Una condición necesaria y suficiente para que el triangulo PBP sea equilátero es que el ángulo HBP sea 30º. b que es la relación buscada.
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- Ricardo Olivera Montoya
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1 Hoj de Prolems Geometrí III 49. Dd l elipse, si tommos el etremo B de ordend positiv del eje menor omo entro, se desrie un irunfereni de rdio igul diho eje menor, ortr l elipse en dos punto P P. Determinr l relión que dee eistir entre los semiejes de l elipse pr que el tringulo BPP se equilátero. Demostrión. Un ondiión neesri sufiiente pr que el tringulo PBP se equilátero es que el ángulo HBP se 0º. En onseueni, ls oordends de P son: os0 - sen0(- ) puesto que P h de estr en l elipse, se verifirá: ( ) que es l relión usd. 0. Hllr l euión de l superfiie (onoide) formd por ls rets que son prlels l plno 0 se pon en l ret: 0 r 4 l urv P 4 Clulr el volumen situdo en el otnte 0, 0, 0 limitdo por l superfiie hlld, los plnos oordendos el plno. Demostrión. (,0,0 ) 4 es un punto (,0,) un vetor de direión de l ret r; sí un punto genério de r es ( 4 λ,, µ ). Un punto genério de l urv P es (4 µ,, µ ) Un vetor de direión de ls rets que pon en P r es (( λ µ,, λ µ ) Al estr intersetdo por ls rets que son prlels 0, h de ser, λ µ 0. L euión del onoide usd es: /8
2 4 λ ρ( λ λ ρ λ ) 4 0 () Se S O l prte del onoide situd en el primer otnte entre los plnos 0 e. Si ( O O, O ) SO, se tiene evidentemente, que 0. De (), despejndo, se otiene: ( )( ) () Si O [ 0,] ( O, O, O ) SO, por () se otiene que O [ 0,] verifir 0 0. Además pr d (,) [ 0,] [ 0,] (,, ) SO. En onseueni el volumen V usdo es: V 4 O, que se h de eiste un únio, el ddo por (), tl que 8 dd 4 d (4 ) d De un tringulo ABC retángulo en A, se onoen el teto A l distni de B l inentro. Construir el tringulo. Demostrión. En el tringulo BHI: BI BH IH Designndo por r l rdio de l irunfereni insrit: BI BH r () Es evidente que el perímetro p de ABC es: p BH CH r BH CM MA BH AC /8
3 Luego: BH p AC p BH CH r BC r r p BC Sustituendo en (), hiendo BC, AC, AB: BI ( p AC) ( p BC) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (). De todo lo nterior, si onstruimos un irunfereni de rdio tngente SRBI, qued: trmos l SR RP PQ ( RQ PQ) RQ ( RQ ) RQ es deir : BI RQ( RQ ) omprndo on () qued RQ. Conoidos l hipotenus un teto, l onstruión del tringulo es inmedit. En el espio eulídeo, se onsider un ret vrile s, que se po sore dos rets fijs r r en los puntos R R respetivmente, de form que s r son ortogonles. Llmndo V l ángulo que formn los plnos determindos por (r,r ) (r,r), ompror que d(r,r ) tgv es onstnte. (d(r,r ) signifi distni entre R R. Demostrión. Se u un vetor de direión de r, v un vetor de direión de r w el vetor RR. Supondremos demás, por omodidd, u v elegidos de tl mner que el ángulo que formn, (u,, verifique 0 < ( u, < π /. ) Supongmos 0<(u,<π/. Un vetor perpendiulr l plno determindo por r R es perpendiulr l plno determindo por r R es v w. u v. Un vetor Se tiene: ( u w v w os( u w, () ( u w v wsen( u w, () por ls propieddes del produto vetoril semos que: ( ( u ( w w) ( u w)( w /8
4 [ u, w, w] v [ u, w v]w (, Al ser u w 0, por ser r s perpendiulres, [ u, w, w] 0 result: ( ( u w u v os( u, w () [ u, w v] w (, (4) Sustituendo () (4) en () () respetivmente: u v os( u, w u w v w os( u w, [ u, v, w] w u w v wsen( u w, por tnto el seno el oseno del ángulo ( u w, son positivos. Así ( u w,, est omprendido entre 0 π/ oinide on ello on V. Teniendo en uent que V ( u w, otenemos de () (): [ u, w, v] w [ u, w, v] ( tgv ( u w) ( v w) v u os( u, w () v u os( u, w por otro ldo l distni entre l rets r r, d, viene dd por: De () () se otiene que: [ u, v, w] [ u, v, w] d (). u v v u sen( u, [ u, v, w] dsen( u, d ( R, R ) tgv w tgv dtg( u, de donde l ser v u sen( u, os( u, ángulo (u, onstnte, lo es d(r,r )tgv. ) Si (u,0 rr son prlels V0. en onseueni dtgv0. ) Si (u, π/, V es π/ no est definido el produto d tgv.. Dds ls irunferenis C C, us euiones respetivs son: ( ) ( 4) 4 4/8
