Introducción a Matrices y Eliminación Gaussiana
|
|
- María José Farías Ojeda
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Introducción a Matrices y Eliminación Gaussiana 1
2 Sistema de Ecuaciones Matricial 2
3 Definición Una matriz es un arreglo rectangular de valores llamados elementos, organizados por filas y columnas. Ejemplo: A Notas: 1. Las matrices son denotadas con letras mayúsculas. 2. Para hacer referencia de los elementos de una matriz indicamos la fila y la columna donde se encuentran. a 12 = a 2 = 6 a 22 = 2 fila columna fila columna fila columna
4 Ejemplo Las posiciones de los elementos de la siguiente matriz A = son a 11 = 2, a 12 =, a 1 =, a 21 = 1, a 22 = 0 y a 2 = 4.
5 Dimensión de una matriz La dimensión o el orden de una matriz es el número de filas por el número de columnas de la matriz. Ejemplo: A La dimensión de la matriz A es x 2 filas columnas B La dimensión de la matriz B es 2 x Nota: El producto del número de filas por el número de columnas nos indica el número de elementos que tiene la matriz.
6 Cuál es el orden de las siguientes matrices?
7 Ejemplo Sea M una matriz que contiene 12 elementos, cuál de las siguientes podría ser la dimensión de M? a) 4 x b) x 4 c) 6 x 2 d) 12 x 1 e) todas las anteriores f) ninguna de las anteriores
8 Matrices Equivalentes Se dice que dos matrices son equivalentes si cumple con las siguientes condiciones: son del mismo tamaño sus elementos correspondientes son iguales. Ejemplos
9 Matrices Especiales El vector fila es una matriz con una sola fila y varias columnas; es decir, su dimensión es 1 x n El vector columna es una matriz con una sola columna y varias filas; es decir, su dimensión es n x La matriz cero es una matriz con todos sus elementos iguales a cero matriz cero con dimensión 2x
10 Matrices especiales (cont.) Una matriz cuadrada es una matriz que tiene la misma cantidad de filas que columna. 1 A 2 2 B Dado una matriz cuadrada, los elementos donde los índices de las filas y las columnas son iguales se denominan los elementos sobre la diagonal de la matriz. A a a a a a a a a a 1 2 elementos sobre la diagonal 10
11 Matriz Triangular Superior Una matriz cuadrada A se dice que es una matriz triangular superior si todas las entradas debajo de la diagonal principal son cero.
12 12 Matriz Identidad La matriz de identidad es una matriz con todos los elementos de la diagonal iguales a 1 y todos los demás elementos fuera de la diagonal iguales a cero. Dos matrices A y B son iguales si sus dimensiones son iguales y si sus elementos correspondientes son iguales. A B I A B I
13 Operaciones con matrices 1. Multiplicación por un escalar Dado una matriz A de dimensión m x n y c un número real, el producto ca es una matriz de dimensión m x n obtenida multiplicando cada elemento de A por la constante c. A A
14 Operaciones con matrices Ejemplo: Determine C si C = B = B y Solución: 14
15 Operaciones con matrices 2. Suma y resta Para sumar o restar dos matrices A y B, las mismas tienen que tener dimensiones iguales. La suma o la resta de A y B, denotada A+B ó A-B, se obtiene sumando o restando los elementos correspondientes. A B
16 Operaciones con matrices Ejemplo: Dado A y B determine 1)C = B A 2)D = 2A + B A = Solución: B =
17 Matrices y Eliminación Gaussiana Matriz Aumentada: Cada fila una matriz aumentada corresponde a una ecuación del sistema. Signo de Igualdad Ej) Fila 2 es equivalente a: x - 2y + z = -6 Cada número en las primeras columnas representa el coeficiente de una misma variable.
