ANTES DE COMENZAR RECUERDA

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1 SOLUCIONARIO ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Calcula el resultado de estas operaciones. a) 0! b) 0!! c)! +! d) 0!! a) 0! 0! b) 0!!! (0 )!..0 c)! +!! ( + )! d) 0!! Haz estas operaciones. 7 a) 7 c) + 0 b) d) i 0 0 i a) b) c) d) ! 8 7!! 0 0 +!!! ! + 0! 8!!!!! 7!! i. i 0! !!!!! 00 Hemos alquilado un palco en el teatro con asientos. De cuántas formas podemos sentarnos mis padres, mi hermana y yo?! V, 0 formas! 00 Con bolas rojas, azules, naranjas y blancas, cuántos collares diferentes de 0 bolas podemos hacer? 0 VR 0, 0 0 collares 00 Cuántas formas hay de ponerse anillos, uno en cada dedo de la mano? P! 0 formas

2 Probabilidad 00 Con botes de pintura: amarilla, azul, roja y blanca, cuántas mezclas de dos colores puedes realizar?! C, mezclas!! ACTIVIDADES 00 Describe tres experimentos aleatorios y otros tres deterministas. Respuesta abierta. Experimentos aleatorios: lanzar una moneda y anotar el resultado de la cara superior; extraer una de las cinco bolas distintas de una urna y anotar su color, y hacer girar una ruleta numerada del al 7 y anotar el número en el que se detiene. Experimentos deterministas: hallar el volumen de agua desplazado por un objeto en un recipiente; medir el tiempo necesario para realizar un trayecto a una velocidad constante, y calcular la altura alcanzada por un proyectil lanzado verticalmente. 00 Indica los sucesos elementales y el espacio muestral de cada uno de los experimentos aleatorios de la actividad anterior. Respuesta abierta. Los sucesos elementales del primer experimento son: {cara} y {cruz} El espacio muestral es: E {cara, cruz} Los sucesos elementales del segundo experimento son: {blanca}, {amarilla}, {azul}, {roja} y {negra} El espacio muestral es: E {blanca, amarilla, azul, roja, negra} Los sucesos elementales del tercer experimento son: {}, {}, {}, {}, {}, {} y {7} El espacio muestral es: E {,,,,,, 7} 00 Halla experimentos aleatorios que tengan: a) Cuatro sucesos elementales. b) Seis sucesos elementales. Respuesta abierta. a) Lanzar un dado tetraédrico y anotar el resultado de la cara inferior. b) Elegir una de las tarjetas de un sobre en el que hay una tarjeta de cada uno de estos colores: amarillo, naranja, verde, azul, violeta y marrón. 00 Razona por qué no se puede encontrar ningún experimento aleatorio con un solo suceso elemental. Si solo hay un suceso elemental, entonces el espacio muestral tiene un único elemento, es decir, solo hay un resultado posible. Por tanto, el experimento es determinista, y no aleatorio.

3 SOLUCIONARIO 00 Con ayuda de un diagrama de árbol, calcula el espacio muestral asociado al experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas y anotar el número de caras y cruces. Cara CCC Cara Cruz CCX Cara Cara CXC Cruz Cruz CXX Cara XCC Cara Cruz XCX Cruz Cara XXC Cruz Cruz XXX El espacio muestral es: E {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} 00 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar monedas, encuentra dos sucesos compatibles y dos incompatibles. Escribe dos sucesos seguros y dos imposibles. Respuesta abierta. Dos sucesos compatibles son: «Obtener cara en una moneda» y «Obtener cruz en una moneda». Dos sucesos incompatibles son: «Obtener tres caras» y «Obtener cruz en una moneda». Dos sucesos seguros son: «Obtener cara o cruz en cada moneda» y «Obtener 0,, o cruces». Dos sucesos imposibles son: «Salir un número par» y «Salir un as». 007 Al extraer una carta de una baraja española, expresa estos sucesos en forma de uniones e intersecciones. a) A «Salir una figura de copas» b) B «Salir una sota o bastos» a) A {Salir la sota de copas} {Salir el caballo de copas} {Salir el rey de copas} b) B {Salir una sota} {Salir una carta de bastos} 008 Pon un ejemplo y comprueba las siguientes igualdades. a) A (B C) ( A B) ( A C) b) A (B C) ( A B) ( A C) Respuesta abierta. En el experimento que consiste en lanzar un dado consideramos los sucesos: A {,,, } B {,, } C {,, } a) A ( B C) A {,,, } {, } ( A B) ( A C) { }, { } {, } b) A ( B C) A {, } {,,,, } ( A B) ( A C) {,,,, } {,,,,, } {,,,, } 7

4 Probabilidad 00 Lanzamos monedas y contamos el número de caras. a) Describe el espacio muestral. b) Podrías asignarle alguna probabilidad a los sucesos elementales? a) El espacio muestral es: E {CC, CX, XC, XX } b) La probabilidad de obtener una cara o una cruz en una moneda es igual. Repartimos la probabilidad total entre los sucesos elementales y obtenemos: PCC ( ) PCX ( ) PXC ( ) PXX ( ) 00 En un llavero hay llaves de las que solo una llave abre un cofre. a) Qué probabilidad hay de abrir en un intento? b) Y de abrir en tres intentos o menos? a) P(Abrir en un intento) b) P(Abrir en tres intentos o menos) 0 Se lanza un dado de caras donde hay marcados tres, dos X y un. Calcula la probabilidad de estos sucesos. a) «Salir» b) «Salir X» c) «Salir» a) P(Salir ) b) P(Salir X) c) P(Salir ) 0 De 0 alumnos hay que elegir a representantes para formar un grupo de trabajo. Calcula la probabilidad de que los representantes sean Marta, Julia y Rodrigo. 0! 0 8 C 0,. 0! 7! P(Salir Marta, Julia y Rodrigo) 0, En una empresa de rodamientos tienen una máquina que fabrica arandelas. Diseña un método para calcular la probabilidad de que la máquina fabrique una arandela que sea defectuosa. Se examina un número grande de arandelas para ver cuántas son defectuosas y se apuntan las frecuencias absolutas. Se calculan las frecuencias relativas para observar su tendencia y asignar la probabilidad de que la máquina fabrique una arandela defectuosa. 8

5 SOLUCIONARIO 0 Al lanzar un dado se han obtenido estos resultados. f i Qué conclusión puedes deducir? La frecuencia relativa del último valor es aproximadamente el doble de las demás; por tanto, el dado está trucado de modo que el suceso «Salir» tenga el doble de probabilidad que el resto de los sucesos elementales. Resultados f i h i 0, 8 0, 0, 0 0, 0, 0 0, N 0 Si P( A) 0,; P( B) 0,7 y P( A B) 0,; calcula. a) P( A B) b) P( A B ) c) P( A B) d) P( B A) a) PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) 0, + 07, 0, 08, b) PA ( B) PA ( B) PA ( B) 0, 0, c) PA ( B) PA ( B) PA ( ) PA ( B) 0, 0, 0, d) PB ( A) PB ( A) PA ( B) PA ( B) 08, 0, 0 Razona las siguientes afirmaciones. a) Si P( A) 0, y P( B) 0,; los sucesos A y B son compatibles. b) Si P( A) 0, y P( B) 0,; A y B son contrarios. a) P(A) + P(B) > P(A B) 0 A y B son sucesos compatibles. b) P(A) + P(B) P(A) P(B) A y B son sucesos contrarios. 07 En una oficina hay 8 chicos y chicas. De ellos, chicos y chicas llevan gafas. Si escogemos una persona al azar, calcula la probabilidad de que: a) Sea chica, sabiendo que lleva gafas. b) Lleve gafas, sabiendo que es chico. A «Ser chica» B «Ser chico» G «Llevar gafas» a) PAG ( / ) 0 b) PG ( / B) 8 08 En un panel electrónico hay interruptores, de los que solo uno de ellos enciende una luz. Halla la probabilidad de acertar con el interruptor correcto: a) En el primer intento. c) En el tercer intento. b) En el segundo intento. d) En el cuarto intento. a) PA ( ) b) PA ( / A) c) PA ( / A A) d) PA ( / A A A )

