COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA SUR PAQUETE ECONÓMICO ADMINISTRATIVO ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS II BLOQUE I:

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1 COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA SUR PAQUETE ECONÓMICO ADMINISTRATIVO ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS II BLOQUE I: RESUELVES CASOS DE INTERÉS COMPUESTO COMPILACIÓN DE TEXTOS ELABORADA POR: M. EN C. EDGAR FRANCISCO CERVANTES MARTÍNEZ

2 Índice Introducción Relaciones entre los elementos del interés simple y el interés compuesto Interés compuesto Valor presente Tasa nominal y tasa efectiva La tasa efectiva anual o tasa efectiva Bibliografía

3 Introducción La información para la presente compilación de textos para el bloque I Resuelves casos de interés compuesto, de la asignatura de Matemáticas Financieras II, fue obtenida de libro: Matemáticas Financieras, del autor Guillermo Pastor Jiménez. Con las lecturas y análisis de la información de la compilación, el alumno podrá obtener información para lograr los desempeños: Identifica los elementos de interés compuesto y su importancia del capital dinero, monto, tiempo y tasa de interés. Compara la diferencia entre la aplicación del interés simple y el interés compuesto. Comprende el concepto del valor del dinero en el tiempo (valor presente y valor futuro). Resuelve problemas reales de cálculo de monto compuesto, valor presente y futuro, tasa de interés nominal, efectiva y tiempo. 3

4 MATEMÁTICAS FINANCIERAS II. 1.1 RELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS DEL INTERÉS SIMPLE Y EL INTERÉS COMPUESTO Analicemos el siguiente ejemplo de inversión de una cantidad de dinero. Una persona realiza una inversión de $5000 una tasa del 1.8 mensual a un plazo de un mes. Al final del mes, la persona tendrá S= P(1 + in) = 5000 ( x 1) = (5000) (1.018)= $ Si esta persona decide invertir este monto de nuevo por otro mes, y la tasa de interés mensual permanece fija, el monto de la inversión al final del segundo mes es de: 5090( x 1)= 5000 (1.018) = $ (1.018) = $ La forma como encontramos el interés del segundo mes es con la siguiente operación = $91.62; y el interés generado en el primer mes fue de solo $ Existe una diferencia, y este se debe a que el capital de la inversión en el segundo mes se incrementó al añadir el interés correspondiente al primer mes. Si el ahorrador decide volver a invertir el monto total por un tercer mes, al final de este nuevo periodo tendrá entre capital e intereses un total de: ( x 1) = ( )(1.018) = $ Se puede observar que el $93.26 de interés que le generó la inversión este tercer mes excede de nuevo el interés del mes anterior. Para calcular el monto cada mes se ha multiplicado por el factor 1.018, el monto al finalizar el tercer mes se puede también multiplicando los $ del capital original por (1.018) (1.018) (1.018) = (1.018) 3. De esta forma, si la tasa de interés permanece fija por un año y la persona reinvierte siempre el total del capital y los intereses, al finalizar el monto total de la inversión sería de : $ (1.018) 12 = $5,000( )= La forma cómo se ha generado el interés en el ejemplo anterior se le llama interés compuesto. Para este caso el interés generado durante un año fue de $1, A diferencia de que si la inversión estuviera acordada a un interés simple, la cantidad sería de solo $5000 (0.018 x 12) = $1, Al proceso de agregar los intereses al capital se le conoce como capitalización: la capitalización es la acción de incorporar el interés generado en el periodo anterior al nuevo capital subsecuente. 4

