Unidad 0. Aritmética Elemental. Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año 2009

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1 Unidad 0 Aritmética Elemental Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año Buen orden e inducción. Empezamos haciendo hincapié en el carácter intrínseco de sucesión que tiene el conjunto de los números naturales. Dos de las propiedades características de la sucesión de los números naturales son: la de constituir un conjunto bien ordenado, lo cual significa que tiene un primer elemento (el 1), y la de ser válido en él el principio de inducción. Precisaremos a continuación ambos conceptos, así como su interrelación. Definición 1 Llamaremos sección a la derecha de Z a todo subconjunto de Z de la forma S a = {x : x a}, con a Z. Así, por ejemplo, tenemos las siguientes: S 3 = { 3, 2, 1, 0, 1, 2,...}, S 0 = N 0, S 1 = N, etc. Principio de buena ordenación (P.B.O.) (o principio del buen orden): todo subconjunto no vacío de una sección a la derecha de Z posee menor elemento (o elemento mínimo). En general aplicaremos este principio a N 0. También el principio de inducción, que a continuación enunciamos, lo referiremos directamente a N 0. Principio de inducción (P.I.) Podemos enunciarlo de tres formas (desde un punto de vista estrictamente lógico, puede probarse que todas las formas del P.I. son equivalentes entre sí, esto es: cada una de ellas puede deducirse a partir de cualquiera de las otras dos). Forma I. Sea S un subconjunto de N 0 tal que: i) 0 S, y ii) si n S entonces n + 1 S. Entonces S = N 0. Forma II. Sea P (n) una afirmación (o proposición) sobre un entero no negativo n tal que: i) P (0) es cierta, y ii) si P (n) es cierta entonces es cierta P (n + 1). Entonces P (n) es cierta para todo n N 0. Forma III. (forma fuerte del P.I.) Como la Forma II, pero con: ii) si P (m) es cierta para todo m tal que 0 m n, entonces es cierta P (n + 1). 1

2 Tanto el P.B.O. como el P.I. son afirmaciones referidas al conjunto N 0 de los números enteros no negativos y ambas son evidentes por sí mismas : cuando nos detenemos a pensar en lo que enuncian no lo ponemos en duda. De ahí que reciban el nombre de principios, porque no se basan en ninguna propiedad anterior o más evidente que ellas, sino que al revés: otras propiedades menos inmediatas de los números naturales hacen uso, en su demostración, del P.B.O. o del P.I. Asimismo, como veremos a continuación, el P.I. es equivalente al P.B.O. Proposición 1 P.B.O. P.I. Prueba. ) Veremos que el P.B.O. implica la Forma II del P.I. Para ello, sea F el conjunto formado por todos los enteros no negativos para los cuales la afirmación P (n) no es cierta. Si F es no vacío, por el principio de buena ordenación aplicado a F llegamos a una conclusión que contradice las hipótesis del P.I. ) Veremos que la Forma I del P.I. implica el P.B.O. Para ello, sea A N 0, A y S = {x N 0 : para todo a A, x a}. Para ver que A posee un menor elemento bastará probar que S A ( Por qué? Ver, además, el Ejercicio 1). Para ello observemos que: i) 0 S. ii) S N 0, pues como A existe a A y a + 1 / S. iii) Existe x 0 S tal que x / S, pues si no, por el P.I. (Forma I) sería S = N 0, contradiciendo ii). Vamos a ver que x 0 A (y según lo ya hemos expresado, esto completa la prueba). Como x / S entonces existe a A tal que x > a, o equivalentemente, tal que x 0 a. Pero como también x 0 S es x 0 a. Concluimos así que a = x 0 A. La Proposición está completamente demostrada. Nota 1 Otra forma de demostrar el P.B.O. es la siguiente: sea A N 0, A. Entonces A contiene algún entero a y entonces el primero entre los enteros 0, 1,..., a que esté contenido en A es su menor elemento. Esta demostración más sencilla que la hecha en la Prop. 1, lo es sólo en apariencia, ya que en sus puntos suspensivos se esconde el P.I. 2. Divisibilidad entera. Definición 2 Si dados a, c Z existe b Z tal que ab = c diremos que a divide a c (o indistintamente que a es un factor o divisor de c), hecho que simbolizaremos a c. También diremos que c es un múltiplo de a, como asimismo que b = c a es el divisor (de c) conjugado de a. En caso contrario (si no existe b Z tal que ab = c) se dice que a no divide a c, y se anota a c; como también que c no es múltiplo de a. Simbolizaremos: 1) D a := {x Z : x a} al conjunto de todos los divisores de a. 2) az := ȧ := {ax : x Z} al conjunto de todos los múltiplos de a. Dado que para todo a Z : 0a = 0, se desprende de la Def. 2 que 0 es múltiplo de cualquier entero, pero sólo es divisor de sí mismo (ver los Ejercicios 2a) y b)). Puede comprobarse fácilmente que la relación de divisibilidad es reflexiva (pues para todo a Z : a a) y transitiva (a b, b c a c), pero no es simétrica. 1 1 Los matemáticos húngaros Paul Erdös ( ) y János Surányi (n.1918) consideraban desafortunada la notación elegida para indicar que un entero es divisor de otro. En su libro Topics in the Theory of Numbers 2

3 2.1. Números Primos. Definición 3 Se denominan divisores triviales de un entero a 0 a los enteros: 1, 1, a, a. Un entero se dice: primo si sus únicos divisores son los triviales y éstos son todos distintos entre sí; y se dice compuesto si no es primo, ni 1, ni 0, ni 1. 2 Los únicos primos pares son ±2, los demás son impares. Los diez primeros primos positivos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Como los divisores de a y a son los mismos (Ejercicio 2e) se tiene que: a es primo (compuesto) si, y sólo si a es primo (compuesto, respectivamente), de modo que para no complicar la notación, en general trabajaremos con los primos positivos. Teorema 1 Todo número compuesto es producto de primos. Prueba. Sea P (n) = ± n son primos o producto de primos. Para probar el Teorema es suficiente demostrar que la proposición P (n) es cierta para todo n N, n > 1. Lo hacemos por inducción: i) P (2) es cierta (pues, como ya señalamos, ±2 son primos). ii) Supongamos que P (m) es cierta para todo m tal que 1 < m < n (hipótesis inductiva -H.I.-) y veamos que entonces P (n) es cierta. Si n es primo, P (n) es cierta. Si n no es primo entonces tiene un divisor no trivial y por lo tanto n = ab con 1 < a < n, 1 < b < n. Por la H.I. tanto a como b son primos o producto de primos y en cualquier caso resulta ser n un producto de primos. De modo que P (n) nuevamente es cierta. Luego, por el P.I. P (n) es cierta para todo n > 1. Corolario 1 Sea n Z, n 0, ±1. Entonces existe una sucesión finita de primos 0 < p 1... p k tal que n = ε p 1 p k, donde ε = ±1. Prueba. Si n es distinto de 1, 0 y 1 entonces n es primo o compuesto. Si es primo entonces n = p y el Corolario se cumple tanto si es n > 0 como si n < 0. En el primer caso es k = 1, p 1 = p y ε = 1; y en el segundo: k = 1, p 1 = p y ε = 1. Si n es compuesto entonces por el Teo. 1 sabemos que n = q 1 q k, con q 1,..., q k primos. Empezamos por reordenar los factores en orden creciente en valor absoluto: 0 < q i1 q ik (donde la sucesión i 1,..., i k es una permutación de 1,..., k). Considerando a continuación p 1 = q i1,..., p k = q ik se verifica la tesis si, cuando es n > 0 tomamos ε = 1 y cuando es negativo consideramos ε = 1. El Corolario está completamente demostrado. Teorema 2 Existen infinitos números primos. Prueba. Es suficiente ver que existen infinitos primos positivos. Sea P (n) = hay n primos positivos. Para probar el Teorema es suficiente demostrar que la proposición P (n) es cierta para todo n N. Lo hacemos por inducción: i) Para n = 1 la proposición es cierta (cualquier número primo la verifica). ii) Supongamos que P (n) es cierta (hipótesis inductiva -H.I.-) y veamos que entonces P (n + 1) es cierta. Por la H.I. hay n primos positivos. Sean éstos p 1,..., p n y pasemos a considerar el número natural a = p 1 p n + 1, que como es mayor que 1, y de acuerdo con la Def. 3 sólo puede ser primo o compuesto. (Springer, Ed. original: 1959) podemos leer (en p.7): Unfortunately, a siymmetric symbol is used for an asymmetric relation; since this symbol is so widely accepted, we make no attempt to intorudce another. 2 De modo que, por definición, 1, 0 y 1 no son números primos ni compuestos. 3

