Ejercicios: Ejercicios: 3. Calcula los 5 primeros múltiplos de Calcula los múltiplos de 13 comprendidos entre 83 y 143

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1 TEMA 1: DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS MÚLTIPLOS Y DIVISORES Decimos que un número es múltiplo de otro si lo contiene un número entero de veces. Por ejemplo: 1 es múltiplo de 7 porque lo contiene veces 1 es múltiplo de porque lo contiene.. veces 7 es múltiplo de.. porque lo contiene 9 veces Cada número tiene infinitos múltiplos menos el cero que solo tiene un múltiplo y es él mismo. Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo. Si 9 es múltiplo de, entonces es divisor de 9. Un número a es divisor de un número b si la división de b entre a, es eacta, es decir, que el resto es cero. Por ejemplo: es divisor de 1 porque 1 entre da como resto cero 9 es divisor de 1 porque 1 no es divisor de 5 porque. Cada número tiene una cantidad concreta de divisores. Solamente el 0 tiene infinito número de divisores, ya que todos los números son divisores de 0. El número 1 tiene solamente un divisor. El 0 y el 1 son números especiales. Ejercicios: 1. De los siguientes números marca los múltiplos de 1, 5,, 11, 1,,. Escribe los divisores de CÁLCULO DE MÚLTIPLOS Para calcular los múltiplos de un número se multiplica éste por cualquier otro número. Por ejemplo, los múltiplos de 1 serán: 1, 1, 1, y así sucesivamente. Un número tiene infinitos múltiplos. Ejercicios:. Calcula los 5 primeros múltiplos de 15.. Calcula los múltiplos de 1 comprendidos entre y 1 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Decimos que un número es primo cuando solo tiene dos divisores, el 1 y él mismo. Si tiene más de dos divisores entonces diremos que es un número compuesto. El 1 no se considera primo porque solo tiene un divisor que es el 1 Ejercicios: 5. Escribe los 10 primeros números primos.

2 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Podemos saber fácilmente si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división, observando estas características: Los múltiplos de terminan en 0,,,,. En los múltiplos de si sumamos el valor individual de sus cifras resulta también un múltiplo de. Los múltiplos de 5 terminan en 0 ó 5. En los múltiplos de 9 si sumamos el valor individual de sus cifras resulta también un múltiplo de 9. Los múltiplos de 10 terminan en 0. En los múltiplos de 11 si sumamos los valores individuales de las cifras que están en posiciones par, aparte sumamos los valores individuales de las cifras que están en posiciones impar, restamos esas cantidades nos da un múltiplo de 11, el 0 también lo es. Ejercicios:. Selecciona entre estos números: Los múltiplos de 10 b) Los múltiplos de Los múltiplos de los múltiplos de e) Los múltiplos de 5 f) Los múltiplos de Calcula el valor v de X para que el número 1X sea múltiplo de DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS Para descomponer un número en factores primos, dividimos entre tantas veces como sea posible; después, entre ; después, entre 5, y así sucesivamente entre los siguientes números primos hasta obtener 1 en el cociente. Veamos cómo descomponemos el número 9 Ejercicios:. Descompón en factores primos los siguientes números: 70, 59, 1100

3 9. Calcula los números que tienen las siguientes descomposiciones factoriales... 7 b) MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE NÚMEROS DESCOMPUESTOS EN FACTORES PRIMOS Cada uno de los múltiplos de un número contiene, al menos, todos los factores primos de este número. Por ejemplo, si 15 tiene como factores primos. 5, entonces todos los múltiplos de 15, al descomponerse tendrán al menos un y un Como vemos, en todas las descomposiciones aparece al menos un y un 5. Los divisores de un número están formados por algunos de los factores primos de este número. Por ejemplo 1 tiene como factores. y cualquier divisor suyo tendrá o un o un como mínimo. 9 Ejercicios. 10. Escribe factorizados, sin hacer ninguna operación, tres múltiplos de Escribe factorizado un número que sea al mismo tiempo múltiplo de a.. y de b Escribe tres múltiplos comunes a los números m. y n Escribe factorizados, sin hacer operaciones, todos los divisores de Escribe un número que sea divisor de a.. 5 y de b al mismo tiempo. 15. Escribe tres divisores comunes a los números m. y n.. 5

