Matemáticas II TEMA 11 La integral definida Problemas Propuestos y Resueltos

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1 Análisis Intgral dfinida Matmáticas II TEMA La intgral dfinida Problmas Propustos y Rsultos Intgrals dfinidas Halla l valor d: 7 a) ( + ) d b) 5 + d c) + d d) Para hallar una primitiva d cada función hay qu ajustar constants + d d a) ( + ) b) d d ( ) c) + d d) ( ) 7 ( + ) / / / 7 + d ( + ) ( 8 ) / + d ( + ) d + 6 ( ) Calcula la intgral ln( ) d Aplicando una d las propidads d los logaritmos ln( ) d Una primitiva d sa función pud calculars por l método d parts Tomando: u ln du d ; dv d v Lugo: ln d ln d ( ln ) Por tanto: ln d [ ln ] [ ln (ln ) ] ln( ) d

2 Análisis Intgral dfinida Utilizando l cambio d variabl t ln calcula Si t ln dt d Admás: si, t ln ; y si, t ln d ( + ln ) Por tanto, d ( + ln ) ( t ) ( ) d ( + ln ) ln( + ) ln 6 ln 5 ln 5 6 dt + t Calcula las siguints intgrals dfinidas: a) arcsin d b) ln ( + ) d En ambos casos, una primitiva d las funcions dadas s obtin por l método d parts a) Para arcsin d s hac: u arcsin y dv d du d ; v Lugo, arcsin d arcsin d arcsin + Por tanto, arcsin d π arcsn + d s toma: b) Para calcular ln ( + ) u ln ( + ) y dv d Lugo du d d ; v ln ( + ) d ( ) d ( ) Por tanto ln ( + ) d ( ) ln ln ( ) ln ln( ) +

3 Análisis Intgral dfinida 5 (Propusto n Slctividad, Madrid) Calcula razonadamnt las siguints intgrals dfinidas: π / sin a) cos d b) d π + cos a) La intgral cos d hay qu hacrla por parts Hacindo u y cos d dv, s tin: du d ; v sin cos d sin sin d La sgunda intgral, Tomando: u sin y d dv d, también db hacrs por l método d parts sin du d y cos v Lugo, cos d sin cos + cos d 5 cos d sin + cos sin d ( sin + cos ) 5 Por tanto, cos d π ( ) π sin + cos 5 π π [( sin π + cos π) ( sin + cos) ] ( ) 5 5 / sin b) d π + cos Hacindo l cambio cos t cos ( sin ) d dt sin cos d dt Como sin sin cos, la intgral inicial quda: sin sin cos d d dt ln t ln( + cos ) + cos + cos + t Por tanto, π / sin d ln + cos + cos ln + cos ( π / ) ln + cos π / ( ( ) ( ) ( ( ) ln+ ln ln

4 Análisis Intgral dfinida Cálculo d áras d rcintos planos 6 Calcula l ára d la rgión limitada por y, l j OX y las rctas, La función y, qu s una hipérbola quilátra, pud trazars dando algunos puntos: (,5, 8); (, ); (, ); (, ); (8,,5) La rgión s la sombrada n la gráfica adjunta El ára vin dada por la intgral dfinida: d [ ln ] ln unidads cuadradas (u ) 7 Halla la suprfici dl rcinto plano ncrrado ntr la curva dada por la función f ( ) y l j OX, n l intrvalo [, ] En l intrvalo considrado, l signo d la función s ngativo, por tanto, la suprfici buscada vin dada por: S d Aunqu la gráfica no s imprscindibl, s buno hacrla; al mnos, sbozarla También podría dcirs qu S d La intgral d s hac por parts Tomando: u y dv d du d ; S tin: d Lugo: S d d v [ ] u 8 Calcula l ára ncrrada ntr la curva d la función f ( ) y l j OX, n l + intrvalo [, ] Como n l intrvalo d intgración la función s positiva, l ára pdida s: ln( ) + + A d + d ln ln ln u