4 Si a es primo, como es distinto de p 1,..., p n (pues es mayor que cualquiera de ellos), resulta que hay n + 1 primos positivos (p 1,..., p n y a) y P (n + 1) es cierta. Si a es compuesto, por el Teo. 1 es producto de primos. Pero ninguno de los primos p 1,..., p n es divisor de a (pues si alguno de ellos lo fuera, entonces por el Ejercicio 3a), el mismo también sería divisor de la diferencia a p 1 p n = 1, cosa que no puede suceder porque ningún primo es divisor de 1). Luego, entre los factores de a como producto de primos que es, aparecen primos distintos de p 1,..., p n y por lo tanto hay n + 1 primos y P (n + 1) nuevamente es cierta. Finalmente, por el P.I. P (n) es cierta para todo n N y así resulta que el número de primos es infinito El Algoritmo de la División. Proposición 2 (Algoritmo de la División) Si a, d son enteros y d 0 entonces existen únicos enteros c, r tales que: { a = cd + r, 0 r < d, denominándose: r resto (o residuo) de dividir a por d; a dividendo, d divisor, y c cociente. Prueba. Sean a, d Z, d 0. Sea C := {a xd : x Z}. Dado que x recorre el conjunto de todos los enteros, C contiene enteros no negativos (tomando x lo suficientemente pequeño o lo suficientemente grande, según corresponda, dependiendo esto último del signo y la magnitud de los números a y d dados). 3 El conjunto de todos los enteros no negativos de C es C N 0 y por el P.B.O. tiene un menor elemento. Llamémoslo r. Como r N 0 es r 0. Sólo falta ver que r < d. Si fuera r d entonces sería r d 0. Como r C existe un x =: c Z tal que r = a cd y en consecuencia: r d = { a cd d = a (c + 1) d si d > 0 a cd + d = a (c 1) d si d < 0, y por lo tanto r d C N 0, lo cual es absurdo, pues no hay en C N 0 números menores que r. Como el absurdo provino de suponer que r d, concluimos que es r < d. Para ver la unicidad, supongamos que a = c 1 d+r 1 = c 2 d+r 2 con 0 r i < d (i = 1, 2). Luego r 1 r 2 < d. Además r 1 r 2 = (c 2 c 1 ) d y por lo tanto d r 1 r 2. Si fuera r 1 r 2 entonces sería d r 1 r 2 (Ejercicio 2g), lo que es un absurdo, con lo cual r 1 = r 2. Consecuentemente (c 2 c 1 ) d = 0, es decir, c 1 = c 2. La Proposición está completamente demostrada. Teorema 3 Si M es un conjunto no vacío de números enteros entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: 1) M es cerrado bajo la sustracción. 2) M es cerrado bajo combinaciones lineales con coeficientes enteros. 3) El (único) menor entero no negativo m de M es tal que M = mz. 3 Aquí estamos aplicando la propiedad Arquimediana de la recta real (aparentemente debida a Eudoxio), la cual establece que para todo ε > 0 y cualquier x > 0, existe un entero positivo n tal que nε > x. 4

5 Prueba. Sea M Z, M. 1) 2) Como M existe x M. Entonces, por hipótesis, 0 = x x M y x = 0 x M (1) Si también y M, entonces y + x = y ( x) M, de modo que M también es cerrado bajo la adición. Si x M y nx M, con n N, entonces (n + 1) x = nx + x M; luego por el P.I. tenemos que nx M para todo n 0, y por (1) también para todo n Z. Finalmente, toda combinación lineal de elementos de M con coeficientes enteros está en M. 2) 3) Si M = {0}, el Teorema es cierto con m = 0. Si no, como el conjunto M N de elementos positivos de M no es vacío ( por qué?), por el P.B.O. M N tiene un (único) menor elemento, al que llamamos m. Por hipótesis, todos los múltiplos de m están en M. Tomando cualquier a M como dividendo y m como divisor, por la Prop. 2 sabemos que existen únicos enteros c, r tales que a = cm + r con 0 r < m, resultando que r = a cm está en M. En vista de cómo fue definido m, esto implica que r = 0, a = cm y consecuentemente M = mz. 3) 1) Sean a, b M. Dado que M = mz existen enteros r, s tales que a = rm, b = sm. Luego a b = (r s) m M y por lo tanto M es cerrado bajo la sustracción. Corolario 2 Sean a, b,..., c Z y C = {ax + by + + cz : x, y,..., z Z}. Entonces el (único) menor entero no negativo m de C es tal que C = mz. Prueba. Como C es cerrado bajo la sustracción (Ejercicio 3b), por el Teo. 3 en su parte 1) 3), tenemos la tesis: C = mz Máximo Común Divisor. Proposición 3 Sean a, b,..., c Z, C = {ax + by + + cz : x, y,..., z Z} y d N 0. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: 1) C = dz. 2) i) d a, d b,..., d c, y ii) d a, d b,..., d c d d. Prueba. 1) 2) Cada uno de los enteros a, b,..., c pertenece a C y como C = dz existen r, s,..., t Z tales que a = dr, b = ds,..., c = dt lo que muestra que d a, d b,..., d c y por lo tanto se verifica i). Sea ahora d un divisor común de a, b,..., c. Entonces d es divisor de cualquier combinación lineal de los mismos (Ejercicio 3a) y dado que d es una combinación lineal de a, b,..., c (pues d C = dz), tenemos que d d, lo cual prueba ii). 2) 1) Por el Cor. 2 existe un único m 0 tal que C = mz y por el 1) 2) de esta Porposición (recién probado) tenemos que: i ) m a, m b,..., m c, y ii ) m a, m b,..., m c m m. Por i) podemos considerar a d como m y así concluir, por ii ), que d m. Por i ) podemos considerar a m como d y así concluir, por ii), que m d. Luego es m = d (Ejercicio 2e) y así C = dz. Corolario 3 Sean a, b,..., c Z y C = {ax + by + + cz : x, y,..., z Z}. Entonces el (único) menor entero no negativo d de C verifica las siguientes condiciones equivalentes: 5