5 Al periodo en el que el interés puede ser convertido en capital se le llama periodo de capitalización. Los periodos de capitalización más comunes son los mensuales, trimestrales, semestrales y anuales; existen también instrumentos de inversión como los pagarés bancarios, donde los plazos son a 7, 14, 28, 91, o 182 días. Tabla con las diferencias fundamentales entre el interés simple y el interés compuesto Comparación entre el interés simple e interés compuesto Interés simple Interés compuesto El capital sobre el cual calculamos los El capital no permanece fijo a lo largo del intereses, permanece sin variación alguna tiempo, sino que se va incrementando, durante el tiempo que dure la operación. en un tiempo determinado y por tanto se La cantidad de interés que se genera cada calcula un interés distinto, periodo tras periodo permanece constante. periodo. Al permanecer fijo el interés de cada El valor de los intereses aumenta con periodo, la suma de estos es menor en cada periodo. toda la transacción Al incrementarse el interés de cada periodo, la suma de todos los intereses es mayor a toda la transacción. 1.2 INTERÉS COMPUESTO El interés compuesto se emplea en operaciones a largo plazo y difiere del interés simple en que el interés generado en cada periodo se añade al capital. El capital no permanece fijo a lo largo del tiempo, sino que se va incrementando, de esta forma, el interés que la inversión genera cada periodo también aumenta continuamente. Cada vez que el capital se invierte para obtener un incremento en interés compuesto, a esa nueva cantidad se le da el nombre monto compuesto, resultado de la suma del capital original y el interés compuesto. Si denotamos (i) a la tasa de interés por el periodo de capitalización, entonces el monto de la inversión después de (n) periodos de capitalización es: S = P (1 + i) n S = Representa el monto compuesto, es el resultado de la cantidad de dinero que se obtiene al finalizar el tiempo estipulado al reinvertir los intereses. P = Es el capital y es el valor presente o actual que se tendrá cuando la inversión se capitalice. i = Representa el interés que sirve cuando se invierte un capital, el tanto por uno en el periodo. 5

6 n = Representa el tiempo que dura una transacción, es decir, el tiempo en años multiplicado por la frecuencia de conversión. (1 + i) n = Factor del valor futuro (VF), o factor de interés compuesto y corresponde al VF de 1 a interés compuesto a n periodos. La frecuencia de conversión es el número de veces que el interés se capitaliza durante un año, es decir, cuántas veces aplicaremos la reinversión. La tasa de interés se específica por el periodo de capitalización. Sin embargo en la práctica comercial y financiera es más común expresar la tasa de interés anual indicando el periodo de capitalización; y se nombra como la tasa de interés es del 24% anual capitalizable mensualmente, o bien como la tasa de interés del 22% anual capitalizable trimestralmente. Cuando la tasa de interés se expresa en forma anual, se le llama tasa anual por el número de periodos de capitalización de un año y entonces es necesario dividir la tasa anual por el número de periodos de capitalización en un año. Por ejemplo, una tasa nominal anual del 24% capitalizable mensualmente equivale a una tasa mensual de 24/12 = 2%, mientras que una tasa nominal anual de 22% capitalizable trimestralmente equivale a una tasa trimestral del 22/4 = 5.5% Cuando la tasa de interés se específica nominalmente se tiene: MONTO COMUPUESTO S = P ( 1 + i/m) n Donde i es el interés de la tasa nominal, m es el número de periodos de capitalización por año y n el número de periodos del plazo de la inversión. Para decidir cuál de las dos fórmulas de monto compuesto es necesario emplear, es sencillo; si la tasa se específica por el periodo de inversión (2% mensual, 5.4% trimestral) entonces se usa la primera fórmula, mientras que si la tasa es nominal (18.6% capitalizable mensualmente, 25% anual capitalizable trimestralmente empleamos la segunda fórmula para obtener el monto. Debido que al haber un incremento de los intereses periodo a periodo como sucede en interés compuesto, es la razón porque siempre será mayor que el interés simple. Ejemplos de problemas interés compuesto. 1. Una persona deposita $ en una inversión que da un interés de 16% anual capitalizable mensualmente. Cuál será el monto de inversión después de cuatro años? Como es una inversión donde los periodos de capitalización son mensuales, primero es necesario obtener la tasa de interés mensual. 6