6 Probabilidad 0 En una oficina hay 8 chicos y chicas. De ellos, chicos y chicas llevan gafas. Si escogemos un trabajador al azar, calcula las siguientes probabilidades. a) Sea chica y no lleve gafas. b) No lleve gafas y sea chico. A «Ser chica» B «Ser chico» G «Llevar gafas» a) PA ( G) PA ( ) PG ( / A) 7 7 b) 7 PG ( B) PG ( ) PBG ( / ) En un panel electrónico hay interruptores, de los que solo uno de ellos enciende una luz. Consideramos el experimento aleatorio que consiste en anotar el número de interruptores que necesito pulsar para encender la luz. Describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales. E {un conmutador, dos conmutadores, tres conmutadores, cuatro conmutadores} P( un conmutador ) P( A) P( dos conmutadores ) P( A A/ A) P( tres conmutadores ) P( A A/ A A/ A A) P( cuatro conmutadores ) P( A A / A A / A A A /A A A) 0 Completa la siguiente tabla de contingencia, explicando cómo obtienes los datos que faltan fumadores hombres mujeres 0 mujeres que no fuman 0 + no fumadores Hombre Mujer Fuma No fuma Utilizando la tabla de la actividad anterior, calcula las siguientes probabilidades. a) Al elegir una persona, qué probabilidad hay de que sea fumadora? b) Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar no fume y sea mujer? c) Si la persona fuma, qué probabilidad hay de que sea un hombre? A «Ser hombre» B «Ser mujer» F «Ser fumador» 0 a) PF ( ) 00 0 b) PF ( B) c) PAF ( / ) 0 7 0

7 SOLUCIONARIO Describe tres experimentos aleatorios, y determina sus sucesos elementales y el espacio muestral de cada uno. Respuesta abierta. Si se tienen cinco tarjetas con las vocales en una bolsa y se extrae una de ellas; los sucesos elementales son: {a}, {e}, {i}, {o} y {u}, y el espacio muestral es: E {a, e, i, o, u} Se lanza un dado con las caras de distintos colores y se anota el color de la cara superior; los sucesos elementales son: {blanco}, {azul}, {verde}, {amarillo}, {rojo} y {negro}, y el espacio muestral es: E {blanco, azul, verde, amarillo, rojo, negro} En una caja se tienen las fichas de un damero y se extrae una de ellas; los sucesos elementales son: {blanca} y {negra}, y el espacio muestral es: E {blanca, negra} Indica experimentos aleatorios que tengan: a) Tres sucesos elementales. b) Doce sucesos elementales. Respuesta abierta. a) Se extrae una bola de una urna en la que hay bolas azules, rojas y amarillas. b) Se extrae una tarjeta de una caja en la que hay tarjetas numeradas del al. Si un experimento aleatorio tiene dos sucesos elementales, A y B: a) Cuántos sucesos tiene el experimento? b) Describe la unión, la intersección y los contrarios de los sucesos A y B. a) El experimento tiene tres sucesos: A, B y el suceso seguro E. b) A B E A B A B B A 0 A partir del gráfico, comprueba las siguientes igualdades de sucesos. a) A B A B c) A B A B E A b) A B A B d) A A B a) A B A B b) A B A B

8 Probabilidad c) A B A B d) A A A 07 En el experimento que consiste en lanzar veces una moneda, consideramos los siguientes sucesos. A «Salir dos cruces» C «La última es una cruz» B «Salir alguna cara» D «La primera es una cara» Describe los casos elementales que componen los sucesos. a) A C c) A C e) C D b) A B d) B D f) C D a) A C { CXX, XCX } b) A B c) A C { CXX, XCX, XXC, CCX, XXX } d) B D { XCC, XCX, XXC } e) C D { CCX, CXX } f) C D E 08 Se lanzan tres monedas y se consideran los sucesos: A «Salir dos caras» B «Salir tres cruces» C «Salir una cara» Define verbalmente estos sucesos. a) C b) A B c) C B a) «Salir dos caras, tres o ninguna» c) «Salir una cara» b) «Salir una cara, tres o ninguna» 0 Lanzamos tres veces un dado de cuatro caras, anotando el resultado de la cara oculta, y consideramos los sucesos. A «Salir, al menos, un» B «No salir un» C «Los tres números sumen menos que 8» D «Salir más de un» E «Salir menos de dos números» Describe los sucesos contrarios de cada uno de los sucesos anteriores. A «No salir ningún número» D «Salir uno o ningún número» B «Salir uno, dos o tres números» E «Salir dos, tres o cuatro números» C «Los tres números sumen 8 o más»

9 SOLUCIONARIO 00 En una caja tenemos carteles con las siguientes letras. a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, o, u a) En el experimento aleatorio consistente en extraer uno de los carteles, describe los sucesos indicando los sucesos elementales que los componen. V «Vocal» C «Consonante» A «Letra alta como b o f» B «Letra baja como g» M «Letra mediana como a o c» b) Enumera los sucesos elementales que tiene cada uno de estos sucesos. A B M A M V A C A B M V C A A C c) Comprueba las propiedades. C M C M C M C M a) V {a, e, i, o, u} C {b, c, d, f, g, h, j} A {b, d, f, h} B {g, j} M {a, c, e, i, o, u} b) A B { b, d, f, g, h, j} M A M V { a, c, e, i, o, u} A { a, c, e, g, i, j, o, u} C A B { a, b, d, e, f, g, h, i, j, o, u} M V { a, e, i, o, u} A C { a, c, e, g, i, j, o, u} C A {, c g, j} c) C M { C} C M { a, b, d, e, f, g, h, i, j, o, u} C { a, e, i, o, u} C M { a, b, d, e, f, g, h, i, j, o, u} M { b, d, f, g, h, j} C M { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, o, u} C M C { a, e, i, o, u} C M M { b, d, f, g, h, j}

10 Probabilidad 0 Un experimento consiste en sacar una bola de una urna con bolas rojas, numeradas del al ; azules, numeradas del al, y negras, numeradas del al. R «Salir bola roja» A «Salir bola azul» N «Salir bola negra» I «Salir número impar» P «Salir número par» Describe los sucesos. a) R P c) P N e) N b) I P d) R I f) R A a) R P { R, R, R, R, A, A, N} b) I P { R, R, R, R, A, A, A, A, A, N, N, N} c) P N { N, N} d) R I { R, R} e) N { R, R, R, R, A, A, A, A, A} f) R A { N, N, N} 0 En una caja hay botones rojos, azules y 7 verdes. Si sacamos un botón al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. A «Salir botón rojo» B «Salir botón verde o azul» C «No salir botón azul» PA ( ) PB ( ) PC ( ) 0 Una baraja española se compone de 0 cartas. Llamamos figuras a las sotas, los caballos y los reyes. En el experimento consistente en sacar una carta de la baraja, consideramos A «Salir un as», C «Salir copas» y F «Salir una figura». Determina las siguientes probabilidades. P( A) P( C) P( F) P( A F) P( A C) P( C F) P( A F) P( A C) P( A C ) PA ( ) 0 PA ( F) 0 PA ( F) 0 PC ( ) PA ( C) 0 PA ( C) 0 PF ( ) 0 PC ( F) 0 PA ( C) 0