6 1) C = dz. 2) i) d a, d b,..., d c, y ii) d a, d b,..., d c d d. Prueba. Que 1) es equivalente a 2) es la Prop. 3 y que se cumple 1) es el Cor. 2. Definición 4 Sean a, b,..., c Z. El entero no negativo d cuya existencia y unicidad nos asegura el Cor. 3 se denomina máximo común divisor (brevemente m.c.d.) de a, b,..., c y lo simbolizaremos d =: (a, b,..., c). Nota 2 Antes de dar otras condiciones para que un divisor común de un conjunto de enteros sea el m.c.d. de los mismos (Proposición 4), observemos que el m.c.d. de los enteros a, b,..., c: 1) Es el único d N 0 que verifica las condiciones i) y ii) del apartado 2) del Cor. 3. 2) Es una combinación lineal de a, b,..., c ya que por el apartado 1) del Cor. 3, él es el menor número no negativo del conjunto de dichas combinaciones lineales, y en consecuencia puede escribirse de la forma: (a, b,..., c) = ax 0 + by cz 0 (2) donde x 0, y 0,..., z 0 son todos enteros. Nota 3 No toda combinación lineal de a, b,..., c da su m.c.d. d; y así, si m = ar + bs + ct para ciertos enteros r, s,..., t, entonces m no es necesariamente el m.c.d. de a, b,..., c. En el caso particular de dos enteros, aunque (a, b) es el menor entero postivo que puede ser expresado como combinación lineal de a y b, esta representación no es única. Notar que si: (a, b) = ax 0 + by 0 (donde x 0, y 0 son enteros) es una de tales combinaciones lineales, entonces: (a, b) = a (x 0 + bt) + b (y 0 at) son otras representaciones (para cualquier t Z) y así tenemos infinitas. Proposición 4 Sean a, b,..., c Z y d N 0 tal que d a, d b,..., d c. Entonces: (a, b,..., c) = d si, y sólo si existen enteros x 0, y 0,..., z 0 tales que ax 0 + by cz 0 = d. Prueba. ) Es válido por (2). ) Por la hipótesis general d a, d b,..., d c se verifica la condición i) del apartado 2) del Cor. 3. Para ver que también se verifica la condición ii), sean x 0, y 0,..., z 0 Z tales que ax 0 + by cz 0 = d y sea d un divisor común de a, b,..., c. Entonces (Ejercicio 3a) es divisor de cualquier combinación lineal de los mismos. Luego, en particular d es un divisor de d, es decir: d d, lo cual prueba ii). Teorema 4 Sean a, b,..., c, e Z y d = (a, b,..., c). Entonces: la ecuación ax+by+ +cz = e tiene solución en enteros x, y,..., z si, y sólo si d e. Prueba. Sea C = {ax + by + + cz : x, y,..., z Z}. ax + by + + cz = e tiene solución e C e dz (pues por el Cor. 3 es C = dz) d e. 6

7 El Teorema está demostrado. Definición 5 Los enteros a, b,..., c se dicen primos relativos si su m.c.d. es 1 (esto es, si no tienen otro divisor común más que ±1). Dos enteros primos relativos se dicen coprimos o primos entre sí. Si se trata de los enteros a, b se dice, simplemente, que a es primo con b (y que b es primo con a). Teorema 5 Los enteros a, b,..., c son primos relativos si, y sólo si la ecuación ax+by+ +cz = 1 tiene solución en enteros x, y,..., z. Prueba. Si a, b,..., c son primos relativos, por definición (a, b,..., c) = 1 y la ecuación dada tiene solución (Teo. 4, pues 1 1). Recíprocamente, si la ecuación del enunciado tiene solución, entonces (a, b,..., c) 1 (Teo. 4), y siendo por definición (a, b,..., c) no negativo, necesariamente debe ser (a, b,..., c) = 1 y por lo tanto a, b,..., c son primos relativos (Def. 5). Corolario 4 Sean a, b,..., c Z y d N tal que d a, d b,..., d c. Entonces: ( a (a, b,..., c) = d d, b d,..., c ) = 1. d Prueba. (a, b,..., c) = d existen x 0, y 0,..., z 0 Z tales que ax 0 + by cz 0 = d Prop. 4 existen x 0, y 0,..., z 0 Z tales que a d x 0 + b d y c d z 0 = 1 a d, b d,..., c d son primos relativos Teo. 5 ( a d, b d,..., d) c = 1. Def. 5 El Corolario está demostrado. Teorema 6 Si a, b, c son enteros tales que a divide al producto bc y es primo con uno de dichos factores, entonces a divide al otro factor. (Simbólicamente: a bc, (a, b) = 1 a c.) Prueba. Como (a, b) = 1, por el Teo. 5 la ecuación ax + by = 1 tiene solución. Multiplicando por c: c = c (ax + by) = a (cx) + (bc) y. Como a divide a ambos términos del último miembro, entonces divide a c (Ejercicio 3a) El Algoritmo de Euclides. Comencemos observando el verdadero carácter de algoritmo que tiene el Algoritmo de la División (Prop. 2). Así, si se aplica al dividendo a y al divisor d (supongamos ambos positivos), previa verificación de que a d se efectúa la sustracción a d y se compara el resultado nuevamente con d. Si a d d se repite el ciclo y si no, el algoritmo termina. La cantidad de veces c que hayamos podido repetirlo va a ser el cociente y la diferencia a cd, el resto de dividir a por d. El Algoritmo de la División termina, ya que a d, a 2d,... es una sucesión estrictamente decreciente y en algún momento resultará a (c + 1) d < d, dando fin al mismo. Queda claro que el Algoritmo de la División es una reiteración de restas. El Algoritmo de Euclides, será una reiteración de divisiones cuyos dividendos serán los divisores anteriores y cuyos divisores serán los restos anteriores (si éstos no son nulos). Concretamente, dados a, b Z, con b 0, por el Algoritmo de la División existen únicos c 1, r 1 Z tales que a = c 1 b + r 1, con 0 r 1 < b. 7

