Una condición necesaria y suficiente para que el triangulo PBP sea equilátero es que el ángulo HBP sea 30º. b que es la relación buscada.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Una condición necesaria y suficiente para que el triangulo PBP sea equilátero es que el ángulo HBP sea 30º. b que es la relación buscada."

Transcripción

1 Hoj de Prolems Geometrí III 49. Dd l elipse, si tommos el etremo B de ordend positiv del eje menor omo entro, se desrie un irunfereni de rdio igul diho eje menor, ortr l elipse en dos punto P P. Determinr l relión que dee eistir entre los semiejes de l elipse pr que el tringulo BPP se equilátero. Demostrión. Un ondiión neesri sufiiente pr que el tringulo PBP se equilátero es que el ángulo HBP se 0º. En onseueni, ls oordends de P son: os0 - sen0(- ) puesto que P h de estr en l elipse, se verifirá: ( ) que es l relión usd. 0. Hllr l euión de l superfiie (onoide) formd por ls rets que son prlels l plno 0 se pon en l ret: 0 r 4 l urv P 4 Clulr el volumen situdo en el otnte 0, 0, 0 limitdo por l superfiie hlld, los plnos oordendos el plno. Demostrión. (,0,0 ) 4 es un punto (,0,) un vetor de direión de l ret r; sí un punto genério de r es ( 4 λ,, µ ). Un punto genério de l urv P es (4 µ,, µ ) Un vetor de direión de ls rets que pon en P r es (( λ µ,, λ µ ) Al estr intersetdo por ls rets que son prlels 0, h de ser, λ µ 0. L euión del onoide usd es: /8

2 4 λ ρ( λ λ ρ λ ) 4 0 () Se S O l prte del onoide situd en el primer otnte entre los plnos 0 e. Si ( O O, O ) SO, se tiene evidentemente, que 0. De (), despejndo, se otiene: ( )( ) () Si O [ 0,] ( O, O, O ) SO, por () se otiene que O [ 0,] verifir 0 0. Además pr d (,) [ 0,] [ 0,] (,, ) SO. En onseueni el volumen V usdo es: V 4 O, que se h de eiste un únio, el ddo por (), tl que 8 dd 4 d (4 ) d De un tringulo ABC retángulo en A, se onoen el teto A l distni de B l inentro. Construir el tringulo. Demostrión. En el tringulo BHI: BI BH IH Designndo por r l rdio de l irunfereni insrit: BI BH r () Es evidente que el perímetro p de ABC es: p BH CH r BH CM MA BH AC /8

3 Luego: BH p AC p BH CH r BC r r p BC Sustituendo en (), hiendo BC, AC, AB: BI ( p AC) ( p BC) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (). De todo lo nterior, si onstruimos un irunfereni de rdio tngente SRBI, qued: trmos l SR RP PQ ( RQ PQ) RQ ( RQ ) RQ es deir : BI RQ( RQ ) omprndo on () qued RQ. Conoidos l hipotenus un teto, l onstruión del tringulo es inmedit. En el espio eulídeo, se onsider un ret vrile s, que se po sore dos rets fijs r r en los puntos R R respetivmente, de form que s r son ortogonles. Llmndo V l ángulo que formn los plnos determindos por (r,r ) (r,r), ompror que d(r,r ) tgv es onstnte. (d(r,r ) signifi distni entre R R. Demostrión. Se u un vetor de direión de r, v un vetor de direión de r w el vetor RR. Supondremos demás, por omodidd, u v elegidos de tl mner que el ángulo que formn, (u,, verifique 0 < ( u, < π /. ) Supongmos 0<(u,<π/. Un vetor perpendiulr l plno determindo por r R es perpendiulr l plno determindo por r R es v w. u v. Un vetor Se tiene: ( u w v w os( u w, () ( u w v wsen( u w, () por ls propieddes del produto vetoril semos que: ( ( u ( w w) ( u w)( w /8

4 [ u, w, w] v [ u, w v]w (, Al ser u w 0, por ser r s perpendiulres, [ u, w, w] 0 result: ( ( u w u v os( u, w () [ u, w v] w (, (4) Sustituendo () (4) en () () respetivmente: u v os( u, w u w v w os( u w, [ u, v, w] w u w v wsen( u w, por tnto el seno el oseno del ángulo ( u w, son positivos. Así ( u w,, est omprendido entre 0 π/ oinide on ello on V. Teniendo en uent que V ( u w, otenemos de () (): [ u, w, v] w [ u, w, v] ( tgv ( u w) ( v w) v u os( u, w () v u os( u, w por otro ldo l distni entre l rets r r, d, viene dd por: De () () se otiene que: [ u, v, w] [ u, v, w] d (). u v v u sen( u, [ u, v, w] dsen( u, d ( R, R ) tgv w tgv dtg( u, de donde l ser v u sen( u, os( u, ángulo (u, onstnte, lo es d(r,r )tgv. ) Si (u,0 rr son prlels V0. en onseueni dtgv0. ) Si (u, π/, V es π/ no est definido el produto d tgv.. Dds ls irunferenis C C, us euiones respetivs son: ( ) ( 4) 4 4/8

