Hasta este momento cuando decíamos que una función real de variable real era integrable Riemann en un

Transcripción

1 Leión Inegrles impropis. Inegrles dependienes de prámeros.. Inroduión Hs ese momeno undo deímos que un funión rel de vrible rel er inegrble Riemnn en un inervlo I (lo noábmos omo f R I ) onsiderábmos que l funión er od y que el inervlo er errdo y odo. El propósio que nos plnemos, hor, es exender el onepo de funión inegrble, pr ello onsiderremos disinos sos: ) Primero onsiderremos que I no es odo, es deir, rbjremos on inervlos del ipo, + ) o (, b] y diremos que se r de inegrles impropis de primer espeie. 2) En segundo lugr exenderemos el esudio funiones no ods pro definids sobre inervlos que si lo esán, enones diremos que se r de inegrles impropis de segund espeie. 3) Por úlimo onsiderremos funiones no od definid sobre inervlos que mpoo lo son, en ese so diremos que se r de inegrles impropis de erer espeie. Tmbién nos enonrmos on muhs funiones que no pueden ser represends por fórmuls lgebris y neesin de un expresión inegrl que depend de uno o de vrios prámeros. Así preen, por ejemplo,

2 ls funiones eulerins Γ(p) = e x x p dx; β(p, q) = x p ( x) q dx El esudio de ese ipo de funiones es lo que englobmos on el nombre de inegrles dependienes de prámeros. El esudio de l inegrión prméri es bsne omplido, relizremos por no un esudio senillo del mismo..2 Inegrles impropis de primer espeie. Definiión.2. Se f :, + ) IR un funión inegrble en ulquier inervlo errdo, b] on b. Denominmos inegrl generlizd o impropi de f en el inervlo, + ) l límie, si exise Represenándol por f(x) dx. f(x) dx Si el límie es finio deimos que l inegrl es onvergene. Si el límie no exise o es infinio deimos que l inegrl es divergene. No.2. Análogmene podemos definir ls inegrles impropis del ipo.2. Propieddes de ls inegrles impropis de primer espeie. f(x) dx Sen f, h :, + ) IR funiones inegrbles Riemnn en, b] on b siendo h(x) dx onvergenes. Se verifin ls siguienes propieddes:. (Linelidd) L inegrl (αf(x) + βh(x)) dx on α y β reles es onvergene y demás (αf(x) + βh(x)) dx = α f(x) dx + β h(x) dx f(x) dx y 2. (Monooní) Si f(x) h(x); x, + ), enones f(x) dx h(x) dx 2

3 3. (Adiividd respeo l inervlo) Si b, + ), enones f(x) dx = f(x) dx + b f(x) dx 4. (Regl de Brrow) Si F es un primiiv de f y exise F (b), enones f(x) dx = (F (b) F ()) Como pliión de ess propieddes esudiremos l onvergeni de dos inegrles que nos serán muy úiles en el fuuro pr esudir l onvergeni de oro ipo de inegrles impropis. Comenzmos on l llmd p-inegrl: x p dx. L funión f(x) = esá definid y es oninu en, + ) on >, por no es inegrble en xp ulquier inervlo, b] on b. x p dx = Disinguiremos res sos según se el vlor de p Si p >, enones x p dx = x p dx = ] x p+ b p + = ] x p+ b p + si p ln x ]b si p = que es finio. Por lo no en ese so l inegrl es onvergene. ] b p+ p + p+ = p+ p + p + Si p <, enones x p dx = ] x p+ b p + Por lo no en ese so l inegrl es divergene. = ] b p+ p + p+ = + p + Si p =, enones x p dx = ln x ]b = Por lo no en ese so l inegrl es divergene. ln b ln ] = + 3

4 Esudimos, hor, l onvergeni de l inegrl exponenil:. e x dx L funión f(x) = e x esá definid y es oninu en, + ), por no es inegrble en ulquier inervlo, b] on b. e x dx = e x dx = Disinguiremos res sos según se el vlor de ] e x b si x]b si = Si >, enones e x dx = ] e x b Por lo no en ese so l inegrl es divergene. = e b e ] = + Si <, enones e x dx = ] e x b Por lo no en ese so l inegrl es onvergene. = e b e ] = e Si =, enones dx = x]b = (b ) = + Por lo no en ese so l inegrl es divergene. Definiión.2.2 Se f : IR IR e inegrble en ulquier inervlo errdo de IR, diremos que l inegrl generlizd o impropi de f en el inervlo (, + ) onverge undo exise un número rel pr el ul onvergen ls inegrles impropis No.2.2 Se represen por Además si f(x) dx y f(x) dx y se iene que f(x) dx = f(x) dx es onvergene se iene que f(x) dx f(x) dx + f(x) dx 4 f(x) dx = f(x) dx. b