8 Si r 1 = 0 termina el Algoritmo de Euclides, y si r 1 0 continúa como decíamos: pensando ahora a b como dividendo y a r 1 como divisor, por el Algoritmo de la División existen únicos c 2, r 2 Z tales que b = c 2 r 1 + r 2, con 0 r 2 < r 1. Y así nuevamente: si r 2 = 0 el algoritmo termina, y si r 2 0, pensando a r 1 como dividendo y a r 2 como divisor, existen únicos c 3, r 3 Z tales que r 1 = c 3 r 2 + r 3, con 0 r 3 < r 2, etc. Este proceso no puede continuar indefinidamente, ya que, como r 1, r 2,... es una secuencia estrictamente decreciente de enteros no negativos: r 1 > r 2 >... 0 y sólo puede existir un número finito k de enteros no negativos menores que b, entonces debe llegar un momento en el que sea, efectivamente, r k = 0, finalizando así el algoritmo. De modo que si el Algoritmo de Euclides llega a su fin en el paso k es porque es r k = 0 y los restos de las precedentes divisiones fueron todos positivos: r 1 > r 2 >... > r k 1 > r k = 0. Una de las virtudes del Algoritmo de Euclides es que va reduciendo el cálculo del m.c.d. de dos números, al cálculo del m.c.d. de dos números menores o iguales (en valor absoluto) a los dos de partida (Ejercicio 6). Al concluir el Algoritmo, uno de estos dos números menores es el cero, de modo que el m.c.d. es el otro. Concretamente, aplicando el Ejercicio 6b) a las sucesivas divisiones que aparecen al aplicar el Algoritmo de Euclides a dos enteros dados a, b con b 0, resulta la siguiente cadena de igualdades de máximos comunes divisores: (a, b) = (b, r 1 ) = (r 1, r 2 ) = (r 2, r 3 ) = = (r k 2, r k 1 ) = (r k 1, 0) = r k 1, concluyendo así que (a, b) = r k 1, como queríamos demostrar. El Algoritmo de Euclides puede ser utilizado, además, para calcular los enteros x 0 e y 0 tales que (a, b) = ax 0 + by 0 (cuya existencia destacamos en el apartado 2) de la Nota 2). Veamos ambas cosas con un ejemplo. Ejemplo 1 Hallar (45, 132) y expresarlo como combinación lineal de 45 y 132. Aplicando el Algoritmo de Euclides tenemos 45 = = = = Luego (45, 132) = 3, pues 3 es el último resto no nulo: (45, 132) = (132, 45) = (45, 42) = (42, 3) = (3, 0) = 3. Además: (45, 132) = 3 = = 45 ( ) = , resultando así que x 0 = 3 y y 0 = El Teorema Fundamental de la Aritmética El Teorema Fundamental de la Aritmética (T.F.A.) es el que habitualmente se enuncia diciendo: todo número natural distinto de 1 puede escribirse como un producto de primos de modo único, salvo por el orden de los factores. En esta formulación se sobreentiende que los primos son positivos. 8

9 Si quisiéramos extender el T.F.A. al conjunto de los enteros (positivos y negativos) podríamos enunciarlo, tal vez, así: todo entero distinto de 1, 0 y 1 puede escribirse como un producto de primos de modo único, salvo por el orden de los factores y el signo de los mismos. Pero el enunciado preciso de esta extensión a Z es el siguiente. Teorema 7 (T.F.A.) Sea n Z, n 0, ±1. Sabemos por el Cor. 1 que existe una sucesión finita de primos 0 < p 1... p k tal que n = ε p 1 p k, donde ε = ±1. La forma anterior de expresar n es única, o sea que si 0 < q 1... q h son primos tales que n = ε q 1 q h, con ε = ±1, entonces: h = k, q 1 = p 1,..., q k = p k y ε = ε. Prueba. Como obviamente el signo de ε es igual al signo de n, sin pérdida de generalidad podemos suponer que n es positivo. Vamos a probar el Teorema por inducción sobre el número k de factores de la descomposición de n. i) Para k = 1 resulta ser n primo y sólo puede ser h = 1, con n = p 1 = q 1 (por definición de número primo), verificándose el Teorema en este caso. ii) Supongamos que el Teorema es cierto para k (hipótesis inductiva -H.I.-) y vamos a probarlo para k + 1. Sea pues: p 1 p k p k+1 = q 1 q h (3) con p i y q i primos y tales que p i p j si i < j, etc. (es decir, con las condiciones sobre p i y q i dadas en el enunciado). Como p 1 n, el Ejercicio 10b) implica que p 1 debe dividir a alguno de los primos q 1,..., q h, digamos a q j. Pero tratándose de primos positivos: p 1 q j p 1 = q j. Simplificando en (3), vale entonces la igualdad: p 2 p k p k+1 = q 1 q j q h, donde q j indica que debe excluirse el término de índice j. Vamos a probar que j = 1. En efecto, razonando análogamente: como q 1 n, el Ejercicio 10b) implica que q 1 debe dividir a alguno de los primos p 1,..., p k+1, digamos a p m. Pero tratándose de primos positivos: q 1 p m q 1 = p m. Entonces p 1 p m = q 1 q j = p 1 con lo que p 1 = q 1, como se quería probar. Por consiguiente, luego de cancelar en ambos miembros de (3) resulta: p 2 p k p k+1 = q 2 q h Como el primer miembro tiene k factores, aplicando la H.I. concluimos que k = h 1, con lo que: k + 1 = h, p 2 = q 2,..., p k+1 = q h. Como también p 1 = q 1, podemos afirmar que el Teorema es cierto para k + 1. Luego, por el P.I. el Teorema ha quedado completamente demostrado. Nota 4 En virtud del T.F.A. (Teo. 7) se dice que Z es un dominio de factorización única (D.F.U.). Asimismo, por existir en Z el Algoritmo de la División (Prop. 2), se dice que Z es un dominio Euclídeo (D.E.). La propiedad de ser D.F.U. es consecuencia de la propiedad de ser D.E. Ambos tipos de propiedades serán consideradas en la asignatura, más adelante, en situaciones más generales dentro de lo que se llama álgebra conmutativa. Sean p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,... todos los primos positivos en su orden natural (esto es, en orden creciente ) y sea n Z, n 0, ±1. Para cada i N, sea α i el número de veces que p i aparece entre los factores primos de n cuando n se escribe como producto de tales factores (con α i = 0 si p i n). Entonces tenemos que: n = ±p α 1 1 pα pαr r suponiendo que r es lo suficientemente grande como para que todos los divisores primos positivos de n se encuentre entre p 1, p 2,..., p r. 9

10 Ejemplo 2 Como ejemplo de aplicación del T.F.A. veamos que no existen enteros m, n tales que m 2 = 6n 2. Sin perder generalidad, podemos restringirnos a m, n positivos ( por qué?). Claramente m 1. Si fuera n = 1 entonces m 2 = 6. Sea m = p 1 p k la factorización de m en producto de primos. Entonces m 2 = (p 1 p k ) (p 1 p k ) = (p 1 p 1 ) (p k p k ) y en consecuencia sería (p 1 p 1 ) (p k p k ) = 2 3, lo que por el T.F.A es una contradicción. Luego n 1 (y por lo tanto podemos suponer m 1, n 1). Sean m = p 1 p k, n = q 1 q h las factorizaciones de m y n respectivamente en producto de primos. Entonces: m 2 = 6n 2 (p 1 p 1 ) (p h p h ) = 2 3 (q 1 q 1 ) (q k q k ), igualdad que también contradice el T.F.A. ( por qué?). Claramente esto tiene como consecuencia la irracionalidad de 6. (Hacer el Ejercicio 12) 3. La relación de congruencia en Z. Definición 6 Dado m Z, m 0 definimos para todo a, b Z la siguiente relación m, llamada relación de congruencia módulo m: a m b m a b. a m b también suele simbolizarse así: a b mód m y se lee a es congruente con b módulo m. Si m a b escribiremos a b mód m. Así, por ejemplo (o bien: 16 9 mód 5) y mód 5. Proposición 5 1) a m b. Dados a, b, m Z, m 0, las siguientes proposiciones son equivalentes: 2) a y b tienen el mismo resto al dividirlos por m. 3) Existe k Z tal que a = b + km (como asimismo: existe h Z tal que b = a + hm). Prueba. 1) 2) Sean a = cm + r, 0 r < m y b = c m + r, 0 r < m. Queremos ver que r = r. Como por hipótesis a b = km, k Z resulta a = b + km = (c m + r ) + km = (c + k) m + r, y por la unicidad es r = r (además de ser c + k = c). 2) 3) Sea r el resto de a y b al dividirlos por m. Entonces a = c 1 m + r y b = c 2 m + r, con 0 r < m, para enteros c 1 y c 2 que existen por el Algoritmo de la División (Prop. 2). Entonces: a b = c 1 m + r (c 2 m + r) = (c 1 c 2 ) m. Luego: a = b + (c 1 c 2 ) m y está demostrado que existe k := c 1 c 2 tal que a = b + km (además b = a km y por lo tanto existe h := k Z tal que b = a + hm). 3) 1) Si existe h Z tal que a = b + km entonces a b = km y por lo tanto m a b y a b mód m. Así, en el ejemplo anterior, 16 y 9 tienen ambos resto 1 al dividirlos por 5, y por eso son congruentes módulo 5; y 13 tiene resto 3 y 22 resto 2, y por eso no son congruentes módulo 5. Proposición 6 La relación de congruencia módulo m es una relación de equivalencia en Z. Prueba. Es claramente reflexiva, dado que m a a = 0 (Ejercicio 2b) y por lo tanto, para todo a Z : a m a. Es claro también que es simétrica, dado que si a m b entonces a = b + km para algún k Z. Luego b = a + ( k) m con lo cual b m a. Veamos por último que la relación es transitiva: si a m b y b m c entonces a = b + k 1 m y b = c + k 2 m para k 1, k 2 Z que existen. Luego a = b + k 1 m = (c + k 2 m) + k 1 m = c + (k 1 + k 2 ) m y por lo tanto a m c. 10