5 se onsider un inversión uo polo es el origen de oordends l irunfereni de puntos doles tiene de rdio l uerd omún de C C. Determinr nlíti gráfimente: ) Ls figurs inverss de C C. ) El ángulo jo el que se ortn ms irunferenis. ) L figur invers de l prte omún los írulos limitdos por C C. Demostrión. ) Por psr C C por el entro de inversión son rets que no psn por el entro. L ret r invers de C psr por el punto A, dole en l inversión, será perpendiulr l rdio o o. Análogmente, l ret r invers de C psrá por el punto A será perpendiulr l rdio o o. ) Por onservr l inversión los ángulos, el ángulo de orte es el que formn ls rets r r, esto es π/ rdines. ) En l inversión, los puntos interiores C se trnsformn en puntos de semiplno determindo por r que no ontiene o reípromente. Análogmente, los puntos interiores de C son homólogos on los del semiplno determindo por r que no ontiene o. L figur invers pedid es, por lo tnto, l región ngulr limitd por r r opuest l que ontiene o. Anlítimente: Como C C psn por o(0,0), ls oordends de A son l soluión distint de (0,0) del sistem: ( ) ( 4) A(, ) 8 0 l rón de l inversión es (d(o,a)) 4 / el polo es O, luego son puntos 4 4 homólogos (,), ). ) Se (,) el homologo de ( α, β) C, ( α, β) (0,0). Es entones: ( 4 4 α, β) (, ) /8

6 luego que es l euión de un ret, r, invers de C. Análogmente, l figur invers de C es l ret de l euión 8/. ) Es el ngulo que formn sus respetivs figurs inverss, ls rets / 8/, es deir π/ rdines. ) Proediendo de form nálog l prtdo ), si ( α, β) es interior C, esto es tl que α β 4β < 0 su homologo (,) verifi >/. Análogmente si (,) es el homologo de ( α, β), interior C, (,) verifi >8/. 8 L figur invers pedid es: (, ) R >, > 4. Se tom un punto D en el ldo A de un tringulo ABC ddo. L ret CD se ort en E l prlel l ldo BC trd por A. ) Determinr l posiión del punto D pr que l sum de ls áres de los tringulo BCD AED se mínim. ) Clulr el vlor de este áre. Demostrión. ) Sen hmp DB, donde l ret MP es l perpendiulr psndo por D ls rets prlels EA BC. Los triángulos BCD AED son evidentemente semejntes, luego EA ED AD DM () BC DC DB DP L sum de ls áres de dihos triángulos es: MD DP S EA BC () designdo por,, los ldos del tringulo ABC qued: EA BC DM DP AD DB EA ( ) /8

7 DM ( ) DP ( h DM ) EA, DM h( ) Sustituendo en () qued: ( ) h( ) h DM S h( ) h h ( ( ) ) h ( ) L funión S() est definid pr vrindo en el intervlo (0,). h h Derivndo : S ( ) En onseueni: pr todo perteneiente l intervlo (, ) se verifi que S >0. nálogmente si vri en el intervlo (0, ) es S <0. Luego en l funión S() presentn su mínimo soluto. Así el punto D h de estr l distni ) El áre mínim es: de B. h S ( h ) ( h ) ( ) h( ) ( ) S ABC. Dd un pirámide regulr de se udrd ltur igul l dole del ldo de l se, se pide determinr l relión de volúmenes (superior e inferior) en que qued dividid por un plno que psndo por un ldo de l se ort l pirámide según un polígono uo perímetro se mínimo. Demostrión. L seleión de l pirámide por un plno que ps por el ldo CD es el trpeio CDEF. El perímetro de CDEF será mínimo undo, onsiderndo el desrrollo lterl de l pirámide, se mínim l longitud de l poligonl DEFC ello supone que est poligonl es un segmento retilíneo. Por l semejn de los tringulo OEF OAB: EF ON OD osα 4os α osα 4os α omo AB OM OA osα osα 7/8

8 senα AM OA AH AM OH AB AB 7 hiendo AB, result EF (4os α ) ( 4sen α). 9 pr otener l ltur, EPh, del prismtoide ABCDEF: OH EP OH EF AB 4 ( h) h Como GJ ( ), JK, por l formul de los tres niveles el 9 9 volumen del prismtoide ABCDEF es: h( S ABCD 4SGJKL ) ( 4 ) Al ser el volumen de l pirámide, l relión de volúmenes pedid es: /8

Departamento: Física Aplicada III

Departamento: Física Aplicada III Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Prlelogrmo insrito en trpezoide Ddo un trpezoide (udrilátero irregulr que no tiene ningún ldo prlelo otro), demuestre, usndo el álger vetoril, que los

Más detalles

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.