5 Análisis Intgral dfinida 5 9 Halla l ára d la rgión plana limitada por la curva y sin y l j OX n l intrvalo [, π] La función y sin s priódica d priodo π Corta al j OX n los puntos, π/ y π Su gráfica s pud trazar a partir d la d la función sno El ára pdida s la sombrada n la figura adjunta Lugo: π / π / S sin d cos u Halla l ára d la rgión plana limitada por la curva y ( sin ) cos y l j OX n l intrvalo [, π/] Como la función s positiva n l intrvalo d studio, la suprfici buscada s: π / π / S ( sin ) π cos d ( sin ) sin sin u Halla l ára ncrrada ntr la curva y y l j OX, ntr y El rcinto s l sombrado d la figura adjunta (No s ncsario dibujarlo, pus la función s positiva n l intrvalo d intgración) El ára s: d [ ln ] ln ln u Calcula l ára d la rgión limitada por la función y y la rcta qu pasa por los puntos (, ) y (, ) La rcta qu pasa por los puntos (, ) y (, ) d la curva tin por cuación: y y + 5 El rcinto s l sombrado n la figura adjunta El ára d sa rgión vin dada por la intgral dfinida: 5 5 d 5 ln ln u

6 Análisis Intgral dfinida 6 Calcula l ára comprndida ntr las parábolas y + +, y El ára s la dl rcinto sombrado n la figura adjunta (Como las gráficas son parábolas pudn trazars fácilmnt, dando algunos valors) Las curvas s cortan n y n /, qu son las solucions dl la cuación: Lugo: / / ( ( )) ( ) S + + d d / u Halla l ára dl rcinto plano comprndido ntr las gráficas y y El rcinto plano comprndido ntr las gráficas y y, qu pud trazars dando algunos valors, s l adjunto Los puntos d cort s obtinn rsolvindo la cuación, cuyas solucions son y La curva qu va por ncima s y Lugo: ( ) / S d u 5 Calcula l valor d a para l qu las tangnts a la curva y + a n los puntos d abscisa d valor absoluto, pasan por l orign d coordnadas Halla l ára dl rcinto limitado por la curva y las dos tangnts La tangnt a y f( ) n l punto d abscisa s y f( ) f ( ) ( ) En nustro st caso, como f ( ), s tin: En : y ( + a) ( ) y + a Como db pasar por (, ) + a a La tangnt s: y + + y + a Por pasar por (, ) + a a La tangnt s: y En : y ( a) ( ) El rcinto limitado por la curva y las dos tangnts s l sombrado n la figura adjunta El ára pdida val: A ( + ) d AT + AT s un triángulo d bas y altura u

7 Análisis Intgral dfinida 7 6 Calcula l ára ncrrada ntr las curvas dadas por las funcions f ( ) y g( ) + Para dtrminar l ára intrsa conocr los puntos d cort d las curvas y sabr qué curva va por ncima d la otra ntr sos puntos d cort También s convnint hacr un squma gráfico d la situación Puntos d cort: f ( ) g( ) + + ( + ) ( )( ) Las curvas s cortan cuando, y Posición d las curvas n los intrvalos (, ) y (, ) S hac la difrncia g( ) f ( ), qu s g ( ) f ( ) ( ) ) Lugo: Si < <, g ( ) f ( ) ( ) ) ( + ) ( ) ( ) > g() va por ncima d f () Si < <, g ( ) f ( ) ( ) ) ( + ) ( + ) ( ) < g() va por dbajo d f () Por tanto, l ára pdida vin dada por ( g ) f ( ) ) d + ( f ( ) g( ) ) S ( d ( + ) d + ( + ) S d u El squma gráfico, qu pud obtnrs calculando y rprsntando algunos puntos d las curvas, s l adjunto 7 Calcula l ára d la rgión acotada dl plano limitada por la curva y + y la rcta y La curva y + y la rcta y s cortan cuando, y, qu son las solucions d + ( + ) La rgión acotada por llas s la sombrada n la figura adjunta El ára pdida s A A + A ( ) ( ) + d + + d u

