonalizable por semejanza 2. Para α = 2, hallar P regular y D diagonal de forma que D = P 1 AP

34 3. Para α = 2 y n N, calcular A n y 138) Probar que las matrices A = B = no son semejantes pero tienen los mismos valores propios. 139) Diagonalizar por semejanza ortogonal la matriz simétrica A =

35 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Forma canónica de Jordan NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 140) Se considera la matriz A = Diagonalizar la matriz A y determinar una matriz de paso a la forma diagonal 2. Diagonalizar A 2 y A 1 141) Sea A una matriz de orden n > 1 real, y supongamos que A es una matriz asociada a un endomorfismo f : R n R n respecto de cierta base β y que A es diagonalizable. Razonar brevemente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 1. Si todos los valores propios de A son no nulos, entonces f es un automorfismo 2. A es simétrica 3. La dimensión del núcleo de f es exactamente la multiplicidad algebraica del valor propio 0 4. Si existe un vector no nulo que se aplica por f en sí mismo, entonces 1 es un valor propio 142) Probar por inducción que ( ) n ( ) a 1 a n na = n 1 0 a 0 a n y calcular ( 3 )

36 143) Probar que si una matriz A cuadrada de orden 2 tiene un único valor propio λ de multiplicidad algebraica 2, entonces (A λi) 2 = 0. Si el orden de la matriz es n, indicar cual sería el resultado correspondiente y si es cierto. 144) Calcular la forma de Jordan y una matriz de paso para las matrices siguientes: ) De un endomorfismo f de K 8 se sabe que el rango de f 2I es mayor o igual que 6, el de (f 2I) 4 es 1 y el de (f 2I) 5 es 0. Demostrar que λ = 2 es el único autovalor de f y que su espacio máximo es todo K 8. Calcular la forma de Jordan de f. 146) Calcular la forma de Jordan, según los valores de a, de la matriz 1 a 0 0 a 1a a a a 0 1 a a a 0 147) Calcular la forma de Jordan y una matriz de paso de la matriz

37 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Forma de Jordan, complementos NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 148) Calcular la forma canónica de Jordan real de la matriz A = ) Sea f : V V un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita. Probar que: 1. Si W 1 y W 2 son dos subespacios de V invariantes por f, entonces W 1 W 2 y W 1 + W 2 son también subespacios invariantes por f. 2. Si W es un subespacio de V invariante por f y si f es la restricción de f a W, entonces hay una biyección entre los subespacios de V contenidos en W y que son invariantes por f y los subespacios de W invariantes por f. 3. Si W es un subespacio de V invariante por f, entonces se puede definir un endomorfismo f : V/W V/W del modo siguiente: f(u + W ) = f(u) + W. 4. Los subespacios de V que contienen a W y que son invariantes por f están en biyección con los subespacios de V/W invariantes por f. 5. El polinomio característico de f es igual al producto de los polinomios característicos de f y f. 150) Sea f un endomorfismo de C 3 que tiene exactamente una recta invariante y un plano invariante. Demostrar que la recta está contenida en el plano y que la matriz de Jordan de f es λ λ λ

38 151) Indicar razonadamente cuáles son las posibles matrices de Jordan complejas para los endomorfismos de R 2 y de R 3. Indicar también cuántas rectas invariantes hay en cada caso y cuando sea posible, dar información sobre planos invariantes. 152) Teorema de Cayley - Hamilton: it Toda matriz cuadrada real o compleja, A, es anulada por su polinomio característico, es decir, p A (A) es la matriz nula. También todo endomorfismo real o complejo, f, es anulado por su polinomio característico, p f (f) es el endomorfismo nulo. Calcular A 2,A 3 y A 1 respectivamente utilizando el Teorema de Cayley - Hamilton cuando ( ) 5 3 A = ; A = ; A = i i 0 153) Polinomio mínimo:de entre los polinomios que anulan a una matriz cuadrada de orden n, A, hay uno que tiene grado menor o igual que el resto, se llama polinomio mínimo de A. Análogamente se define el polinomio mínimo de un endomorfismo f. Se puede demostrar que el polinomio mínimo es un divisor del polinomio característico y que los autovalores de A son también raíces del polinomio mínimo aunque las multiplicidades de esas raíces puedan ser menores que las del polinomio característico. Calcular el polinomio mínimo de las matrices A = ; C =