Más detalles

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal . ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) ES CSTELR DJOZ Menguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNVERSDD DE ZRGOZ SEPTEMRE (RESUELTOS por ntonio Menguino) MTEMÁTCS Tiempo máimo: hors Se vlorrá el uso del voulrio l notión ientíi Los errores ortográios,

Más detalles

TRIGONOMETRÍA (4º OP. A)

TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente

Más detalles

α A TRIGONOMETRÍA PLANA

α A TRIGONOMETRÍA PLANA TRIGONOMETRÍ PLN El origen de l plr trigonometrí puede enontrrse en el griego, trígono triángulo y metrí medid. L trigonometrí justmente trt de eso, l mediión y resoluión de situiones donde se preten triángulos.

Más detalles

1. Definición de Semejanza. Escalas

1. Definición de Semejanza. Escalas Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión

Más detalles

La elipse. coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que es #+Þ. coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ

La elipse. coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que es #+Þ. coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ Definiión. L elipse Est Guí tiene..todas...ls respuests MALAS Se llm elipse, l lugr geométrio de los puntos de un plno u sum de distnis dos puntos fijos del mismo plno es onstnte. Los puntos fijos se ostumrn

Más detalles

Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O.

Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O. TRIGONOMETRÍ 4º E.S.O. Frniso Suárez Bluen TRIGONOMETRÍ PREVIOS. Teorem de Tles (Semejnz) Si ortmos dos rets por un serie de rets prlels, los segmentos determindos en un de ells son proporionles los segmentos

Más detalles

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse. X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos

Más detalles

PB' =. Además A PB = APB por propiedad de

PB' =. Además A PB = APB por propiedad de limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 PRLEM EL EXMEN ESTTL P es ulquier punto del interior de un triángulo. Sen, y los puntos medios

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO

5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO. PUNTOS EN EL ESPACIO Semos que pr determinr l posiión de un punto en el plno neesitmos tomr, por un prte, un

Más detalles

22. Trigonometría, parte II

22. Trigonometría, parte II 22. Trigonometrí, prte II Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II Extensión del dominio Se P un punto sore l irunfereni x 2 + 2 =. Est irunfereni tiene rdio entro el origen O(0, 0). Denotmos por

Más detalles

MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Geometría

MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Geometría MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temátio: Geometrí 1. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En el ABC retángulo en C de l figur: Se pueden estbleer ls siguientes semejnzs: 1) De est semejnz, se obtienen

Más detalles

Visualización de triángulos. Curso de Matemáticas para Física. Trigonometría. Trigonometría. Física I, Internet A b.

Visualización de triángulos. Curso de Matemáticas para Física. Trigonometría. Trigonometría. Física I, Internet A b. Visulizión de triángulos Curso de Mtemátis pr Físi Curso de Mtemátis pr Físi Físi I, vi@ Internet 2004 B A C Físi I, vi@ Internet 2004 Visulizión de triángulos Fijémonos en un triángulo ulquier. Curso

Más detalles

7 Semejanza. y trigonometría. 1. Teorema de Thales

7 Semejanza. y trigonometría. 1. Teorema de Thales 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Tles Si un person que mide 1,70 m proyet un sombr de,40 m y el mismo dí, l mism or y en el mismo lugr l sombr de un árbol mide 15 m, uánto mide de lto el árbol? Se

Más detalles

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto.

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto. º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. FUNCIONES FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Pr medir ángulos se suelen usr dos sistems

Más detalles

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51 Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y

Más detalles

UNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

UNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA UNIDAD LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd plirás ls definiiones los elementos que rterizn l elipse l hipérol en ls soluiones de ejeriios prolems. Ojetivo.

Más detalles

2.7. POLÍGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA (Método general)

2.7. POLÍGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA (Método general) 2.7. POLÍGONO REGULR INSRITO EN UN IRUNFERENI (Método generl) Reuerd: Ddo el rdio del polígono de n ldos (3 m) 1. Diuj un irunfereni de 3 m. de rdio. 2. Trz su diámetro, y divídelo en n prtes igules. 3.