11 SOLUCIONARIO 0 En una empresa disponen de los tipos y las marcas de vehículos reflejados en la tabla. Opel Renault Seat Turismo Furgoneta 8 Si las llaves están en una caja y elegimos una llave al azar, determina cuál será la probabilidad de que: a) Las llaves sean de un vehículo de la marca Seat. b) Las llaves sean de una furgoneta de la marca Renault. c) Las llaves pertenezcan a un turismo que no sea Opel. d) Las llaves no sean de una furgoneta, ni de un vehículo de la marca Seat. a) PS () b) PF ( R) c) PT ( O) d) PF ( S) 0 El % de los vecinos de un barrio practica algún deporte (D). El 0 % está casado (C) y el % no está casado, ni hace deporte. Describe, en función de D y C, los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades. a) Está casado y practica deporte. b) Practica deporte, pero no está casado. c) Está casado, pero no practica deporte. d) No está casado. e) No está casado, ni practica deporte. a) 0, b) 0, c) 0, d) e) 0, 0,

12 Probabilidad 0 Un vidente predice que, en el próximo sorteo de lotería, el primer premio va a ser un número con tres cifras distintas de 0 y, además, todas serán diferentes. Juan ha comprado el número 007, Belén ha comprado 0 y Andrés ha comprado 00. En el caso de que el vidente esté en lo cierto, di cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos. a) Juan resulte afortunado. b) Belén acierte la terminación. c) Andrés acierte las tres primeras cifras (00). a) b) c) luego la probabilidad es: El espacio muestral de un experimento aleatorio se compone de los sucesos elementales a, b, c y d. Sabiendo que estos sucesos son equiprobables y que: M {a} N {b} P {c, d } Q {b, c, d} Calcula las probabilidades de los sucesos: a) M b) M Q c) P d) P N e) M Q f) Q P a) PM ( ) c) PP ( ) e) b) PM ( Q) d) PP ( N) f) PM ( Q) 0 PQ ( P) 08 Se lanzan dos dados y se calcula la diferencia entre los resultados mayor y menor. Halla las siguientes probabilidades. a) La diferencia sea 0. b) La diferencia sea. c) La diferencia sea. d) Cuál es la probabilidad de que la diferencia sea o más? e) Y de que la diferencia se encuentre entre y, ambos números incluidos? 8 8 a) c) e) 0 b) d) 8

13 SOLUCIONARIO 0 Los médicos de un hospital hacen guardias tres días a la semana. a) Calcula la probabilidad de que un médico haga guardia el lunes, el martes y el miércoles. b) Cuál es la probabilidad de que libre el fin de semana (sábado y domingo)? c) Y de que esté de guardia tres días alternos, es decir, con un día de descanso entre la primera y la segunda guardias, y otro día de descanso entre la segunda y la tercera? a) P(Hacer guardia lunes, martes y miércoles) C 7, b) P(No hacer guardia sábado y domingo) P(Hacer guardia sábado, domingo y otro día de la semana) 7 c) P(Hacer guardia lunes, miércoles y viernes) + + P(Hacer guardia lunes, miércoles y sábado) + + P(Hacer guardia lunes, jueves y sábado) + + P(Hacer guardia lunes, viernes y domingo) + + P(Hacer guardia martes, jueves y sábado) + + P(Hacer guardia martes, jueves y domingo) + + P(Hacer guardia martes, viernes y domingo) P(Hacer guardia miércoles, viernes y domingo) 00 Sacamos una ficha del dominó. Determina las probabilidades de los siguientes sucesos. a) Que la ficha obtenida tenga un. b) Que la suma de sus puntos sea mayor que. c) Que la ficha se pueda encadenar a la ficha :. Imagina que hemos sacado una ficha y ha resultado ser la ficha :. Cuál es la probabilidad de sacar otra ficha y de que no se pueda encadenar a esta? 7 7 a) b) c) La probabilidad pedida es: 8 0 En un experimento aleatorio sabemos que: P( A) 0, P( B) 0, P( A B) 0, Calcula. a) P( A ) d) P( A B) b) P( A B) e) P( B A) c) P( A B ) f) P( A B ) 7

14 Probabilidad a) b) c) d) e) f) 0, 0, 0,8 0, 0, 0, 0 Si A y B son incompatibles y P( A) 0, y P( A B) 0,; halla: P( B) P( A B) P( A B) PB ( ) PA ( B) PA ( ) 0, PA ( B) PA ( ) PA ( B) 0, PA ( B) PB ( ) PA ( B) 0, 0 Determina P( A B), P( A B ) y P( A B ), si: P( A) 0, P( B) 0, P( A B) 0, PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) 08, PA ( B) PA ( B) PA ( B) 07, PA ( B) PA ( B) PA ( B) 0, 0 Halla P( A), P( B) y P( A B), si: P( A B) 0,8 P( B ) 0, P( A B) 0, PB ( ) PB ( ) 0, PA ( ) PA ( B) PB ( ) + PA ( B) 07, PA ( B) PB ( ) PA ( B) 0, 0 Es posible que haya dos sucesos tales que P( A) 0,; P( B) 0,8 y P( A B ) 0,7? No es posible. P( A B) P( A B) 07, P( A B) 07, P( A B) 0, PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) 0, + 08, 0,, > 0 Es posible que haya dos sucesos tales que P( A) 0,; P( B) 0, y P( A B) 0,? Cómo son esos sucesos? Sí, es posible, pues: PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) 0, + 0, 0, 0,. El suceso A está contenido en el suceso B. 8

15 SOLUCIONARIO 07 Es posible encontrar dos sucesos tales que P( A) 0,; P( B) 0, y P( A B ) 0,? Sí, es posible. P( A B) P( A B) P( A B) 0, P( A B) 0, PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) 0, PA ( B) 0, 08 Si P( A) 0,7 y P( B) 0,; pueden ser incompatibles? No, porque si PA ( B) 0 PA ( B) PA ( ) + PB ( ) >. 0 Si P( A) 0, y P( B) 0,; pueden ser incompatibles? En caso afirmativo, cuánto tiene que valer P( A B)? Sí, pueden ser incompatibles: PA ( ) + PB ( ) 0, + 0, < Entonces, resulta que: PA ( B) PA ( ) + PB ( ) 0, 00 Sabemos que P( A B) P( A) P( A B). a) Decide cómo son los sucesos A y B. b) Calcula P( A B) y P( A B). El enunciado indica que PA ( B) PA ( ) PA ( B), y por otra parte, sabemos que PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B). De ambas igualdades obtenemos que P(B) 0 y P(A B) 0. a) Los sucesos A y B son disjuntos, pues la probabilidad de su intersección es cero. b) P(A B) P(A) P(A B) 0 0 Si E {S, S, S, S } es el espacio muestral de un experimento aleatorio, puede suceder que P( S ), P( S ), P( S ) y P( S )? < 0 No puede suceder, porque la probabilidad no puede valer más de. 0 Discute si estás de acuerdo con el razonamiento. «Cuando lanzo dos dados y sumo los resultados, para obtener necesito un y un. Si deseo conseguir es preciso que aparezcan dos. Es decir, hay un caso favorable para cada uno de los sucesos, luego la probabilidad es la misma». Comprueba el resultado anterior, calculando su probabilidad de manera experimental: lanza un dado 00 veces (o cinco dados 0 veces) y estudia cuál de los dos sucesos sale más veces. El razonamiento no es correcto, porque hay dos formas de obtener un y un ; por tanto, la probabilidad de obtener es el doble que la de obtener. P(Obtener ) P(Obtener ) 8