5 El reíproo no es iero, puede ourrir que exis onvergene. Así ourre on.2.2 Crierios de onvergeni. f(x) dx y en mbio f(x) dx no se b x dx. (Ejeriio que dejmos l lumno). En ese prdo rmos disins forms de esudir l onvergeni o divergeni de un inegrl impropi. Y hemos viso que si se onoe un primiiv de l funión f, se puede esudir l onvergeni o divergeni plindo ls propieddes y sin más que lulr un límie. Vemos que ourre undo ese proedimieno no es posible o no es reomendble. Crierio de omprión Considermos l funión f :, + ) IR siendo f(x) en odo su dominio. Teorem.2. Se f :, + ) IR siendo f(x) e inegrble en odo inervlo errdo, b] on b. Enones b. f(x) dx es onvergene si y solo si exise un número rel M l que Demosrión (T.C.): ) Supongmos que f(x) dx es onvergene, enones exise l por lo no ddo ε > exise b l que b b se iene que f(x) dx l l ε < f(x) dx < l + ε f(x) dx M, f(x) dx = Bs omr M = l + ε pr ε fijo. ) Supongmos que f(x) dx M, b, enones f(x) dx iene que ser o bien número rel posiivo, o ero, o bien +. Supongmos que el límie fuer +, enones H > exisirí b l que b b se iene que inegrl es onvergene. f(x) dx > H. Tomndo H = M llegmos un onrdiión. Por no l Teorem.2.2 (Crierio de omprión) Sen f, h :, + ) IR inegrbles y no negivs en, b] on b. Si exise k y les que f(x) k h(x), pr odo x, enones. Si 2. Si h(x) dx es onvergene, enones f(x) dx es divergene, enones f(x) dx es onvergene. h(x) dx es divergene. 5

6 Demosrión (T.C.):. Si M l que Si f(x) k h(x), pr odo x, enones h(x) dx es onvergene, enones h(x) dx M, b. Por no f(x) dx k h(x) dx. h(x) dx es onvergene, enones exise un número rel f(x) dx k h(x) dx k M = M b f(x) dx es onvergene. 2. Si les que f(x) dx es divergene, enones f(x) dx > M k h(x) dx f(x) dx > M h(x) dx es divergene, por no Ejemplo.2. Esudir l onvergeni de Como f(x) dx es divergene, enones exisen M > y b h(x) dx mbién lo es. os(x) x 2 dx. h(x) dx > M k = M Uilizmos el rierio de omprión on l p-inegrl. Sbemos que os(x) por no si ommos: f(x) = os(x) x 2 y h(x) = f(x) h(x) x x2 x 2 dx es onvergene (p = 2 > ), enones os(x) x 2 e x + Ejemplo.2.2 Esudir l onvergeni de 2 xe x dx. Uilizmos el rierio de omprión on l p-inegrl. Sbemos que ex + e x Como 2 f(x) = x y h(x) = ex + xe x f(x) h(x) x 2 x dx es divergene (p = ), enones 2 e x + xe x dx es mbién onvergene. dx es mbién divergene. por no si ommos: Ejemplo.2.3 Esudir l onvergeni de 2e x + dx. Uilizmos el rierio de omprión on l inegrl exponenil. Sbemos que 2e x > e x, por no 2e x + > 2e x > e x y si ommos: Como f(x) = 2e x + y h(x) = f(x) < h(x) ex + e x dx es onvergene ( = < ), enones 2e x dx es mbién onvergene. + 6