8 Análisis Intgral dfinida 8 8 Halla l ára dl rcinto limitado por las curvas d cuación Las curvas s cortan cuando Sus solucions son, y Las curvas son las adjunta; pudn rprsntars dando valors: (, ); (, ); (, ) Por tanto: S ( ) d u y y 9 D la función f ( ) a + b + c + d s sab qu tin un máimo rlativo n, un 5 punto d inflión n (, ) y qu f ( ) d Calcula a, b, c y d f ( ) a + b + c + d pasa por (, ) f () d f ( ) a + b + c máimo n f () a + b + c (*) f ( ) 6a + b inflión n (, ) f () b b Lugo, la función s: f ( ) a + c con a + c (*) c a f ( ) a a Como 5 f ( ) d a y c 5 ( a a) d a a 5 a a 5 La función s: + f ( ) (Propusto n Slctividad) Calcula l ára dtrminada por las curvas d cuacions y y, rprsntadas n l dibujo adjunto Los puntos d cort d las gráficas s n rsolvindo l sistma: y y,, La curva qu va por ncima, n l intrvalo [, ], s y Por sto, y por la simtría d ambas curvas: S ( + ) d d ( ) u

9 Análisis Intgral dfinida 9 Calcula l ára dl rcinto plano limitado por la parábola y y por la rcta y El rcinto s l sombrado n la figura adjunta Pud dibujars dando algunos puntos: Para la parábola: (, ); (, ) y (, ); (, y (, ) Para la rcta: (, ) y (, ) El cort d la rcta con la parábola s produc cuando +, El ára srá: S + d + ( + + ) d / / 6 9 ( + ) + ( + ) u Calcula l ára ncrrada ntr la gráfica d la función ponncial a la misma qu un los puntos d abscisas y Los puntos d la gráfica son: P (, ) y Q (, ) En la figura s dibuja la curva y la curda f ( ) y la curda El ára ncrrada ntr la curva y la curda s la d la part sombrada n la figura Su valor s la difrncia dl ára dl trapcio y la qu quda ntr la curva y l j OX ( + ) El ára dl trapcio s: ATRAP + El ára ntr la curva y l j OX s: A d + u Por tanto, l ára d la rgión sombrada s: ( ) Halla l ára d la rgión limitada por las curvas y sin y cos y las rctas π/ y 5π/ La rgión s la sombrada n la figura adjunta En l intrvalo [π/, 5π/] la curva dl sno va por ncima d la dl cosno Por tanto, l ára pdida vin dada por la intgral dfinida 5 π/ 5 π/ ( sin cos ) d [ cos sin ] π/ π/ 5π 5π π π cos sin + cos + sin u

10 Análisis Intgral dfinida Dibuja l rcinto finito dl plano limitado por la rcta, la parábola 8 hipérbola y Calcula su ára Las gráficas s trazan fácilmnt dando valors Algunos puntos: Parábola y : (, ); (, ), (, ) 8 Hipérbola y : (, 8); (, ); (, ); (8, ) y y la Puntos d cort d la rcta con las curvas: (, ) con la parábola; (, 8) con la hipérbola Cort ntr las curvas: y 8 8 y 8/ El rcinto s l sombrado n la figura antrior Su ára vin dada por: A 8 d 8ln 8 7 8ln 8ln u 5 (Propusto n Slctividad, Etrmadura) a) Calcula los puntos d cort d la rcta y y d la rcta y con la rama hiprbólica y, > b) Dibuja l rcinto plano limitado por las trs curvas dl apartado antrior c) Calcula l ára d dicho rcinto a) Los puntos d cort d la curva con cada una d las rctas s obtinn rsolvindo los sistmas: y y (, ); (, ); y y y (, ) y b) Su gráfica s la adjunta Para rprsntar cada curva basta con dar algunos valors c) El rcinto sombrado pud dscomponrs n dos parts: l triángulo rctángulo d la izquirda, cuya ára val u ; y l triángulo curvo d la drcha, cuya ára s calcula por la intgral dfinida d [ ln ] ln ( ln ) ln u Por tanto, l ára total dl rcinto val ln u

11 Análisis Intgral dfinida 6 Halla l ára dl rcinto limitado por las curvas rcta El rcinto pdido s l sombrado n la figura adjunta y +, y y la Cort d las curvas: + El ára vin dada por: + + ( ) ( ) d (Propusto n Slctividad, Navarra) Dadas las funcions f ( ) 5 y g ( ), calcula l ára d la rgión dl plano ncrrada ntr las gráficas d f () y g () Ambas gráficas pudn dibujars dando algunos pars d valors S cortan n la solución dl sistma: y y / 5 ± 5 6 ±; ± Los puntos d cort son: (, ); (, ); (, ); (, ) La rgión s la sombrada n la figura adjunta Su ára vin dada por: A 5 d + d d u

