1.- Estudie el carácter de la serie numérica. 1 es divergente, la serie n propuesta será divergente. Solución.- Puesto que, n = 1, 2, 3,...

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1 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) -mil: EJERCICIOS DE SERIES NUMÉRICAS PROPUESTOS EN EXÁMENES.- Estudi l cráctr d l sri uméric. (Fbrro 00, x. or.) Solució.- Pusto qu,,,,...y l sri s divrgt, l sri propust srá divrgt. l.- Estudir l cráctr d.(fbrro 00, x. rs.) Solució.- l < l,,,,..., lugo l sri propust divrg. l.- Utilizdo l critrio d D Almbrt, dmostrr qu s divrgt.! (Sptimbr 00, x. or.) + ( + ) + ( + )! + + Solució.-lim lim lim >, lugo por l critrio d +! D Almbrt, l sri dd s divrgt. 4.- Utilizdo l critrio d D Almbrt, dmostrr qu! s covrgt. (Sptimbr 00, x. rs.) ( + )! + + ( + ) + Solució.- lim lim lim < lugo por l critrio d! + + D Almbrt, l sri dd s covrgt. 5.- Dmustr si s covrgt o o l siguit sri uméric: (Ero 00, x. or.) Solució.- Por l critrio d D Almbrt : + ( + ) + lim lim lugo l sri s covrgt. ( + ) lim ( + ) + lim 0 < 6.- Dmustr si s covrgt o o l siguit sri uméric: (Ero 00, x. rs) /8 Ejrcicios d sris umérics propustos xáms

2 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) -mil: Solució.- Es divrgt y qu o cumpl l codició csri d covrgci. E fcto: lim lim 0 7. Estudir l cráctr d l sri ( ) (Sptimbr 00, x. rs) Solució.- Aplicmos l critrio d Cuchy: lim lim ( ) lim 0 < lugo l sri s covrgt. 8. Estudir l cráctr d l siguit sri: +, > 0. (Sptimbr 004, x. rs) Solució.- Aplicmos l critrio d D Almbrt: Hy trs csos: - si 0 < < DIVERGENTE - si > CONVERGENTE ( + ) + + ( + ) ( + ) [ + ] + lim lim lim +. ( + )( + ) + - si DIVERGENTE, por qu l térmio grl. 9. Dtrmir l cráctr d l siguit sri: (Fbrro ,ª sm) Solució.- S trt d l sri gométric d térmio grl. Como r <, l 4 4 / sri s covrgt. Su sum vl S r / Es covrgt l siguit sri: ?. Clcul su sum (Fbrro ,ª sm) Solució.- Es u sri gométric d rzó r <, lugo s covrgt. Su sum S /. r /.- Estudi l cráctr d l sri (Sptimbr 005, x.or) /8 L (sido L logritmo prio) Ejrcicios d sris umérics propustos xáms

3 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) -mil: Solució.- (Not: pr qu xist l sri, db cosidrrs l sumtorio dsd ) Como divrgt. > y l sri rmóic L s divrgt, tocs l sri. Dmustr si s covrgt o o l siguit sri uméric: 005, x. rs) Rspust.- s L (Sptimbr Pr s ti qu <, y como l sri gométric s covrgt, l sri dd tmbié lo srá. (Rsultdo álogo s pud obtr por l critrio logrítmico o por l d D Almbrt).- Estudir l cráctr d l siguit sri: (Fbrro 006,ª sm) Solució.- l l Por jmplo, por l critrio logrítmico: lim lim l l l lim lim > l sri s covrgt. l l 4.- Estudir l cráctr d l siguit sri: Solució.- + Por l critrio d d Almbrt, lim lim lugo l sri s covrgt. 5.- Estudir l cráctr d l siguit sri: Solució.- Por l critrio d D Almbrt: lim l sri s covrgt. 6.- Estudir l cráctr d l sri: ( ) Solució.- + ( )! ( + )! : l l lim l (Fbrro 006,ª sm) ( ) 5... ( ) ( )( + ) ( + ) lim 5 ( ) (Sptimbr 006, rs.)! lim + <, (Sptimbr 006, or.) + lim 4( + ) < /8 Ejrcicios d sris umérics propustos xáms