7 Teorem.2.3 (Crierio de omprión por pso l límie) Sen f, h :, + ) IR inegrbles f(x) y posiivs en, b] on b. Se x h(x). Si l y finio, enones 2. Si l =, enones si 3. Si l = +, enones si Ejemplo.2.4 Esudir l onvergeni de = l, enones f(x) dx iene el mismo ráer que h(x) dx es onvergene, mbién h(x) dx es divergene, mbién x x + x x 2 x + x dx. x 3 + x 2 = x x = h(x) dx. f(x) dx es onvergene. f(x) dx es divergene. x + + Por no x dx y dx ienen el mismo ráer. Como l segund inegrl es un p-inegrl x2 onvergene (p = 2), enones l inegrl dd es mbién onvergene. No.2.3 Los rierios de omprión se pueden mplir funiones no posiivs, sí:. Si l funión f es negiv, enones plimos los rierios l funión f y que f(x) dx = f(x) dx 2. Si l funión f mbi de signo un número finio de vees y llmmos l myor vlor de x donde l funión mbi de signo, esudimos el ráer de f(x) dx que oinidirá on el de f(x) dx El problem del esudio de l onvergeni según los rierios de omprión qued sin resolver undo enemos un funión que en el inervlo, + ) mbi de signo infinis vees. Pr rr ese ipo de funiones definimos el onepo de onvergeni bsolu..2.3 Convergeni Absolu. Convergeni ondiionl Definiión.2.3 Se f :, + ) IR e inegrble en ulquier inervlo errdo, n]; n de IR, diremos que l inegrl Teorem.2.4 Si f(x) dx es bsolumene onvergene undo f(x) dx es bsolumene onvergene, enones 7 f(x) dx es onvergene f(x) dx es onvergene.

8 Demosrión(T.C.): Por el rierio de omprión, omo f(x) f(x) f(x) + f(x) = 2 f(x) x 2 f(x) dx es onvergene, enones onvergene y omo f(x) = f(x) ( f(x) f(x)) enemos que Ejemplo.2.5 Esudir l onvergeni de π os(x) x 2 dx. f(x) dx es onvergene. ( f(x) f(x)) dx es Como os(x) mbi de signo infinis vees en el inervlo π, + ), uilizmos el onepo de onvergeni bsolu y esudimos el ráer de l inegrl es onvergene, por no mbién será l dd iniilmene. π os(x) x 2 dx. Sbemos que es úlim inegrl No.2.4 El reíproo, en generl, no es iero. embrgo f(x) dx ser onvergene. Es deir, f(x) dx puede ser divergene y sin.3 Inegrles impropis de segund espeie Vmos esudir en es pregun l onvergeni de ls inegrles de funiones no ods definids en inervlos finios. Hy de dos ipos según que el problem de l no oión se presene en el exremo inferior del inervlo de inegrión o en el superior, es deir: Se f : (, b] IR siendo f inegrble en ulquier inervlo de l form, b] on (, b]. Un ejemplo de ese ipo de siuión serí l inegrl de l funión f(x) = x en el inervlo (, 3] Se f :, b) IR siendo f inegrble en ulquier inervlo de l form, ] on, b). Un ejemplo de ese ipo de siuión serí l inegrl de l funión f(x) = 2 x en el inervlo, 2) Definiión.3. Se f : (, b] IR siendo f inegrble en ulquier inervlo de l form, b] on (, b], llmmos inegrl impropi de segund espeie y l denomos por f(x) dx = f(x) dx + ε + +ε + f(x) dx, l límie si exise Si diho límie es finio, deimos que l inegrl impropi es onvergene, en oro so deimos que es divergene. 8

9 Definiión.3.2 Se f :, b) IR siendo f inegrble en ulquier inervlo de l form, ] on, b), llmmos inegrl impropi de segund espeie y l denomos por ε f(x) dx = f(x) dx b ε f(x) dx, l límie si exise Si diho límie es finio, deimos que l inegrl impropi es onvergene, en oro so deimos que es divergene..3. Propieddes de ls inegrles impropis de segund espeie. Sen f, h : (, b] IR funiones inegrbles Riemnn en, b]; (, b] siendo onvergenes. Se verifin ls siguienes propieddes:. (Linelidd) L inegrl + (αf(x) + βh(x)) dx on α y β reles es onvergene y demás (αf(x) + βh(x)) dx = α f(x) dx + β h(x) dx f(x) dx y h(x) dx (Monooní) Si f(x) h(x); x (, b], enones f(x) dx h(x) dx (Regl de Brrow) Si F es un primiiv de f, enones f(x) dx = (b) F ()) + +(F Como pliión de ess propieddes esudiremos l onvergeni de dos inegrles que nos serán muy úiles en el fuuro pr esudir l onvergeni de oro ipo de inegrles impropis de segund espeie. Comenzmos on: dx = + (x ) r + Disinguiremos res sos según se el vlor de r (x ) r dx + (x ) r dx = (x ) r+ + r + ] b ln x + ] b si r si r = 9

