mecánica estadística Estadísticas Cuánticas Capítulo 5
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- Manuel Gil Rico
- hace 7 años
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1 mecáca estadístca Estadístcas Cuátcas Capítulo 5
2 Gas Ideal Mooatómco e el Límte Clásco Cosderemos u as deal s teraccó etre moléculas mooatómco e u volume V a temperatura T. Además supoemos que la separacó meda etre partículas R >>λ=h/p lotud de oda de de Brole, por lo que los modos colectvos del sstema so desprecables, etoces la eería total de N partículas será la suma de las eerías de c/u de ellas y bastará co calcular z para ua partícula.
3 Desde el puto de vsta cuátco, ua partícula está represetada por ua oda de lotud de oda λ, cuyo vector de oda es: El vector de oda k está relacoado co el mometo leal p medate la relacó de Plak Este: Los modos permtdos cumple co: Por lo que la Desdad de Frecuecas Dω cumple co:
4 La eería de cada partícula es puramete cétca Impoedo la codcó: Se obtee la fucó de Partcó z de ua partícula Reemplazado por Dω y se obtee Usado:
5 QUÍMICA FÍSICA AVANZADA Cosderado: Se obtee ua ecuacó completamete eeral para ua partícula clásca, aú e el caso más eeral e que su eería es fucó de las coordeadas y los mometos εx,y,z,p x,p y,p z : Itutvamete puede ser compredda cosderado el espaco cotuo se ha dscretzado e pequeñas celdas de volume h 3, de tal modo que e cada celdta puede haber u solo estado de la partícula la desdad clásca de estados es 1/h 3.
6 Reemplazado la eería de la partícula puramete cétca e la ecuacó ateror se obtee: Medate la Fucó Error se obtee: Realzado el cambo de varables apropados y operado, se obtee la Fucó de Partcó de la partícula:
7 Se calcula la fucó de partcó para el as compuesto por N partículas como Z = z N. De hacer esto, ecotraríamos ua eería lbre de Helmholtz F o extesva, es decr que o depede del úmero de partículas N del sstema. Esto se observa de la ecuacó ateror, dode z o depede del úmero de partículas N. Para correr esto, teemos e cueta que las partículas so dstubles, por lo que cualquer permutacó etre ellas o produce u uevo estado e el sstema. La Fucó de Partcó del as compuesto por N partículas es: Al dvdr por N! se elma las cofuracoes equvaletes o repetdas.
8 La eería lbre de Helmholtz : Reemplazado Z y operado se obtee: La Eería meda del sstema de N partículas es: El as deal mooatómco tee 3N rados de lbertad, c/u de esos rados de lbertad aporta u térmo ½ K B T.
9 Otra maera de aalzarlo es cosderado que 3N rados de lbertad está asocados a las compoetes p x,p y,p z de cada partícula varable que cotrbuye e forma cuadrátca a la eería ε=p 2 /2m. La eería meda total de ua úca partícula es: Desmembrado dcha eería e cada ua de sus compoetes p x, p y, p z se tee:
10 Falmete, partedo de la defcó de Eería lbre de Helmholtz: Multplcado ambos lados de la ecuacó por β y operado, se obtee la Etropía:
11 Fucó de Dstrbucó de Bose-Este y Ferm-Drac E la estadístca Clásca se cosdera partículas détcas y dstubles. Nopreseta ua lmtacó de ocupar los estados de eería, o hay lmtacó e el umero de partículas que ocupa cada estado Fucó de Dstrbucó de Maxwell-Boltzma E la estadístca Cuátca se cosdera partículas détcas e dstubles Fucó de Dstrbucó de Ferm-Drac Fucó de Dstrbucó de Bose-Este
12 Fucó de Oda Atsmétrca: Sea la fucó de oda de N partículas détcas, la cual depede de las varables eeralzadas q co =1,2, N. S el espí es semetero la fucó de oda debe ser atsmétrca. Es decr s tercambo dos varables, ocurre:..., q,... q,......, q,... q,... j j Peroslaspartículasestáeelmsmoestadocuátcoetoceslafucóde oda debe ser la msma pues las partículas so détcas. Por lo que:..., q,... q,......, q,... q,... j j La úca forma que se satsfaa estas dos ecuacoes es que la fucó de oda sea détcamete ula!!!!!! 0
13 Fucó de Oda Smétrca: Sea la fucó de oda de N partículas détcas, la cual depede de las varables eeralzadas q co =1,2, N. S el espí es etero la fucó de oda debe ser atsmétrca. Es decr s tercambo dos varables, ocurre:..., q,... q,......, q,... q,... j j Por lo que a dfereca del ateror u msmo estado cuátco puede estar poblado por cualquer úmero de partículas. CONCLUSION: S tee sp semetero la fucó de oda at smétrca, cumple co el prcpo de Exclusó de Paul y o puede haber partículas co los msmos úmeros cuátcos fermoes. S tee sp etero, co fucó de oda smétrca, o posee ua restrccó e cuato a la ocupacó de veles bosoes.