4 CONCEPTO DE m.c.m Y DE M.C.D El mínimo común múltiplo de varios números es un número que es múltiplo de todos ya la vez y además es el más pequeño de los múltiplos. Por ejemplo: El m.c.m. de y de 5 será. El m.c.m. de y de será El m.c.m. de 10 y de 15 será Estos casos hemos podido resolverlos mentalmente pero si los números son más grandes, seguiremos los siguientes pasos para calcular el m.c.m. 1º Descomponemos todos los números en factores primos. º Tomamos los factores comunes y no comunes al mayor eponente. Por ejemplo calcularemos el m.c.m. de, y El m.c.m.,, ) Ejercicios 1. Calcula el m.c.m. de: 7 y 90 b) 1, 1 y Pedro va cada días a París, Juan, cada días y Ana, cada 9 días. Hoy han coincidido y están comiendo juntos. Han quedado para comer la próima vez que coincidan, cuándo será?

5 El máimo común divisor de varios números es otro número que es divisor de todos a la vez y que es el más grande que podamos encontrar. Por ejemplo: El M.C.D de y será El M.C.D. de 5 y 10 será El M.C.D. de 15 y 0 será Estos casos los hemos resuelto mentalmente, pero si los números son más grandes, seguiremos los siguientes pasos para calcular el M.C.D. 1º Descomponemos todos los números en factores primos. º Tomamos los factores comunes al menor eponente. Por ejemplo, calcularemos el M.C.D. de, 0 y 0 5 El M.C.D., 0, ) Ejercicios. 1. Calcula el M.C.D. de: 50, 0 y 90 b), 0 y Tenemos un terreno rectangular de 100 m de ancho por 10 m de largo y queremos dividirlo en parcelas cuadradas tan grandes como sea posible. Calcula cuáles serán las dimensiones de esas parcelas y cuántas saldrán.

6 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Para operar hay que tener claro la prioridad de las operaciones: 1º Paréntesis. º Potencias y raíces. º Multiplicaciones y divisiones. º Sumas y restas. Ejercicios. 0. Calcula paso a paso las siguientes operaciones: ) b) -). +5) -15) : -) + -1 )--)) 5 [ 5 1 ) )] POTENCIAS Una potencia no es más que una multiplicación de factores iguales. n a Ejercicios. 1. Calcula el resultado: +) b) -) Escribe en forma de potencia: -). ).-) ) b) +5).+5).+5) ).-9). 9).-9). 9).-9). 9).-9) 9) Según el signo de la base, el resultado puede ser: - Si el eponente es PAR el resultado es - Si el eponente es IMPAR el resultado es..

7 Ejercicios.. Completa la siguiente tabla. POTENCIA BASE EXPONENTE VALOR -1) 1) 7 -) -5 +) - +1). Calcula el valor de X en cada caso. -) +1 b) -) e) 1 f) 7-1. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

8 Ejercicios. 5. Reduce a una sola potencia: 5..) 5 b). -). 5-1) : 9 e) 50 5 : 5 5 f) +15) : -). Reduce a una sola potencia. 5 b) 5 5 ) [ ] [ ) ] 7. e) ) a a a ) a ) 7. Calcula el resultado aplicando las propiedades de las potencias. 1 5 : 5 b) -1) : ). ):-) e) 10 : 5. ) f) 5 : [-15) 5 : 5 ] EJERCICIOS 1. Busca, entre estos números, parejas emparentadas por relaciones de divisibilidad: Encuentra cuatro parejas múltiplo-divisor entre los siguientes números: Responde justificando tu respuesta. Es 1 múltiplo de 11? b) Es 11 divisor de 1? Es 57 múltiplo de 1? Es 7 divisor de 1 5?. Calcula mentalmente y contesta. Es 1 múltiplo de 5? Y de? b) Es 50 múltiplo de 10? Y de 9? Es divisor de 0? Y de 00? Es 10 divisor de 75? Y de 750? 5. Selecciona, entre estos números: los múltiplos de 10. b) Los múltiplos de 1. Los múltiplos de 15. Los múltiplos de 0.. Escribe los cinco primeros múltiplos de 1 y los cinco primeros múltiplos de Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 0 y 0.. Calcular todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 00 y Calcula el primer múltiplo de 1 mayor que Factorizar y calcular su número de divisores.