10 Si r >, enones dx = + (x ) r + (x ) r+ r + ] b = + (b ) r+ r + ] ( ) r+ = + r + Por lo no es divergene. Si r <, enones dx = + (x ) r + (b ) r+ r + ] ( ) r+ (b ) r = r + r Por lo no en ese so l inegrl es onvergene. Si r =, enones + x Por lo no en ese so l inegrl es divergene. dx = ln x ]b + = (ln b ln ) = + + Análogmene esudiremos l onvergeni de l inegrl: (b x) r dx dx = (b x) r b (b x) r dx = Disinguiremos res sos según se el vlor de r x) r+ (b b r + ] ] ln b x b si r si r = Si r >, enones dx = (b x) r b Por lo no es divergene. ] (b x) r+ (b ) r+ = r + b r + ] (b ) r+ = + r + Si r <, enones (b ) r+ dx = (b x) r b r + Por lo no en ese so l inegrl es onvergene. ] (b ) r+ (b ) r = r + r

11 Si r =, enones dx = b x ln b b x ] = (ln b ln b ) = + b Por lo no en ese so l inegrl es divergene..3.2 Crierios de onvergeni pr ls inegrles impropis de segund espeie. En ese prdo rmos disins forms de esudir l onvergeni o divergeni de un inegrl impropi de segund espeie de un form muy similr l esudio relizdo on ls inegrles impropis de primer espeie. Y hemos viso que si se onoe un primiiv de l funión f, se puede esudir l onvergeni o divergeni plindo ls propieddes y sin más que lulr un límie. Vemos que ourre undo ese proedimieno no es posible o no es reomendble. Crierio de omprión Teorem.3. Se f : (, b] IR siendo f(x) e inegrble en odo inervlo errdo, b], (, b]. Enones + f(x) dx es onvergene si y solo si exise un número rel M l que f(x) dx M, (, b]. Teorem.3.2 (Crierio de omprión) Sen f, h : (, b] IR inegrbles y no negivs en odo inervlo errdo, b], (, b]. Si exise k > y (, b] les que f(x) k h(x), pr odo x (, ], enones. Si 2. Si h(x) dx es onvergene, enones f(x) dx es onvergene. + + f(x) dx es divergene, enones h(x) dx es divergene. + + Ejemplo.3. Esudir si 2 + dx es onvergene o divergene. x 2 Sbemos que x + > undo x (, 2], por no: x 2 = (x )(x + ) x x 2 x x 2 x Como 2 x dx es onvergene y que es un r-inegrl on r = 2 + l inegrl dd es onvergene mbién. < y por el rierio de omprión

12 Teorem.3.3 (Crierio de omprión por pso l límie) Sen f, h : (, b] IR inegrbles en odo inervlo errdo, b], (, b] y les que f(x), h(x) > x (, b]. Se enones. Si l y finio, enones 2. Si l =, enones si + f(x) dx iene el mismo ráer que + h(x) dx es onvergene, mbién + h(x) dx. + f(x) dx es onvergene. 3. Si l = +, enones si h(x) dx es divergene, mbién f(x) dx es divergene. + + π 4 sen(x) Ejemplo.3.2 Esudir si + x 2 dx es onvergene o divergene. x + sen(x) x 2 x π 4 sen(x) Por no l inegrl + x 2 dx y l inegrl inegrl es divergene, l dd mbién lo será. sen(x) = = x + x π 4 dx ienen el mismo ráer. + x f(x) x + h(x) = l, Como es úlim No.3. Los rierios de omprión se pueden mplir funiones no posiivs, sí:. Si l funión f es negiv, enones plimos los rierios l funión f y que f(x) dx = f(x) dx Si l funión f mbi de signo un número finio de vees y llmmos l menor vlor de x (, b] donde l funión mbi de signo, esudimos el ráer de + f(x) dx que oinidirá on el de f(x) dx + El problem del esudio de l onvergeni según los rierios de omprión qued sin resolver undo enemos un funión que en el inervlo (, b] mbi de signo infinis vees. Pr rr ese ipo de funiones definimos el onepo de onvergeni bsolu..3.3 Convergeni Absolu. Convergeni ondiionl Definiión.3.3 Se f : (, b] IR e inegrble en ulquier inervlo errdo, b] (, b], diremos que l inegrl f(x) dx es bsolumene onvergene undo f(x) dx es onvergene + + 2