Más detalles

β (t) = (1) 2 + ( t 1 t 2 dt = + 1 dt = 1 t 2 + t 1 f(β(ϕ(t))) β (ϕ(t)) ϕ (t)dt = }{{}

β (t) = (1) 2 + ( t 1 t 2 dt = + 1 dt = 1 t 2 + t 1 f(β(ϕ(t))) β (ϕ(t)) ϕ (t)dt = }{{} Vmos lulr ls siguientes integrles de tryetori ) Se α(t) = (os(t), sin(t)) on t [, π ] y f(x, y) = x + y Sol. Tenemos que f(α(t)) = os(t) + sin(t) por otro ldo α (t) = ( sin(t), os(t) α (t) = ( os(t)) +

Más detalles

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA. (S-97)Hllr el rngo de l mtriz B 0 0 según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Puesto que el menor 0 0 rgb 0 () 0 ( ) 0 ) Pr 0 r(b) ) Pr 0 0 - B 0-0 0 - r(b) 0-0 - 0-0

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll GEOMETRÍA DEL ESPACIO L geometrí pln estudi el onjunto de todos los puntos del plno, l geometrí del espio se refiere l onjunto de puntos del espio, es

Más detalles

z b 2 = z b y a + c 2 = y a z b + c

z b 2 = z b y a + c 2 = y a z b + c 47 ESTUDIO DEL CONO ELIPTICO Not: Lo diujos orrespondientes ls interseiones de este estudio tienen el mismo speto l estudio del ono irulr. Sin emrgo l interseión on plnos prlelos l plno son en este so

Más detalles

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I Mtemátis I SESIÓN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I I. CONTENIDOS:. Conepto y representión geométri.. Métodos de soluión: o Igulión o Sustituión. o Reduión (sum y rest). o Determinnte.

Más detalles

a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho.

a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho. Produto ruz o produto vetoril Otr form nturl de definir un produto entre vetores es trvés del áre del prlelogrmo determindo por dihos vetores. El prlelogrmo definido por los h vetores y se muestr en l

Más detalles

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 03 - Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio

Más detalles

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria) TEMS DE MTEMÁTICS (Oposiiones de Seundri) TEM 37 L SEMEJNZ EN EL PLNO. CONSECUENCIS. TEOREM DE THLES. RZONES TRIGONOMÉTRICS. 1. Introduión.. Homoteis: Definiión y propieddes. 3. L semejnz en el plno. 3.1.

Más detalles

Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll

Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de un triángulo o de un figur

Más detalles

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 007 - Noiones de Trigonometrí: L trigonometrí se dedi l estudio de ls reliones que existen entre ls medids de los ángulos y ldos de un triángulo.

Más detalles

Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4. TRIÁNGULOS 4.1 Definiión y notión de triángulos El triángulo es un polígono de tres ldos. Los puntos donde se ortn se llmn vérties. Los elementos de un triángulo son:

Más detalles

LÁMINAS 2º ESO TRAZADOS FUNDAMENTALES Y POLÍGONOS

LÁMINAS 2º ESO TRAZADOS FUNDAMENTALES Y POLÍGONOS LÁMINAS 2º ESO TRAZADOS FUNDAMENTALES Y POLÍGONOS Prlels y Perpendiulres Lámin nº 1 Prlels y Perpendiulres Lámin nº 1 Trzr un perpendiulr en el extremo de un segmento de 60 mm. de longitud. Trzr un perpendiulr

Más detalles

SenB. SenC. c SenC = 3.-

SenB. SenC. c SenC = 3.- TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,

Más detalles

UNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

UNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA UNIDAD 1 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA Ojetivo generl. Al terminr est Unidd plirás ls definiiones los elementos que rterizn l elipse l hipérol en ls soluiones de ejeriios prolems. Ojetivos espeífios: 1. Reordrás

Más detalles

TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS L trigonometrí es l prte de ls mtemátis que estudi ls reliones métris entre los elementos de un tringulo. A) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Más detalles

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto

Más detalles

Triángulos y generalidades

Triángulos y generalidades Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/1 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp. 62 63) (1) Los ldos de un triángulo miden 6 m, 7 m y 9 m. onstruir el triángulo y lulr su perímetro

Más detalles

TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS. Para medir ángulos se utilizan:

TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS. Para medir ángulos se utilizan: TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Pr medir ángulos se utilizn:. Sistem sexgesiml: L unidd de medid en este sistem es el grdo sexgesiml Un ángulo mide un grdo sexgesiml ( 0 ) si su ro entrl orrespondiente,

Más detalles

- Aplicar la ley de Ohm en los circuitos puros de corriente alterna.

- Aplicar la ley de Ohm en los circuitos puros de corriente alterna. 9. CIRCUITOS SIMPLES DE CORRIENTE ALTERNA Conoidos los omponentes, hor se prenderá ómo se omportn de form individul l estr onetdos un fuente de limentión de orriente ltern. El onoimiento de l ley de Ohm

Más detalles

Unidad didáctica 4. Trigonometría plana

Unidad didáctica 4. Trigonometría plana Interpretión Gráfi Unidd didáti 4. Trigonometrí pln 4.1 Medids de ros y ángulos omo en un mism irunfereni ros igules orresponden ángulos igules, se quiere enontrr un medid de ros que sirv pr ángulos y

Más detalles

Matemática Diseño Industrial Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll

Matemática Diseño Industrial Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll Mtemáti Diseño Industril Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de

Más detalles

DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE

DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE ESPECIALISTA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS U de A INTRODUCCIÓN En el desrrollo de l geometrí