11 Definición 7 Las clases de equivalencia de una relación de congruencia se llaman clases residuales. Simbolizaremos (a) m a la clase residual de a Z en la relación de congruencia módulo m, y la llamaremos clase residual de a módulo m. 4 De modo que: (a) m = {b Z : b m a} = {b Z : b a mód m}. Si queda claro por el contexto a qué módulo nos estamos refiriendo, podemos simbolizar directamente a a la clase residual de a módulo m. (Ver el Ejercicio 17a) Proposición 7 El número de clases residuales de la relación de congruencia módulo m es m. Prueba. De acuerdo con el apartado 2) de la Prop. 5, dos enteros están en una misma clase si, y sólo si tienen el mismo resto al dividirlos por m. Como hay m restos posibles al dividir cualquier entero por m, que son los números 0, 1,..., m 1, entonces habrá una clase por cada uno de ellos Los enteros módulo m. Definición 8 Simbolizaremos Z/ m, o indistintamente Z m, al conjunto de las clases residuales módulo m. 5 El mismo es el conjunto cociente de la relación de congruencia módulo m y lo llamaremos conjunto de enteros módulo m: } Z m = {(0) m, (1) m,..., ( m 1) m. (4) Hemos elegido como representantes a los m restos posibles de dividir un entero por m. Así, por ejemplo, la relación de congruencia módulo 5, que se simboliza 5, particiona a Z en cinco clases residuales, } que son los elementos del conjunto de los enteros módulo 5: Z 5 = {(0) 5, (1) 5, (2) 5, (3) 5, (4) 5. Cada clase residual es la siguiente ( verificarlo!): (0) 5 = {..., 10, 5, 0, 5, 10,...}, (1) 5 = {..., 9, 4, 1, 6, 11,...}, (2) 5 = {..., 8, 3, 2, 7, 12,...}, (3) 5 = {..., 7, 2, 3, 8, 13,...}, (4) 5 = {..., 6, 1, 4, 9, 14,...}. Proposición 8 Sean a, b, c, d, m Z y m 0. Si a b mód m y c d mód m, entonces: 1) a ± c b ± d mód m. 2) ac bd mód m. Prueba. Las hipótesis, junto con 1) 3) de la Prop. 5, nos permiten escribir que: a = b + k 1 m, k 1 Z (5) c = d + k 2 m, k 2 Z (6) 4 Algunos autores simbolizan a mód m a la clase residual de a módulo m. Otros simbolizan a mód m al resto de dividir a por m. 5 Actualmente esta más difundida la notación Z/mZ para indicar el conjunto de los enteros módulo m. 11

12 1) Sumando (o restando) miembro a miembro (5) y (6) resulta: a ± c = (b + k 1 m) ± (d + k 2 m) = (b ± d) + (k 1 ± k 2 ) m y así, por 3) 1) de la Prop. 5, tenemos la tesis. 2) Multiplicando miembro a miembro (5) y (6) resulta: ac = (b + k 1 m) (d + k 2 m) = bd + (bk 2 + k 1 d) m + k 1 k 2 m 2 = bd + (bk 2 + k 1 d + k 1 k 2 m) m y nuevamente, por 3) 1) de la Prop. 5, tenemos la tesis. La Proposición está completamente demostrada. Definición 9 Definimos una suma (que llamaremos suma módulo m) y un producto (que llamaremos producto módulo m) entre las clases residuales módulo m del siguiente modo: a + b := a + b y ab := ab, con lo cual estamos diciendo que: la suma de las clases residuales de a y b es la clase residual de a + b; y que el producto de las clases residuales de a y b es la clase residual de ab. La Prop. 8 implica que estas definiciones son independientes del representante elegido. (Ver el Ejercicio 18) Hasta ahora las congruencias con respecto a un mismo módulo se pueden tratar como igualdades (se pueden: sumar, restar o multiplicar miembro a miembro). Sin embargo, con un simple ejemplo podemos ver que, en general, dos congruencias no se pueden dividir miembro a miembro: mód 10 y 12 2 mód 10 pero sin embargo mód 10 (es decir 4 9 mód 10). Ni siquiera se pueden dividir ambos miembros de una congruencia por un mismo número, como podemos comprobar con el siguiente ejemplo: mód 10 y dividiendo por 6 ambos miembros obtenemos que mód 10 (es decir 8 3 mód 10). En el próximo Corolario 5 veremos, no obstante, que si el número por el cual dividimos es un divisor común primo relativo con el módulo, lo anterior sí es posible. Así por ejemplo, si en la congruencia precedente dividimos por 3 ambos miembros, dado que (3, 10) = 1, obtenemos una congruencia válida, es decir, que mód 10 (o bien 16 6 mód 10). Proposición 9 Sean a, b, d, m Z tales que m 0 y d a, d b, d m. Entonces: a b mód m a d b d mód m d. Prueba. Ante todo observemos que como m 0 y d m es d 0 (Ejercicio 2a). Luego: a b mód m m a b Def. 6 d m d d ( a d b ) d m d a d b d Ejercicios 2c) y d) a d b d mód m d. Def. 6 La Proposición está demostrada. Teorema 8 Sean c, m Z, m 0 y d = (c, m). Entonces ac bc mód m a b mód m d. 12