7 La tasa es 16/12 = /100 = S=? Fórmula Procedimiento P= S= P(1 + i) n S= 1000( ) 48 i= S= 1000( ) n= 48 períodos S= Este momento se puede también obtener utilizando la segunda fórmula del monto compuesto, de la siguiente forma: Fórmula Desarrollo S= P (1 + i / m) n 1000 ( /12) ( ) 48 = 1000 ( ) = $ ) Una persona deposita $ en una inversión que le da un interés del 16% anual, ahora es capitalizable trimestralmente. Cuál será el monto de la inversión después de cuatro años? La tasa de interés trimestral es 16/100 = /4= 0.04 El número de periodos trimestrales en cuatro años son 16, el monto de la inversión a los tres años es: Datos Fórmula DESARROLLO S=? S= P(1 + i) n 1000 ( ) 16 i= ( ) P= 1000 = $ n= 16 periodos Alternativamente, puedes utilizar la fórmula: Fórmula: Desarrollo: 7

8 S= P (1 + i/m) n 1000 ( /4) ( 1.04) 16 = 1000 ( ) = $ Podemos observar que el monto ahora resulto menor que el anterior, esto debido a que en este caso los periodos de capitalización son menos frecuentes. 3.- Una empresa solicita un préstamo bancario de $85, a un plazo de 7 meses y a una tasa de interés anual del 24% capitalizable mensualmente. Cuál es el monto con el que la empresa deberá liquidar el préstamo? Datos: Fórmula: Desarrollo: S=? S= P (1 + i) n S= 85,000 (1 +.02) 7 P= 85,0000 S= 85,000 ( ) i= 24% 24/12= 2% 2/100=.02 S= 97, n= 7 meses La empresa deberá liquidar la cantidad de $97, Una viuda decide depositar la mitad del seguro de vida de su marido en pagarés a 28 días. Su sucesor financiero estima que la tasa de interés nominal de los pagarés se mantendrá alrededor del 14% anual. En cuánto tiempo se duplicará la inversión de la viuda? Nota. Cuando los plazos se expresan en días se divide en 360 para determinar la proporción del año a que corresponde el plazo. Fórmula: S= P (1 + i) n Procedimiento: Determinar la tasa del 14% anual para los pagarés a 28 días. 14 X 28/360 = % por cada 28 días /100= El monto de la inversión después de n periodos de 28 días es P( ) n = P( ) n, la inversión se habrá duplicado cuando ese monto sea igual a 2P. Así para determinar el número de periodos de capitalización que se necesitan para duplicar la inversión, debemos despejar la variable n de la ecuación. 8

9 P( ) n = 2P Al pasar el factor P del lado izquierdo al lado derecho se cancela y da como resultado la siguiente ecuación equivalente a: ( ) n = 2 Para resolver esta ecuación se empleará la técnica de logaritmo que se estudiaron en matemáticas financieras I. Al aplicar logaritmos en ambos lados de la ecuación, tenemos: Log (( )) n = log (2) Aplicando la propiedad de que Log (x b ) = b Log (x) obtenemos: n Log ( ) = log (2) De esta ecuación podemos despejar la variable n al pasar el factor Log ( ) dividiendo del lado derecho. De esta forma: n = log (2)/ Log ( ) n= / = La inversión requiere de 64 periodos de 28 días para que se duplique. Este plazo equivale a 4 años 11 meses. 5. Un comerciante debe saldar una deuda por $215, correspondiente a una mercancía que ha vendido rápidamente. Como el comerciante cuenta con el dinero necesario para liquidar esta deuda con 7 semanas de anticipación, decide abrir un pagaré a 7 días y renovarlo durante las 7 semanas a fin de jinetear este dinero. Si la tasa que le ofrece el banco es del 19% anual, Qué cantidad debe depositar para que a las 7 semanas el monto de la inversión alcance los $215, Datos Fórmula S= 215, P=? S= P (1 + i) n i= 19% n=7 semanas Procedimiento Cada periodo de 7 días el banco le paga un interés de 19 X 7 / 360= % 9

