Control Estadístico de Procesos (SPC).

Transcripción

1 Control Estadístico de Procesos (SPC). - Sesión 4ª de 4 - JAIME RAMONET FERNÁNDEZ Ingeniero Industrial Superior. PMP (PMI ). Formador y Consultor.

2 Actitud requerida para recibir formación... y obtener conocimiento: "Quien establece una diferencia entre educación y entretenimiento, no sabe nada ni de una cosa ni de la otra" Marshall McLuhan. 2

3 Jaime Ramonet Temario de la sesión: Gráficos de Control avanzados: Gráfico CUSUM Gráfico EWMA Intro. a Box-Jenkins y ASPC. Curva característica y curva ARL. Medidas de Capacidad del proceso: Índice Cp Índice Cpk Interpretación Resumen y clausura del curso. 3

4 Jaime Ramonet Motivación: Gráficos avanzados: Los gráficos de Shewhart solo tienen en cuenta, para cada punto, los valores relativos a la muestra actual y no al conjunto de datos recopilados hasta el momento (conjunto de muestras). Por otro lado, consideramos que cada observación o muestra es independiente de la anterior. La solución consiste en trabajar con gráficos con «memoria». Gráficos avanzados (con «memoria»): CUSUM: En el Gráfico CUSUM se representa la suma acumulada de las desviaciones, con lo que se está recogiendo la información de todas las muestras anteriores. EWMA: En el gráfico EWMA se representan las medias móviles con pesos exponenciales (lo que permite detectar desplazamientos muy lentos). Box-Jenkins y ASPC: Son métodos para muestras con dependencia entre ellas. Nota: En general se trata de procesos continuos, en que la entrada se ve retroalimentada por una función de la salida. 4

5 Gráfico CUSUM: Sumas Acumuladas Complemento a los gráficos de Shewhart (que en principio no «persiguen» al valor nominal -VN- sino que se centran en detectar los desequilibrios del proceso creados por causas especiales -asignables-). «Persigue» centrar los resultados entorno a un valor objetivo «T». Detecta las desviaciones respecto a «T» ( target ) en una magnitud superior a un valor determinado preestablecido por nosotros ( d = desviación a detectar). El «T» puede ser: el valor nominal -VN- de un parámetro del propio proceso o del resultado, la varianza de ídem, una proporción «p» de..., los valores de predicción de un modelo teórico, etc. Permite realizar el seguimiento y control de cambios moderados (entre 0,5 y 2 veces σ) del valor «T». Especialmente útil para muestras de tamaño n =1. 5

6 Gráfico CUSUM: El gráfico representa el valor de la suma acumulada («C») hasta la muestra actual («i») de la diferencia entre la media de cada muestra («ẍ i») respecto al valor objetivo («T»). Formula: C i = (ẍ i T); El valor de C i va acumulando las diferencias. Si el proceso está bajo control, las desviaciones positivas se compensaran con las negativas y el gráfico serán una serie de punto oscilando sobre y bajo el valor 0 (Ver transparencia siguiente). La determinación de la situación del proceso se puede hacer mediante: Mediante cálculo numérico. Mediante mascara en V. 6

7 CUSUM Bajo control: Datos... 7

8 CUSUM - Bajo control: Gráfico... 8

9 CUSUM Mismo caso, 100 muestras 9

10 CUSUM Mismo caso, otras 100 muestras!!! 10

11 CUSUM (cont.) Si la media del proceso (evaluado mediante las medias muestrales «ẍ i» ) no coincide con el valor objetivo «T», el gráfico se irá separando del valor 0, al irse acumulando la diferencia. El «dato» importante en un gráfico CUSUM no es la separación respecto a 0 (recordar el último gráfico) sino la «pendiente» de la línea de puntos: a mayor pendiente, mayor discrepancia entre la media del proceso y el valor objetivo «T». Los límites de control de los gráficos CUSUM vienen dados por dos pendientes (+ y -) que dependen de cuatro factores: La escala del gráfico. La variabilidad «σ» propia del proceso (teórica o de la población). El cambio mínimo (del parámetro) que se quiere detectar (valor umbral «K»). El riesgo «α» (Error Tipo I) en la toma de decisiones. 11