9 11. Calcula todos los divisores de cada uno de los siguientes números: Separa, entre los siguientes números, los primos de los compuestos: Descompón en el máimo número de factores los siguientes números: Descompón en factores primos los siguientes números: Descompón en factores primos: Calcula los números que tienen las siguientes descomposiciones: a ) 7 b) Escribe, sin hacer ninguna operación, tres múltiplos de Escribe factorizado un número que sea a la vez múltiplo de a.. y de b Escribe tres múltiplos comunes al los números m. y n.5 0. Escribe factorizados, sin hacer operaciones, todos los divisores de Escribe un número que sea divisor de a.. 5 y de b a la vez. Escribe tres divisores comunes a los números m. y n.. 5. Calcula. Los diez primeros múltiplos de 10. b) Los diez primeros múltiplos de 15. Los primeros múltiplos comunes de 10 y de 15. El mínimo común múltiplo de 10 y de 15.. Calcula mentalmente. mcm, ) b) mcm, 9) mcm, 10) mcm, 10) e) mcm, 1) f) mcm1, 1) 5. Calcula. mcm1, 15) b) mcm, 0) mcm, 5) mcm90, 150) e) mcm, 10, 15) f) mcm, 1, 1) Sol: 0 b) e) 0 f) 7. Escribe: Todos los divisores de 1. b) todos los divisores de. los divisores comunes de 1 y. El máimo común divisor de 1 y. 7. Calcula mentalmente. MCD, ) b) MCD, 9) MCD10, 15) MCD1, 1) e) MCD1, ) f) MCD1, ). Calcula: MCD, 5) b) MCD, 7) MCD105, 10) MCD15, 10) e) MCD, 1, 1) f) MCD5, 0, 105) Sol: 9 b) 15 5 e) f) Calcula. mcm1, 1, 0) b) mcm,, ) mcm0, 7, 90) mcm50, 75, 100) Sol: 10 b) Calcula. MCD, 0, ) b) MCD, 0, 7) MCD50, 0, 90) MCD75, 90, 105) Sol: b) Se apilan, en una torre, cubos de 0 cm de arista y, al lado, en otra torre, cubos de cm de arista. A que altura coinciden las cimas de ambas torres? Sol: 10 cm.. Se desea dividir un terreno rectangular, de 100 m de ancho por 10 m de largo, en parcelas cuadradas lo más grande que sea posible. Cuánto debe medir el lado de cada parcela? Sol: 0 m.. Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 00 m. Cuál es la longitud eacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en trozos de 1 m? Sol: la longitud del rollo es de 150 m. Un agricultor riega su campo cada 10 días y lo fumiga cada 1. Cada cuánto tiempo le coinciden ambos trabajos en la misma jornada? Sol: Cada 90 días. 5. Un faro se enciende cada 1 segundos, otro cada 1 segundos y un tercero cada minuto. A las.0 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. Sol: Sólo a las. h. Un viajero va a Barcelona cada 1 días y otro cada días. Hoy han estado los dos en Barcelona. Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? Sol: Dentro de 7 días. 7. Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 0, y, en cada caso, da de resto 9? Sol: 79. En una bodega hay toneles de vino, cuyas capacidades son: 50 l, 0 l, y 50 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máimas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. Sol: 115 garrafas.