12 Análisis Intgral dfinida Torma fundamntal dl cálculo intgral 8 Aplicando l torma fundamntal dl cálculo, halla los valors d las constants a, b, c y d, sabindo qu: ( t + ) ( ) t t dt a b c d El torma fundamntal dl cálculo intgral dic: Si f () s una función continua n [a, b] y F () s dfin como F ( ) f ( t) dt, ntoncs a F () s drivabl n [a, b] y su drivada s F ( ) f ( ) Por tanto, si ( t t ) t dt ( a b c d ) ( ) ( ) una primitiva d f( ) ( + ) Esto s: F ( ) ( a + b + c + d ) ( +) Lugo: a + b + c + a + b + c + d ( +) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) a + a+ b + b+ c + c+ d ( +) Idntificando coficints s obtin: a ; b ; c 5; d 9 (Propusto n Slctividad) Halla los puntos dond s anula la drivada d la función Sa ( t t+ ) g( ) dt F a b c d s ( t t+ ) f ( ) + dt Por l torma fundamntal dl cálculo intgral s tin: ( ) ( t t+ ) ( ) g dt G t G ( ) G () g ( ) G( ) G() t t+ sindo G ( t) Drivando: g ( ) G( ) G() ( ) Con sto, como f ( ) + g( ), s tndrá: f ( ) + g ( ) + g ( ) G( ) G() G ( ) + + Si f ( ), ntoncs: ;

13 Análisis Intgral dfinida Si f s una función continua n l intrvalo [, ] tal qu f () t dt f () t dt, s pud asgurar qu istn dos númros, b y c prtncints a [, ], tals qu b, c y f ( b) f ( c)? Por l torma dl valor mdio dl cálculo intgral, s sab qu si f( ) s continua n l intrvalo [a, b], ntoncs ist un punto [a, b] tal qu f( ) d ( ) f( ) Aplicando st torma n l intrvalo [, ], pud asguras qu ist b [, ], sto s, < b <, qu vrifica ( ) f( t) d t ( ) f( b) f( b) Análogamnt, para l intrvalo [, ], ist c, con < c <, tal qu f ( t) dt ( ) f ( c) f ( c) En conscuncia, como f ( t) dt f ( t) dt, pud asgurars qu istn dos númros b y c, prtncints a [, ], tals qu b, c y f ( b) f ( c) (Propusto n Slctividad, Madrid) Sa la función t F( ) dt a) Calcula F ( ), studia l crciminto d F( ) y halla sus máimos y mínimos b) Calcula F ( ) y studia la concavidad y convidad d F( ) Esboza la gráfica con los datos obtnidos Por l torma fundamntal dl cálculo intgral, t F( ) dt G( t) G( ) G(), sindo a) Drivando F ( ) G ( ) F ( ) G ( ) G(), s dduc: t G ( t) F ( ) Esta drivada s anula n Para >, F > F srá crcint (Para < db suponrs qu la función no stá dfinida; o, al mnos, qu no s sab nada) Lugo, n la función F( ) tin un mínimo, qu srá absoluto b) ( ) F ( ) 8 inflión F ( ) n, qu s un punto d

14 Análisis Intgral dfinida (La solución ca fura dl dominio) Si < <, F >, lugo F s conva ( ) Si >, F <, lugo F s cóncava ( ) Con sto, la gráfica d F pud sr la adjunta (Propusto n Slctividad, Madrid) Sa f una función ral d variabl ral, continua y positiva, tal qu f ( t ) dt + arctg + a Dtrmina l valor d la constant a y halla f( ) aplicando l Torma Fundamntal dl Cálculo Sa F( ) f ( t) dt + arctg + a En conscuncia, F() f ( t) dt + arctg + a + a a Como Ft () s una primitiva d f() t, s tndrá qu: F ( ) f ( ) f( ) + + (Propusto n Slctividad, La Rioja) sin t Sa la función F( ) dt, dfinida para t Halla sus máimos y mínimos rlativos Por l torma fundamntal dl cálculo intgral s tin qu si a F ( ) f ( t) dt, ntoncs F ( ) f ( ) Por tanto, n st caso, sin F ( ) Los máimos y mínimos s dan n las solucions d F ( ) qu hacn ngativa o positiva a F (), rspctivamnt sin F ( ) kπ, k,, (cos ) sin Drivada sgunda: F ( ) Signo d la drivada sgunda n los puntos kπ, k,,

