Primer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución
|
|
- Purificación Vega Guzmán
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Primer examen parcial Geometría y Álgebra Lineal 1 2 de mayo de 2015 Respuestas y solución Respuestas a la versión 1: (La versión 1 es aquélla cuyo primer ejercicio dice Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas sólo puede ser compatible determinado si n = m.) Respuesta a los ejercicios de tipo verdadero/falso Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 Ej 7 Ej 8 F V F F F V F V Respuesta a los ejercicios de tipo múltiple opción Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 C D A D B A Respuestas a la versión 2: (La versión 2 es aquélla cuyo primer ejercicio dice Toda matriz cuadrada tiene el mismo determinante que cualquiera de sus formas escalerizadas..) Respuesta a los ejercicios de tipo verdadero/falso Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 Ej 7 Ej 8 F F V F V F V F Respuesta a los ejercicios de tipo múltiple opción Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 B A B D C E Respuestas a la versión 3: (La versión 3 es aquélla cuyo primer ejercicio dice La matriz tiene rango 2 para todos los a, b R..) 0 2 a + b a b 4 2a 3 1
2 Respuesta a los ejercicios de tipo verdadero/falso Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 Ej 7 Ej 8 V F F F V F V F Respuesta a los ejercicios de tipo múltiple opción Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 E D B E B C Respuestas a la versión 4: (La versión 4 es aquélla cuyo primer ejercicio dice Si u, v y w son vectores no nulos tales que u, v = 0 y (u v) w = 0, entonces u y w no pueden ser colineales..) Respuesta a los ejercicios de tipo verdadero/falso Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 Ej 7 Ej 8 V F V F F F V F Respuesta a los ejercicios de tipo múltiple opción Ej 1 Ej 2 Ej 3 Ej 4 Ej 5 Ej 6 A C E D C C 2
3 1 Ejercicios de tipo verdadero/falso 1. Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas sólo puede ser compatible determinado si n = m. Respuesta: FALSO. Contraejemplo: en el caso donde m = 3, n = 1, el sistema x = 0 2x = 0 3x = 0 es compatible determinado, pero n m. 2. La matriz 0 2 a + b tiene rango 2 para todos los a, b R. a b 4 2a 3 Respuesta: VERDADERO. Escalerizándola, tenemos: 0 2 a + b 0 2 a + b 0 2 a + b a b 4 2a a 2b Entonces, dicha matriz tiene rango a lo sumo igual a 2, y es claro que tiene rango exactamente igual a 2 cuando a 0. Entonces, sólo consideramos el caso a = 0. Tenemos: tiene rango dos si y sólo si 0 b 2b b ( b 2b 3 2 b tiene rango dos, si y sólo si b 2 4b El discriminante del polinomio es: ( 4) 2 4(1)(6) = 8. Entonces, este polinomio nunca se anula, y la matriz inicial tiene rango 2 en todos los casos. 3. Si A y B son matrices simétricas, entonces AB = BA. Respuesta: FALSO. Contraejemplo: ( ) 0 1 A = y B = 1 2 ) ( ). En este caso AB = ( ) y BA = ( ). 3
4 4. Toda matriz cuadrada tiene el mismo determinante que cualquiera de sus formas escalerizadas. Respuesta: FALSO: Durante el proceso de escalerización, se puede multiplicar por una matriz elemental de determinante distinto de uno. (Por ejemplo: multiplicar cualquier fila por un número distinto de 1.) 