10 /100= El capital que se debe de depositar se obtiene a partir de la siguiente operación: Despeje y sustitución: P= S/(1 + i) n P ( ) 7 = 215,000 P ( ) 7 = 215,000 P = 215,000 / ( ) 7 P = 215,000 / P = 209, El comerciante debe de depositar: $209, Así, después de siete semanas obtener los $215, para liquidar su adeudo. 1.3 VALOR PRESENTE Existen en muchas situaciones comerciales y financieras en las que se requiere conocer el capital que es necesario invertir en una fecha dada a una tasa de interés para reunir o pagar cierta cantidad en el futuro. A este capital se le conoce como valor presente. Es importante denotar que cuando la diferencia entre la fecha en la que se determina el valor presente y la fecha del pago del adeudo es grande, es común determinar el valor presente utilizando interés compuesto. Valor presente. Significa el valor del dinero en cualquier fecha conveniente, por tanto, su valor no siempre coincide al del capital originalmente prestado o invertido. Para iniciar en conocer el valor presente neto se presentan los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Un emprendedor obtuvo un préstamo a través del Sistema nacional de emprendedores para continuar desarrollando el producto y ampliar la empresa. Por fortuna 6 meses antes de la fecha del pago el emprendedor consigue un contrato que la da ganancias suficientes para pagar los $253, que adeuda a una institución financiera, el préstamo obtenido se acordó a tasas muy bajas, ante esto el emprendedor decide invertir el dinero necesario para saldar el adeudo en una cuenta que le da un interés de 16% anual capitalizable mensualmente y generar así mayores utilidades. Cuánto debe ser la inversión inicial? 10

11 Si denotamos por P al capital inicial de la inversión, después de seis meses el capital habrá crecido a S = P 1 + i n m = P 1 + Como deseamos que el monto al final de la inversión sea 12 precisamente los $253, necesarios para liquidar el adeudo, se realizan las siguientes operaciones: Datos: Despeje Sustitución S= $253,000 P = S P=? 1+ i m n P = n = 6 meses P = m= 12 i= 16% = 0.16 P = P = P = = $233, Así, si el empresario deposita $233, a los seis meses habrá acumulado los $253, con los que debe de saldar el préstamo a la institución bancaria, esto es, el valor presente de $253, pagadero a seis meses al 16% anual capitalizable mensualmente es de $233, Ejemplo 2: Supongamos en que un agente de ventas se ve obligado a pedir prestado$35, a un familiar para comprar un automóvil usado y dar servicio a un mayor número de clientes. El acuerdo es que el préstamo se liquidará en un solo pago después de 7 meses y se establece un interés de 15% anual capitalizable mensualmente. Dos meses después de haber recibido el préstamo, el agente de ventas gana en el sorteo del patronato del estudiante un premio que le permite pagar con anticipación el préstamo de la suegra. Cuánto le debe pagar? Existen dos formas de resolver este planteamiento. Primera forma: En esta primera forma es descontando al monto de la deuda los intereses correspondientes a los cinco meses finales en los que ya no se adeuda el dinero 11

12 Datos: Fórmula Sustitución S=? P=$35, S= P (1 + i) n S = 35,000 ( ) 7 i= 15% 15 = 1.25, 1.25 = S = 35,000 (1.0125) n= 7 meses S = 35,000 ( ) S = 35,000 ( ) S = 38, $38, al paso de los 7 meses. Debido a que se va a adelantar el pago 5 meses, valor presente de la deuda es equivalente al capital que se debe de invertir al 15% anual capitalizable mensualmente para que al cabo de cinco meses acumule $38,179.75, debemos de realizar la siguiente ecuación P( ) 5 = 38, El agente de ventas debe pagar entonces: P = 38, P = 38, P = 38, = $35,880.4 Para saldar el préstamo al familiar. Segunda forma: En esta forma consiste en considerar como pago justo el capital inicial más los intereses generados durante los dos meses que duró el préstamo. Lo determinamos utilizando directamente la fórmula del monto del interés compuesto: S= P (1 + i) n Donde: S = 35,000 ( ) 2 12