15 Análisis Intgral dfinida 5 nπ Si k s par: π, π,, nπ, F ( nπ ) > Hay mínimos ( nπ) ( n + ) π Si k s impar: π, π,, (n + )π, F ((n+ ) π ) < (n + ) π máimos ( ) Hay sin t Por tanto, F( ) dt tin máimos n los puntos π, π, 5π, ; y tin mínimos t cuando π, π, 6π, (Propusto n Slctividad, Andalucía) Sa f una función continua n l intrvalo [, ] y F una primitiva d f tal qu F() y F(), calcula: a) f ( ) d b) ( 5 f ( ) 7)d c) ( F ) f d a) ( ) ( ) f ( ) d F( ) F() F() 5 f ( ) d 7 d 5 ( 7) 5 + b) ( 5 f ( ) 7)d c) ( F ( ) ) f ( ) d ( ) ( ) ( ) F( ) F() F() 7 5 (Propusto n Slctividad, Madrid) 8 Sa f () una función continua tal qu f ( u) du Halla f ( d ) Si s hac u d du ; y si, u 8 Con sto: 8 f ( ) d f ( ) d f ( u) du

16 Análisis Intgral dfinida 6 Volúmns 6 Calcula l volumn dl curpo gnrado al girar alrddor dl j OX d la suprfici limitada por la curva y sin y l j OX, ntr y π El volumn pdido val: π π π cos π sin sin u V π d π d π Rcuérds qu cos sin 7 Halla l volumn gnrado al girar alrddor dl j OX l rcinto plano dtrminado por dicho j y la curva y La gráfica d y s la adjunta Pud trazars calculando los puntos d cort con los js y dando algunos valors El rcinto plano s ha sombrado El volumn ngndrado s: ( ) V π y d +π y d π y d π d π π ( + ) d π u 5 8 Halla l volumn dl curpo limitado por la lips + y al dar una vulta complta 5 alrddor dl j OX La lips stá cntrada n l orign y tin por smijs: a 5 y b (Rcuérds qu la y cuación d una lips cntrada n l orign d smijs a y b s + ) a b El volumn pdido vin dado por (u ) V π y d π y d π d π π 9 S considran, n l plano, las curvas d cuacions y + y S pid: a) El ára dl rcinto finito dtrminado por dichas curvas b) El volumn dl curpo d rvolución obtnido al girar dicho rcinto alrddor dl j OX

17 Análisis Intgral dfinida 7 Las curvas son dos parábolas Dando algunos valors s pudn trazar y dtrminar los puntos d cort, qu son y : las solucions d la cuación + El rcinto qu dtrminan s l sombrado n la figura siguint a) El ára ncrrada ntr sas curvas s: 6 6 A + d + d u b) El volumn dl curpo d rvolución corrspondint val: 5 π u V π + d π + d π + Otros problmas Halla l ára ncrrada por la gráfica d la función f( ) sin y l j d abscisas ntr l orign y l primr punto positivo dond f s anul Los puntos d cort d f( ) sin con l j d abscisas son kπ El primr punto d abscisa positiva s π Como n l intrvalo [, π] la función no toma valors ngativos, l ára pdida vin dada por la intgral π sin d Una primitiva d sin d s obtin por l método d parts Hacindo: u y sin d dv d du y cos v Lugo, sin d cos + cos d Para hacr la sgunda intgral, cos d, s aplica nuvamnt l método d parts Tomando: u y cos d dv d du y v sin Lugo, cos d sin sin d sin + cos Por tanto: sin d cos + ( sin + cos ) En conscuncia, π sin d cos ( sin cos ) ( ) π + + π π