5. Es posible elegir a, b, c, d R de modo que el conjunto de puntos de R 3 que satisfacen la ecuación ax + by + cz = d sea una recta. Respuesta: FALSO: Distinguimos tres casos: (a) Si (a, b, c) (0, 0, 0), este conjunto es un plano. (b) Si (a, b, c) = (0, 0, 0) y d 0, este conjunto es vacío. (b) Si (a, b, c) = (0, 0, 0) y d = 0, este conjunto es R El plano de ecuación (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ(1, 2, 1) + µ(3, 0, 1) y la recta de ecuación (x, y, z) = (1, c, c 2 ) + λ(1, 1, 2) no son perpendiculares para ningún valor de c R. Respuesta: VERDADERO. Por definición, u = (1, 2, 1) es un vector director del plano, y v = (1, 1, 2) es un vector director de la recta. Como u, v = 5, no pueden ser perpendiculares. (El valor de c no tiene importancia.) 7. La distancia entre el punto P = (1, 0, 0) y la recta de ecuación (x, y, z) = (0, 1, 0) + λ(1, 2, 3) es 2. Respuesta: FALSO. Observemos que el punto Q = (0, 1, 0) está en la recta dada y que la distancia entre P y Q es 2. La distancia de P a la recta sólo puede ser 2 si P Q es perpendicular a la recta. Pero P Q, (1, 2, 3) = ( 1, 1, 0), (1, 2, 3) = 1, por lo que esto no sucede. (Alternativamente, se podría calcular la distancia de P a la recta, lo que da 27/ Si u, v y w son vectores no nulos tales que u, v = 0 y (u v) w = 0, entonces u y w no pueden ser colineales. Respuesta: VERDADERO. Supongamos que u, w son colineales, es decir: u w = 0. Entonces v w = (u (u v)) w = u w (u v) w = 0, por lo que v y w son colineales. Pero como w no es nulo, u y v son colineales. Y como u, v no son nulos: u, v 0. Contradicción. 2 Ejercicios de tipo múltiple opción Ejercicio 1 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones con parámetro λ R, (λ 2 1)x + (λ 1)y + (λ 1)z = λ 1 (λ 2 1)x + (2λ 1)y + (λ + 1)z = 2λ 1 (λ 2 1)x y + (3λ 1)z = 3 (A) El sistema es incompatible solamente para un valor de λ. (B) El sistema es compatible determinado solamente para tres valores de λ. 4
5 (C) El sistema es compatible indeterminado solamente para un valor de λ. (D) El sistema es incompatible solamente para tres valores de λ. (E) El sistema es compatible indeterminado solamente para dos valores de λ. Respuesta: La matriz ampliada del sistema dado es λ 2 1 λ 1 λ 1 λ 2 1 2λ 1 λ + 1 λ λ 1 λ 1 2λ 1 3 que tras la aplicación de transformaciones elementales se transforma en λ 2 1 λ 1 λ 1 λ 1 0 λ 2 λ. 0 0 λ Cuando λ 1, 0, 1 esta matriz está escalerizada. En este caso, tanto la matriz como la matriz ampliada tienen 3 escalones, y por lo tanto el sistema es compatible determinado. Cuando λ = 1, la última fila da origen a la ecuación 0z = 2, por lo que el sistema es incompatible. Cuando λ = 0, al escalerizar la matriz obtenemos Por lo tanto en este caso el sistema es incompatible. Cuando λ = 1, al escalerizar la matriz obtenemos , y el sistema es compatible indeterminado. Conlcuimos que la respuesta correcta es: El sistema es compatible indeterminado solamente para un valor de λ. Ejercicio 2 Sean A y B matrices de 3 3 con coeficientes en R tales que a b c d e f A = d e f B = 2a 2b 2c det(a) = 5. g h i g + 3d h + 3e i + 3f (A) det(2ab 1 ) = 1 (B) det(2ab 1 ) = 8 3 (C) det(2ab 1 ) = 2 (D) det(2ab 1 ) = 4, 5
6 (E) det(2ab 1 ) = 2 3 Respuesta: La matriz B se obtiene a partir de A haciendo las siguientes operaciones: (i) Intercambiando dos filas. (ii) Multiplicando una fila por 2. (iii) Sumando a una fila un múltiplo de otra. La operación (i) cambia el signo del determinante, la (ii) multiplica el determinante por 2 y la (iii) no afecta el determinante. Por lo tanto det(b) = 2 det(a) = 10. Entonces det(2ab 1 ) = 2 3 det(ab 1 ) = 2 3 det(a) det(b 1 ) = 2 3 det(a)/ det(b) = 4. Ejercicio 3 Sea B = b b b 1 0 b 1 0 b b b R. (A) Si b 2 el rango de la matriz B es 4. (B) Si b 2 el rango de la matriz B es 4. (C) Si b 0 el rango de la matriz B es 4. (D) Si b < 0 el rango de la matriz B es 4. (E) Si b 1 el rango de la matriz B es 4. Respuesta: El determinante de la matriz dada es b 2 (b + 