13 Prueba. Por lo pronto, como m 0 es d 0 (Ejercicio 5a). Además, observemos que: 1) d ac, d bc y d m (es decir, estamos en las hipótesis de la Prop. 9). 2) c d y m d son primos relativos, es decir: ( c d, m ) d = 1 (Cor. 4). Luego: ac bc mód m ac d bc d mód m d Prop. 9 (y Obs. 1) m d c d (a b) Def. 6 m d a b Ejercicio 11 (y Obs. 2) a b mód m d. Def. 6 El Teorema está demostrado. Corolario 5 Sean a, b, c, m Z tales que m 0, c a, c b y (c, m) = 1. Entonces: a b mód m a c b c mód m. Prueba. Como c a y c b existen enteros a, b tales que a c = a y b c = b. Entonces a b mód m a c b c mód m, y por el Teo. 8: a c b c mód m a b mód m, pero esta última congruencia no es más que la siguiente: a c b c mód m. Nota 5 Otro hecho que diferencia congruencias e igualdades es el siguiente: un producto de dos enteros puede ser congruente con 0 módulo m sin ser congruente con cero ninguno de los factores. Así por ejemplo mód 6 siendo 2 0 mód 6 y 3 0 mód 6 (pero un producto de enteros no puede dar 0 sin ser igual a 0 alguno de los factores). En término de clases residuales esto se expresa así ab = 0 a = 0 b = Congruencias lineales. Definición 10 Dado m Z, m 0, un subconjunto C Z se dice un sistema completo de residuos módulo m si cada entero es congruente a uno y sólo uno de los elementos de C. Así, por ejemplo, C = {0, 1,..., m 1} es un sistema completo de residuos módulo m, para todo m. Si m = 5 entonces C = {0, 1, 2, 3, 4} es un sistema completo de residuos módulo 5. También lo es C = {0, 1, 12, 2, 4} (pues 12 2 mód 5 y 2 3 mód 5). (Ver el Ejercicio 20b) Proposición 10 Sean a, m Z, m 0 y (a, m) = 1. Probar que si C es un sistema completo de residuos módulo m entonces para cualquier entero b, el conjunto C = {ax + b : x C} también es un sistema completo de residuos módulo m. Prueba. Por el Ejercicio 20a) sabemos que C tiene m enteros y claramente lo mismo vale para C. Sean ax 1 + b ax 2 + b mód m, con x 1, x 2 C. Entonces ax 1 ax 2 mód m ( por qué?) y como (a, m) = 1, por el Teo. 8 es x 1 x 2 mód m. Entonces, por ser C es un sistema completo de residuos módulo m es x 1 = x 2 (Ejercicio 20a). Luego ax 1 + b = ax 2 + b, y nuevamente por el Ejercicio 20a), resulta que C es un sistema completo de residuos módulo m. Definición 11 Se llama totalizador de Euler o función φ de Euler, a aquella función φ que a cada número natural n le hace corresponder la cantidad de naturales menores o iguales que n que son primos con n (da el total de primos con n menores o iguales que n). 13

14 Los primeros valores de φ son: φ (1) = {1} = 1, φ (2) = {1} = 1, φ (3) = {1, 2} = 2, φ (4) = {1, 3} = 2, φ (5) = {1, 2, 3, 4} = 4, φ (6) = {1, 5} = 2, etc. Otros valores aislados: φ (10) = {1, 3, 7, 9} = 4, φ (23) = {1, 2,..., 21, 22} = 22, etc. Definición 12 Dado m Z, m 0, un subconjunto R Z se dice un sistema reducido de residuos módulo m si: 1) para todo r R : (r, m) = 1, 2) R contiene φ (m) elementos ( R = φ (m)), y 3) ningún par de elementos distintos de R son congruentes módulo m. Así, por ejemplo, R = {1, 3, 7, 9} es un sistema reducido de residuos módulo 10. Proposición 11 Si R es un sistema reducido de residuos módulo m y (a, m) = 1, entonces el conjunto R = {ax : x R} también es un sistema reducido de residuos módulo m. Prueba. Sea x R. Como (a, m) = 1 y (x, m) = 1 entonces, por el Ejercicio 9b), es (ax, m) = 1, y se cumple la condición 1) de la Def. 12 para R. Como claramente R contiene el mismo número de elementos que R, la condición 2) de la Def. 12 también se satisface. Finalmente, supongamos (razonando por el absurdo) que ax 1 ax 2 mód m, con x 1, x 2 R y x 1 x 2. Entonces por el Teo. 8 es x 1 x 2 mód m (ya que (a, m) = 1), lo que contradice la hipótesis de ser R un sistema reducido de residuos módulo m. Como este absurdo provino de suponer que podía ser ax 1 ax 2 mód m, con x 1, x 2 R y x 1 x 2, dicha suposición es impracticable y por lo tanto ningún par de elementos distintos de R son congruentes módulo m. De este modo, la condición 3) de la Def. 12 también se cumple en R. Por lo tanto R es un sistema reducido de residuos módulo m. Así, por ejemplo, tomando a = 9 y dado que (9, 10) = 1, el sistema R = {1 9, 3 9, 7 9, 9 9} = {9, 27, 63, 81} es un sistema reducido de residuos módulo 10 (en efecto: 9 9 mód 10, 27 7 mód 10, 63 3 mód 10 y 81 1 mód 10). Teorema 9 (Teorema de Euler) Si (a, m) = 1 entonces a φ(m) 1 mód m. Prueba. Sea R = { r 1,..., r φ(m) } un sistema reducido de residuos módulo m. Entonces, por la Prop. 11, el conjunto R = { ar 1,..., ar φ(m) } también es un sistema reducido de residuos módulo m (pues por hipótesis es (a, m) = 1). Entonces, por el Ejercicio 21 cada elemento de R es congruente a un elemento diferente de R; esto es: ar 1 r 1 mód m ar 2 r 2 mód m. ar φ(m) r φ(m) mód m 14

15 donde r 1, r 2,..., r φ(m) son r 1, r 2,..., r φ(m) en algún reordenamiento. Por el apartado 2) de la Prop. 8: ar 1 ar 1 ar φ(m) r 1r 2 r φ(m) mód m a φ(m) r 1 r 2 r φ(m) r 1 r 2 r φ(m) mód m. Como para todo i = 1,..., φ (m) : (r i, m) = 1 (Def. 12) entonces ( r 1 r 2 r φ(m), m ) = 1 (Ejercicio 9c) y por lo tanto, por el Teo. 8: a φ(m) 1 mód m, como queríamos demostrar. Definición 13 Llamaremos congruencia lineal a una de la forma ax b mód m (7) Dados a, b, m Z (m 0), los enteros x que verifican (7) son sus soluciones. Ejemplo 3 1) Si a = 1 entonces: x 0 es solución de (7) si, y sólo si x 0 b. En efecto, de acuerdo con la Def. 7, la clase residual de b en la relación de congruencia módulo m es: b = {x Z : b x mód m}. Luego, si a = 1: x 0 es solución de (7) b x 0 mód m x 0 b. 2) Si x 0 es solución de (7) entonces todos los enteros de su clase residual x 0 también son solución. En efecto, como x 0 = {x 0 + km : k Z} (Ejercicio 17a) debemos ver que para todo k Z : a (x 0 + km) b mód m. Como x 0 es solución sabemos que ax 0 b mód m. Además, para todo k Z : akm 0 mód m (Ejercicio 15b). Luego, por el apartado 1) de la Prop. 8 resulta lo que debíamos ver. 3) Hay congruencias que no tienen solución, como la siguiente: 2x 3 mód 4. En efecto: 2x 3 mód 4 2x 3 0 mód 4 2x 3 4, pero 2x 3 es un número impar y por lo tanto no puede ser múltiplo de 4. Se desprende de los Ejemplos precedentes que una congruencia lineal: no tiene solución o tiene infinitas. Estas infinitas son, al menos, todos los enteros de una clase residual. Las preguntas, entonces, son dos: i) bajo qué condiciones sobre a, b y m es que (7) tiene solución? Y en caso de tenerla, ii) cuáles son todas sus soluciones? La siguientes Proposiciones nos responderán ambas preguntas. Proposición 12 Sean a, b, m Z, m 0 y d = (a, m). Entonces la congruencia lineal (7) tiene solución si, y sólo si d b. Prueba. De acuerdo con la Def. 13 sabemos que (7) tiene solución si, y sólo si existe x 0 Z tal que ax 0 b mód m. Pero de acuerdo con la Prop. 5: ax 0 b mód m existe k Z tal que ax 0 = b + km. Luego, (7) tiene solución si, y sólo si existen enteros x 0, k tales que ax 0 km = b y por el Teo. 4 esto sucede si, y sólo si d b. Proposición 13 Sean a, b, m Z, m 0 y (a, m) = 1. Entonces (7) tiene solución, siendo x 0 solución de (7) si, y sólo si x 0 a φ(m) 1 b (la clase residual de a φ(m) 1 b módulo m). 15