10 9. Un comerciante desea poner en cajas 1 0 manzanas y 1 77 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. Sol: 00 cajas. 0. De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su actividad a la 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada minutos, y la línea B, cada minutos. A qué hora vuelven a coincidir en la parada los autobuses de ambas líneas? Sol: A las h 1 min. 1. Se desea dividir dos cuerdas de 0 m y 0 m en trozos iguales, lo más grandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. Cuánto medirá cada trozo? Sol: Cada trozo medirá 10 m.. Para pavimentar el suelo de una nave de 1, m de largo por 9 m de ancho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna. Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo que se han empleado las mayores que había en l almacén? Sol: 0 cm de lado.. Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rectangulares de cartulina, de 1 cm por 1 cm. Cuánto mide el lado del cuadrado? b) Cuántas piezas ha empleado? Sol: cm b) piezas.. Se desea envasar 15 botes de conserva de tomate y 175 botes de conserva de pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos productos en la misma caja. Cuál es el mínimo número de cajas necesarias? b) Cuántos botes irán en cada caja? Sol: 1 cajas como mínimo b) 5 botes por p caja. 5. Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor común es la unidad. Indica cuáles de estas parejas son primos entre sí..... y b) y y Calcula: b) Sol: -1 1 b) Quita los paréntesis y calcula: ) ) ) ) b) 7) + 5) + ) + + ) + 9) + 1) 11) + + 5) + ) + ) 15) + ) + ) Sol: - b) Calcula paso a paso: ) b) + 10) 9 1) 7 11 ) 9 1) 5) ) Sol: 10 b) Calcula el resultado paso a paso: b) [ )] [ 9) 7 1) ] 15) [ ) ] 1 + 7) [ 10) 5 15) ] e) [ ) ] [ 11 1) ] Sol: b) e) 50. Calcula el resultado paso a paso: 5 b) 10 [ )]) 7 [ 9 10) ]) [ ) ]) 9 + [ 7 + ) ]) e) [ ) 5] [ 7 ) ]) Sol: b) 10 e) Resuelve: 9 f ) ) [ 5 + 1) 7] b) 1 [ 15 ) + 5 9) ] [ 11) + 5) 7 10) ] 1 1) [ ) 15] e) [ + 9 1) ] [ 5 + 1) ] [ ) ] [ ) ] Sol: -1 1 b) e) -5 f) -1

11 5. Calcula el resultado paso a paso: + b) e) ) [ ) )] [ + 5) ) ] + ) + ) [ 0) 15) ] [ + 0) ) ] 5) 5) [ 1) ) ] f ) [ ) + ) ] ) g) [ 1) 7] [ ) ] h) [ 10) ] [ 5) ] Sol: 1 b) -0 e) -15 f) g) h) 5. Calcula el resultado: b) + 7 [ ) )] [ ) )] [ ) )] [ + 0) ) ] [ 10) + 5) ] [ ) + ) ] Sol: - b) +0 +/7 5. Calcula el resultado: [ ] b) ) + 5) [ ) ] 7) ) [ 5 9 ) ] ) 7 11) [ 1 ) ] 7) e) [ ) ] [ ) ] Sol: 1 b) e) 55. Calcula paso a paso: ) ) b) + ) + ) 7 ) + ) 5 ). ) + 9) + ) 9) + 5) ) + 7) + ) ) Sol: 5 b) Calcula paso a paso: b) [ )] ) [ ) ] [ 1 + ) 9 ) ] 1 ) [ 5 7) ] e) ) [ ) ] f ) 7 5) + 5) [ 5 ) 9 ) ] Sol: -5 b) e) f) Escribe de forma de potencia. b) ) ) ) + ) + ) + ) + ) a a a a a 5. Completa la siguiente tabla: POTENCIA BASE -1) 7 -) +) -) - EXPONENTE VALOR Escribe en forma de producto y calcula su valor: 1 ) b) ) + ) 5) e) ) a ) f 0. Calcula el valor de en cada caso: ) 1 b) ) 7 + ) 5) 15 a ) 1. Averigua el valor o los valores de en cada caso: 17 5 a ) + b) e) 1