2)(b 1), que es distinto de cero para b 2, 0, 1. Entonces el rango de esta matriz es 4 para b 2, 0, 1 y menor que 4 para b = 2, 0, 1. Concluimos que la respuesta correcta es: Si b 2 el rango de la matriz B es 4. Ejercicio 4 Se consideran los planos π 1 ) 2x + 3y + z = 1 y π 2 ) (A) Los planos π 1 y π 2 son paralelos y su distancia vale 2. x = 1 + λ µ y = 1 + λ + 5µ z = 2 + λ µ (B) Los planos π 1 y π 2 son coincidentes y contienen los puntos P = (0, 0, 1) y Q = (1, 1, 2). (C) Los planos π 1 y π 2 son coincidentes y contienen los puntos P = (0, 0, 1) y Q = (1, 3, 2). (D) Los planos π 1 y π 2 se cortan en una recta cuya dirección está dada por el vector v = ( 1, 1, 1). (E) Los planos π 1 y π 2 se cortan en una recta cuya dirección está dada por el vector v = ( 1, 3, 3). La dirección normal a π 1 está dada por el vector n 1 = (2, 3, 1).. 6
7 El plano π 2 tiene como vectores directores a (1, 1, 1) y ( 1, 5, 1), por lo que la dirección normal a π 2 está dada por su producto vectorial i j k (1, 1, 1) ( 1, 5, 1) = = ( 6, 0, 6), que es colineal con n 2 = ( 1, 0, 1). Como n 1 y n 2 no son colineales, los planos π 1 y π 2 ni son el mismo ni son paralelos, y deben intersectarse en una recta. Dicha recta tiene dirección dada por i j k n 1 n 2 = = (3, 3, 3), que es colineal con ( 1, 1, 1). Ejercicio 5 Sean v y w dos vectores en R 3 que cumplen que 2v w es perpendicular a w, 5v = 10 y que el ángulo entre v y w es π/4. (A) w = 2. (B) w = 8. (C) w = 5. (D) w = 1/ 2. (E) w = 2. Respuesta: Si 5v = 10, tenemos que v = 2. Por otro lado, si 2v w w, 0 = 2v w, w = 2 v, w w, w = 2 v, w w 2 y entonces 2 v, w = w 2. Esto es, 2 v w cos(π/4) = w 2, o 2 v cos(π/4) = w. Como v = 2 y cos(π/4) = 1/ 2, tenemos que w = 2 2 = 8. { 2x + y + z = 0 x y = 1 Ejercicio 6 Sea π el plano perpendicular a la recta r) y que contiene a la recta s) x = 1 + 2λ y = 2 + λ z = 3 + λ. Consideremos el punto Q = (3, 2, 1). Entonces la distancia del punto Q al plano π vale: (A) 8/ 11 (B) 8/ 6 (C) 2/ 11 (D) 2/ 6 (E) 4/ 11 7
8 Respuesta: Dos puntos de la recta r son P = (1, 0, 2) y P = (0, 1, 1), por lo que la dirección de esta recta está dada por el vector P P = P P = (1, 1, 3). Como el plano π es perpendicular a r, la dirección normal a π está dada por P P. Como s π, el punto Q = (1, 2, 3) pertenece a π. Entonces la distancia de Q a π está dada por d(q, π) = Q Q, P P = P P (2, 0, 2), (1, 1, 3) (1, 1, 3) =
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesTema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES
Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Matrices Definición 1.1 Una matriz (real) de n filas y m columnas es una expresión de la forma a 11...
Más detallesRelación de problemas. Álgebra lineal.
Relación de problemas Álgebra lineal Tema 1 Sección 1 Matrices Determinantes Sistemas lineales Matrices Ejercicio 11 Consideremos las siguientes matrices: ( 1 2 A = 1 1 ) ( 1 1 B = 0 1 ) C = 1 0 0 0 1
Más detallesTema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes
Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes
Más detallesÁLGEBRA Algunas soluciones a la Práctica 4
ÁLGEBRA Algunas soluciones a la Práctica 4 Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones Curso 28 29 2. Existen dos matrices de igual dimensión que tengan el mismo rango pero no sean ni equivalentes
Más detallesPRIMER PARCIAL DE GEOMETRIA Y ALGEBRA LINEAL I 17 de mayo de 2000
PRIMER PARCIAL DE GEOMETRIA Y ALGEBRA LINEAL I 17 de mayo de 2000 HOJA PARA EL ESTUDIANTE 1. Completar los datos personales en la tabla que aparece al dorso. 2. La duración del parcial es de tres horas.