13 Teorem.3.4 Si f(x) dx es bsolumene onvergene, enones + f(x) dx es onvergene. + Ejemplo.3.3 Esudir si Como kπ + ( os x) dx, on k Z es onvergene o divergene. x ( os x) x kπ x es onvergene (r = kπ + 2 < ), enones + l inegrl dd es bsolumene onvergene. x ( os x) x dx es onvergene mbién y por no No.3.2 El reíproo, en generl, no es iero. Dmos, hor, definiiones nálogs ls dds undo l funión no esá od en los exremos del inervlo o no esá od en un puno inerior del inervlo. Definiión.3.4 Se f : (, b) IR e inegrble en ulquier inervlo errdo onenido en (, b), diremos que l inegrl + onvergenes, en l so f(x) dx es onvergene, si exise (, b) l que + f(x) dx = + f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx y f(x) dx son Definiión.3.5 Se f :, b] IR y (, b) l que f es inegrble en ulquier inervlo errdo onenido en, ) o en (, b], diremos que l inegrl son onvergenes, en l so f(x) dx = Ejemplo.3.4 Pr esudir l onvergeni de dx se esudi l onvergeni de ls inegrles 3 + x(x 3) dx y f(x) dx es onvergene, f(x) dx + f(x) dx x(x 3) f(x) dx y + f(x) dx dx. L resoluión de ese ejeriio l dejmos pr el lumno. x(x 3) 2 Ejemplo.3.5 Pr esudir l onvergeni de dx se esudi l onvergeni de ls inegrles (x ) 2 (x ) dx y dx. L resoluión de ese ejeriio l dejmos pr el lumno. + (x ) 3

14 .4 Inegrles impropis de erer espeie Si el inervlo de inegrión no es odo y exise en diho inervlo un número rel donde dih funión no es od, se die que l inegrl es de erer espeie. El esudio de l onvergeni se reliz desomponiendo l inegrl en sum de inegrles de primer y de segund espeie. Será onvergene undo ods y d un de ls inegrles en que se desompone lo sen. Es deir: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx b L primer inegrl es de segund espeie y l segund inegrl es de primer espeie. Ejemplo.4. Como = ε ε (x ) dx = 2 dx + (x ) ε + + (x ) dx + (x ) dx = 2 +ε 2 dx + (x ) dx es divergene, l inegrl de erer espeie mbién lo será. (x ) 2 (x ) dx.5 Inegrles dependienes de prámeros.5. Inroduión Muhs funiones no pueden ser represends por fórmuls lgebris y neesin de un expresión inegrl que depend de de uno o de vrios prámeros. Así preen ls funiones eulerins: Γ(p) = e x x p dx; β(p, q) = L funión rerísi soid un funión de densidd f(x): Ψ() = L rnsformd de Lple de un funión: F (z) = e ix f(x) dx e zx f(x) dx x p ( x) q dx Ls inegrles prméris se rerizn por definir un funión F (y) medine un inegrl que puede ser de Riemnn o impropi de primer o de segund espeie. Es deir: F (y) = 4 f(x, y) dx