13 S = 35,000 (1.0125) 2 S = 35,000 ( ) 2 S = 35,000 (1.0125) 2 S = 35,000 ( ) S = 35,880.4 Los datos utilizados en el ejercicio son cifras redondeadas. Es importante señalar que la situación de que coincidan los valores presentes obtenidos por ambos métodos se debe a que el interés acordado era compuesto, y si el interés es simple cada una de las formas de resolver el problema da respuestas ligeramente diferentes. A la diferencia entre el valor del monto necesario para liquidar la deuda y su valor presente se llama descuento compuesto. En este ejemplo, el descuento compuesto por adelantar el pago cinco meses es de 38, ,880.4 = La fórmula del valor presente compuesto resulta del despeje del capital de la formula ya conocida: S= P (1 + i) n En donde: S= Monto de la deuda. P= Valor presente de la deuda. i = Tasa de interés por el periodo de capitalización. n= Número de periodos que se anticipan. Y al despejar P se obtiene: P = S 1+i n Valor presente compuesto Cuando la tasa de interés se expresa nominalmente y el número de periodos de capitalización por año es m, entonces el valor presente compuesto es dado por: P = S 1 + i m n Valor presente compuesto 13

14 Es común en la práctica comercial, que por situación de liquidez, una persona o empresa ceda los derechos de una cantidad pagadera en el futuro para disponer de dinero con anticipación. La persona o institución que proporciona el dinero obtiene una utilidad por esto, y entrega una suma menor a la que recibiría en el futuro. La diferencia entre las dos cantidades es el descuento. Ejemplo 1: Encontrar el valor presente de $ 27, que vence dentro de 10 meses, si la tasa de interés es de 8% anual capitalizable bimestralmente Datos Fórmula Procedimiento P=? P= S / (1 + i) n P= 27,000 / ( ) 10 S= 27, P= 27,000 / i=8% 8/6= % P= 23, n = 10 meses Ejemplo 2: Pensemos en una empresa que comercializa fertilizante para utilizarse en la agricultura y realiza una venta por $94, a una conocida empresa productora de hortalizas Rancho Agrocab en Los Cabos, como es frecuente en el medio, la empresa acepta financiar la venta durante cinco meses y cobrar por ello un interés del 18% anual capitalizable mensualmente. Sin embargo, para poder disponer de efectivo, la empresa acude a un banco y descuenta el documento firmado con Rancho Agrocab. Cuánto recibirá la comercializadora de fertilizantes si la tasa de descuento negociada con el banco es 25% anual capitalizable mensualmente? Del monto del interés compuesto se tiene: S = P 1 + i m n = 94, = Esta es la cantidad que debía pagar Rancho Agrocab a la comercializadora de fertilizantes y ahora cobrará el banco. Debido a que la tasa de descuento es del 25% anual capitalizable mensualmente, el valor presente de este documento es: P = S 1 + i m n 14