16 Probabilidad 0 Un jugador de parchís fabrica un dado trucado, donde todos los números tengan la misma probabilidad de salir, salvo el, que quiere que salga dos veces más que el, el, el y el, y el, que quiere que salga el doble de veces que el. Cuál es la probabilidad de cada número? P(Salir ) x P(Salir ) x P(Salir ) x P(Salir ) x P(Salir ) x P(Salir ) x P( E) x + x + x + x + x + x 0x x 0 Entonces: P(Salir ) P(Salir ) 0 0 P(Salir ) P(Salir ) 0 0 P(Salir ) P(Salir ) 0 En un montón de cartas hemos determinado que P( Oros ), P(Copas), P( Espadas) y P( Bastos) 0 Cuántas cartas de cada palo hay en el montón? P(Oros) P(Copas) P(Espadas) El número de cartas del montón es proporcional a, luego si suponemos que se trata de una sola baraja, puede haber, o cartas y, por tanto, habrá, y ; 0, y 8; o, y cartas de oros, copas y espadas, respectivamente. No hay cartas de bastos, porque la suma de las probabilidades de oros, copas y espadas es. 0 Vamos a extraer una bola de una urna que contiene bolas rojas, azules y verdes, numeradas del al, del al y del al, respectivamente. Consideremos los sucesos. R «Salir bola roja» A «Salir bola azul» V «Salir bola verde» S «Salir bola con un» S «Salir bola con un» S «Salir bola con un» Determina las probabilidades. a) P( R/S ) d) P( A/S ) g) P( S V) b) P( V /S ) e) P( S /R) h) P( A S ) c) P( S /V) f) P( V/S ) 0

17 SOLUCIONARIO a) PRS ( / ) b) PV ( / S) c) PS ( / V) d) PAS ( / ) e) PS ( / R) f) PVS ( / ) g) PS ( V) PV ( ) PS ( / V) h) PA ( S) PA ( ) PS ( / A) 0 0 A una excursión acuden niños, padres y profesores de dos colegios, como se indica en la tabla. Niños Padres Profesores Colegio A 0 Colegio B 0 Si llamamos N «Ser niño», P «Ser padre», F «Ser profesor», A «Pertenecer al colegio A» y B «Pertenecer al colegio B», calcula las probabilidades. a) P( P) c) P( A/N) e) P( P B) b) P( A) d) P( B/F) f) P( P/B) Comprueba si los sucesos P y B son independientes. a) PP ( ) 8 d) PBF ( / ) 7 0 b) PA ( ) 0 c) PAN ( / ) 80 8 e) PP ( B) f) PPB ( / ) 8 PP ( ) PB ( ) PP ( B) P y Bno son sucesos independientes. 07 Una empresa de transporte tiene dos autobuses, A y B, y tres conductores, Diego (D), Elena (E) e Inés (I ). Los viajes realizados por los conductores y los autobuses durante el último mes se han reflejado en la tabla. Diego Elena Inés Autobús A 0 0 Autobús B Durante uno de los viajes se produjo un accidente: a) Cuál es la probabilidad de que condujera Elena? b) Y de que el autobús afectado fuera B? c) Estudia si E y B son sucesos independientes. d) Haz lo mismo con los sucesos I y A.

18 Probabilidad a) 70 PE ( ) b) PB ( ) c) 0 PE ( B) PE ( ) PB ( ) E y Bson sucesos independientes. 0 d) 0 0 PI ( A) PI ( ) PA ( ) Iy Ano son sucesos independientes Una urna contiene bolas rojas, verdes y azul. a) Extraemos una bola, anotamos su color, la devolvemos a la urna, sacamos otra bola y anotamos su color. Halla las siguientes probabilidades. Que las dos bolas sean rojas. Que haya alguna bola azul. Que no haya ninguna bola verde. b) Repetimos el experimento sin devolver la bola a la urna. Determina las mismas probabilidades. Si sacáramos las dos bolas a la vez, en cuál de las dos situaciones anteriores nos encontraríamos? a) PR ( R) P(Al menos una bola azul) PA ( A) PV ( V) b) PR ( R) P(Al menos una bola azul) PA ( A) PV ( V) Nos encontraríamos en la situación del apartado b), ya que si se sacan dos bolas a la vez no hay reemplazamiento como en el primer caso. 0 De una caja que contiene fichas azules y rojas sacamos fichas. Determina las siguientes probabilidades. a) Salgan fichas azules. b) Sean fichas rojas. c) La primera sea azul y la segunda roja. d) Haya una ficha azul y otra roja. a) PA ( A) PA ( ) PA ( / A) b) PR ( R) PR ( ) PR ( / R) 8 7 c) PA ( R) PA ( ) PR ( / A) 8 7 e) La segunda sea roja, si la primera es azul. f) La segunda sea roja, si la primera es roja.

19 SOLUCIONARIO d) PA ( R) + PR ( A) PA ( R) e) PR ( / A) PA ( ) 7 PR ( R) f) PR ( / R) PR ( ) De una bolsa en la que tenemos fichas azules y rojas sacamos dos fichas con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que: a) Las dos fichas sean azules. b) Las dos fichas sean rojas. c) La primera ficha sea azul y la segunda roja. d) Haya una ficha azul y otra roja. Al realizar el experimento con reemplazamiento, las dos extracciones son independientes: a) PA ( A) PA ( ) PA ( ) 8 8 b) PR ( R) PR ( ) PR ( ) 8 8 c) PA ( R) PA ( ) PR ( ) d) PA ( R) + PR ( A) Un examen tipo test consta de dos preguntas para las que se ofrecen cuatro posibles respuestas, de las que solo una es correcta. Si se responde al azar, cuál es la probabilidad de acertar dos preguntas? Y de no acertar ninguna? Resuélvelo considerando que el examen consta de cuatro preguntas. PA ( A) PA ( A) PA ( A A A) PA ( A A A) 8

20 Probabilidad 0 Cuál es la probabilidad de tener aciertos en una quiniela de fútbol compuesta por partidos? Y de tener aciertos? P( aciertos) 0, P( aciertos) 0, De una baraja extraemos dos montones de cartas; en el primer montón hay oros y copas, y en el segundo montón hay oros, copas y espadas. Se saca una carta del primer montón y otra del segundo. Determina las probabilidades de los siguientes sucesos. a) Salen dos cartas de oros. b) Son dos cartas de copas. c) Hay una carta de oros y otra de copas. d) La segunda carta es de espadas. e) La segunda carta es de espadas, sabiendo que la primera fue de copas. a) PO ( O) b) PC ( C) 7 0 c) PO ( C) + PC ( O) d) PE ( ) 0 e) PE ( / C), porque los sucesos son independientes. 0 En un cajón tengo calcetines rojos, verdes y 8 negros. Si con la luz apagada saco un par, determina la probabilidad de que los calcetines sean de los colores que se indican en cada caso. a) Ambos sean verdes. b) Los dos sean del mismo color. c) No haya ninguno rojo. d) Si el primero que saqué resultó ser verde, el segundo también lo sea. e) El primero es verde y el segundo es de cualquier otro color, excepto el verde. a) PV ( V) PV ( ) PV ( / V) b) PR ( R) + PV ( V) + PN ( N) PR ( ) PR ( / R) + PV ( ) PV ( / V) + PN ( ) PN ( / N)

21 SOLUCIONARIO c) PR ( R) PR ( ) PR ( / R) 0 d) PV ( / V) e) PV ( R) + PV ( N) PV ( ) PR ( / V) + PV ( ) P( N/ V) En una caja hay fichas rojas y ficha azul. Un juego consiste en sacar una ficha, anotar su color, devolverla a la caja y seguir sacando hasta el momento en que se hayan conseguido fichas azules. a) Cuál es la probabilidad de ganar con menos de cuatro extracciones? b) Y cuál es la probabilidad de sacar fichas y no ganar? 0 a) PA ( A) + PA ( R A) + PR ( A A) + + b) P( R R R R R) + P( A R R R R) En una urna hay bolas rojas, negras y un número indeterminado de bolas azules. Se sabe que la probabilidad de que, al sacar dos bolas, haya bola roja y bola azul es de. Determina el número de bolas azules que hay en la urna. Sea x el número de bolas azules de la urna. PR ( A) + PA ( R) PR ( ) PA ( / R) + PA ( ) PR ( /A ) x x x x x x x x x x x 07 Para recibir las quejas de los clientes, una empresa telefónica dispone de una oficina atendida por tres empleados. El empleado A está exclusivamente dedicado a la atención a los clientes y los otros dos empleados realizan, además, otras tareas. El empleado A atiende al 0 % de los visitantes, B al % y C al resto. El empleado más efectivo es A, que resuelve el % de los problemas que le plantean los clientes, mientras que B solo resuelve el 80 % y C el 0 %. a) Cuál es la probabilidad de que no me atienda el empleado A? b) Cuál es la probabilidad de que no me resuelvan el problema?