18 Eliminación Gaussiana Eliminación Gaussiana es un método para resolver sistemas de ecuaciones en el cual se usan MATRICES para organizar la solución. Eliminación Gaussiana (Reducción por filas ) Matriz Aumentada Forma Escalonada Reducción por filas: El proceso de reducción por filas usa las siguientes OPERACIONES LICITAS sobre una fila de la matriz para resolver sistemas de ecuaciones. 1.) Intercambiar 2 filas dentro de la matriz. 2.) Multiplicar /Dividir una fila entera por una constante..) Sumar/Restar dos filas para reemplazar una fila.
19 Ejemplo La última fila representa la ecuación 4x = 8. Resolvemos la ecuación representada por la tercera fila 4x = 8 x = 2 De la segunda fila de la matriz se obtiene x 2 + x = 4 x = 4 x 2 = 2 De la primera fila se obtiene 2x 1 + 4x 2 2x = 2 2x 1 + 4(2) 2 2 = 2 2x = 2 2x 1 = 2 4 2x 1 = 2 La solución del sistema es (-1, 2, 2). x 1 = 1
20 Eliminación Gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones 1. Escribir la matriz aumentada del sistema. 2. Usar operaciones elementales sobre filas para construir una matriz equivalente en forma form escalonada.. Escribir el sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz escalonada resultante. 4. Usar sustitución invertida para determinar la solución del sistema. 20
21 21 Ejemplo 1: Eliminación de Gauss z y x z y x z y x Considere el siguiente sistema de ecuaciones. La matriz aumentada para este sistema es:
22 22 Ejemplo 1: Eliminación de Gauss z y x z y x z y x Paso 1: Obtener 1 en la posición A 11 0.R 1 R z y x z y x z y x
23 2 Ejemplo 1: Eliminación de Gauss Paso 2: Eliminar el coeficiente de la variable x de la 2da y ra ecuación z y x z y x z y x
24 Ejemplo 1: Eliminación de Gauss Paso : Eliminar el coeficiente de la variable y de la ra ecuación. 1R 2 +R R Paso 4: El elemento A 22 debe ser 1 -R 2 R 2 (1/168)R R Paso : El elemento A debe ser 1 Matriz en forma escalonada 24
25 Ejemplo 1: Eliminación de Gauss De la fila, z = 4 De la fila 2, y -14.z = -61 y (4) = 61 y = - De la fila 1, x 2y + 2.z = 18 x 2 (- ) + 2. (4) = 18 x = 2 La solución del sistema es (2, -, 4). 2
26 Ejemplo 2: Eliminación de Gauss Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando matrices y eliminación gausiana. x + 2y + z = 1 4x + y + 6z = 2 x + 8y + 10z = 26
27 Ejemplo : Eliminación de Gauss Cuando se deberían intercambiar dos ecuaciones o dos filas? Consideremos el siguiente conjunto de ecuaciones. La matriz aumentada correspondiente es: 2
28 Example : Gauss Elimination La Ecn. (1) (Fila 1) no se puede usar para eliminar la x de las Ecns. (2) y () (Filas 2 y ). Intercambiar Fila 1 con Fila 2 y la matrix aumentada se convierte en: Ahora podemos dividir la fila 1 entre 4 para tener 1 en A 11 y continar realizando los pasos necesarias para resolver el sistema usando eliminación gausiana. 28
29 Ejemplo 4: Eliminación de Gauss Un Centro de Jardinería compra semillas de flores al por mayor. Luego, mezcla y envasa las semillas para uso en jardines caseros. El centro produce con mezclas diferentes de semillas de flores: Algo Salvaje", Querida Mamá" y Cajón de Medicina". 1) Un kilogramo de la mezcla de semillas Algo Salvaje contiene 00 gramos de semillas de flores silvestres, 20 gramos de semilla de equinácea y 20 gramos de semilla de crisántemo. 2) La mezcla Querida Mamá se compone de % de semilla de crisántemo y 2% de semillas de flores silvestres. ) La mezcla Cajón de Medicina contiene 90% de las semillas de equinácea, y 10% de una semilla que el Centro siempre tiene disponible.. 29
30 Ejemplo 4: Eliminación de Gauss Cont En una orden reciente, el Centro recibió 1 gramos de semilla de flores silvestres, 1 gramos of Echinacea seed and 21 gramos of Chrysanthemum seed. Use matrices y Eliminación de Gauss para determinar la cantidad de cada mezcla que la tienda puede preparar. 0