12 CUSUM: Construcción del gráfico Escala del gráfico: se recomienda que 1 unidad de la escala del eje horizontal (eje X) sea = (2 σ) de la distribución teórica del parámetro de la escala vertical (eje Y). Ejemplo: Si σ = 0,7 u. y en la escala horizontal colocamos las observaciones cada 2 mm (unidad horizontal), entonces, en el eje vertical cada 2 mm representarán (2 * 0,7 ) = 1,4 u. (siendo u. la unidad de medida del parámetro representado en el gráfico). (2 * σ) Unidades u Observaciones 12

13 CUSUM Desviación del parámetro Si no se conoce la desviación teórica o de la población de la distribución del parámetro sobre el que se realiza el gráfico, esta deberá ser calculada con la formula adecuada. p.e.: σ e = s / (n 1) ; Para variables continuas que se ajusten a la Ley Normal. σ e = sqrt( p * (1-p) / n) ; Para proporciones de parámetro que se distribuya según la Ley Binomial. σ e = sqrt( np * (1-p)) ; Para número de individuos con un atributo «p» (Ley Binomial). σ e = λ ; Para número de ocurrencias por unidad (Ley Poisson). 13

14 Jaime Ramonet Método: CUSUM: Control del proceso Método numérico Se acumulan solo las desviaciones mas significativas y por separado, las positivas en C+ y las negativas en C-. Se considera que una desviación es significativa si es mayor que un valor umbral «K» predeterminado, normalmente K = ½ de la desviación que se quiere detectar: K = ½ (µ 0 - µ 1 ); o bien, si µ 1 = µ 0 + δ σ ; K = ½ δ ; (Nota: µ 0 = T) Para cada muestra se calculan D+ i = ((x i T) K); y D- i = ((T - x i ) K); Si (D+ i > 0) se acumula a C+; Si (D- i > 0) se acumula a C-; Finalmente: C+ i = C+ i-1 + MAX(0; D+ i ); y C- i = C- i-1 - MAX(0; D- i ); c- 14

15 CUSUM: Límites de C+ y C- C+ y C- nos proporcionan la acumulación de las desviaciones significativas positivas y negativas respectivamente. Los límites de control para estos dos valores viene dado por un valor de decisión «H» que habitualmente suele ser H = h σ. El valor de «h» es 4 o 5, según los autores. +/- H son los límites de control para C+ y C-. Cuando el proceso se muestra fuera de control, se deberán realizar las acciones correctoras pertinentes y se reiniciaran los valores de C+ y C- a cero. 15

16 CUSUM: ejemplo 1 16

17 CUSUM: ejemplo 2 17

18 CUSUM: ejemplo 2 c+ cusum c- 18

19 CUSUM: Control del proceso Método gráfico (plantilla en V ) Parámetros de la plantilla: - Distancia O-P y ángulo ω O ω P 19

20 Jaime Ramonet CUSUM: Control del proceso Método gráfico (plantilla en V ) Algunos paquetes estadísticos implementan este método. Los parámetros son función de la escala del gráfico y normalmente no se calculan a mano. Algunos autores desaconsejan el método gráfico. El método calculado es + exacto y permite realizar adaptaciones, p.e. Asignación de valores iniciales a C+ y C- > 0 tras una acción correctora incierta. 20

21 CUSUM vs. Gráficos de Shewhart CUSUM es + sensible a variaciones pequeñas en el proceso. Para variaciones grandes (K > 1,5 o 2) son similares o CUSUM un poco peor. Las dos ventajas de CUSUM frente a los Gráficos de Control de Shewhart son: Tiene memoria de las desviaciones anteriores Permite controlar variables u otros parámetros (proporciones, rangos, desviación, etc). 21

22 Jaime Ramonet Gráficos EWMA (I) (Medias móviles ponderadas exponencialmente) Para muestras tamaño 1 (observaciones individuales). Se representa un valor acumulado en el que tienen mas importancia (peso) las observaciones + recientes. El factor de importancia (peso) de cada observación decae exponencialmente con el tiempo. El valor de cada punto se define como: y i = λ x i + (1 λ) y i-1 ; Nota: ha que tomar y 0 = μ (media). El valor λ es discrecional (0 < λ <= 1). Normalmente entre 0,05 y 0,25. Cuanto mayor sea λ, mayor perdida de importancia con el tiempo. Para λ = 1 solo cuenta la observación + reciente (ídem a un gráfico de Shewhart. Para λ 0 tenemos un gráfico del tipo CUSUM. 22