22 Probabilidad c) Cuál es la probabilidad de que me resuelvan el problema si no me atiende A? d) Cuál es la probabilidad de que no me resuelvan el problema si me atiende A? e) Si no me han resuelto el problema, cuál es la probabilidad de que me haya atendido B? a) PA ( ) PA ( ) 0, b) PR ( ) PA ( ) PR ( / A) + PB ( ) PR ( / B) + PC ( ) PR ( / C) 0, 00, + 0, 0, + 0, 0, 0, PR ( A) PB ( ) PRB ( / ) + PC ( ) PRC ( / ) 0, 08, + 0, 0, c) PR ( / A) 0, 7 PA ( ) PA ( ) 0, d) PR ( / A) 00, PB ( ) PR ( / B) 0, 0, e) PBR ( / ) 0, PA ( ) PR ( / A) + PB ( ) PR ( / B) + PC ( ) PR ( / C) 0, 08 PARA FINALIZAR... Se lanza un dardo sobre el rectángulo determinado por las rectas x ± e y ± en un sistema de ejes coordenados. Y X Calcula la probabilidad de que el dardo impacte sobre un punto que: a) Tenga su abscisa mayor que su ordenada. b) La suma de sus coordenadas sea mayor que. c) El producto de sus coordenadas sea positivo. d) La suma de los valores absolutos de sus coordenadas sea mayor que. a) P(La abscisa es mayor que la ordenada) 8 Y X

23 SOLUCIONARIO b) P(La suma de las coordenadas es mayor que ) 8 Y X c) P(El producto de las coordenadas es positivo) 8 Y X d) P(La abscisa es mayor que la ordenada) 8 Y X 0 En la ecuación de segundo grado: x + ax + b 0 los coeficientes, a y b, son los posibles resultados al lanzar dos dados. Calcula la probabilidad de que la ecuación no tenga solución real. Los resultados al lanzar dos dados son: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) La ecuación de segundo grado no tiene solución si el discriminante es negativo: 7 Δ a b < 0 a < b P( No solución ) 7

24 Probabilidad 070 En la ecuación de segundo grado x + ax + b 0, los coeficientes, a y b, son dos números reales escogidos al azar en el intervalo [0, ]. Calcula la probabilidad de que tenga dos soluciones reales distintas. La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas si el discriminante es positivo: Δ a b > 0 a > b Y X Área encerrada bajo la curva x x dx 0 0 Área favorable P(Dos soluciones distintas) Área posible 07 Cuál es el mínimo número de personas necesarias, para que la probabilidad de que, al menos, dos de ellas cumplan años el mismo día, sea superior al 0 %? Suponemos que el año tiene días. Si estudiamos un grupo de n personas, el número de casos posibles es n. ( n + ) P(n personas no cumplen años el mismo día) n P(Al menos dos personas del grupo de n personas cumplen años el mismo día) P (n personas no cumplen años el mismo día) ( n + ) n n Probabilidad 0,07 0 0, 0, 0 0, 0,7 n Probabilidad 0 0, 0, 0,7 0, El mínimo número de personas es. 8

25 SOLUCIONARIO 07 Tenemos dos urnas iguales, una con bolas rojas y otra con bolas negras. Cambiamos el número de bolas que queramos de una urna a otra. Si después se elige una urna al azar y se saca una bola: Cómo distribuirías las bolas para que la probabilidad de sacar una bola roja sea la mayor posible? Cuál es esa probabilidad? U U Probabilidad rojas negras rojas y negras 0 negras rojas y 0 negras negras 0 rojas y negras 0 negras y rojas rojas y negras 0 negras y 0 rojas 0 rojas negras y rojas rojas 0 negras y 0 rojas 0 rojas negras y rojas rojas negras y 0 rojas roja negras y rojas 0 + 0, 0 + 0, , + 0, + 0, , , + 0, , , 8 Observamos que, al cambiar las bolas negras de urna, la probabilidad de extraer una bola roja es menor que al cambiar las bolas rojas. Por tanto, esta probabilidad es máxima al pasar bolas rojas a la segunda urna, junto con las bolas negras, y su valor es 0,7.

26 SOLUCIONARIO ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Indica el tipo de variable estadística. a) Talla de una persona. c) Sexo de una persona. b) Temperatura. d) Dinero gastado a la semana. a) Cuantitativa continua b) Cuantitativa continua c) Cualitativa d) Cuantitativa discreta 00 Organiza en una tabla de frecuencias estos datos relativos al peso, en kg, de 0 personas Respuesta abierta. Peso [0, 0) [0, 0) [0, 70) [70, 80) f i h i 0, 8 0, 0, 0, N 0 h i F i H i 0, 0, 7 0, Lidia ha obtenido las siguientes notas en Matemáticas: 7,,, 0,, 7 y. Calcula la media, la varianza y la desviación típica. 0 x 7, 7 7 7,,7 7 σ σ, 00 Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de que la suma: a) Sea. c) Sea inferior a. b) No sea 7. d) Sea o. a) 8 b) c) d) 7 +

27 Distribuciones binomial y normal ACTIVIDADES Lanzamos dos dados de caras. a) Comprueba que la función que asigna a cada suceso elemental la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria. b) Elabora su tabla de valores y represéntala gráficamente. a) El espacio muestral es: E {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} La función X que asigna a cada suceso la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria. X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 7 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 7 X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 7 X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 7 X(, ) 8 X(, ) X(, ) 0 X(, ) X(, ) 7 X(, ) 8 X(, ) X(, ) 0 X(, ) X(, ) 7 X(, ) 8 X(, ) X(, ) 0 X(, ) X(, ) b) X P(X x i ) P(X x i ) ,8 0, 0, 0, 0, 0,08 0,0 0,0 0, Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y una moneda. a) Calcula el espacio muestral y la probabilidad de cada suceso elemental. b) Define sobre este experimento dos variables aleatorias y represéntalas. a) El espacio muestral es: E {(, C), (, C), (, C), (, C), (, C), (, C), (, X), (, X), (, X), (, X), (, X), (, X)} La probabilidad de cada suceso elemental es.

28 SOLUCIONARIO b) Respuesta abierta. La función X asigna a cada suceso el número obtenido en el dado. X(, C) X(, C) X(, C) X(, C) X(, C) X(, C) X(, X) X(, X) X(, X) X(, X) X(, X) X(, X) X P(X x i ) P(X x i ) 0,8 0, 0, 0, 0, 0,08 0,0 0,0 0,0 La función Y asigna a cada suceso el número elemental si sale cara en la moneda y si sale cruz. Y(, C) Y(, C) Y(, C) Y(, C) Y(, C) Y(, C) Y(, X) Y(, X) Y(, X) Y(, X) Y(, X) Y(, X) Y P(Y y i ) P(Y y i ) 0, 0, Consideramos la variable aleatoria que cuenta la suma de las puntuaciones al lanzar dos dados de caras. Calcula los parámetros de esta variable aleatoria. Media: μ7 Desviación típica: σ,8, Puedes encontrar una variable aleatoria discreta que proceda de una variable estadística continua? Y lo contrario? Consideramos la variable estadística cuantitativa continua «altura de las personas de un país, medida en metros». Definimos sobre esta variable estadística la variable aleatoria: h Para cada altura h X( h) 0 si si h > Esta variable está definida para cualquier suceso elemental de la variable estadística, es decir, cada una de las alturas; además, es discreta, pues solo toma dos valores. Por tanto, de una variable estadística continua se puede obtener una variable aleatoria discreta, pero no a la inversa, pues un número finito de valores no puede tener un número infinito de imágenes.