14 Supoamos que teemos dos bolas: Y tres veles de eería E 1, E 2 y E 3 clásco cuátco Maxwell Boltzma Ferm-Drac Bose-Este E 1 E 2 E 3 E 1 E 2 E 3 E 1 E 2 E 3
15 Fucó de Dstrbucó de Bose-Este Cosderamos sstemas aslados N U E deeeracó de cada vel de eería Calculamos prmero el umero de arrelos de partículas e los estados deeerados del vel E. Sería aáloo al umero de formas e que se puede acomodar objetos uales e cajas, s mportar el umero de objetos e cada caja, el orde e que se acomoda combacoes co repetcó. C 1!! 1!
16 P!!!, 1 P! l! l! l l x x x x! l l Utlzado la aproxmacó de Strl P l l l l d d d d d d P d l l 0 l d P d l l 0 l
17 d P d l 0 l E d d 0 0 l 0 E d l 0 E Que juto las restrccoes Resolvedo usado Multplcadores de Larae
18 l E E e e E 1 E e Para determar el valor de se utlza la codcó de N=cte. Se puede demostrar que el valor de es 1/kT
19 Fucó de Dstrbucó de Ferm-Drac El umero máxmo de fermoes que se puede acomodar e u vel será, por lo que sempre se cumplrá: S queremos colocar partículas e el vel E 1º partícula posbldades 2º partícula 1 posbldades 3º partícula 2 posbldades * * º partícula 1 posbldades Así se tee !!
20 Como o mporta el orde e que se acomoda las partículas, la probabldad quedará 0 l l l l l l l l l l l! l! l! l l!!! d d d P d d d d d d d P d P P P
21 E d d 0 0 Que juto las restrccoes l 0 l 0 l E e E E E d 1 E e
22 1 kt E e 1 kt E e kt E e Ferm-Drac Bose-Este Maxwell-Boltzma S / >> 1 las tres estadístcas da el msmo resultado. Esto ocurre cuado la T es alta
23 Deduccó alteratva Al ser partículas que o teraccoa la ra fucó de partcó esta dada por: z Dode z es la fucó de partcó de u estado dvdual que vee dado por: z e
24 Fermoes Para u as de Fermoes u estado dvdual puede estar ocupado por ua sola partícula por lo tato el valor de =0,1. De modo que: z e 1e Por lo tato la ra fucó de partcó será: FD 1 e estados La productora va sobre los estados. Pero al haber deeeracó la ra fucó se puede escrbr e fucó de úmero de deeeracó de esta maera: 1 FD e veles
25 QUÍMICA FÍSICA AVANZADA El úmero medo de ocupacó se puede deducr como: e 1 1 Como se observa e la fura se etede que cuado : 1 2 para cualquer T Por lo que se cooce como el vel de FERMI.
26 Bosoes Para u as de Bosoes u estado dvdual puede estar ocupado por u úmero lmtado de partículas, =1,2,3, por lo que : z 0 e 1 e 1 Por lo tato la ra fucó de partcó será: BE e 1 estados Poedo e forma explcta el rado de deeeracó : 1 BE 1 e veles
27 El úmero medo de ocupacó se puede deducr como: e Al aalzar u as de Bosoes co masa mayor que cero y co ua escala de eerías e que el estado más bajo tee eería cero vemos que debe ser meor que cero de lo cotraro el úmero de estado crecería a fto. 1 1 para
28 QUÍMICA FÍSICA AVANZADA RESUMEN: e 1 1 e 1 1
29 LIMITE CLASICO: e 1 e Co: e E el límte clásco uo pde que la fuacdad sea: e 1 e l z N z z e N0 N! N0 Z e N N
30 Coclusoes La descrpcó mecáco-estadístca de u sstema de partículas, rurosamete, debe teer e cueta la aturaleza cuátca de las partículas. Las propedades de smetría de la fucó de oda de u sstema de partículas determa dos tpos de estadístcas: la de Ferm-Drac, para fermoes o partículas de espí semetero y la de Bose-Este, para bosoes o partículas de espí etero. Los electroes e u metal represeta u ejemplo de aplcabldad de la estadístca de Ferm-Drac a u as deal de fermoes. Los bosoes co masa e reposo ula, como los fotoes, respode a u caso partcular de estadístca de Bose-Este. La estadístca de Bose-Este para bosoes de masa e reposo o ula predce, a temperaturas sufcetemete bajas, el feómeo sular de ua trascó de fase e u as deal: codesacó de Bose-Este. La codesacó de Bose-Este se mafesta, e forma drecta, e los feómeos de superfludez y supercoductvdad e metales. La observacó de u bec ha poddo realzarse sólo recetemete y costtuye u uevo estado de la matera.
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