15 P = P = P = P = 91, TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA Conceptos básicos. La tasa nominal es aquella tasa de interés pactada o convenida en una operación. Hay que tener en cuenta que la tasa nominal debe especificar la frecuencia de conversión, también, es el valor resultante tras multiplicar el número de intervalos de tiempo comprendidos en un año, por el valor de la tasa de interés efectiva asociada a ese intervalo unitario de tiempo; o cuando el interés es convertible más de una vez en un año, la tasa anual dada se conoce como tasa nominal anual o simplemente tasa nominal. La tasa efectiva es aquella a la cual se coloca el capital efectivamente; es la tasa que iguala el rendimiento de inversión que se tiene al cabo de un año cuando el interés se ha capitalizado en forma semestral, trimestral, mensual, etc. La tasa efectiva es muy útil cuando deseamos comparar el rendimiento de dos tipos de inversión con diferentes periodos de capitalización. Ejemplos de la tasa nominal y efectiva. Un trabajador recibió $125, como liquidación de una empresa en la que trabajó varios años. Invirtió su liquidación en un fondo de renta variable. Después de 5 años el valor de la inversión es de $315, Cuál fue la tasa mensual promedio que le dio esta inversión? Cuál es la tasa nominal promedio de la inversión? Datos Fórmula Desarrollo S= 315, S= P(1 + i) n 315, = 125,870.00(1 +i) 60 P= 125, Al despejar (1 +i) 60 equivale a: i=? (1 +i) 60 = 315, ,

16 n= 60 meses (1 +i) 60 = Al elevar ambos lados de esta ecuación a la 1/60 se tiene: 1 + i = ( ) 1/60 i = i = De la ecuación se puede observar que i = La tasa promedio mensual fue por lo tanto 1.543%. Recapitulando respecto a la tasa nominal promedio, recordemos que la tasa por el periodo de capitalización se obtiene de la tasa nominal dividiendo entre el número de periodos de capitalización de un año. Por ejemplo, una tasa nominal del 16% anual capitalizable mensualmente equivale a una tasa mensual de = 1.3%. Como ahora se tiene la tasa mensual, la tasa nominal se obtiene multiplicando por 12, el número de periodos de capitalización en un año. Así la tasa nominal promedio de la inversión es del X 12 = % 1.5 LA TASA EFECTIVA ANUAL, O TASA EFECTIVA. La tasa efectiva de una inversión es el interés compuesto que rinde una inversión de $1.00 en un año. En el caso del trabajador del trabajador liquidado, ya vimos que su inversión en el fondo de renta variable le produjo una tasa de interés mensual promedio de 1.543%. Una inversión de un peso a esta tasa durante un año rendiría: S = P(1 + i) n = 1 ( ) 12 = Quedando la tasa efectiva de %. Qué habría sucedido si el trabajador hubiese invertido sus $125, por los mismos cinco años en una inversión que le diera el 20.17% capitalizable anualmente? El monto sería: S=P(1+i) n = 125, ( ) 5 = 125, ( ) = $315, Este monto es precisamente el valor de la inversión del trabajador en el fondo de renta variable. Así, en conclusión, 16

17 La tasa efectiva de una inversión es la tasa de interés capitalizable anualmente que iguala los rendimientos de la inversión. De forma general, si denotamos por f a la tasa efectiva, i a la tasa de interés por el periodo de capitalización y por m al número de periodos de capitalización en un año, se obtiene que: f = 1 + i m 1 Tasa efectiva Cuando la tasa de interés i se expresa nominalmente y de nuevo m es el número de periodos de capitalización por año, entonces la tasa efectiva se calcula por la siguiente expresión: f = 1 + i m m 1 Tasa efectiva La tasa efectiva es muy útil cuando se da el comparar el rendimiento de dos tipos de inversión con diferentes periodos de capitalización. Ejemplo: En una cuenta de inversión un banco ofrece a sus ahorradores un interés de 14.2% anual capitalizable mensualmente, y un segundo banco ofrece una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente. En un largo plazo, Qué banco ofrece mayor rendimiento? Al observar, se aprecia que la tasa de interés nominal del segundo banco es más alta, sin embargo, conocemos que al ser más periodos de capitalización mayor es el interés. Compensa el primer banco la diferencia en las tasas nominales por capitalizar mensualmente? Para responder estas dos preguntas necesitamos calcular la tasa efectiva que ofrece cada banco. Primer banco: Tasa nominal : 14.2% anual capitalizable mensualmente, así la tasa de interés que paga cada mes es del = %. Ahora obtenemos la tasa efectiva de la inversión del primer banco a través de: f = 1 + i m 1 f =