23 Jaime Ramonet Gráficos EWMA (II) (Medias móviles ponderadas exponencialmente) Los límites de control (que son función de la observación) son: LCS = μ + 3 σ sqrt((λ (1 (1-λ) 2i ) / (2-λ)) LC = μ LCI = μ - 3 σ sqrt((λ (1 (1-λ) 2i ) / (2-λ) ) De forma simplificada (aproximada) se puede aceptar: LCS = μ + 3 σ sqrt( λ/(2 λ) ) LC = μ LCI = μ - 3 σ sqrt( λ/(2 λ) ) 23

24 Gráfico EWMA: Ejemplo Puntos del gráfico: y 0 = μ ; y i = λ x i + (1 λ) y i-1 ; Límites de control: LCS = μ + 3 σ sqrt( λ / (2 λ) ) LC = μ LCI = μ - 3 σ sqrt( λ / (2 λ) ) 24

25 Gráfico EWMA: Ejemplo 25

26 Box-Jenkins y ASPC Justificación: Cuando las observaciones NO son independientes entre si, pueden existir causas especiales (asignables) que pueden actuar continuamente a lo largo de un conjunto de observaciones, sin poder ser eliminadas de una forma operativa (procesos en continuo, por ejemplo). Existen dos estrategias: Gráficos Box-Jenkins: Son gráficos de control que se adaptan, mediante transformación (corrección) de los datos obtenidos, en función de la dependencia entre observaciones (p.e. Series temporales depndientes de la estacionalidad). Ver: ASPC (Control estadístico adaptativo y automático): Se trata de realizar un Control Estadístico del Proceso y una corrección o ajuste automático del mismo (retro-alimentación de control) cada vez que este se desplace de su valor nominal. 26

27 Box-Jenkins: Ejemplo Datos originales Datos transformados 27

28 ASPC: Esquemas (ejemplos)... Entrada PROCESO Resultado Controlador 28

29 Jaime Ramonet Curva Característica de Operaciones de un Gráfico de Control ( OC ) Mide la sensibilidad del Gráfico de Control. Evalúa la probabilidad de que un punto caiga dentro de los límites de control si se ha producido un cambio de magnitud determinada en el proceso. Es función del tamaño de la muestra, de la desviación tipo y de α (que determina los Límites de Control). p.e. Si desplazamiento = 0: OC = α 29

30 Curva ARL ( Average Run Length ) Mide la rapidez de respuesta del Gráfico de Control frente a un cambio en el proceso. Indica el número medio de muestras necesario para detectar un cambio ( dar la alarma ) de una magnitud determinada en el proceso. Está relacionada con la curva OC: ARL (μ) = 1 / (1 OC(μ)). Cuando el proceso se muestra fuera de control, deberemos analizar como mínimo n muestras anteriores, siendo n el valor de la curva ARL. En un proceso bajo ARL = 1 / α; (Para Límites de Control a 3 σ α = 0,03 ARL = 1 / 0,03 = 33,3 muestras!!!. Que pasaría si α = 1?; pero...!!!) 30

31 Medidas de Capacidad de los Procesos La capacidad de un proceso mide su nivel de cumplimiento respecto a una especificación dada. Un proceso es capaz si su resultado (producto o el servicio) está dentro de los límites de la especificación establecida. Una especificación viene dada por un valor nominal (VN) y unas tolerancias (positiva y/o negativa) que determinan los límites de tolerancia de la especificación (LTS y LTI). Hipótesis: Distribución Normal del parámetro y proceso bajo control. Mide lo que el proceso es capaz de hacer. LTI VN LTS 31

32 Índice de Capacidad Cp El índice de capacidad viene definido por la relación entre el rango de la tolerancia y un múltiplo de la dispersión del proceso: Cp = ( LTS LTI ) / k σ; (siendo σ la desviación tipo del proceso) El valor de k depende del tipo de proceso. Para procesos muy estrictos o básicos (p.e. para la medida de capacidad de máquinas), se toma K = 8. Para resultados finales (p.e. Medida de capacidad del proceso global) se toma k = 6. En sectores específicos pueden ser habituales otros valores de k (p.e. En aeronáutica o en electrónica, K = 10 o K = 12). Si Cp >> 1 Proceso capaz. Deseable: Cp > 1,33 Si Cp justo por encima ó = 1 Proceso en el límite. Hay que intentar mejorarlo ;-( Si Cp < 1 proceso No capaz. Hay que mejorar el proceso (o cambiar las especificaciones). 32