Más detalles

TRIANGULOS. Sus tres ángulos internos son iguales y miden 60 cada uno

TRIANGULOS. Sus tres ángulos internos son iguales y miden 60 cada uno LSIFIION LOS TRINGULOS. TRINGULOS Los triángulos se lsifin según sus ldos y sus ángulos.. lsifiión de los triángulos según sus ldos.. Triángulo equilátero. s el que tiene sus tres ldos igules Sus tres

Más detalles

XVI Encuentro Departamental de Matemáticas: La innovación en el proceso docente educativo en Matemáticas a partir de diferentes medios de aprendizaje

XVI Encuentro Departamental de Matemáticas: La innovación en el proceso docente educativo en Matemáticas a partir de diferentes medios de aprendizaje XVI Enuentro Deprtmentl de Mtemátis: L innovión en el proeso doente edutivo en Mtemátis prtir de diferentes medios de prendizje y I Enuentro Deprtmentl de GeoGer Netmente intuitivos. Inextitud de los

Más detalles

d) Área del triángulo = mitad de la base por la altura. Área del rectángulo = base por altura.

d) Área del triángulo = mitad de la base por la altura. Área del rectángulo = base por altura. CAPÍTULO VI 9 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO Conoimientos previos: ) L líne más ort que puede trzrse entre dos puntos, es el segmento de ret que los une. ) El menor segmento que une un punto P on

Más detalles

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll SISTEMA DE CRDENADAS EN EL LAN SISTEMA UNIDIMENSINAL Es sio que es posile soir los números reles on los puntos e un ret reípromente. Es lo

Más detalles

x x = 0 es una ecuación compatible determinada por que sólo se

x x = 0 es una ecuación compatible determinada por que sólo se Euiones Denominmos euión l iguldd que se stisfe pr uno o más vlores de l(s) vrile(s), o inógnit(s), que interviene en ell. Ejemplos: + 5 + 5 + 6 0 + 0 Denominmos euión lgeri tod euión del tipo: n n n +

Más detalles

Problemas de trigonometría

Problemas de trigonometría Prolems de trigonometrí Reliones trigonométris de un ángulo. Clulr ls rzones trigonométris de un ángulo α, que pertenee l primer udrnte, y siendo que 8 sin α. 7 sin α + os α 8 7 + os α os α 64 5 5 osα

Más detalles

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS SOBRE GEOMETRÍA El triángulo

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS SOBRE GEOMETRÍA El triángulo . PROLEMS DE OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE GEOMETRÍ El triángulo ELISETH GONZÁLEZ FUENTES Máster de Mtemátis Universidd de Grnd. 014 Prolems sore triángulos Trjo Fin de Máster presentdo en el Máster Interuniversitrio

Más detalles

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL El prolem de l práol horizontl Qué relión h entre ls propieddes nlítis de l funión udráti ls propieddes geométris de l práol horizontl? Como

Más detalles

1.-Algunas desigualdades básicas.

1.-Algunas desigualdades básicas. Preprión Olimpid Mtemáti Espñol. Curso 05-6. Desigulddes (y polinomios, y funiones). 3 de Noviemre de 05. Fernndo Myorl..-Alguns desigulddes ásis. ) 0 pr ulquier R. L iguldd sólo se umple pr = 0. ) (Desiguldd

Más detalles

Recuerda lo fundamental

Recuerda lo fundamental 6 L semejnz sus pliiones Reuerd lo fundmentl urso:... Fe:... FIGURS SEMEJNTES Dos figurs son semejntes si sus ángulos orrespondientes son... sus distnis... Por ejemplo, si ls figurs F F' son semejntes,

Más detalles

8. La elipse. 9/ Las cónicas.

8. La elipse. 9/ Las cónicas. 9/ Ls ónis. 8. L elipse. Definiión: Ddos dos puntos un distni 2 mor que l distni, se llm elipse de foos prámetro 2, l lugr geométrio de los puntos del plno u sum de distnis es 2. Dee umplirse pues que,

Más detalles

MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 10-11

MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 10-11 MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso -.- L Lun es el stélite nturl de l Tierr y tiene un órit elíti on el entro de l Tierr en uno de sus foos. Est órit tiene los siguientes dtos: = 800 km, e=0.05.

Más detalles

1. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO.

1. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO. TEMA 9 Integrl Definid. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO. y = f() Un trpeio urvilíneo (o mitilíneo) T es un figur pln omo l que pree en l figur: T O Está limitd por:

Más detalles

1. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES LIBRES

1. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES LIBRES UNIDAD : Produto etoril y mixto. Apliione.. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES LIBRES Definiión: El produto etoril de do etore lire y, que e not por, e define omo: - Si 0 ó 0 ó y on proporionle, entone

Más detalles

Matemática básica para ingeniería (MA105) Clase Práctica Dada la siguiente ecuación, identifique la cónica, grafique y encuentre todos sus

Matemática básica para ingeniería (MA105) Clase Práctica Dada la siguiente ecuación, identifique la cónica, grafique y encuentre todos sus Mtemáti ási pr ingenierí (MA05) Clse Práti 4.. Dd l siguiente euión, identifique l óni, grfique enuentre todos sus elementos. 6 9 64 54 6 0 Completndo udrdos: ( ) ( 3) 3 4 Centro= C(; 3) 3 4 Como Entones

Más detalles

10 Figuras planas. Semejanza

10 Figuras planas. Semejanza Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser? QUÉ tienes que ser? Atividdes Finles Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos.

Más detalles

Integrales dobles y triples

Integrales dobles y triples Integrles dobles y triples 1 Integrles dobles Integrles triples 3 Cmbios de vrible R: retángulo R = [, b [, d f : R R: mpo eslr e dos vribles. Si f es ontinu en R f x : [, d R y f y : [, b R son funiones

Más detalles

Criterios de igualdad entre triángulos.

Criterios de igualdad entre triángulos. TRIÁNGULO Triángulo. Superfiie pln liitd por tres línes (ldos). Polígono ás pequeño. lsifiión de los triángulos. Ldos Ángulos UTÁNGULO Tiene los tres ángulos gudos. RTÁNGULO Tiene un ángulo reto y dos

Más detalles

1 - Resolver los siguientes determinantes usando propiedades 1/10

1 - Resolver los siguientes determinantes usando propiedades 1/10 - Resolver los siguientes determinntes usndo propieddes ) ) / ) d) e) f) / / g) / / / / / / / / / / / / / h) / / / / / / / / / / / / / / / i) / / / / j) / / 8 / k) h k w k w h w h k h k w - Hllr los vlores

Más detalles

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll CÓNICAS Diretriz Genertriz Un superfiie óni está generd por un ret (genertriz) que se mueve poyándose en un urv fij (diretriz) y que ps por un punto fijo

Más detalles

GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO

GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Definiión de triángulo Se llm triángulo un onjunto { ABC,, } de tres puntos no linedos del plno. Los puntos A, B y C reien el nomre de vérties del triángulo. Los segmentos (o en

Más detalles

UNIDAD Nº 1: LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES, GUIA 2 DOCENTE: LIC ROSMIRO FUENTES ROCHA

UNIDAD Nº 1: LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES, GUIA 2 DOCENTE: LIC ROSMIRO FUENTES ROCHA REPUBLICA DE COLOMBIA SECRETARIA DE EDUCACION DISTRITAL DE SANTA MARTA INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS Resoluión Nº 88 de noviemre.8/ Emnd de l Seretri De Eduión Distritl DANE Nº7-99

Más detalles

se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.

se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución. Euiones e ineuiones de Primer Grdo on un inógnit Se P () un euión polinómi, on P() un polinomio, resolver l mism es enontrr los eros o ríes de P(), es deir, los vlores de que nuln diho polinomio. X se

Más detalles

Dados dos triángulos rectángulos PQR y P QR, se dice que son semejantes si tienen un mismo ángulo α en el vértice Q RQ R'Q RQ R'Q PQ P'Q

Dados dos triángulos rectángulos PQR y P QR, se dice que son semejantes si tienen un mismo ángulo α en el vértice Q RQ R'Q RQ R'Q PQ P'Q 1..Coneptos sore trigonometrí. 1.1. Definiión. 1.. Rzones de ángulos omplementrios. 1.3. Otr definiión de rzón trigonométri. 1.4. Rzones de ángulos otusos. 1.5. ngulos suplementrios 1.6. Ángulos que difieren

Más detalles

B 1. d 1 d 2 B 2 XI.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

B 1. d 1 d 2 B 2 XI.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN Págin del Colegio de Mtemátis de l ENP-UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos HIPÉRBOLA UNIDAD XI XI.1 DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno,

Más detalles

10 Figuras planas. Semejanza

10 Figuras planas. Semejanza 10 Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser 10 QUÉ tienes que ser Atividdes Finles 10 Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los

Más detalles

B 1. d 1 d 2 B 2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

B 1. d 1 d 2 B 2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS HIPÉRBOLA DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno, tles

Más detalles

TRIEDROS. B c C O. A escribimos A. 0 A + B + C 360 Por otro lado una cara ha de ser menor que la suma de las otras dos mayor que su diferencia.