18 f = f = f = El primer banco paga una tasa efectiva de inversión del %. Segundo banco Tasa nominal: 15% anual capitalizable trimestralmente, así la tasa de interés que paga cada trimestre 15 es del = 3.75%. 4 Ahora obtenemos la tasa efectiva de la inversión del segundo banco a través de: f = 1 + i m 1 f = f = f = f = El segundo banco paga una tasa efectiva de %, esta tasa resulta más alta que la tasa efectiva del primer banco, la tasa de inversión del segundo banco es más atractiva para los ahorradores. En la siguiente tabla se comparan las tasas efectivas con las tasas nominales del caso anterior: Primer banco Segundo banco Tasa nominal 14.2% 15% Tasa efectiva % % Se puede apreciar que independientemente de los periodos de capitalización, las tasas efectivas son mayores que las nominales. Esto siempre sucede, aunque existe la excepción cuando el periodo de capitalización es anual y ambas tasas coinciden. Se dice que dos tasas de interés con distintos periodos de capitalización son equivalentes si a largo plazo tienen el mismo rendimiento, así, cualquier tasa de interés es equivalente a su tasa efectiva asociada, ya que ambas producen el mismo rendimiento. En ocasiones se requiere, dada una tasa, determinar la tasa equivalente con un periodo de capitalización diferente. Se tomarán de nuevo las tasas de inversión que ofrecen los dos bancos: El primer banco paga en una cuenta de inversión a sus ahorradores una tasa de 14.2% anual capitalizable mensualmente, el segundo banco paga una tasa de interés del 15% anual capitalizable 18

19 trimestralmente. Pensemos que el gerente del primer banco se alarma porque varios de sus principales clientes retiraron sus inversiones y abrieron cuentas de inversión en el segundo banco. Qué tasa de inversión capitalizable mensualmente debe de pagar el primer banco a fin de igualar los rendimientos de la competencia. Se realizará el ejercicio a través de dos maneras para dar respuesta a la pregunta. Primera forma: A través de las tasas efectivas. Hemos determinado la tasa efectiva del segundo banco que es de %. Necesitamos determinar la tasa nominal capitalizable mensualmente que en un año rinde el %. Realizamos el siguiente procedimiento, si denotamos por i a esta tasa nominal, de la fórmula del monto compuesto S = 1 + i n n = 1 + i Para despejar i elevamos primero a una potencia conveniente (1/12) para llegar a: 1 + i 12 = /12 = i 12 = i 12 = i 12 = Así al despejar el interés i es igual a 12 X = Lo que obtuvimos fue que la tasa nominal del % capitalizable mensualmente que rinde lo mismo que la tasa nominal del 15% capitalizable trimestralmente. El primer banco debe elevar su tasa anual capitalizable mensualmente del 14.2% cuando menos al % para no perder más clientes. 19

20 Segunda forma: Esta forma de calcular tasas equivalentes consiste en igualar los rendimientos de las dos tasas en el plazo más corto en que coinciden por primera vez los dos periodos de capitalización. La ventaja que da esta forma es que no es necesario el cálculo de la tasa efectiva. Los plazos de las inversiones que ofrecen los dos bancos son mensuales y trimestrales. El primer plazo en que las dos inversiones capitalizan simultáneamente es a los tres meses. Si denotamos de nuevo i a la tasa nominal capitalizable mensualmente del primer banco, esta tasa paga una tasa de interés mensual de i/12, y el segundo banco paga una tasa trimestral de 15/4 = 3.75% para igualar los rendimientos del segundo banco se debe de satisfacer: = 1 + i 12 3 Observemos que el lado izquierdo de esta ecuación es el monto de la inversión trimestral de $1.00 del segundo banco y en el lado derecho está el monto de una inversión de $1.00 después de tres meses en el primer banco. Resolviendo la ecuación anterior, debemos de elevar a la 1/3 para obtener: 1 + i 12 = (1.0375)⅓ 1 + i 12 = i 12 = i 12 = También se llega al mismo resultado obtenido en la primera forma, y se concluye que también la tasa nominal equivalente es de %. Ahora analizaremos un ejemplo de tasas de interés equivalentes para pagarés. Como ejemplo supongamos que los analistas financieros de una institución de crédito van a establecer tasas de interés equivalentes en sus pagarés a corto plazo. El director financiero ha tomado la decisión para que la tasa de interés nominal de los pagarés a 14 días sea del 13.79% medio punto arriba que la que ofrece la competencia. A Qué tasas nominales deben de ofrecer los pagarés a 7 y 20

