UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS ECUACIONES DIFERENCIALES (5-0-5)

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1 I. INFORMACIÓN GENERAL UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS ECUACIONES DIFERENCIALES (5-0-5) 1. Facultad: 2. Carreras: 4. Denominación: 5. Año y Semestre: 5. Código: 6. Frecuencia semanal: 7. Créditos: 8. Requisitos: Ingeniería Civil, Ingeniería Eléctrica, Ingeniería Industrial, Ingeniería Mecánica e Ingeniería de Sistemas Computacionales. Licenciatura en Ingeniería Ecuaciones Diferenciales Segundo año, primer semestre 0709 teoría: 5 hrs 5 Cálculo II II. OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS: 1. Objetivos Generales: 1.1 Conocer la terminología básica de las ecuaciones diferenciales. 1.2 Traducir problemas de fenómenos naturales a un lenguaje de ecuaciones diferenciales estableciendo la formulación matemática del problema. 1.3 Dominar los métodos y técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales para su utilización en otras disciplinas dentro de su especialidad. 1.4 Aplicar las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos en la interpretación de problemas de ingeniería. 2. Objetivos Específicos: 2.1 Definir el concepto de ecuación diferencial. 2.2 Clasificar las ecuaciones diferenciales. 2.3 Obtener la ecuación diferencial dada una función paramétrica. 2.4 Demostrar que una función es solución de la ecuación diferencial dada. 2.5 Diferenciar los conceptos de condición inicial y condición de frontera. 2.6 Resolver ecuaciones diferenciales mediante el método de variables separables. 2.7 Resolver ecuaciones diferenciales homogéneas. 2.8 Identificar si una ecuación diferencial dada es de la forma: dy Ax + By + C = F dx ax + by + c dy Ax + By + C 2.9 Resolver ecuaciones diferenciales de la forma: = F dx ax + by + c 2.10 Demostrar que la ecuación diferencial dada es exacta Resolver ecuaciones diferenciales exactas Resolver ecuaciones diferenciales aplicando factor de integración. Profesor: Edis Alberto Flores 1

2 2.13 Dada una ecuación diferencial determinar si es una ecuación diferencial lineal Resolver ecuaciones diferenciales lineales dadas Dada una ecuación diferencial determinar si es una ecuación de Bernoullí Resolver ecuaciones diferenciales de Bernoullí Definir el concepto de ecuación diferencial de segundo orden Identificar ecuaciones diferenciales de segundo orden que pueden ser reducidas a ecuaciones de primer orden Resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden que se pueden reducir a primer orden Definir el concepto de trayectoria ortogonal y trayectoria oblicua Dada una función parámétricas encontrar la trayectoria ortogonal o la trayectoria oblicua Aplicar las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de mecánica elemental Aplicar las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de circuitos eléctricos Aplicar las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de flexión de vigas Aplicar las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de cables suspendidos Definir el concepto de ecuación diferencial de orden superior Enunciar las condiciones que garanticen la existencia de la solución de una ecuación diferencial de orden superior Deteminar la dependencia o independencia lineal de una función dada por medio de Wronskiano Definir el concepto de ecuación diferencial de orden superior lineal homogénea con coeficientes constantes Deducir la ecuación auxiliar de una ecuación diferencial de orden superior lineal homogénea con coeficientes constantes Determinar la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes utilizando la ecuación auxiliar Definir el concepto de ecuación diferencial de orden superior lineal no homogénea con coeficientes constantes Resolver ecuaciones diferenciales de orden superior lineal no homogénea con coeficientes constantes mediante el método de coeficientes indeterminados Resolver ecuaciones diferenciales de orden superior lineal no homogénea con coeficientes constantes mediante el método de variación de parámetros Deducir la ecuación diferencial de las vibraciones de una masa en un resorte Resolver problemas de vibraciones de una masa en un resorte utilizando ecuaciones diferenciales Resolver problemas de fenómenos de resonancia mediante ecuaciones diferenciales Resolver problemas de circuitos eléctricos en serie utilizando ecuaciones diferenciales Identificar la ecuación de Cauchy-Euler Resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables por medio del método de Cauchy-Euler Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales por el método de los operadores Resolver Ecuaciones Diferenciales por Series Deducir el método para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias Aproximar soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por el método de Euler Deducir el método de Runge Kuta para aproximar soluciones de Ecuaciones diferenciales Ordinarias Aproximar soluciones de Ecuaciones Diferenciales ordinarias por el método de Runge Kuta Deducir el método de los escalones múltiples para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias Aproximar una solución de un problema de valores en la frontera de segundo orden. III. METODOLOGÍA Profesor: Edis Alberto Flores 2