TRIEDROS. B c C O. A escribimos A. 0 A + B + C 360 Por otro lado una cara ha de ser menor que la suma de las otras dos mayor que su diferencia. TRIEDRS triedro. TRIEDR tres rists,, y tres seiplnos deliitdos, d uno, por dos rists que llreos rs,,. Teniendo en uent que los plnos,,. Por ser de l rist es de los plnos,. triedro is y ontenids un en d

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 7 Pág. Págin 66 PRTI Rzones trigonométris de un ángulo gudo Hll ls rzones trigonométris del ángulo en d uno de estos triángulos: ) ) ), m, m,6 m 8, m m 8, m ) sen, 0, os 0, 0,89 tg 0, 0,, 0,89 ) tg,6,

Más detalles

3- Calcula la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros. b c s t

3- Calcula la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros. b c s t 3- Clul l mplitud de los ángulos interiores de los siguientes udriláteros. s t 36 r u rstu trpeio isóseles û x 16 tˆ x 30 TRIÁNGULOS Se llm triángulo tod figur de tres ldos. Un triángulo tiene tres vérties,

Más detalles

CAPÍTULO 4: RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ARCOS DE CIRCUNFERENCIA (III)

CAPÍTULO 4: RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ARCOS DE CIRCUNFERENCIA (III) PÍTULO 4: RELIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ROS DE IRUNFERENI (III) Dnte Guerrero-hnduví Piur, 2015 FULTD DE INGENIERÍ Áre Deprtmentl de Ingenierí Industril y de Sistems PÍTULO 4: RELIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ROS DE IRUNFERENI

Más detalles

344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA:

344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: LULR OJETIVO 1 L RZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un

Más detalles

La Parábola A. Definición B. Construcción de la parábola C. Elementos de la parábola. Und. 11 Geometría Analítica

La Parábola A. Definición B. Construcción de la parábola C. Elementos de la parábola. Und. 11 Geometría Analítica Cundo ls orgniziones de vuelos espiles desen poner en órit un stélite deen lnzrlos on un veloidd proimd de 8 km/s. Pero undo quieren que slg de l órit terrestre deen lnzrlo on un veloidd 8 km/s l tretori

Más detalles

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Geometrí y Trigonometrí Resoluión de triángulos oliuángulos 9. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS OLIUÁNGULOS Un triángulo es oliuángulo undo no present un ángulo reto, se denomin de dos forms: triángulo utángulo

Más detalles

Resumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011.

Resumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011. Reliones métris en un triángulo Resumen redo or Hernán Verdugo Fini, rofesor de Mtemáti y Físi, ril 011. El estudio de un triángulo siemre revestido interés y or ello es ue existen un serie de desriiones,

Más detalles

Óvalo dados los dos ejes: óvalo óptimo

Óvalo dados los dos ejes: óvalo óptimo l óvlo es un urv err y pln que está ompuest por utro, o más, ros e irunferéni simétrios entre sí. Suele venir efinio por os ejes que mrn sus imensiones y sirven e ejes e simetrí e los ros. Se emple freuentemente

Más detalles

3.1 Circunferencia 3.2 Parábola 3.3 Elipse 3.4 Hiperbola

3.1 Circunferencia 3.2 Parábola 3.3 Elipse 3.4 Hiperbola Moisés Villen Muñoz Cónis. Cirunfereni. Práol. Elise. Hierol Ojetivos. Se ersigue que el estudinte: Identifique, grfique determine los elementos de un óni onoiendo su euión generl. Ddo elementos de un

Más detalles

Definición: Llamamos triángulo a la figura determinada por la intersección de tres semiplanos.

Definición: Llamamos triángulo a la figura determinada por la intersección de tres semiplanos. Mtemáti ª Año ESB Triángulos Cpítulo IV: Triángulos Definiión: Llmmos triángulo l figur determind por l interseión de tres semiplnos. Spl(R;o) Spl(S;o) Spl(T;o)= R Elementos: Vérties :son los puntos de

Más detalles

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS RAZONES Y PROPORCIONES DEFINICIONES RAZÓN: L rzón entre dos números reles y, (0), es el cociente entre y, es decir. Tmién se escrie: /,, :. PROPIEDADES

Más detalles

Guía - 4 de Matemática: Trigonometría

Guía - 4 de Matemática: Trigonometría 1 entro Eduionl Sn rlos de rgón. oordinión démi Enseñnz Medi. Setor: Mtemáti. Nivel: NM Prof.: Ximen Gllegos H. Guí - de Mtemáti: Trigonometrí Nomre(s): urso: Feh. ontenido: Trigonometrí. prendizje Esperdo:

Más detalles

OBJETIVO 1 CalCUlaR la RazÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO

OBJETIVO 1 CalCUlaR la RazÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO OJETIVO 1 lulr l RzÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un

Más detalles

9 Proporcionalidad geométrica

9 Proporcionalidad geométrica 82485 _ 030-0368.qxd 12//07 15:37 Págin 343 Proporionlidd geométri INTRODUIÓN El estudio de l proporionlidd geométri y l semejnz de figurs es lgo omplejo pr los lumnos de este nivel edutivo. omenzmos l

Más detalles

Colegio de Bachilleres Plantel No. 15 Contreras Guía de Estudio para presentar Examen de Evaluación de Recuperación 2015B

Colegio de Bachilleres Plantel No. 15 Contreras Guía de Estudio para presentar Examen de Evaluación de Recuperación 2015B Colegio de Bhilleres Plntel No. 5 Contrers Guí de Estudio pr presentr Emen de Evluión de Reuperión 05B Elborr en hojs blns mno solo los ejeriios propuestos, indindo pr d serie l págin de los mismos. Entregr

Más detalles

Haga clic para cambiar el estilo de título

Haga clic para cambiar el estilo de título Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles

Más detalles

Definiciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente.

Definiciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente. 89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin Trigonometrí INTRODUCCIÓN En est unidd se pretende que los lumnos dquiern los onoimientos ásios en trigonometrí, que serán neesrios en ursos posteriores, sore todo pr

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración

INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración Integrión. Cálulo de áres. INTEGRAL INDEFINIDA FUNCIÓN PRIMITIVA F() es un primitiv de f() si F ()= f(). Esto se epres sí: f() = F'() = F() L integrión es l operión invers l derivión, de modo que: FUNCIONES

Más detalles

F(x,y,z)=0 (2) Es decir la superficie S está formada por dos planos paralelos al plano coordenado xy

F(x,y,z)=0 (2) Es decir la superficie S está formada por dos planos paralelos al plano coordenado xy Estudio de Curvs Superfiies Euiones de superfiies: L superfiie más simpe sido motivo de nuestro estudio e es e pno L euión de mismo referido un sistem de oordends rtesino ortogon es ine en s vries ; es

Más detalles

TRIGONOMETRÍA CONTENIDO TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA CONTENIDO TRIGONOMETRÍA CONTENIDO TRIGONOMETRÍA Tem. Pág. Coneptos y definiiones. Ángulos. Grdos. Aros. Rdines 4 Polígonos y irunfereni. 5 4 Sistems oordendos. Retngulres. Polres. 6 5 Triángulos. Definiión. Clsifiión. 7 6 Círulo

Más detalles

Un paralelogramo es un cuadrilátero con sus lados opuestos paralelos. Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades PROPIEDAD 1

Un paralelogramo es un cuadrilátero con sus lados opuestos paralelos. Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades PROPIEDAD 1 Cudriláteros 1º Año Mtemáti C o r r e i ó n y d p t i ó n : P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. M ó n i N p o l i t n o Cód. 1106-17 Dpto. de Mtemáti 1.1. PARALELOGRAMO Definiión Un prlelogrmo

Más detalles

Si este proceso de subdivisión se repitiese muchas veces, se obtendrían dos sucesiones, s i y S

Si este proceso de subdivisión se repitiese muchas veces, se obtendrían dos sucesiones, s i y S Integrles LA INTEGRAL DEFINIDA Integrl definid: áre jo un urv L integrl definid permite lulr el áre del reinto limitdo, en su prte superior por l gráfi de un funión f (, ontinu y no negtiv, en su prte

Más detalles

11La demostración La demostración en matemáticas (geometría)

11La demostración La demostración en matemáticas (geometría) L demostrión en mtemátis (geometrí) ág. 1 Tl vez los lumnos y lumns hyn demostrdo, en lgun osión, lgun fórmul o lgun propiedd mtemáti, o hyn ontempldo su demostrión. omo semos, pr ellos, el proeso no es

Más detalles

R 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que:

R 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que: Axiom de división del espcio: Todo plno del espcio determin en éste dos regiones tles que: - Cd punto del espcio pertenece un de ls dos regiones o l plno - Dos puntos de un mism región determinn un segmento

Más detalles

1.6 Perímetros y áreas

1.6 Perímetros y áreas 3 1.6 Perímetros y áres Perímetro: es l medid del contorno de un figur. Superficie (pln): es el conjunto de puntos del plno encerrdos por un figur geométric pln. Áre: es l medid de un superficie. Represente

Más detalles

Tema 6: Semejanza en el Plano.

Tema 6: Semejanza en el Plano. Tema 6: Semejanza en el Plano. 6.1 Semejanza de Polígonos. Definiión 6..1.- Cuatro segmentos a, b, y d son proporionales si se umple la siguiente igualdad: a =. A ese oiente omún se le llama razón de proporionalidad.

Más detalles

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3).

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3). ÁlgebryGeometrí 1. ) Ddos tres puntos A, B y C en el plno demuestr que l circunferenci de diámetro AC ps por B siysólosielánguloâbc es recto. b) Ddos dos puntos A y B del plno y un rect r, determin, cundo

Más detalles

4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen.

4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen. 9 ) os 11,17 m se n 61,84 38,11 se n d) 180 70 se n 5,3 se n 10,48 lul un ulquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejeriio nterior y utilízl después pr lulr su áre. Pr resolver este ejeriio

Más detalles