18 Análisis Intgral dfinida 8 Aplicando l cálculo intgral confirma qu la fórmula dl ára dl círculo d radio R s S π R (Dato: La cuación d una circunfrncia d radio R s + y R ) Dtrmina también l volumn d la sfra dl mismo radio La suprfici dl círculo s cuatro vcs la dl cuarto d círculo situado n l primr cuadrant D + y R y R Lugo, R S R d t π/ R t Hacindo Rcost R Rsin t d Rsin tdt Sustituyndo: R S R d cos t R sin t dt R dt π/ π/ π R t sin t R π R π/ La sfra s obtin al girar l círculo alrddor dl j OX Su volumn vin dado por la intgral: V R y d R R π ( ) R R π R d π R π R πr R (Propusto n Slctividad) El númro d pasajros qu pasan por la trminal d un aropurto s ajusta durant un día dtrminado a la función P( t) t t, sindo t l timpo n horas y P(t) l númro d viajros n l momnto t a) Rprsnta la gráfica d la función n l contto dl problma Cuál fu la máima afluncia dl día y n qué momnto s da? b) Qué cantidad d viajros pasa por sa trminal dsd las horas hasta las 8 horas? a) P( t) t t t( t ) Val n los instants t y t,78 h h 7 min Drivando: P ( t) t, qu s anula cuando t Si < t <, P ( t ) > P(t) s crcint Si < t <, P ( t ) < P(t) s dcrcint Por tanto, l máimo s da cuando t, sindo l númro d pasajros P() 56 Dando algunos valors más pud trazars su gráfica, qu s la adjunta R

19 Análisis Intgral dfinida 9 Valors: (, ); (6, 76); (, ); (, 56), máimo; (5, 5); (8, 9); (, 6) b) El númro d viajros qu pasa por sa trminal ntr las y las 8 horas vin dado por l valor d la intgral: 8 8 t C ( t t ) dt 6t 7 pasajros (Propusto n Slctividad, Galicia) El timpo, n horas, qu tarda un autobús n hacr l rcorrido ntr dos ciudads s una variabl alatoria con función d dnsidad: f ( ),( ), si [, ]; y n otro caso a) Calcula l timpo mdio qu tarda n hacr l traycto b) Calcula la probabilidad d qu la duración dl traycto sa infrior a dos horas a) Si f () s la función d dnsidad d una variabl alatoria continua dfinida n [a, b], su mdia vin dada por b µ f ( ) d a En st caso:,9, µ,( ) d,5,5, 8 b) Si X s la variabl qu mid l timpo dl traycto, hay qu hallar P(X ) O, lo qu s lo mismo, P( X ) En l contsto dl problma: P( X ),( ) d,9,,5, 65 Halla l ára limitada por la curva y, l j d abscisas, y la rcta a, sindo a la abscisa dl punto máimo d la curva Drivando s tin: y y ( ) y ( ) ( 6) La drivada primra s anula si ( ) o La drivada sgunda s ngativa n y positiva n Por tanto, l máimo s da n a La curva corta al j OX n ; por tanto, l intrvalo d intgración s, En dicho intrvalo la curva s simpr positiva, lugo l ára pdida s:

20 Análisis Intgral dfinida / / / / d ( ) d + 5 Sa f( ) una función drivabl n (, ) y continua n [, ], tal qu f() y f ( ) d Utilizando la fórmula d intgración por parts halla Si n la intgral f ( ) d s toma: f ( ) d u y f ( ) d dv du d y v f () Por tanto: f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d Lugo: f ( ) d [ f ( ) ] f ( ) d f () f ( ) 6 (Propusto n Slctividad, Asturias) S considra la curva d cuación y + a) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d sa curva n l orign b) Dibuja un squma dl rcinto limitado por la gráfica d la curva y la rcta hallada c) Calcula l ára d s rcinto a) y + y + y ( ) ; y ( ) Tangnt n (, ): y ± 6 / b) La drivada s anula, +, cuando 6 Como y 6 y ( / ) < ; y ( ) > Lugo, n / s tin un máimo y n, un mínimo La rcta tangnt corta a la curva cuando + y Algunos puntos d la gráfica d la curva son: (, ); (, ); (/, /7), máimo; (, ), mínimo; (, ) c) El rcinto comprndido ntr la rcta y la curva s l sombrado n la figura adjunta Como n l intrvalo [, ] la rcta va por ncima d la curva, l ára pdida vin dtrminada por la intgral ( ( )) ( ) A + d + d u