39 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Formas bilineales y cuadráticas NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 154) Sea V un espacio vectorial sobre K y sean ϕ y ψ dos formas lineales de V en K. Probar que la aplicación f : V V K dada por f(x, y)) = ϕ(x)ψ(y) es una forma bilineal. 155) Sea V un espacio vectorial real bidimensional y f : V V R una aplicación tal que f(x, y) = x 1 y 1 2x 1 y 2 + 3x 2 y 2. a) Probar que es una forma bilineal. Escribir f como suma de una forma bilineal simétrica y otra antisimétrica. b)escribir la expresión analítica de la forma cuadrática asociada y clasificarla. 156) Encontrar la matriz simétrica asociada a cada una de las siguientes formas cuadráticas: 1. 2x 2 + 3xy + 6y xy + 4y 2 3. x 2 + 2xy + 4xz + 3y 2 + yz + 7z xy Determinar la forma polar de cada una de estas formas cuadráticas 157) Probar que la matriz asociada a una forma cuadrática φ respecto de una base B es diagonal si y sólo si los vectores de la base B son conjugados dos a dos respecto de φ. 158) Sea V un K - espacio vectorial y f : V V K. Probar que f es forma bilineal si y sólo si para cada par de vectores u, v de V, la aplicación f u : V K definida

40 por f u (v) = f(u, v) y la aplicación f v : V K definida por f v (u) = f(u, v) son formas lineales. 159)Sea φ : V K una forma cuadrática sobre el K - espacio vectorial V y sea x un vector que verifica φ(x) 0. Demostrar que el subespacio conjugado de x es un subespacio complementario de L(x), es decir, L(x) L(x) c = V ( ) ( ) Dadas las matrices A = y B = representar la misma forma cuadrática en distintas bases. ), razonar si pueden 161) Dada la familia de formas cuadráticas fλ(x, y, z) = x 2 + y 2 + (λ + 1)z 2 + 2λyz + 2zx se pide: 1. Matriz de la familia 2. Clasificar las formas cuadráticas según los distintos valores del parámetro λ 3. Para λ = 2 obtener el subespacio conjugado de U : {x = y = 0} 162) Consideremos la siguiente familia de formas cuadráticas en R 3 Φ a (x, y, z) = x 2 + 4y 2 + 2z 2 + 2xy + 2axz a R Se pide: 1. Matriz A asociada a Φ a respecto de la base considerada 2. Hallar los valores de λ y µ para que el conjunto {(1, 0, 0), (1, λ, 0), ( 4a, a, µ)} sea una base de vectores conjugados respecto de Φ a si a 0 3. Encontrar una matriz P regular tal que la matriz P t AP sea diagonal 4. Clasificar Φ a según los valores de a

41 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Espacio afín NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 163)En cada uno de los siguientes casos, dar las ecuaciones paramétricas y un conjunto de puntos afinmente independientes que generen la variedad afín dada. Calcular también la suma y la intersección de ambos subespacios afines: L 1 : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0; x 1 x 2 + 2x 4 = 1; 2x 2 + x 3 + x 4 = 1 L 2 : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0; x 1 x 2 + 2x 4 = 0; 2x 2 + x 3 + x 4 = 1 164) De dos variedades afines L 1 y L 2 de un espacio afín A sobre el espacio vectorial V se dice que son suplementarias si sus espacios de dirección son subespacios suplementarios de V. Probar que si L 1 = A 1 + W 1 y L 2 = A 2 + W 2 entonces son suplementarias si, y sólo si, L 1 L 2 consta de un sólo punto y L 1 + L 2 = A 165) Sea A un espacio afín, calcular la mínima dimensión de A para que dos variedades afines de dimensiones r y s respectivamente se corten en un punto. 166) Hallar el simétrico del punto C = ( 2, 6, 2) respecto del plano π : 3x 5y+z = 1 167) En un plano afín sobre el cuerpo de los números reales se considera el sistema de referencia R = {O; {u 1, u 2 }} y un segundo sistema de referencia R = {O ; {u 1, u 2}} donde u 1 = u 1 2u 2 ; u 2 = u 1 u 2. Encontrar las fórmulas del cambio de referencia 168) En un espacio afín A de dimensión 3 sobre R y respecto de un sistema de referencia R = {O; {u 1, u 2, u 3 }}

42 se consideran los puntos O = (1, 2, 1); A 1 = (2, 3, 1); A 2 = (2, 2, 2); A 3 = (4, 3, 1). Sea R = {O, { O A 1, O A 2, O A 3 }} Hallar las ecuaciones del cambio de sistema de referencia. 169) Sea A un espacio afín de dimensión 2 sobre R y sea R = {O; {e 1, e 2 }} un sistema de referencia cartesiano. Sea R = {O ; {e 1, e 2}} otro sistema de referencia ligado con el anterior mediante: OO = 2e 1 + 3e 2 ; e 1 = e 1 + 3e 2 ; e 2 = 2e 1 + 4e 2 Hallar las ecuaciones del cambio de sistema de referencia y las coordenadas del punto M = (4, 5) R respecto a R 170) Sea A un espacio afín de dimensión 4 sobre R. Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de la variedad dada por el punto P y un sistema generador de su espacio de dirección: P = (1, 0, 0, 1) v 1 = (1, 2, 1, 0), v 2 = (0, 0, 1, 0), v 3 = (1, 1, 1, 1), v 4 = (0, 3, 1, 1) 171) Hallar el plano perpendicular a la recta r que pasa por el punto (1, 1, 0), con r : x 3 2 = y = z ) 1. En el espacio R 3 consideramos dos variedades afines L 1 y L 2 que no se cortan. Indicar qué dimensión tiene L 1 + L 2 en los casos siguientes: a) diml 1 = 0; diml 2 = 2 b) diml 1 = 1; diml 2 = 2 c) diml 1 = 0; diml 2 = 0 2. En el espacio R 3 consideramos dos variedades afines L 1 y L 2 tales que su intersección se reduce a un punto. Indicar qué dimensión tiene L 1 +L 2 en los casos siguientes: a) diml 1 = 0; diml 2 = 2 b) diml 1 = 1; diml 2 = 2