16 Prueba. Como (a, m) = 1, por la Prop. 12 la congruencia lineal (7) tiene solución. Además: x 0 es solución de (7) ax 0 b mód m ax 0 a φ(m) 1 a φ(m) 1 baφ(m) 1 mód m, aφ(m) 1 y teniendo en cuenta que: si (a, m) = 1 entonces para todo h, k N : ( a h, m k) = 1 (se deja como ejercicio), entonces por el Cor. 5 tenemos que: x 0 es solución de (7) x 0 a φ(m) ba φ(m) 1 mód m. (8) Como a φ(m) 1 mód m (Teorema de Euler) entonces x 0 a φ(m) x 0 mód m y teniendo en cuenta (8), por transitividad llegamos a que: x 0 es solución de (7) x 0 ba φ(m) 1 mód m, es decir: x 0 a φ(m) 1 b (pues por definición: a φ(m) 1 b = { x Z : x a φ(m) 1 b mód m } ). Recíprocamente, si x 0 ba φ(m) 1 mód m entonces, multiplicando ambos miembros por a resulta que ax 0 ba φ(m) mód m, y como ba φ(m) b mód m (que resulta de multiplicar por b ambos miembros del Teorema de Euler), por transitividad tenemos que ax 0 b mód m, es decir: x 0 es solución de (7). Proposición 14 Si d = (a, m) y d b entonces (7) tiene solución, siendo las siguientes afirmaciones equivalentes entre sí: 1) x 0 es solución de (7). 2) x 0 es solución de la congruencia lineal: a d x b d mód m d. (9) 3) x 0 (t) m, donde t es cualquier solución de (7). d 4) x 0 (t) m ( t + m d de (7). ) m ( t + 2 m d ) m ( t + ( d 1) m d ) m, donde t es cualquier solución Prueba. Como (a, m) b, por la Prop. 12 la congruencia lineal (7) tiene solución. 1) 2). Por la Prop. 9: ax b mód m a d x b d mód m d, de modo que (7) y (9) tienen las mismas soluciones. 2) 3). Como ( a d, m ) d = 1 (Cor. 4) resulta, por la Prop. 13, que todas las soluciones de (9) son los enteros de la clase residual de ( ) a φ( m d ) 1 b d d módulo m d. Si t es cualquier entero de dicha clase (y por lo tanto t es solución de (9)), lo que nos dice la Prop. 13 es que x 0 es solución de (9) si, y sólo si x 0 (t) m. Pero por el 1) 2) de esta misma Proposición (aplicado a t), tenemos d que x 0 es solución de (9) si, y sólo si x 0 (t) m d 3) 4). Por el Ejercicio 17e): (t) m d de la Proposición. = d 1 l=0, donde t es cualquier solución de (7). ( ) t + l m d, lo que completa la demostración 16 m

17 3.3. La ecuación Diofántica lineal en dos incógnitas. Definición 14 Si f (x, y,..., z) es un polinomio en las variables x, y,..., z con coeficientes enteros, diremos que f (x, y,..., z) = 0 es una ecuación Diofántica 6 si restringimos los valores de sus incógnitas x, y,..., z al conjunto de los enteros. Al presentar el Algoritmo de Euclides (Sección 2.4) vimos un procedimiento para calcular una solución de la ecuación Diofántica lineal en dos incógnitas: ax + by = c (10) cuando c = (a, b). Observemos que el mismo procedimiento permite encontrar una solución c cuando (a, b) c. En efecto: si x 0, y 0 es un par solución de ax + by = (a, b) entonces x 0 (a,b), y 0 c (a,b) es un par solución de ax+by = c (ver el Ejercicio...). Además, el mismo tipo de representaciones vistas en la Nota 3 nos permite obtener infinitos pares solución de (10) a partir de uno de ellos. En el próximo Teorema haremos uso de las congruencias lineales para obtener todas las soluciones en enteros de ax + by = c cuando (a, b) c, si conocemos al menos una de ellas. Teorema 10 (10), entonces: Si x 0, y 0 es un par solución de la ecuación Diofántica lineal en dos incógnitas 1) x es solución de (10) si, y sólo si x (x 0 ) b ; (a,b) 2) y es solución de (10) si, y sólo si y (y 0 ) a ; y (a,b) 3) x, y es un par solución de (10) si, y sólo si x = x 0 + k b (a,b), y = y 0 k a entero k. (a,b), para algún Prueba. Sabemos por el Teo. 4 que la ecuación Diofántica lineal en dos incógnitas (10) tiene solución en enteros x, y si, y sólo si (a, b) c. Supongamos que éste sea el caso. Como por hipótesis conocemos un par x 0, y 0 que es solución de (10), resulta que: ax 0 + by 0 = c. (11) 1) x Z es solución de (10) existe y Z tal que ax + by = c ax c mód b. Dado que x 0 es solución de (10), por lo que acabamos de probar es ax 0 c mód b, y por el 1) 3) de la Prop. 14 tenemos que x (x 0 ) b. (a,b) 2) Igual razonamiento que en 1) (por simetría). 3) Sea x, y un par solución de (10). Por el apartado 1) de este mismo Teorema sabemos que x (x 0 ) b y por lo tanto existe k Z tal que x = x 0 + k b (a,b) (a,b). El y correspondiente lo obtenemos despejando de la ecuación (y teniendo en cuenta, de (11), que y 0 = c ax 0 b ): ( ) y = c ax c a x 0 + k b (a,b) = = c ax 0 k a b b b (a, b) = y 0 k a (a, b). El Teorema está completamente demostrado. 6 En honor a Diofanto, matemático griego que vivió en Alejandría alrededor del año 250 D.C. Lo más relevante de su obra es la aparición de ecuaciones del tipo x 2 dy 2 = ±1, planteándose el problema de su resolución, pero en números enteros. Su famoso libro Aritmética se considera, además, uno de los primeros tratados de Álgebra por la manipulación algebraica de símbolos. 17