31 Ejemplo 4: Eliminación de Gauss Solución: Asignar variables a la cantidad de cada mezcla que se va a producir. X = Cantidad de Algo Salvaje Y = Cantidad de Querida Mamá Z = Cantidad de Cajón de Medicina Formar las ecuaciones que describen las mezclas. 0.X + 0.2Y + 0Z = 1g 0.2X + 0Y + 0.9Z = 1g 0.2X + 0.Y + 0Z = 21g Aplicar eliminación gaussiana a la matriz. 1
32 Práctica: Use Eliminación Gaussiana para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x + 2y + z = -4 x + 4y + z = -18 4x - z = -4 b) y - 2z = 19 x - y + 4z = -1 x + z = - 6 c) 2x + y - z = 1 x - 2y + z + 2 = 0 4x + y + z = 9 d) x + 2y + z - = 0 x - y + z - 4 = 0 x + y + 1z - 10 = 0
Eliminación Gaussiana
Eliminación Gaussiana Matri: Matrices Eliminación Gaussiana Ejemplos: A matri rectangular (filas columnas) de valores reales 4 π.4 (Matri ) (Matri ) (Matri ) (Matri Cero o Matri Nula ) 6 Matri Aumentada:
Más detallesAlgebra de Matrices 1
Algebra de Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de valores llamados elementos, organizados por filas y columnas. Ejemplo: Notas: A 6. Las matrices son denotadas con letras mayúsculas..
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:
1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con
Más detallesAlgebra lineal Matrices
Algebra lineal Matrices Una matriz A un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones (filas) y n columnas. Fila 1 La componente o elemento ij de A, denotado por es el número que aparece en
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesUna matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( )
MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una
Más detallesMATRICES. Jaime Garrido Oliver
MATRICES Jaime Garrido Oliver ÍNDICE DE CONTENIDOS ÍNDICE DE CONTENIDOS... 2 MATRICES... 3 1.1. INTRODUCCIÓN.... 3 2. TIPOS DE MATRICES... 4 2.1. Matriz Fila, Matriz Columna... 4 2.2. Matrices cuadradas...
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables
Más detallesTema 5. Matrices y Determinantes
Tema 5. Matrices y Determinantes 1. Definiciones 2. Operaciones Propiedades 3. Determinantes Orden 2 Orden 3: Regla de Sarrus Orden mayor de 3 Propiedades 4. Matriz inversa Ecuaciones matriciales 5. Rango
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2
ÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2 Abstract Estas notas conciernen al álgebra de matrices y serán actualizadas conforme el material se cubre Las notas no son substituto de la clase pues solo contienen
Más detallesTema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.
Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz
Más detallesDEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas
Más detallesDefinición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.
UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.
Más detallesLas matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,...
INTRO. MATRICES Y DETERMINANTES Prof. Gustavo Sosa Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas
Más detallesMATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).
1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden
Más detallesUNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana.
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE ECONOMIA LICENCIATURA DE ACTUARIA Algebra Lineal Práctica: Matriz inversa 1 M. en I. Elizabeth Almazán Torres 2 Resultado de Aprendizaje El estudiante
Más detallesMatrices. Observación: Es usual designar una matriz por letras mayúsculas: A, B, C,... 3 B =
Definición: A una ordenación o arreglo rectangular de ciertos objetos se define como matriz (en este curso nos interesa que los objetos de la matriz sean numeros reales. Observación: Es usual designar
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesSemana 2 [1/29] Matrices. 31 de julio de Matrices
Semana 2 [1/29] 31 de julio de 2007 elementales Semana 2 [2/29] Matriz de permutación Matriz de permutación Una matriz elemental de permutación tiene la siguiente estructura: 1 0 0 1 0 1 fila p 1 I pq
Más detallesMatrices y operaciones con Matrices.