Más detallesEjercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de Solución
Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de 2008 Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f(x) = x 2 -(x + 1) + ax + b y g(x) = ce Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto ( 1,
Más detallesMatrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo
Más detallesCapítulo 2 Soluciones de ejercicios seleccionados
Capítulo Soluciones de ejercicios seleccionados Sección..4. (a) Sí. (b) No. (c) Sí.. (a) x = si α, pero si α = todo número real es solución de la ecuación. (b) (x, y) = (λ 7/, λ) para todo λ R.. Si k 6
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas lineales
Grado en Óptica y Optometría Curso 00-0 Hoja de ejercicios n o Matrices, determinantes y sistemas lineales 0. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule A + B, A B, AB, BA, AA, BB. 0 0 A = 3 0 0 B =
Más detallesELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas lineales
UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Relación de Problemas n o 7 Curso 008-009 Matrices, determinantes y sistemas lineales 0. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesA1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detalles( b) No se puede ya que la matriz tiene 2 columnas y el vector tiene 3 filas x x + 2y 3z.
Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales EJERCICIO : Escribir las siguientes matrices: a A (a ij 4, a ij i j. b B (b ij 4, b ij ( i+j. { si i j, c C (b ij 4, c ij si i < j. A, B + + + +
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de septiembre. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
Opción A. Ejercicio. Valor: 2 puntos. Se considera la función real de variable real definida por: f(x) = a) ( punto) Determinar sus máximos y mínimos relativos x x 2 + b) ( punto) Calcular el valor de
Más detallesLa regla de Cramer. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x
Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas como el siguiente: a 11 x 1 + a 1 x +. + a 1n x n b 1 a 1 x 1 + a x +. + a n x n b... a n1 x 1 + a n x +. + a nn x n b n La matriz de los
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesEXÁMENES DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO
EXÁMENES DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO 2016-17 1 2 Ejercicio 1º.- Considera las matrices A 1 1 y B 0 1 1 0 a) (1,25 puntos) Encuentra las matrices X e Y tales que X Y = A T y 2X Y = B. b)
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas lineales
UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Relación de Problemas n o 5 Curso 006-007 Matrices, determinantes y sistemas lineales 8. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales ALBERTO VIGNERON TENORIO Dpto. de Matemáticas Universidad de Cádiz Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Definiciones..........
Más detallesTEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.
TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 Septiembre 01 ['5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos
Más detallesTEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. y una base de vectores de V cualquiera
TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1.- PUNTOS Y VECTORES. ESPACIO AFÍN y una base de vectores de V cualquiera {,, B = u1 u2 u} A cada punto del espacio, P, le asociamos el vector OP, que tendrá unas
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas lineales
UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Relación de Problemas n o 3 Curso 005-006 Matrices, determinantes y sistemas lineales 54. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule
Más detallesPROPUESTA A. c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas.
PROPUESTA A 1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto) b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación, x 5 5x +
Más detallesMatrices. Operaciones con matrices.