18 4. Práctica 0. 1) Sea A N 0, A y S = {x N 0 : para todo a A, x a}. Mostrar que S A tiene un único elemento (en la Prop. 1 vimos que S A ). 2) Mostrar que: a) 0 x x = 0 b) Para todo x Z : x 0 c) a c para todo k Z : ka kc d) (ka kc, k 0) a c e) (a c, c a) a = c D a = D c az = cz f ) (a c, a 0) c a c g) (a c, c 0) 0 < a c h) (a b + c, a b) a c 3) Sean a, b,..., c Z. Probar que: a) Si d a, d b,..., d c entonces para todo x, y,..., z Z : d ax + by + + cz. b) C = {ax + by + + cz : x, y,..., z Z} es cerrado bajo la sustracción. 4) a) Mostrar que dados a, d Z, d 0, existe un único entero c tal que cd a < cd + d (existe un único múltiplo cd de d que es el mayor entre los menores o iguales que a). b) Hallar el cociente c y el resto r cuya existencia y unicidad asegura el Algoritmo de la División, correspondientes a cada uno de los siguientes dividendos a y divisores d. Verificar, en todos los casos, que dc a < dc + d : a) a = 51, d = 3 b) a = 32, d = 5 c) a = 52, d = 4 d) a = 18, d = 5 e) a = 95, d = 19 f ) a = 32, d = 5 g) a = 91, d = 7 h) a = 46, d = 5 i) a = 170, d = 23. 5) Probar que: a) x 1 = = x n = 0 (x 1,..., x n ) = 0. b) Para todo a, b Z : D a D b y si a 0 o b 0 entonces D a D b es finito. c) Para todo a, b Z no ambos nulos: (a, b) = máx (D a D b ). Por qué no es cierta la igualdad si a = b = 0? d) Si a, b,..., c no son todos nulos, entonces (a, b,..., c) = máx (D a D b... D c ). 6) Dados a, d Z, d 0 sean c, r el cociente y el resto de dividir a por d. Probar que: a) D a D d = D d D r. b) a y d tienen el mismo m.c.d. que d y r, esto es: (a, d) = (d, r). 7) Usar el Algoritmo de Euclides para calcular enteros x 0 e y 0 tales que (a, b) = ax 0 + by 0, en cada uno de los siguientes casos: i) a = 56, b = 35, ii) a = 309, b = 186, iii) a = 1024, b = ) Decir cuáles de las siguientes ecuaciones Diofánticas lineales tienen solución (en Z): a) 6x + 35y = 1 b) 6x + 35y = 2 c) 6x + 35y = 3 d) 14x 21y + 6z = 1 e) 10x 15y = 5 f ) 14x 21y + 6z = 0 g) 12x + 8y = 2 h) 10x 15y = 10 i) 14x 21y + 28z = 7. 9) Probar que: a) si a es primo con b entonces todo divisor de a también es primo con b; 18

19 b) si a es primo con b y c, entonces a es primo con su producto bc; c) si un entero es primo con cada uno de los enteros a, b,..., c, entonces es primo con su producto (usar inducción sobre el número de factores). 10) Probar que: a) si a Z y p es primo, entonces p divide a a o bien es primo con a; b) si un primo divide a un producto, entonces divide al menos a uno de los factores. 11) Si (a, b) = 1, entonces para todo c Z : a bc a c. 12) Haciendo uso del T.F.A. a) Determinar si existen números enteros a y b no nulos tales que: i) 2a 2 = 3b 2, ii) a 2 = 15b 2, iii) a 3 = b 2 (a 1, b 1). b) Repetir el apartado a), pero con números racionales a y b. c) Probar que todo número racional puede escribirse de una forma y sólo una como p q con (p, q) = 1 y q > 0. 13) El menor entero positivo múltiplo de los enteros a, b,..., c (en número finito) todos distintos de 0, se denomina el mínimo común múltiplo (brevemente m.c.m.) de los mismos y se denota [a, b,..., c]. Si alguno es cero, entonces [a, b,..., c] = 0. Como en clase, (a, b,..., c) indicará el máximo común divisor (m.c.d.) de los enteros a, b,..., c. Probar que (si m 0): a) i) (a, b,..., c) = (a, (b,..., c)), ii) (ma, mb,..., mc) = m (a, b,..., c). b) i) [a, b,..., c] = [a, [b,..., c]], ii) [ma, mb,..., mc] = m [a, b,..., c]. c) Si a = r i=1 pα i i entonces: y b = r i=1 pβ i i, donde α i 0 y β i 0 para todo i = 1, 2,..., r, i) (a, b) = r i=1 pγ i i y ii) [a, b] = r i=1 pδ i i ; donde, para todo i = 1, 2,..., r : γ i = mín {α i, β i } y δ i = máx {α i, β i }. Luego, calcular de este modo (312, 900) y [312, 900] indicando explícitamente quiénes son: r, p i, α i, etc. d) i) ab = (a, b) [a, b], ii) abc = (ab, ac, bc) [a, b, c]. 14) a) Hallar (624, 504, 90) y expresarlo como combinación lineal de 624, 504 y 90. Sugerencia: vía el Ejercicio 13a)i), considerar (624, 504, 90) = (624, (504, 90)). b) Para aquellas ecuaciones del Ejercicio 8 con solución, hallar al menos una. 15) Sea m Z, m 0. Probar que: a) si r es el resto de dividir a Z por m, entonces a r mód m. b) a Z es múltiplo de m si, y sólo si a 0 mód m. 16) Sea m Z, m 0. Probar que si a b mód m: a) y c Z entonces ac bc mód m; b) para todo n N 0 : a n b n mód m; c) y P (x) es un polinomio con coeficientes enteros, entonces P (a) P (b) mód m. 17) Sean a, m Z, m 0. Probar que: 19

20 a) Si a es la clase residual de a módulo m entonces: a = {a + km : k Z}. b) (a) m = (a) m. c) (0) m = mz. d) d m (a) m (a) d. e) Si d m entonces: ( (a) d = (a) m (a + d) m (a + 2d) m a + ( m d ) 1 ) m d 1 d = m l=0 (a + ld) m. 18) Sea m Z, m 0, sea m la relación de congruencia módulo m en Z y sea Z m el conjunto de los enteros módulo m (Def. 8). Para cada a Z sea a la clase residual de a módulo m. Sabemos que si a a entonces a = a, es decir: cualquier elemento de una clase residual puede tomarse como representante de la misma. Habíamos definido (Def. 9) la suma módulo m y el producto módulo m entre las clases residuales de Z m del siguiente modo: si a Z m y b Z m entonces a + b := a + b y ab := ab. Probar que esta definición es independiente del representante elegido. Esto significa que: si a a y b b entonces a + b = a + b y a b = ab (o equivalentemente, que entonces: a + b = a + b y a b = ab). 19) a) Buscar un módulo m Z, m 0 y dos clases residuales a y b módulo m, tales que a 0, b 0 y sin embargo ab = 0. b) Probar que si p es primo, y: 1) ac bc mód p y c 0 mód p entonces a b mód p; 2) ab 0 mód p entonces a 0 mód p o b 0 mód p. 20) Sea m Z, m 0 y C Z. Probar que: a) C es un sistema completo de residuos módulo m si, y sólo si C tiene m enteros y x i x j mód m (con x i, x j C) x i = x j. b) En general, cualquier conjunto de m enteros consecutivos es un sistema completo de residuos módulo m. 21) Probar que si R y R son dos sitemas reducidos de residuos módulo m entonces no hay dos elementos distintos de R congruentes a un mismo elemento de R. 22) Hallar las infinitas soluciones de las ecuaciones Diofánticas lineales del tipo ax + by = c que hay en el Ejercicio 8 y tienen solución. 23) Sean a, b, c, d Z tales que ad bc = ±1. Mostrar que entonces, para todo x, y Z : (x, y) = (ax + by, cx + dy). 20