Matrices y operaciones con Matrices En clases anteriores hemos usado arreglos rectangulares de números, denominados matrices aumentadas, para resolver sistemas de ecuaciones lineales Denición Una matriz
Más detallesDenotamos a los elementos de la matriz A, de orden m x n, por su localización en la matriz de la
MATRICES Una matri es un arreglo rectangular de números. Los números están ordenados en filas y columnas. Nombramos a las matrices para distinguirlas con una letra del alfabeto en mayúscula. Veamos un
Más detallesTEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos:
TEMA V 1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Realmente quien determina la naturaleza y las soluciones del sistema, no son las incógnitas: x, y,
Más detallesMatemáticas Aplicadas a los Negocios
LICENCIATURA EN NEGOCIOS INTERNACIONALES Matemáticas Aplicadas a los Negocios Unidad 4. Aplicación de Matrices OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:
Más detallesClase 8 Matrices Álgebra Lineal
Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a
Más detallesDOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P.
DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DEFINICIONES Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un texto matemático chino que proviene del año 300 A. C. a 200 A. C., Nueve capítulos
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente
Más detallesTEMA VI 1. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
TEMA VI 1. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.)
Más detallesUNIVERSIDAD TECNICA LUIS VARGAS TORRES Esmeraldas - Ecuador MATRICES Y VECTORES
UNIVERSIDAD TECNICA LUIS VARGAS TORRES Esmeraldas - Ecuador MATRICES Y VECTORES Facultad de Ingenierías y Tecnologías Ing. Paúl Viscaino Valencia DOCENTE OBJETIVO Interpretar y resolver los problemas básicos
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n
Más detallesINFORMÁTICA MATLAB GUÍA 3 Operaciones con Matrices
1. ARREGLOS BIDIMENSIONALES (MATRICES) A las matrices también se les conoce como arreglos bidimensionales, y son una colección de números distribuidos en filas y columnas: Usos de las matrices: Electricidad
Más detallesA 4. En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.
9. Encuentre el determinante de A. Encuentre el determinante de A 8 9 En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.. x x 8. x x 8 x x x x 9. x x 8. x 8x
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Dos ecuaciones lineales con dos
de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive Solano 1 Febrero de 2015 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES
CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno
Más detallesMATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesUnidad 2. Matrices Conceptos básicos 2.2. Operaciones con matrices 2.3. Matriz Inversa 2.4. El método de Gauss-Jordan 2.5.
Unidad. Matrices.. Conceptos básicos.. Operaciones con matrices.. Matriz Inversa.. El método de Gauss-Jordan.. Aplicaciones Objetivos particulares de la unidad Al culminar el aprendizaje de la unidad,
Más detallesSe llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria
T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesUna forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.
Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
Más detallesDefinición (matriz): Definición (dimensión de una matriz): Si una matriz tiene m renglones y n columnas se dice que es de dimensión m n.
Índice general 1. Álgebra de Matrices 1 1.1. Conceptos Fundamentales............................ 1 1.1.1. Vectores y Matrices........................... 1 1.1.2. Transpuesta................................
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesMatrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial
Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 20 de agosto de 2008 Índice 121 Introducción 1 122 Transpuesta 1 123 Propiedades de la transpuesta 2 124 Matrices
Más detallesa) La adición y la multiplicación de matries cuadradas del mismo orden, están bien definidas.
MATRICES CUADRADAS Definición: ( Cuadradas Una matriz A es una matriz cuadrada de orden n, si y solo si, A es de oreden n n, es decir, A tiene n filas y n columnas: a 11 a 1n a n1 a nn Observación: a La
Más detallesUna matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...
MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones
Más detallesUNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA6 abril-julio de 29 I / Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 2 y 23 de abril de 29. Tema : Matrices. Operaciones con matrices. Ejemplos. Operaciones elementales
Más detallesSe dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que
MATRICES INVERTIBLES Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A
Más detallesMatriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a
Más detallesMatrices y Determinantes. Un ejemplo: mezcla de fertilizantes
Matrices y Determinantes Las matrices y los determinantes son objetos matemáticos que permiten simplificar la notación convencional para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por otra parte estos objetos
Más detallesVectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector
UNIDAD I: MATRICES Vectores en el plano Un vector,, es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (etremo).un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto
Más detallesTema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes
Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes
Más detallesEstos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.
TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES II.
MATRICES Y DETERMINANTES II. Matriz adjunta es la matriz cuadrada que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente. Calcula la matriz adjunta: 2 2 2 A =( 2 1 0 ) 3 2 2 Primero calculamos
Más detallesDeterminantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Más detallesLo rojo sería la diagonal principal.
MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).
Más detallesTema 1: Matrices y Determinantes
Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz
Más detallesInstituto Tecnológico Autónomo de México. 1. At =..
Instituto Tecnológico Autónomo de México TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ DEFINICION : Transpuesta Sea A = (a ij ) una matriz de mxn Entonces la transpuesta de A, que se escribe A t, es la matriz de nxm obtenida
Más detallesMatrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.
Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesDeterminantes. Definiciones básicas sobre determinantes. José de Jesús Angel Angel.
Determinantes Definiciones básicas sobre determinantes wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Determinantes 2 11 Propiedades de determinantes 4 2 Inversa
Más detallesTema 5: Sistemas de ecuaciones lineales.
TEORÍA DE ÁLGEBRA: Tema 5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones generales Definición 11 Una ecuación lineal con n incognitas es una expresión del tipo a 1
Más detallesEs decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de
Más detallesPrimero se triangulariza la matriz: Multiplicando la primera fila por (-1/3) y sumando a la segunda fila: ( ) ( )=( ) ( ) ( )
MAT 115 B EJERCICIOS RESUELTOS Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: a) Por el método de eliminación de Gauss La matriz aumentada del sistema es: 3 2 6 1 5 Primero se triangulariza la matriz: Multiplicando
Más detallesMATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.
Concepto de matriz. Igualdad de matrices MATRICES 2º Bachillerato Concepto de matriz. Igualdad de matrices Concepto de matriz. Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números
Más detallesMatrices y Determinantes. Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Residencial - AFAMaC
Matrices y Determinantes Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez Residencial - AFAMaC Origen y Usos Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J.
Más detallesMatemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC13 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas ITESM Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25 Una matriz A m n es un arreglo
Más detallesDefinición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.
1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5
Más detalles1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11
Teorema de Rouché Frobenius: Si A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y AM la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Si r(a = r(am = número de incógnitas =
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Contenido 1 Métodos de Solución Contenido Métodos de Solución 1 Métodos de Solución Desarrollamos el algoritmo de sustitución regresiva, con el que podremos resolver un sistema de ecuaciones lineales cuya
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesMatrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología
MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA
MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA Índice Presentación... 3 Método de la matriz inversa... 4 Observaciones... 5 Ejemplo I.I... 6 Ejemplo I.II... 7 Ejemplo II... 8 Sistemas compatibles indeterminados... 9 Método
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 Definiciones Sea K un cuerpo Una ECUACIÓN LINEAL CON COEFICIENTES EN K es una expresión del tipo a 1 x 1 + + a n x n = b, en la que n es un número natural y a
Más detallesAPUNTES ALGEBRA SUPERIOR
1-1-016 APUNTES ALGEBRA SUPERIOR Apuntes del Docente Esp. Pedro Alberto Arias Quintero. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Contenido MATRICES Y DETERMINANTES... ELEMENTOS
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detallesMatrices y Sistemas de Ecuaciones lineales
Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TRABAJO PRÁCTICO Nº 3
BLOQUE I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 Los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden ser: única solución infinitas soluciones no tienen solución rectas que se cortan
Más detallesTema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES
Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Matrices Definición 1.1 Una matriz (real) de n filas y m columnas es una expresión de la forma a 11...