29 Distribuciones binomial y normal 00 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados de caras, consideramos la variable aleatoria X, que asocia a cada suceso elemental el producto de las puntuaciones que se ven. Halla y representa las funciones de probabilidad y de distribución. X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 8 X(, ) 0 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 8 X(, ) X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) 0 X(, ) X(, ) X(, ) 0 X(, ) X(, ) 0 X(, ) X(, ) 0 X(, ) X(, ) X(, ) 8 X(, ) X(, ) 0 X(, ) X P(X x i ) P(X x i ) X P(X x i ) P(X x i ) La función de probabilidad es: 8 f( x) 0 si x,,,, si x 80,,,,, 800,,,, si x si x, en el resto Y 0, X

30 SOLUCIONARIO La función de distribución es: 0 si < x < si x < si x < si x < si x < si x < 8 7 si x < 8 8 si 8 x < 7 si x < 0 Fx () si 0 x < si x < si x < si x < si 8 x < 0 si 0 x < 8 si x < si x < 0 si 0 x < si x <+ Y 0, X

31 Distribuciones binomial y normal 00 Esta es la gráfica de una función de distribución. Halla y representa la función de probabilidad. Y 0, 0 si < x < 0, si x < 0, si x < 0, si x,, Fx () 0, si x, 0, si x < f( x), 07, si x < 0 si x en el resto 08, si x < 0 si x <+ Y 0, X 0, 7 X Comprueba si la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale un, al lanzar veces un dado de seis caras, sigue una distribución binomial. La variable es discreta, porque solo puede tomar los valores 0,,, y. n es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Salir un», entonces P(A). Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en un lanzamiento no influye en el siguiente. Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: B, Calcula la probabilidad de que la variable aleatoria, X, que cuenta el número de veces que sale un en tiradas de un dado, sea mayor o igual que. PX ( ) PX ( ) + PX ( ) + 0, Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo, al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene bolas blancas y rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente. Calcula la probabilidad de que obtenga bolas blancas. X B, PX ( ) 0,88

32 SOLUCIONARIO 00 Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula. a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color. b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo. a) PX ( ) + PX ( ) ,8 b) PX ( ) 0, Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo, al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene bolas blancas y rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente. Calcula, utilizando la tabla de la distribución binomial, la probabilidad de que haya anotado bolas blancas. X B(; 0,) P(X ) 0,88 0 Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula. a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color. b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo. a) P(X ) + P(X 0) 0,0 + 0, 0,8 b) P(X ) 0,0 0, 0 0 Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad, y halla la función de distribución asociada a ella. b h k k 0 si < x < 0 x Fx ( ) si 0 x si < x <+ Halla la función de densidad que corresponde a esta función de distribución. x x f( x) si 0 0 en el resto kx fx ( ) 0 si 0 x en el resto Y 0 si < x < 0 Fx ( ) x si 0 x si < x <+ X X 7

33 Distribuciones binomial y normal 0 Tipifica los siguientes valores de una variable aleatoria con μ y σ. a) x b) x, c) x 0, d) x a) b) 0, 0,7 c) d) 0,,7 0 Compara los datos de estas distribuciones. x (con μ, σ) x (con μ, σ) x, (con μ,; σ,) z 0, z < z < z z,, z 0, Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal X N(, ), calcula las siguientes probabilidades. a) P(X < ) c) P(X ) e) P(X < 7) b) P(X > ) d) P(X ) f) P(X 8) a) PX ( < ) P X < PZ (,) PZ (,) 0, 0,08 b) PX ( > ) P X > PZ ( ) PZ ( < ) 0,8 c) P(X ) 0 d) P(X ) 0 e) PX ( < ) P X 7 < PZ ( ) 0,8 f) P(X 8) 0 Una variable aleatoria X se distribuye según una normal de media μ y desviación típica σ. Sabemos que los cuartiles de la distribución valen y, respectivamente. Cuánto valen la media μ y la desviación típica σ? PX ( < ) P X μ μ < P Z < μ σ σ σ 0, < μ P Z 0,7 μ 0,8 μ 0,8σ σ σ PX ( < ) P X μ μ < P Z < μ σ σ σ μ 0,7 0,8 σ μ 0,8σ μ 0,8σ μ μ 0,8σ σ 7,7 8

34 SOLUCIONARIO 0 Una fábrica de componentes elabora.000 circuitos electrónicos al día. Si la probabilidad de fabricar un circuito defectuoso es del %, cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos sea mayor que 0? Y menor que? X B(. 000; 0,0) N( 0;,) PX ( > 0 ) P X > PZ (,, >,7) PZ (,7) 0 PX ( < ) P X 0 < 0 PZ (,, <,) 0,88 00 El 0 % de las personas de una ciudad afirma que no ve nunca televisión. Calcula la probabilidad de que, escogidas 00 personas al azar, haya al menos personas que no vean televisión. Qué probabilidad hay de que sean exactamente? X B( 00; 0,) N( 0, ) PX ( ) P X 0 0 PZ ( ), PZ ( <,) 0,08 0,08, 0 X 0, PX ( ) P(, < X<,) P 0 < < PZ ( <,) PZ ( <,7) 0, 0,87 0,0 0 En una urna hay bolas rojas y bolas azules. Se sacan bolas y se anota el número de bolas azules que se han conseguido. Realiza una tabla con la distribución de probabilidad, y halla la media y la desviación típica. X P(X x i ) P(X x i ) Media: μ, Desviación típica: σ 0,0 0,70

35 Distribuciones binomial y normal 0 En el experimento aleatorio consistente en elegir al azar una ficha de dominó, se considera la variable X «mayor número de las dos puntuaciones de la ficha». Construye la distribución de probabilidad y halla la media, la desviación típica y la varianza. X P(X x i ) P(X x i ) Media: μ 8 Varianza: σ Desviación típica: σ,7 0 Se lanzan dos dados y se considera la variable aleatoria que a cada suceso elemental le hace corresponder la diferencia entre el mayor y el menor de los resultados de ambos dados. a) Clasifica la variable aleatoria. b) Describe la distribución de probabilidad en forma de tabla. a) Es una variable discreta. b) X P(X x i ) P(X x i )

36 SOLUCIONARIO 0 Hemos pintado tres caras de un dado con un, dos caras con un y una cara con un. Si consideramos la variable que asigna a cada suceso elemental su puntuación: a) Elabora una tabla con la distribución de probabilidad. b) Halla la media y la desviación típica. a) X P(X x i ) P(X x i ) b) Media: μ,7 Desviación típica: σ 0, 0,7 0 Un juego consiste en lanzar dos dados, anotar la suma de los resultados dividida entre y aproximarla, por exceso, al número entero más próximo. a) Realiza la distribución de probabilidad. b) Calcula la media, la varianza y la desviación típica. a) X P(X x i ) P(X x i ) 7 8 b) Media: μ,7 Varianza: σ, Desviación típica: σ, 0 Dada la siguiente tabla, que corresponde a los valores que toma una variable aleatoria X y a sus probabilidades: a) Comprueba que corresponde a una distribución de probabilidad. b) Calcula la función de distribución. c) Halla su media y su desviación típica. a) 0, + 0, + 0, + 0,0 b) 0 si < x < 0, si x < Fx ( ) 08, si x < 0, si x < 7 si 7 x <+ X 7 P(X) 0, 0, 0, 0,0 c) Media: μ, Desviación típica: σ 0,87 0,0 7