4 -mil: TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) Aplicmos l critrio d Cuchy: ( ) l sri s covrgt. lim lim lim 0 < lugo 7.- Pr qué vlors d x covrg l siguit sri: x A (Ero 007) Solució.- Estudimos primr lugr l sri pr vlors positivos d x. Aplicrmos l critrio d D Almbrt: x + + ( + ) x x lim lim lim x ( + ) S ti tocs los siguits csos: - si 0 < x < l sri s covrgt - si x > l sri s divrgt - si x l sri s tocs qu s divrgt por trtrs d l sri rmóic. Pr vlors gtivos d x l sri s ltrd x ( ) x A S ti los siguits csos: x - si < x < 0 s covrgt pus lim 0 x - si x < s divrgt pus lim ( ) -si x l sri s, qu s covrgt pus lim 0 (Sptimbr 007) ) Sumdo u uidd cd domidor s obti l sucsió d los cudrdos d los úmros prs: 4, 6, 6, Así pus, l sucsió cuys sums prcils dfi l sri, ti por térmio grl. S tdrá: S S ; S ; S / ; S ; Ejrcicios d sris umérics propustos xáms

5 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) -mil: b) Pr ls cico primrs sums prcils s cumpl qu S. Vmos qu s + s l térmio grl: dscompoido sum d frccios simpls 4 ( )( + ) + y ddo vlors : Sumdo mimbro mimbro, s ul cd S sustrdo co l miudo siguit: + + qu s lo qu qurímos dmostrr. (Sptimbr 007. Rs) Solució.- ) S ; S + ; S + ; S 4 + ; S s trt d l sri gométric d rzó r < lugo s covrgt. 0 b) Su sum s S 0 r 0 9 Solució.- (Ero 008) 5/8 Ejrcicios d sris umérics propustos xáms

6 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) -mil: Llmdo tdrmos qu lim s l ( + )( + ) sum d l sri hiprgométric qu d como ( + )( + ) rsultdo 4 (vs l sum d sris hiprgométrics l txto d Blbás). Pusto qu l codició csri d covrgci s qu l térmio grl tid cro, l sr dd s divrgt. lim 0, l sri Solució.- Pusto qu l límit dl térmio grl: ( + ) ( ) (Sptimbr 008) lim lim > 0 + l sri s divrgt, y qu s codició csri pr l covrgci qu l térmio grl tid cro. Solució.- Por l critrio d D Almbrt: sri s covrgt. ( + ) ( + ) + + lim lim lim + (Sptimbr 008.Rs) 0 < l Solució.- Cumpl l codició csri d covrgci, s dcir: l lim lim 0 l Aplicmos l critrio dl logritmo: l l l( ) l l lim lim lim l <. Lugo l sri s divrgt. l l l (Ero 009) 6/8 Ejrcicios d sris umérics propustos xáms

7 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) -mil: (Ero 009-ª) Solució.- Obsérvs qu + < + ; + < +, y grl + < +. Así pus < qu s l sri gométric d rzó, covrgt. Lugo l sri dd s covrgt. (Sptimbr 009) Solució.- ( + ) + lim lim 0, lugo l sri s divrgt por o cumplir l codició csri d covrgci. Solució.- Aplicmos l critrio d d Almbrt: ( + )! + + ( + ) lim lim lim! + (Sptimbr 009. Rs) <, lugo l sri s covrgt. Solució.- lim + 6 covrgci. lim (Fb-0-) 0, lugo cumpl l codició csri d 7/8 Ejrcicios d sris umérics propustos xáms

8 UNED. ELCHE. TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) Aplicmos l critrio d Cuchy: 5 + < lugo l sri s covrgt. 6 -mil: + lim < lim (Fb-0-) Solució.- + L sucsió d térmio grl s moóto dcrcit porqu! + < <. Como > 0, stá cotd ifriormt. Lugo ti límit, lim! L. Tomdo límits l iguldd + +, qud qu L L, lugo L 0. Es dcir, l sri cumpl l codició csri d covrgci. + Aplicmos l critrio d D Almbrt: lim <, lugo l sri s covrgt. Solució.- Aplicmos l critrio d d Almbrt: lim lim <, lugo l sri s covrgt (Sp 0) 8/8 Ejrcicios d sris umérics propustos xáms

es divergente. es divergente.

es divergente. es divergente. .- Dtrmir l cráctr d l sri sgú los vlors d = +. Solució: sido = + = Si = = lim = s divrgt. = Si < < lim = s divrgt. = Si = = lim = s divrgt. = Si >, plicdo l critrio d D`Almrt: + ( + ) ( + ) + lim = lim

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