15 F (y) = F (y) = g(y) f(x, y) dx f(x, y) dx El esudio de l inegrión prméri se ompli undo l funión no es oninu en el inervlo o el inervlo de inegrión no es finio, en ese úlimo so l inegrl prméri debe ser uniformemene onvergene. Por ello relizremos n sólo un esudio básio undo el inervlo de inegrión es finio y l funión es inegrble. Definiión.5. Se f :, b], d] IR 2 IR, inegrble en, b], y, d]. L expresión f(x, y) dx depende del prámero y. A es inegrl l llmmos inegrl prméri y l represenmos por F (y). Teorem.5. (Coninuidd de ls inegrles prméris) Se f :, b], d] IR 2 IR, oninu y se F :, d] IR IR, definid por F (y) = oninu en, d], es deir f(x, y) dx = y y Ejemplo.5. Esudir l oninuidd de y y f(x, y) dx = xy sen 5 (xy) dx. f(x, y) dx. f(x, y ) dx; y, d] Como l funión f(x, y) = xy sen 5 (xy) es oninu en odo IR 2, enones F (y) = mbién oninu en odo IR. Enones l funión F (y) es xy sen 5 (xy) dx es.5.2 Derivión bjo el signo inegrl Un vez que onoemos bjo que ondiiones l funión F (y) definid por un inegrl prméri es oninu, vmos esudir bjo que ondiiones l podemos derivr y uál es su derivd Teorem.5.2 Se, b], d] y supongmos que fijdo y, d], exise F (y) = oninu en, b], d], enones exise F (y); y (, d) y demás F (y) = f(x, y) y dx f(x, y) dx. Si f y es 5

16 Ejemplo.5.2 Comprobr que se verifi l fórmul de l derivión de inegrles prméris pr F (y) = (x + y) 2 2x] dx. Por un pre enemos que: F (y) = Por no F (y) = 4y. Por or pre (x + y) 2 2x] dx = f(x, y) y F (y) = (x 2 + y 2 + 2xy 2x) dx = = 2(x + y) es oninu, enones f(x, y) y dx = 2(x + y) dx = x y2 x + x 2 y x 2 ] x 2 + 2xy = 4y ] = 2y En el so en que los límies de l inegrl dependn de un prámero, enunimos el siguiene eorem Teorem.5.3 Sen f y f y F :, d] IR definid por F (y) = F (y) = oninus en, b], d]. Sen p, q :, d], b] diferenibles. Se q(y) p(y) q(y) p(y) f(x, y) y Ejemplo.5.3 Clulr l derivd de F (y) = f(x, y) = + x 2 + y 2 es oninu en odo IR2. f(x, y) dx, enones y (, d) exise F (y) y se iene que: dx + f(q(y), y) q (y) f(p(y), y) p (y) y 2 +3y y 3 p(y) = y 3 es oninu y diferenible en odo IR. q(y) = y 2 + 3y es oninu y diferenible en odo IR. f(x, y) y = F (y) = + x 2 + y 2 dx. 2y ( + x 2 + y 2 ) 2 es oninu en odo IR2. Por no podemos plir el eorem nerior y sí: y 2 +3y y 3 2y + x 2 + y 2 dx + + (y 2 + 3y) 2 + y 2 (2y + 3) + (y 3) 2 + y 2.6 Funiones Eulerins.6. Funión Gmm Definiión.6. Definimos l funión Γ(p) omo Γ(p) = Teorem.6. Γ(p) es onvergene undo p >. x p e x dx 6

17 Propieddes de l funión Gmm. Γ(p + ) = p Γ(p) 2. Γ(p + ) = p! 3. Conoid Γ(p) on < p <, podemos onoer Γ(p) on p >. ( + 4. Si n es un enero posiivo, enones Γ = n n) ( 5. Γ = 2) π Ejemplo.6. Obener, uilizndo l funión gmm, Hemos un mbio de vrible x 3 = x = Funión Be x e x 3 dx = e xn dx x e x 3 dx. dx = d 6 e d = 2 e d = ( ) 3 3 Γ = π 2 3 Definiión.6.2 Definimos l funión β(p, q) omo β(p, q) = x p ( x) q dx Teorem.6.2 β(p, q) es onvergene undo p > y q >. Propieddes de l funión be. β(p, q) = β(q, p) 2. β(p, ) = p ; β(, q) = q π 2 3. L form rigonoméri de l funión be viene dd por β(p, q) = 2 os 2p () sen 2q () d 4. β(p, q) = Γ(p) Γ(q) Γ(p + q) Ejemplo.6.2 Clulr uilizndo ls funiones gmm y be x 4 ( x) 3 dx = β(5, 4) = Γ(5) Γ(4) Γ(9) = x 4 ( x) 3 dx. 4! 3! 8! = 28 7