33 Razón de capacidad del proceso Cpk El índice de capacidad Cp no informa de si en proceso está centrado en el valor nominal (VN). Para tener en cuenta el centrado sobre el valor nominal, se define el valor de Razón de Capacidad Cpk. Cpk = Min( (LTS Ẍ) / k σ ; ( Ẍ - LTI) / k σ ); Como en el caso anterior, el valor k depende del tipo de proceso. Para procesos muy estrictos o básicos (p.e. para la medida de capacidad de máquinas), se toma K = 4. Para resultados finales (p.e. Medida de capacidad del proceso global) se toma k = 3. Nota: El valor de k en la fórmula de Cpk debería ser = ½ k de la formula del índice Cp. Se cumple que: Cpk <= Cp 33

34 Cp y Cpk: situaciones... Cp > 1 Cpk > 1 Cp = 1 Cpk = 1 Cp < 1 Cpk < 1 LTI VN LTS LTI VN LTS LTI VN LTS Cp > 1 0 < Cpk < 1 Cp < 1 Cpk = 0 Imaginar: Cp < 1 Cpk < 0 LTI VN LTS LTI VN LTS 34

35 Jaime Ramonet Medida de la Capacidad del proceso: Procedimiento Asegurar que el proceso esta «bajo control». Tomar un mínimo de 50 (mejor 100) unidades consecutivas y medir el parámetro. Verificar que los datos se distribuyen según una Ley Normal Prueba o contraste de Normalidad (diversos métodos: p.e. método gráfico). Obtener la desviación tipo del proceso σ. La media se tomará igual al VN. Calcular Cp y Cpk del proceso. 35

36 Ejemplo: cáculo de Cp y Cpk 36

37 Jaime Ramonet Otro ejemplo índices Cp y Cpk: La especificación de un parámetro de un proceso bajo control establece: VN = 10,80 mm. Tolerancia: +/- 0,20 mm. (LTS = 11,00 mm; LTI = 10,60 mm; Rt = 0,40 mm) Se seleccionan 100 muestras consecutivas, se obtienen los valores del parámetro y se verifica la normalidad de la distribución de estos datos. Se calculan los datos estadísticos de las 100 observaciones: Media μ = 10,72 mm. Y desviación tipo σ = 0,05 mm. Cálculos de Cp y Cpk: Cp = 0,40 / 6 * 0,05 = 1,33 ; Cpk-sup = (11,00 10,72 ) / 3 * 0,05 = 0,28 / 0,15 = 1,86 Cpk-inf = (10,72 10,60 ) / 3 * 0,05 = 0,12 / 0,15 = 0,80 Cpk = min( 1,86 ; 0,80 ) = 0,80 Interpretar... 37

38 Resumen del Curso ;-) (adaptado de la Norma ISO :2013) AC: Eliminar causas asignables No PROCESO Gráficos de Control Bajo control Si Evaluar Capacidad Mejorar Proceso o cambiar especificación No Cpk > 1 Si Intentar mejorar Cpk > 1,33 38

39 Bibliografía: Norma ISO : Control charts Part 2: Shewhart control charts. ISO :2012 Statistical methods in process management - Capability and performance -- Part 7: Capability of measurement processes. Norma ISO : Guidelines for implementation of statistical process control (SPC) - Part 1: Elements of SPC. Control y mejora de la calidad. A. Prat, X. Tort-Martorell, P. Grima y L. Pozueta. Edicions UPC. Barcelona, 1998 Shewhart W.A. Economic Control of Manufactured Product. D. Van Norstrand, Co, New York, Grant E., & L eavenworth R. Statistical Quality Control. McGraw-Hill Series in Industrial Engineering and Management,

40 Jaime Ramonet Gracias por su atención... Turno abierto... Preguntas? Otros casos / cosas que ustedes conozcan? Comentarios? 40