21 28 días? Dentro de las razones por las que un inversionista elige una inversión de pagarés a plazos de 7, 14 y 28 días es por la liquidez y así disponer del capital para realizar alguna inversión comercial o financiera. Existe una relación sencilla entre los plazos de estos instrumentos de inversión no emplearemos la tasa efectiva para determinar las tasas equivalentes. La tasa de interés que rinde un pagaré a 14 días es tasa de interés que debe de pagar el pagaré a 7 días. Entonces se debe satisfacer: = (1 + i) = % Denotemos por i a la Aquí el lado izquierdo representa el monto de una inversión de $1.00 en un pagaré a 14 días y el lado derecho el monto de una inversión también de $1.00, pero ahora en un pagaré a 7 días renovado por una ocasión. Al aplicar raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación obtenemos: 1 + i = i = i = Por tanto la tasa semanal debe ser de %. La tasa nominal se obtiene ahora al multiplicar la tasa semanal por 360 y dividir entre 7, obteniendo = %. 7 Para obtener el interés de los pagarés a 28 días realizamos las mismas operaciones, ahora denotamos por i a la tasa que paga el pagaré a 28 días, se debe cumplir que: 1 + i = ( ) 2 Donde ahora el lado izquierdo de la ecuación representa el monto de haber invertido $1.00 en un pagaré a 28 días y lado derecho el monto de haber invertido el mismo peso en un pagaré a 14 días y renovado el instrumento en una ocasión. Como ( ) 2 = , i= = El pagaré a 28 días debe pagar una tasa de interés de %. El pagaré ahora es de 28 días, la tasa nominal se obtiene multiplicando por 360 y dividiendo por 28. Así = % es la tasa nominal equivalente. 21

22 Ahora verificaremos que las tasas efectivas de estos pagarés a diferente plazo resultaron equivalentes. En razón de que un año tiene 52 semanas, necesitamos calcular el interés de $1.00 invertido por 52 periodos de una semana, por 26 periodos de 14 días y por 13 periodos de 28 días. En el primer caso se obtiene: f = 1 + i m 1 f = f = f = ( ) 1 f = Así que la tasa efectiva es de %. Para los pagarés a 14 y 28 días sus tasas efectivas serán las siguientes: f = 1 + i m 1 f = f = f = ( ) 1 f = Así que la tasa efectiva para el pagaré a 14 días es de %. f = 1 + i m 1 f = f = f = ( ) 1 f = Así que la tasa efectiva para el pagaré a 28 días es de %. Que coinciden con las tasas del pagaré a 7 días. La pequeña diferencia se debe a errores de redondeo en los números manejados. 22

23 Bibliografía. Ayres; Frank, Jr. Matemáticas Financieras, 1era. Edición, Editorial Mc Graw Hill, México Pastor Jiménez; Guillermo; Matemáticas financieras, Editorial Limusa Noriega Editores, México Rodríguez Caballero, Carlos Vladimir; Espín García, Osvaldo; Matemáticas Financieras II, 1era. Edición, GAFRA editores, México