Matemáticas II TEMA 7 Límites y continuidad de funciones Problemas Propuestos

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1 Matemáticas II TEMA 7 Límites y continuidad de funciones Problemas Propuestos Definición de ites Demuestra, aplicando la definición, que ( ) Demuestra, aplicando la definición, que Cálculo de ites por métodos algebraicos Resuelve los siguientes ites: Halla, en función de los valores de p, los siguientes ites: p 8 + p 5 Calcula los siguientes ites: ( ) 6 Calcula: Calcula el valor de los siguientes ites: A partir de la definición del número e, + e, utilizando las propiedades de los + ites, demuestra que + p p p e + e + +, p 0 p p + e + p 9 Aplicando los resultados anteriores calcula:

2 0 Teniendo en cuenta que, + e y la propiedad: Si f ( ) > 0, A( ) + A( ) a g ( ) ( ) ( ) g ( ) f ( ) f ( ) a, demuestra que si se cumple que ( f ( ) ) ( g() ) a A( ) g ( ), entonces, la indeterminación ( f ( ) ) [ ] g ( ) aplicando la transformación: ( f ( ) ) [ ] e ( f ( ) ) g ( ) y, puede resolverse Aplicando la transformación anterior, halla el valor de los siguientes ites: a+ + Halla el valor de a para que 5 + Calcula: + log + log log + + d) ln + e + Calcula: sin + π cos + π tan + 5 Calcula: sin sin + π / tan d) tan 6 Halla el valor de los siguientes ites: /( ) /( + ) Halla el valor de los siguientes ites: Calcula los siguientes ites: ( )

3 9 Calcula los ites: + ( + ) ( 5 + ) Asíntotas de una función 0 Halla las asíntotas de la función de sus asíntotas + f ( ) Indica la posición de la curva respecto Dada la función f ( ) de la curva respecto a ellas ( + ) Halla las asíntotas de la función f ( ) Sea f ( ) Halla su dominio y sus asíntotas, halla con detalle sus asíntotas; e indica la posición Eiste algún valor de p para el que la función asíntota vertical? p f ( ) tenga solamente una Comprueba que la función f ( ) + sin no tiene asíntotas 7 Halla las asíntotas de las siguientes funciones: f ( ) e f ( ) e f ( ) e d) f ( ) + e 8 Halla las asíntotas de las siguientes funciones: f ( ) log( ) f ( ) log f ( ) log( ) d) f ( ) log Continuidad 9 Indica los puntos de discontinuidad de cada una de las siguientes funciones Justifica la respuesta en cada caso f ( ) + 8 f ( ) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) 8 f) f ( ) + g) f ( ) h) f ( ) + i) f ( ) e j) f ) e m) f ( ) tan n) ( k) ( ) log( 5 6) ( ) sin f o) ( ) cos( ) f l) f ( ) log + sin f p) f ( ) + cos

4 0 Indica los puntos de discontinuidad de cada una de las siguientes funciones Justifica la respuesta en cada caso, si, si cos, si 0 f ( ) f ( ) f ( ), si >, si > +, si > 0, si 0 e, si, si d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ), si > sin, si > 0 ( ) ln si > 5 8 Estudia la continuidad de función f ( ) Si tuviese alguna discontinuidad 6 evitable cómo podría evitarse? Determina el tipo de discontinuidades que presenta la función f ( ) Dependiendo de los valores de p, tiene la función f ( ) alguna p + discontinuidad? Si la tuviese, podría evitarse en algún caso? + k + La función f ( ) es discontinua en los puntos y Podría evitarse alguna discontinuidad para algún valor de k? 5 Para qué valores de a es continua en la función, si f ( )? + a, si > 6 Determina los valores de a y b que hacen que la función sea continua en todo R 7 Determina la continuidad de las funciones: f ( ) f ( ) f ( ) sin cos e a + b < π π < 0 0 Teorema de Bolzano 8 Enuncia el teorema de Bolzano Aplicando dicho teorema comprueba que la función f ( ) corta al eje OX en el intervalo [, ] 9 Comprueba que la ecuación e + 0 tiene una raíz en el intervalo [, ] Calcula un valor de esa raíz con una aproimación del orden de las centésimas

5 5 0 Comprueba que el polinomio P ( ) + 0, tiene dos raíces negativas y otra positiva Da una solución aproimada de la raíz positiva Determina los valores que puede toma p para que la función f ( ) + p corte al eje de abscisas como se indica: Una vez en el intervalo [, 0] Una vez en el intervalo [0, ] Dos veces en el intervalo [, ] Halla el valor de p para que la función f ( ) + p tome con seguridad el valor en algún punto del intervalo [, ]: Para qué valores del parámetro a puede asegurarse que la función f ( ) a + + corta dos veces al eje OX, en el intervalo [, ]? Puede aplicarse el teorema de Bolzano a la función f ( ) en el intervalo [0, π]? cos 5 Puede aplicarse el teorema de Bolzano a la función f ( ) sin + cos en el intervalo [0, π]? Encuentra, si eiste, un punto de [0, π] en el cual se anule esta función 6 Aplicando el teorema de Bolzano halla un intervalo en el que las siguientes funciones corten al eje de abscisas: ( ) f + 6 g ( ) h( ) e 7 Por qué no se puede aplicar el teorema de Bolzano, en el intervalo [, ], a las siguientes funciones? f ( ) h( ) g( ) d) i( ) + tan e + sin 8 Comprueba que la ecuación sin + cos tiene alguna solución real en el intervalo [ π, π] 9 Demuestra que la función f ( ) e + cos corta infinitas veces al eje OX Da dos intervalos distintos en los que pueda asegurarse que la gráfica de f corta al eje OX 50 Demuestra que la función f ( ) e sin corta al eje OX en algún punto del intervalo (π/, π)

6 6 Soluciones: /5 0 Si p el ite será infinito; si p, vale Si p el ite valdrá 0; si p, vale 5 / /5 7 / / / / 9 e e e e e e a ln 5 log d) ± 0 π/ d) no eiste 6 No eiste: 0; + / 7 No eiste: 0; + 8 / 9 5/ 5/ 0 ; y + ; ; y 0 0; y + 0 0; y 5 p ±; p ± 7 y 0 ; y No tiene d) y 0; y 8 0 ; + d) ; y 0 9 { 8, 8} e) < h) [0, ] j) 0 k) 6/5 m) π π + k n) 0 d) 0 e) f) Discontinua en o En, f ( ) Evitable en, f ( ) No evitable en 8 9 Si p > o p <, la función tiene dos discontinuidades; si p ±, tiene una discontinuidad No pueden evitarse Si k, puede evitarse en Si k, puede evitarse en 5 a 6 b ; a 7 Continuas siempre 8 Corta dos veces al eje OX entre y 9,5 0 0, p > 5 p > p > 5 + p + a > No 5 π/ 6 [0, ] o [, ] [0, ] o [, ] [0, ] o [, 5] 7 Ninguna de las funciones es continua en el intervalo [, ] 9 Al menos una vez en cada intervalo [ ( k + ) π, kπ] con k entero positivo 50 La función se anula en algún entre π/ y π Ese será el punto de corte