5 se onsider un inversión uo polo es el origen de oordends l irunfereni de puntos doles tiene de rdio l uerd omún de C C. Determinr nlíti gráfimente: ) Ls figurs inverss de C C. ) El ángulo jo el que se ortn ms irunferenis. ) L figur invers de l prte omún los írulos limitdos por C C. Demostrión. ) Por psr C C por el entro de inversión son rets que no psn por el entro. L ret r invers de C psr por el punto A, dole en l inversión, será perpendiulr l rdio o o. Análogmente, l ret r invers de C psrá por el punto A será perpendiulr l rdio o o. ) Por onservr l inversión los ángulos, el ángulo de orte es el que formn ls rets r r, esto es π/ rdines. ) En l inversión, los puntos interiores C se trnsformn en puntos de semiplno determindo por r que no ontiene o reípromente. Análogmente, los puntos interiores de C son homólogos on los del semiplno determindo por r que no ontiene o. L figur invers pedid es, por lo tnto, l región ngulr limitd por r r opuest l que ontiene o. Anlítimente: Como C C psn por o(0,0), ls oordends de A son l soluión distint de (0,0) del sistem: ( ) ( 4) A(, ) 8 0 l rón de l inversión es (d(o,a)) 4 / el polo es O, luego son puntos 4 4 homólogos (,), ). ) Se (,) el homologo de ( α, β) C, ( α, β) (0,0). Es entones: ( 4 4 α, β) (, ) /8
6 luego que es l euión de un ret, r, invers de C. Análogmente, l figur invers de C es l ret de l euión 8/. ) Es el ngulo que formn sus respetivs figurs inverss, ls rets / 8/, es deir π/ rdines. ) Proediendo de form nálog l prtdo ), si ( α, β) es interior C, esto es tl que α β 4β < 0 su homologo (,) verifi >/. Análogmente si (,) es el homologo de ( α, β), interior C, (,) verifi >8/. 8 L figur invers pedid es: (, ) R >, > 4. Se tom un punto D en el ldo A de un tringulo ABC ddo. L ret CD se ort en E l prlel l ldo BC trd por A. ) Determinr l posiión del punto D pr que l sum de ls áres de los tringulo BCD AED se mínim. ) Clulr el vlor de este áre. Demostrión. ) Sen hmp DB, donde l ret MP es l perpendiulr psndo por D ls rets prlels EA BC. Los triángulos BCD AED son evidentemente semejntes, luego EA ED AD DM () BC DC DB DP L sum de ls áres de dihos triángulos es: MD DP S EA BC () designdo por,, los ldos del tringulo ABC qued: EA BC DM DP AD DB EA ( ) /8
7 DM ( ) DP ( h DM ) EA, DM h( ) Sustituendo en () qued: ( ) h( ) h DM S h( ) h h ( ( ) ) h ( ) L funión S() est definid pr vrindo en el intervlo (0,). h h Derivndo : S ( ) En onseueni: pr todo perteneiente l intervlo (, ) se verifi que S >0. nálogmente si vri en el intervlo (0, ) es S <0. Luego en l funión S() presentn su mínimo soluto. Así el punto D h de estr l distni ) El áre mínim es: de B. h S ( h ) ( h ) ( ) h( ) ( ) S ABC. Dd un pirámide regulr de se udrd ltur igul l dole del ldo de l se, se pide determinr l relión de volúmenes (superior e inferior) en que qued dividid por un plno que psndo por un ldo de l se ort l pirámide según un polígono uo perímetro se mínimo. Demostrión. L seleión de l pirámide por un plno que ps por el ldo CD es el trpeio CDEF. El perímetro de CDEF será mínimo undo, onsiderndo el desrrollo lterl de l pirámide, se mínim l longitud de l poligonl DEFC ello supone que est poligonl es un segmento retilíneo. Por l semejn de los tringulo OEF OAB: EF ON OD osα 4os α osα 4os α omo AB OM OA osα osα 7/8
8 senα AM OA AH AM OH AB AB 7 hiendo AB, result EF (4os α ) ( 4sen α). 9 pr otener l ltur, EPh, del prismtoide ABCDEF: OH EP OH EF AB 4 ( h) h Como GJ ( ), JK, por l formul de los tres niveles el 9 9 volumen del prismtoide ABCDEF es: h( S ABCD 4SGJKL ) ( 4 ) Al ser el volumen de l pirámide, l relión de volúmenes pedid es: /8
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