37 Distribuciones binomial y normal 07 Con la distribución de la actividad anterior, determina las siguientes probabilidades. a) P(X >) c) P( X <7) b) P(X <) d) P(μ σ < X <μ +σ) a) PX ( > ) 0, b) PX ( < ) 0,8 c) P( X < 7) 0, d) P( μ σ< X < μ+ σ) P(,7< X <,) 0,8 08 Identifica las variables aleatorias que siguen una distribución binomial. a) Tenemos tres fichas blancas y cinco fichas azules en una bolsa. Sacamos cuatro fichas y contamos el número de fichas que son blancas. b) En la situación anterior sacamos una ficha, anotamos su color y la devolvemos a la bolsa. Repetimos el experimento veces y anotamos el número de fichas de color blanco. c) Lanzamos un dado diez veces y anotamos las veces que sale el número. d) Se lanza un dado y si sale un número par, se vuelve a lanzar el mismo dado, pero si sale un número impar se lanza un dado con forma de tetraedro y caras numeradas del al. Se cuenta el número de las veces que sale el número. e) En una ciudad, el 0 % de la población tiene los ojos de color azul. Se eligen, al azar, 0 personas y se anota el número de ellas que tiene los ojos azules. a) La variable aleatoria no sigue una distribución binomial. b) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores 0,, y. n es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Salir una ficha blanca», entonces P(A). 8 Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en una extracción no influye en la siguiente. Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: B, 8 c) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores 0,,,,,,, 7, 8, y 0. n 0 es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Salir un», entonces P(A). Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en un lanzamiento no influye en el siguiente. Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: B 0, d) La variable aleatoria no sigue una distribución binomial. e) La variable es discreta, porque solo puede tomar los valores 0,,,,,,, 7, 8,, 0,,,,,,, 7, 8, y 0. n 0 es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Tener los ojos azules», entonces P(A) 0,. Los experimentos son independientes, porque el color de los ojos de una persona no influye en el color de los ojos de la otra persona. Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: B(0; 0,) 7

38 SOLUCIONARIO 0 Calcula las probabilidades que se indican en las siguientes distribuciones binomiales. a) En B(8; 0,) P(X ), P(X ), P(X 0) b) En B(; 0,) P(X ), P(X <), P(X ) c) En B(; 0,8) P( X ), P( X ) PX ( ) 8 7 a) PX ( ) 0, 0,8 0,087 0, 0,8 0, 8 PX ( 0 ) , 0,8 0,777 0 b) PX ( ) 0, 0, 0, PX ( < ) PX ( 0) + PX ( ) + PX ( ) 0, , , , PX ( ) PX ( ) + PX ( ) 0,77 + 0,8 0, c) P( X ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) 0,0 + 0,08 + 0,7 + 0, 0,7 P( X ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) 0,00 + 0,00 + 0,08 + 0,7 0,7 00 Una máquina que fabrica discos compactos consigue fabricar un 0 % de discos sin error. Si escogemos 0 de ellos al azar, calcula las siguientes probabilidades. a) No hay ninguno defectuoso. b) Hay más de uno defectuoso. a) PX ( ) 0, 0, 0, b) PX ( > ) PX ( ) ( PX ( 0) + PX ( )) ( 0,87 + 0,87) 0, 0 Un examen tipo test tiene 0 preguntas a las que se ofrecen cuatro respuestas posibles. a) Si se responde al azar, cuál es la probabilidad de acertar más de dos preguntas? b) Si para aprobar hay que tener más de respuestas correctas, cuál es la probabilidad de obtener un aprobado? X B( 0; 0,) np 7, > X B( 0; 0,) N( 7,;,7) n( p), > 7, 7, a) PX ( > ) P X > P(,7,7 Z >,) P( Z <,) 0,88 7, 7, b) PX ( > ) P X >,7,7 PZ ( >,) PZ (,) 0, 0,0008 7

39 Distribuciones binomial y normal 0 Se lanza el dado veces. Cada vez que se obtiene un número mayor que gana Eva. En caso contrario, gana Daniel. a) Describe la función de probabilidad y la función de distribución. b) Cuáles son la media y la desviación típica de esta distribución? c) Cuál es la probabilidad de que Eva gane exactamente veces? d) Cual es la probabilidad de que Daniel gane más de veces? x a) La función de probabilidad es: f( x) x 0 i x La función de distribución es: Fx () i i 0 x i si x 0,,,, en el resto b) μ,7 σ, c) np,7 > X B( ; 0,) N(,7;,) n( p) 8, >,,7 X PX ( ) P(,< X<,) P <,7,,7 <,,, P( < Z <,) P(, < Z < ) 0 d),7,7 PX ( < ) P X <,, PZ ( <,7 ) PZ (,7 ) 0 0 De cada 0 veces que mi hermano juega conmigo al ajedrez, me gana 7 veces. a) Cuál es la probabilidad de que me gane vez? b) Y de hacer tablas? c) Cuál es la probabilidad de que me gane entre y veces, ambos números incluidos? d) Si apostamos que, en 0 partidas, yo le ganaré al menos veces, cuál es la probabilidad de ganar la apuesta? X B( 0; 0,7) a) PX ( ) 0,7 0, 0, b) PX ( ), 0, 0, c) P( X ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) ,,,, 07 0,, 0, , ,0000 0,0088 7

40 SOLUCIONARIO d) PX ( < ) PX ( 0) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) 0, , , , ,07 + 0,0 0, En un laboratorio de análisis clínicos saben que el 8 % de las pruebas de diabetes que realizan resulta negativo. Si han recibido 0 muestras para analizar: a) Determina la probabilidad de que haya personas a las que la prueba les dé positivo. b) Cuál es la probabilidad de que la prueba resulte positiva a más de persona? X B( 0; 0,0) a) PX ( ) 0,0 0,8 0,0 0 8 b) PX ( > ) PX ( ) ( PX ( 0) + PX ( )) 0 0 0,0 0 0, ,0 0,8 0,87 0,7 0,0 El 0 % de la población de una ciudad es inmigrante de procedencia africana. Se eligen cinco personas al azar. Determina la probabilidad de que: a) Haya un inmigrante africano. d) Haya, al menos, un africano. b) Sean dos o más inmigrantes africanos. e) Sean cuatro inmigrantes africanos. c) Las cinco sean inmigrantes africanos. X B( 0, ; ) a) PX ( ) 0, 0,8 0,0 b) PX ( ) PX ( < ) ( PX ( 0) + PX ( )) 0 0, 0 0,8 0, 0,8 0,77 0,0 0,7 c) PX ( ) 0, 0,8 0,000 0 d) PX ( ) PX ( < ) PX ( 0 ) 0 0 0, 0,8 0,77 0,7 e) PX ( ) 0, 0,8 0,00 Juan suele dar en el blanco con una de cada tres flechas que lanza a la diana. a) Es cierto que si lanza flechas, al menos una de ellas dará en el blanco? b) Qué probabilidad hay de que eso suceda? c) Y si lanza flechas, puede estar seguro de que alguna de sus flechas va a dar en el blanco? d) Cuántas flechas debería lanzar para asegurar, con una probabilidad de más del %, que va a conseguirlo? 7