Matrices. Operaciones con matrices. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) 4 A = B = ( ) C = D = 4 5 ( ) 4 E = F = seleccione las que se pueden sumar y súmelas. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) A =
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES JUNIO 06/07. a) Calcula el rango de la matriz A según los valores del parámetro a 3 a A = 4 6 8 3 6 9 b)
Más detallesDistancia entre dos rectas que se cruzan Perpendicular común
Perpendicular común En un espacio de tres dimensiones dos rectas se cruzan cuando no tienen ningún punto en común y no están contenidas en el mismo plano. Si no tienen ningún punto en común pero sí que
Más detallesMatemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2012 2013 Índice Sistemas de ecuaciones lineales 1 Interpretación geométrica y definición 1 Método de eliminación 4 Resolución de sistemas
Más detallesMétodo de eliminación de Gauss Utilidad del método. Transformaciones elementales. Teorema Rouché-Frobenius
Método de eliminación de Gauss Utilidad del método. Transformaciones elementales. Teorema Rouché-Frobenius c Jana Rodriguez Hertz p. 1/2 Método de eliminación de Gauss La clase pasada presentamos el método
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesRectas y Planos en el Espacio
Rectas y Planos en el Espacio Rectas y Planos en el Espacio Verónica Briceño V. septiembre 2012 Verónica Briceño V. () Rectas y Planos en el Espacio septiembre 2012 1 / 20 En esta Presentación... En esta
Más detallesCuestiones de Álgebra Lineal
Cuestiones de Álgebra Lineal Algunas de las cuestiones que aparecen en esta relación están pensadas para ser introducidas en un plataforma interactiva de aprendizaje de modo que los parámetros a, b que
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detallesEL ESPACIO AFÍN. se distinguen, además de su origen A y su extremo B, las siguientes
VECTOR FIJO Y VECTOR LIBRE. Sea E el espacio ordinario. EL ESPACIO AFÍN Llamaremos vector fijo a cualquier segmento orientado dado por dos puntos A y B del espacio E. Al punto A lo llamamos origen del
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
Más detallesMATEMÁTICAS: PAU 2016 JUNIO CASTILLA Y LEÓN
MATEMÁTICAS: PAU 26 JUNIO CASTILLA Y LEÓN Opción A Ejercicio A 5 a a) Discutir para qué valores de a R la matriz M = ( ) tiene inversa. Calcular M a para a =. ( 5 puntos) Para que exista inversa de una
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre 015 ax + b [ 5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 del 010 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida como f(x)= a.sen(x)+ bx + cx + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesRectas y Planos en el Espacio
Rectas y Planos en el Espacio Rectas y Planos en el Espacio Verónica Briceño V. octubre 2013 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Rectas En esta Presentación... En esta Presentación veremos:
Más detalles2. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
2. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS 2.1. RELACIONES ENTRE LOS PUNTOS DEL ESPACIO Y LOS VECTORES. AXIOMAS DEL ESPACIO AFÍN Entendemos por espacio afín tridimensional como el conjunto de puntos del espacio intuitivo
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x)
IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna germanjss@gmailcom Opción A Ejercicio opción A, modelo Junio 06 ln( + ) - a sen() + cos(3) ['5 puntos] Sabiendo que lim
Más detallesPruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG)
PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Matemáticas II º Bachillerato Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) PROPUESTA B EJERCICIO Dada la función Matemáticas II Septiembre
Más detallesEjercicios de Rectas y planos.
Matemáticas 2ºBach CNyT. Ejercicios Rectas, planos. Pág 1/9 Ejercicios de Rectas y planos. 1. Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de junio. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos.
Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos. Dado el sistema de ecuaciones lineales: { x ay = 2 se pide: ax y = a + 1 a) (2 puntos) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la
Más detallesSi A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?
MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detallesDeterminantes. Problemas teóricos. i=1. 2. De la fórmula general (1) deduzca la fórmula para el determinante de orden 3.
Determinantes Problemas teóricos Adradezco por varios problemas e ideas a los profesores de la ESFM Myriam Rosalía Maldonado Ramírez y Eliseo Sarmiento Rosales y al estudiante de servicio social Sadi Manuel
Más detallesPROPUESTA A. b) Para el valor de a obtenido, calcula los puntos de inflexión de la función f(x). (1 25 puntos)
PROPUESTA A 1A. a) Determina el valor del parámetro a R, para que la función f(x) = (x a) e x tenga un mínimo relativo en x = 0. Razona, de hecho, es un mínimo absoluto. (1 25 puntos) b) Para el valor
Más detallesREPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UNA RECTA Una recta puede ser representada de las siguientes formas:
LA RECTA Una recta queda definida en el espacio si se conocen: 1) Un punto de ella y la dirección de la recta, definiéndose ésta con un vector; o bien 2) Dos puntos de la recta; o 3) Dos planos no paralelos
Más detallesPlanos y Rectas. 19 de Marzo de 2012
el Geometría en el Planos y Rectas Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa 19 de Marzo de 2012 el Anteriormente vimos que es posible encontrar un número infinito de vectores, no paralelos
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:
TEMA Sistemas de ecuaciones SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,,,, n es un conjunto de m igualdades de la forma: a a an n b a
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 del 011 [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular
Más detalles1.1. CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS. son matrices escalonadas reducidas mientras que
1 1 PRELIMINARES 11 CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS Denición 1 Una matriz es escalonada si: 1 Todas las las nulas, si las hay, están en la parte inferior de la matriz 2 El número de ceros al comienzo
Más detallesProblemas de Geometría Analítica del Espacio
1) Dados los vectores u(4, 4, 8), v( 2,, 5), w(3, 5, 8) y a(22,, 11). Hallar los valores de x, y, z que verifican la combinación lineal a = x u + y v + z w. 2) Dados los vectores a( 5, 19, n) y b( h, 3,
Más detallesEjercicios de Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 2008
Ejercicios de Matrices, determinantes sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 8 - Dado el sistema de ecuaciones lineales 5 (a) ['5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [ punto] Resuélvelo
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesAlgunos objetivos de la signatura 2. Sean x 1,x 2,...,x n números reales distintos y sean y 1,y 2,...,y n números reales.