3 1. Las clases se desarrollarán mediante un método activo dinámico. 2. Se utilizará el recurso de preguntas y respuestas después de cada exposición teórica. 3. Se resolverán problemas ejemplos y se someterán a discusión. Los estudiantes Tendrán una participación activa. 4. Se asignarán tareas al estudiante que requieran el completo dominio de lo expuesto. 5. Hacer una sesión de repaso antes de cada prueba parcial. IV. EVALUACIÓN Se sugiere una evaluación formativa y sumativa. Formativa: Se realizarán actividades tales como: tareas, prácticas individuales y grupales, Ejercicios cortos, etc. Sumativa Tres pruebas parciales 60 % Asistencia 5 % Tareas o Laboratorios (5) 10 % Prueba semestral 25 % V. DESCRIPCIÓN El curso se inicia con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Se continúa con el estudio de las ecuaciones diferenciales de orden superior (homogéneas y no homogéneas), aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, solución de sistemas de ecuaciones diferenciales y la solución de ecuaciones diferenciales por serie. Profesor: Edis Alberto Flores 3

4 VI. CONTENIDO PROPUESTO 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES (6 horas) 1.1 Definición 1.2 Clasificación de las ecuaciones diferenciales. 1.3 Orígenes. 1.4 Solución de una ecuación diferencial. 1.5 Problemas de valor inicial y problemas de valores en la frontera. 1.6 Existencia y unicidad. 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO (17 horas) 2.1 Definición. 2.2 Variables separables. 2.3 Ecuaciones homogéneas 2.4 Ecuaciones de la forma: dy Ax + By + C = F dx 2.5 Ecuaciones diferenciales exactas 2.6 Factores de integración Profesor: Edis Alberto Flores 4 ax + by + c M N y x Factor de la forma: = f x F I = e f ( x ) ( ).. dx N Factor de la forma: M N y x = g y F I = e g ( y ) ( ).. dy M 1 + Ny Ecuaciones homogéneas: F. I.= Mx Ecuaciones de la forma: yf ( xy) dx + xg( xy) dy = 0 1 F. I. = Mx Ny 2.7 Ecuaciones diferenciales lineales. 2.8 Ecuaciones de Bernoullí. 2.9 Ecuaciones de segundo orden que se reducen a primer orden. 3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE (17 horas) PRIMER ORDEN. 3.1 Trayectorias ortogonales y oblicuas. 3.2 Mecánica elemental Caída libre Fuerza de rozamiento. 3.3 Circuitos eléctricos en serie. 3.4 Cables suspendidos.

5 3.5 Deflexión de vigas. 4. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR (18 horas) 4.1 Definición y teorema básico de existencia. 4.2 Teoría preliminar Problemas de valor inicial y problemas de valor de frontera Dependencia lineal e independencia lineal El Wronskiano. 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Ecuación auxiliar: Raíces reales distintas, raíces reales e iguales, raíces imaginarias. 4.4 Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes Coeficientes indeterminados Variación de parámetros. 4.5 Ecuaciones no homogéneas con coeficientes variables Ecuación de Cauchy-Euler. Definición Raíces reales y diferentes Raíces reales e iguales Raíces reales complejas 4.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Método de los operadores 4.7 Solución de ecuaciones diferenciales mediante series. 5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES. (17 horas) 5.1 Ecuación diferencial de las vibraciones de una masa en un resorte. 5.2 Movimiento libre no amortiguado. 5.3 Movimiento libre amortiguado. 5.4 Movimiento forzado. 5.5 Fenómeno de resonancia. 5.6 Sistemas Análogos Circuito eléctrico en serie Péndulo. 6. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (opcional) 6.1 Introducción. 6.2 Método de Euler y Análisis de error. 6.3 Método de Runge Kuta. 6.4 Método de escalones múltiples. 6.5 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de orden superior Problemas de valor inicial de primer orden Problemas de valor inicial de segundo orden Ecuación diferencial de segundo orden como sistemas de ecuaciones Diferenciales de primer orden Métodos numéricos aplicados a las ecuaciones diferenciales de Profesor: Edis Alberto Flores 5

6 VIII- BIBLIOGRAFÍA Segundo orden Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden Métodos numéricos aplicados a los sistemas. TEXTO: Dennis G. Zill y Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la Michael R. Cullen frontera. Thomson Learning. Quinta edición LIBROS DE CONSULTA Tagle Saff Zinder Kreyzing, Edwin Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera. Tercera edición. Addison Wesley Matemática Avanzadas para ingenieros. Tercera edición. Limusa Wiley O Neil Peter Matemáticas Avanzadas para ingeniería. Tercera edición CECSA Stephen Campbell y Ecuaciones Diferenciales con problemas de valor en la frontera. Richard Haberman Primera edición Borreli Robert y Ecuaciones Diferenciales. Una perspectiva de Modelación. Courtney Colemán primera edición. Oxford Prueba # Fecha de la prueba Temas de la prueba Tipo de prueba de Enero de 2009 Punto 1 y 2 Parcial #1 9 de Febrero de 2009 Punto 3 y 4 Parcial #2 18 de Febrero de 2009 Punto 5 Parcial #3 Profesor: Edis Alberto Flores 6