Más detallesProcedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan).
Ejemplo 19: Demuestre que la matriz A es invertible y escríbala como un producto de matrices elementales. Solución: Para resolver el problema, se reduce A a I y se registran las operaciones elementales
Más detallesMatrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa
Matrices En este capítulo: matrices, determinantes matriz inversa 1 1.1 Matrices De manera informal una matriz es un rectángulo de números dentro de unos paréntesis. A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a
Más detallesMatemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara
Matemáticas Física Curso de Temporada Verano 2016 Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com UNIDAD III: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com
Más detallesTEMA 3. Algebra. Teoría. Matemáticas
1 1 Las expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas son operaciones aritméticas, de suma, resta, multiplicación y división, en las que se combinan letras y números. Para entenderlo mejor, vamos
Más detallesMatrices Inversas. Rango Matrices Elementales
Matrices Inversas. Rango Matrices Elementales Araceli Guzmán y Guillermo Garro Facultad de Ciencias UNAM Semestre 2018-1 doyouwantmektalwar.wordpress.com Matrices Matrices identidad La matriz identidad
Más detallesMatrices y sus operaciones
año secundario Matrices y sus operaciones Operaciones básicas Adición La única regla que hay para la suma de matrices es que ambas tienen que tener el mismo número de filas y de columnas, y no importa
Más detallesTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES
TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales de la forma a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Las líneas horizontales (verticales)
Más detallesSistema de ecuaciones algebraicas
Sistema de ecuaciones algebraicas Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j.a.otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidad: ITESM CEM
Más detallesMatrices y sistemas lineales
15 Matemáticas I : Preliminares Tema 2 Matrices y sistemas lineales 2.1 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesMatemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales
Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Matrices Definición: Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Para definirla se utilizan letras
Más detallesLección 8. Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Lección 8 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY Septiembre 2014 1 Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida En
Más detallesPara resolver un sistema lineal estan permitidas tres operaciones en las ecuaciones.
Para resolver un sistema lineal estan permitidas tres operaciones en las ecuaciones. 1. La ecuación E i puede multiplicarse por cualquier costante diferente de cero y se puede usar la ecuación resultante
Más detallesCálculo de Determinantes. (c) 2012 Leandro Marin
8. Cálculo de Determinantes 3 487 83 (c) Leandro Marin . Introducción El determinante de una matriz cuadrada es un problema que se puede resolver de diversas formas. Una de ellas es mediante una fórmula
Más detallesEn los ejercicios 11 a 20, resuelva gráficamente y verifique su respuesta en forma algebraica.
00 CAPÍTULO Sistemas de ecuaciones lineales Sección. Ejercicios de seguimiento En los ejercicios a 0, determine la naturaleza del conjunto solución (solución única, una infinidad de soluciones o ninguna
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES DEFINICIÓN DE MATRIZ. TIPOS
Índice Presentación... 3 Matrices... 4 Tipos de matrices I... 5 Tipos de matrices II... 6 Suma de matrices... 7 Multiplicación por un escalar... 8 Producto de matrices... 9 Trasposición de matrices...
Más detallesMatrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =
Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente
Más detallesCUADERNO DE TRABAJO 1
1 COLEGIO UNIVERSITARIO DE CARTAGO ELECTRÓNICA MATEMÁTICA ELEMENTAL EL-103 CUADERNO DE TRABAJO 1 Elaborado por: Msc. Adriana Rivera Meneses II Cuatrimestre 2014 2 ESTIMADO ESTUDIANTE: El objetivo del siguiente
Más detalles