Algunos objetivos de la signatura 2 Ajustes por mínimos cuadrados Sean x 1,x 2,...,x n números reales distintos y sean y 1,y 2,...,y n números reales. Algunos objetivos de la signatura 2 Ajustes por mínimos
Más detalles3. Determinantes. Propiedades. Depto. de Álgebra, curso
Depto de Álgebra curso 06-07 3 Determinantes Propiedades Ejercicio 3 Use la definición para calcular el valor del determinante de cada una de las siguientes matrices: 3 0 0 α A = 5 4 0 A = 6 A 3 = 0 β
Más detallesTema 6: Ángulos y distancias en el espacio
Tema 6: Ángulos y distancias en el espacio February, 017 1 Ángulos entre elementos del espacio Los ángulos entre elementos del espacio, es una aplicación sencilla del producto escalar. Recuerdo las condiciones
Más detallessolucionario matemáticas II
solucionario matemáticas II UNIDADES 8-4 bachillerato 8 Determinantes 4 9 Sistemas de ecuaciones lineales 46 Fin bloque II 0 Vectores 8 Rectas planos en el espacio 68 Propiedades métricas 08 Fin bloque
Más detallesEspacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.
Más detallesMATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales
Más detallesTERCER EXAMEN PARCIAL ALGEBRA LINEAL I 23 DE MAYO DE 2014 (CON SOLUCIONES)
TERCER EXAMEN PARCIAL ALGEBRA LINEAL I 23 DE MAYO DE 2014 (CON SOLUCIONES) Instrucciones: Resolver los 5 problemas justificando todas sus afirmaciones y presentando todos sus cálculos. 1. Sea F un campo.
Más detallesRango de una matriz. Antes de nada daremos algunas definiciones. Para ello supongamos que tenemos una matriz de orden m n: A M m n.
En un artículo anterior dijimos que el rango de una matriz A, ra), es el número de filas que son linealmente independientes. También se hizo uso del método de Gauss para calcular el rango de una matriz:
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Selectividad Septiembre 011 Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger
Más detallesEjercicios tipo final
Ejercicios tipo final En la primera parte pondremos los enunciados de los ejercicios, en la segunda algunas sugerencias y en la tercera se encuentran las resoluciones 1 Ejercicios 1 Si A R 3x2, B R 2x1
Más detallesEjercicios tipo test de las lecciones 1 y El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1, 2, 1) y
Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Ejercicios tipo test de las lecciones 1 y 2. 1. El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1,
Más detalles[2 5 puntos] Sea f la función definida, para x 0, por. Determina las asíntotas de la gráfica de f. Solución
Ejercicio n º 1 de la opción A de junio de 2008 [2 5 puntos] Sea f la función definida, para x 0, por. Determina las asíntotas de la gráfica de f. La recta x = a es una asíntota vertical (A.V.) de la función
Más detallesEJERCICIOS DE DETERMINANTES
EJERCICIOS DE 1) Si m n = 5, cuál es el valor de cada uno de estos determinantes? Justifica las p q respuestas: 2) Resuelve las siguientes ecuaciones: 3) Calcula el valor de estos determinantes: 4) Halla
Más detallesSistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (3ª Parte)
Sistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (ª Parte) Definición: Sistemas Equivalentes Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto solución Teorema fundamental
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen de junio. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento,
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. Matrices y determinantes.