12 . Calcula: 5 ) + ) b) ) ) 5) ) + 1) + ) ) + + 9) ) e) + ) ) + ) [ ] ) Sol: b) e) -. Reduce a una sola potencia aprovechando que tienen el mismo eponente. e) 9 b) f ) 5) + ) ) ) + 15) 5) g) 0) ) h) 1) ) Sol: 1 b) -) -15) -) e) f) -) g) 5 h). Reduce a una sola potencia: a ) m a b) m m a a z z e) f ) g) z z h) m a Sol: 5 b) m a z e) f) m 7 g) z h) a 5. Reduce a una sola potencia: e) 5 7 b) ) + ) 1) + 1) + 9) 9) ) ) ) ) + f ) g) 7 7 h) 5) + ) Sol: 1 b) e) - f) -5 5 g) 7 h). Reduce a una sola potencia: ) ) ) m m ) m a a a a e) a a b) f ) m m a a ) Sol: b) m 1 a 10 e) m f) a Reduce a una sola potencia. e) 1 b) m m ) f ) m m ) ) ) ) Sol: 10 b) m 7 m e) 9 f) 1 g) 1. Reduce a una sola potencia ) 5 ) b) ) + ) 5 [ 7) 7 ] 7 ) [ ] [ + ) ] [ ) ] [ ) ) ] Sol: 5 b) 7 9. Reduce a una sola potencia y calcula su valor. 15 f ) j) 5 b) 5 5 1) 0) ) ) e) ) ) 7 [ 5) ] 0) g) 10 5 ) h) 1) ) ) 0 k) l) 5 15 [ ] ) ) [ ] [ ] i) [ 9) ) ] 1 Sol: 1 b) e) -7 f) 1 g) 100 h) 1 i) 1 j) k) l) -5

13 70. Epresa como potencia única. g) [ ] 7) 5 b) 5 5) ) ) 7 7) e) 5 5 ) 5 f ) 7 7) ) h) ) ) i) ) j) 5 5 [ ] [ ) ] ) [ ) ] Sol: b) e) 5 f) 7 g) h) - i) - j) Opera y calcula. 9 [ ) ] 5 b) 10 5 ) 7 [ 5 ] ) [ ] ) ) [ ] ) a ) d Sol: b) 1 AUTOEVALUACIÓN 1. Responde a las preguntas y justifica tu respuesta: Cuál de estos números es múltiplo de? Eplica por qué b) Cuál de estos números es divisor de? Eplica por qué Calcula el valor de m para que estos números sean múltiplos de tres: m, m0, 5m, 1m0. Calcula los cinco primeros múltiplos de 1. b) Calcula todos los divisores de 5. Calcula todos los divisores de 75. Calcula los 7 primeros múltiplos de 11.. Descompón en factores y calcula el mínimo común múltiplo y el máimo común divisor de:, 7 y b) 75, 1 y 5. El autobús de la línea A pasa por la parada principal cada 5 minutos t el de la línea B lo hace cada 75 minutos. Si salen a la vez de la parada principal, cuánto tardarán en volver a coincidir?. En un hotel coinciden tres grupos de alumnos de tres colegios diferentes. El grupo del colegio A es de 0 alumnos, el del colegio B, de 5 y, el del colegio C, 7 personas. En el comedor se juntan los tres grupos pero han de comer separados los de cada colegio. Cuántos se tendrán que sentar a cada mesa para que en cada una halla el máimo número de niños sin mezclar los grupos? cuántas mesas ocupará cada colegio? 7. Calcula el resultado paso a paso: a ) 5 1 b) [ )] )) )) ) ). Calcula el resultado de estas potencias: 0 ) b) + ) 7) ) 1) a ) e 9. Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: 5) + ) + 5) + 1) 7) ) + + 7) + 9) + + 7) ) ) a ) b Calcula el resultado en forma de potencias: a f ) a a 7 b) a a 7 7 ) ) ) e) 5 ) ) ) g) ) a 10 9