43 c) diml 1 = 0; diml 2 = 0 3. Comprobar que los planos siguientes son paralelos e indicar si son coincidentes: 4. La misma cuestión si: π : x = λ + µ, y = λ, z = µ π : x + y z = 0 π : x = 1 + λ + µ, y = λ, z = µ π : x + y z = 0 5. Supongamos que L 1 = A 1 + W 1 y L 2 = A 2 + W 2 son dos variedades afines perpendiculares. Indicar razonadamente si tienen que cortarse necesariamente, en caso negativo dar un contraejemplo. 6. Supongamos que L = A + W es una variedad afín y L B la variedad perpendicular a L por el punto B, que no está en L. Indicar razonadamente si L L B puede ser vacía 173) En el espacio afín euclídeo tridimensional, respecto de un sistema de referencia rectangular, se consideran las rectas y 1. Comprobar que se cruzan r : x = y 1 3 s : x 2 = y 2 3 = z 4 7 = z Calcular una recta perpendicular a ambas y que las corte a las dos. 3. Calcular la distancia entre r y s 174) Sea una recta r de R 3 definida por las ecuaciones cartesianas ax+by +cz +d = 0; a x + b y + c z + d = 0. Se define el haz de planos de base r como el conjunto de los planos de R 3 que contienen a la recta r. Probar: a ) Para cada plano del haz existen dos números reales, α y β tales que una ecuación cartesiana de ese plano es α(ax + by + cz + d) + β(a x + b y + c z + d ) = 0 b ) Recíprocamente, todo plano de R 3 cuya ecuación cartesiana es combinación lineal de las ecuaciones que definen r es un elemento del haz. c ) Para todo punto P que no pertenece a la recta r, existe un único plano del haz que pasa por él.

44 Álgebra Lineal Grupo A Curso 2009/10 Aplicaciones afines y movimientos NOTA: Los problemas con asterisco, (*), tienen un grado mayor de dificultad. 175) Probar que la imagen de una variedad afín por una aplicación afín es una variedad afín de dimensión menor o igual que la dada inicialmente. Indicar cuál es su subespacio de dirección. Concluir que si f es inyectiva conserva la alineación de puntos. 176) Sea f una aplicación afín entre dos espacios afines A y A. Probar que dos variedades afines paralelas tienen por imágenes dos variedades afines paralelas. 177) Por analogía con el problema 174 de la hoja anterior, definir haz de rectas de R 2 y enunciar y probar los resultados correspondientes a los apartados a), b) y c) de dicho problema. 178) En R 3 se consideran las rectas r : x 1 = 1, x 3 = 0; s : x 1 = 0, x 2 = 1 y t : x 2 = 0, x 3 = 1. Hallar la matriz de una aplicación afín f : R 3 R 3 tal que f(r) = s, f(s) = t, f(t) = r. 179) En el plano afín euclídeo se pide: a) Hallar las ecuaciones de la aplicación afín f que asocia a cada punto su proyección ortogonal sobre la recta y = 2x. Probar que los puntos fijos de f coinciden con Imf y que f 2 = f. b) Hallar las ecuaciones de la simetría respecto de esa recta. 180) Se consideran en R 3 las rectas l 1 : x = 0, y = 1; l 2 : z = 0, y = 1. a) Determinar cuántos movimientos f de R 3 cumplen que f(l 1 ) = l 2 y f(l 2 ) = l 1. b)probar que todos ellos dejan fijo el origen de coordenadas. c) Clasificar dichos movimientos.

45 181) Calcular las ecuaciones del movimiento helicoidal que consiste en la composición de un giro de ángulo π respecto de la recta x + y = 1, y + z = 0 seguido de una traslación de vector (1, 1, 1). 182) Razonar si existe algún movimiento en el plano R 2 cuya restricción a la recta r : x = 0 es una traslación y que transforme el punto P = (1, 0) en el (0, 0). Deteminar todos los que cumplen estas condiciones.