Capítulo 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales Matrices y determinantes 31 Sistemas de Ecuaciones Lineales El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación
Más detallesCapítulo 2. Determinantes Introducción. Definiciones
Capítulo 2 Determinantes 2.1. Introducción. Definiciones Si nos centramos en la resolución de un sistema A x = b con A una matriz n n, podemos calcular A 1 y la resolución es inmendiata. El problema es
Más detallesGeometría del plano y el espacio
Geometría del plano y el espacio AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Geometría del plano y el espacio 1 / 21 Objetivos Al final de este tema tendréis que Conocer
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesGEOMETRIA EN EL ESPACIO
GEOMETRIA EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO EN EL ESPACIO Una recta queda determinada por un punto conocido P, y un vector director. Luego, si X es un punto genérico de la recta, se obtiene
Más detallesx + 1 y 4 z x + 3 y z 1 x 3 y 2 z + 8
Paralelismo y perpendicularidad MATEMÁTICAS II 1 1 Una recta es paralela a dos planos secantes, a quién es también paralela? Una recta paralela a dos planos secantes también es paralela a la arista que
Más detallesINSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN OPCIÓN A
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Instrucciones: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una y sólo una de ellas, y resolver los cuatro ejercicios de que consta. No se permite
Más detallesPROPUESTA A. 3A. a) Despeja X en la ecuación matricial X A B = 2X donde A, B y X son matrices cuadradas
PROPUESTA A 1A a) Calcula el valor de a R, a > 0, para que la función sea continua en x = 0. b) Calcula el límite 2A. Calcula las siguientes integrales (1 25 puntos por cada integral) Observación: El cambio
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Álgebra Problema 1: Se consideran las matrices: donde m es un número real. Encuentra los valores de m para los que A B tiene inversa. Problema 2: Discute el sistema de ecuaciones lineales Según los valores
Más detallesIES Francico Ayala Examen modelo 1 del Libro 1996_97 con soluciones Germán Jesús Rubio luna. Opción A
Opción A Ejercicio n 1 de la opción A del modelo 1 del libro 96_97 De una función continua f : R R se sabe que si F : R R es una primitiva suya, entonces también lo es la función G dada por G(x) 3 - F(x).
Más detallesGEOMETRÍA EN EL PLANO. Dos rectas perpendiculares tienen las pendientes inversas y de signo contrario. Calculamos la pendiente de la recta dada:
GEOMETRÍA EN EL PLANO. La ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, 6) y es perpendicular a la recta 4x y + = 0 es: A) x + y + 8 = 0 B) 6x 4y 48 = 0 C) x + y = 0 (Convocatoria junio 00. Examen tipo
Más detallesMatrices y Sistemas Lineales
Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a
Más detallesMATEMÁTICAS: EBAU 2017 MODELO CASTILLA Y LEÓN
MATEMÁTICAS: EBAU 207 MODELO CASTILLA Y LEÓN Opción A Ejercicio A x y + z = Dado el sistema de ecuaciones lineales { 3x + λy =, se pide: 4x + λz = 2 a) Discutir el sistema (existencia y número de soluciones)
Más detallesMatrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1
Matrices José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 1 Introducción Por qué estudiar las matrices? Son muchas las situaciones de la vida real en las que
Más detallesCapítulo 8: Vectores
Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES
EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que
Más detallesLas variedades lineales en un K-espacio vectorial V pueden definirse como sigue a partir de los subespacios de V.
Capítulo 9 Variedades lineales Al considerar los subespacios de R 2, vimos que éstos son el conjunto {(0, 0)}, el espacio R 2 y las rectas que pasan por el origen. Ahora, en algunos contextos, por ejemplo
Más detallesAquella que tiene nulos los elementos nos situados en la diagonal principal. Los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.
Álgebra lineal Matrices Rango de una matriz Orden del mayor menor complementario no nulo. Matriz regular det A Diagonal principal Elementos a ii de la matriz. Si la matriz es cuadrado son los elementos
Más detallesRecta en en el plano
Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemática Recta en en el plano Autor: Dr. Francisco Vittone
Más detalles