41 Distribuciones binomial y normal a) No, la probabilidad no puede asegurar el resultado del lanzamiento. b) X B, PX ( ) PX ( < ) PX ( 0 ) 0 0 0, 0,707 c) No, la probabilidad no varía y no puede asegurar el resultado. d) X B n, n PX ( ) PX ( < ) PX ( ) 0 n n 0 log 0,0 0,0 n 7, log A partir de 8 flechas, la probabilidad de que al menos una flecha dé en el blanco es más del %. n 0, En una distribución N(0, ), calcula las probabilidades. a) P(Z <0,7) e) P(Z > 0,8) b) P(Z <,0) f ) P(Z >,7) c) P(Z,77) g) P(Z,7) d) P(Z <0,7) h) P(Z,0) a) PZ ( < 0,7) 0,77 b) PZ ( < 0, ) 0,78 c) PZ ( 77, ) 0, d) PZ ( < 0,7) 0,07 e) PZ ( > 08, ) PZ ( < 08, ) 0,8 f ) PZ ( >,7) PZ ( <,7) 0,0 g) PZ ( 7, ) 0 h) PZ (,0) PZ (,0) 0,808 En una distribución N(0, ), halla las siguientes probabilidades. a) P(Z >,8) e) P(Z < 0,) b) P(Z,87) f ) P(Z <,) c) P(Z,07) g) P(Z,) d) P(Z 0,) h) P(Z <,87) a) PZ ( >,8) PZ ( <,8) 0, 0,000 b) PZ (,87) PZ (,87) 0, 0,0887 c) PZ (,07) 0 d) PZ ( 0, ) PZ ( 0, ) 0,70 0,8 e) PZ ( < 0,) PZ ( 0,) 0, 0,707 f ) PZ ( <,) PZ (,) 0,088 0,0 g) PZ (,) PZ (,) 0,87 0,0 h) PZ ( <, 87) PZ (, 87) 0, 0,000 7

42 SOLUCIONARIO 0 En una distribución N(0, ), obtén las probabilidades. a) P(0, < Z <0,) d) P( 0, < Z <,) b) P(, < Z <,0) e) P(, < Z < 0,) c) P( 0, < Z <,) f ) P(, < Z <,07) a) P( 0, < Z< 0, ) PZ ( < 0, ) PZ ( < 0,) 0,7 0,0 0,0 b) P(, < Z<, 0) PZ ( <, 0) PZ ( <, ) 0, 788 0, 877 0, 08 c) P( 0, < Z<,) PZ ( <,) ( PZ ( < 0,)) 0, + 0,78 0, d) P( 0, < Z<,) PZ ( <,) ( PZ ( < 0,)) 0, + 0,7 0,7 e) P(, < Z< 0,) PZ ( <,) PZ ( < 0,) 0, 0,7 0,7 f) P(, < Z<, 07) PZ ( <, ) PZ ( <, 07) 0, 0, 877 0, Calcula el valor de k para que se verifiquen las igualdades en la distribución N(0, ). a) P(Z < k) 0,08 c) P(Z > k) 0,7 b) P(Z < k) 0, d) P(Z k) 0,0 a) k,7 b) PZ ( < k) 0, PZ ( < k) 0, 808 k 0, 7 k 0, 7 c) PZ ( > k) 0, 7 PZ ( < k) 0, 7 k, 7 k, 7 d) PZ ( k) 0, 0 PZ ( < k) 0, 887 k, 8 Determina las siguientes probabilidades en una distribución N(, ). a) P(X <,) e) P(X >,8) b) P(X <,) f ) P(X >,8) c) P(X 7,0) g) P(X,) d) P(X <,07) h) P(X 7,8) a) PX P X, ( <, ) < P( Z < 0, 8) 0, 7 b) PX P X, ( <, ) < PZ ( <, ) 0, 8 c) PX P X, ( 7, 0 ) 7 0 P( Z <, ) 0,,07 d) PX ( <,07) P X < PZ ( < 0, 0 ) 0,0,8 e) PX ( >,8 ) P X < P( Z < 00, ) P( Z 00, ) 0, 0,,8 f ) PX ( >,8) P X < PZ ( <,08) PZ (,08) 0,8 0,0 g) P(X,) 0 h) PX (, ) P X, < PZ ( < 0, ) PZ ( 0, ) 0, 80 0, 07 77

43 Distribuciones binomial y normal 0 0 En una distribución N(, ), calcula las siguientes probabilidades. a) P(X >8,) c) P(X ) e) P(X <,) g) P(X,) b) P(X,) d) P(X,) f ) P(X 7,) h) P(X <,877) a) PX P X, ( > 8, ) 8 > PZ ( >, ) PZ (, ) 0, 0,00 b) PX P X, (, ) P( Z, ) P( Z <, ) 0, 0, 07 c) P(X ) 0 d) PX (, ) P X, P( Z 0, 8) P( Z 0, 8) 0, 8 e) PX (, ) P X, < < PZ ( < 08, ) PZ ( 08, ) 0, 77 0, 8 f) PX P X, ( 7, ) 7 P( Z 0, ) P( Z < 0, ) 0, 0, 707, g) PX (,) P X P( Z 7, ) P( Z < 7, ) 0,88 0,0,877 h) PX ( <,877) P X < PZ ( < 8, ) PZ ( 8, ) 0,887 0,0 En una distribución N(0, ), obtén estas probabilidades. a) P(0 < X <0) d) P(7,7 < X <0,) b) P(0 < X <7,) e) P(8,8 < X <8) c) P(8 < X <,) f ) P( < X <87) 0 0 X a) P( 0 < X < 0) P < < P(, < Z <,) PZ ( <, ) PZ ( <,) 0,8 0,08 0, X 0 7, 0 b) P( 0 < X < 7,) P < < P(,8 < Z <,8) PZ ( <,8 ) PZ ( <,8) 0,887 0, 0, X 0, 0 c) P( 8 < X <,) P < < P( 0, < Z <,88) PZ ( <,88) ( P( Z < 0,)) 0, + 0, 0, 7,7 X 0, d) P( 7,7 < X < 0,) P 0 < 0 0 < P(, < Z <,) P( Z <, ) ( PZ ( <,)) 0, ,8 0,7 78

44 SOLUCIONARIO 8,8 0 X e) P( 8,8 < X < ) P < 0 8 < 0 8 P(, < Z< 0,7) PZ ( <, ) PZ ( < 07, ) 0, 0,78 0, 0 X f) P( < X < 87) P < < P(,7 < Z < 0,) PZ ( <,7) PZ ( < 0, ) 0, 0,87 0, 0 0 Halla a, b, c,, para que en una distribución normal N(08, ) se cumpla que: a) P(X < a) 0,88 c) P(X < c) 0, e) P(X e) 0,87 b) P(X < b) 0,7 d) P(X d) 0,0 a) PX ( < a) 0,88 P X 08 < a 08 0,88 a 7, a 08, b) PX ( < b) 0,7 P X 08 < b 08 b 08 0,7,77 b, c) PX ( < c) 0, P X 08 < c 08 0, P X c 08 c 0,8 08 0, c 0, d) PX ( d) 0,0 P X 08 d 08 0,0 < P X d 08 d 08 0,0, d, e) PX ( e) 0,87 P X 08 e 08 0,87 P X e 08 e 0, , e 0 El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal N(,). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol: a) Superior a 00 unidades. b) Entre 80 y 0 unidades. a) PX ( > 00 ) P X 00 > P( Z > 0,7) P( Z 0,7) 0,78 0, 80 X 0 b) P( 80 < X < 0) P < < P( < Z <,) PZ ( <, ) ( PZ ( < )) 0, 0 ( 0, 8) 0, 8 7

45 Distribuciones binomial y normal 0 Se ha comprobado que el tiempo medio que resiste un adulto sin respirar es de 0 segundos, con una desviación típica de, segundos, y que los datos anteriores siguen una distribución normal. a) Halla el porcentaje de personas que aguantan más de segundos y menos de 0 segundos. b) Qué porcentaje resiste entre 0 y 0 segundos? a) b) PX ( > ) PX ( < ) P X 0 > 0 0,, P X <,, PZ ( >,0) PZ ( <,) ( PZ (,0)) ( PZ (, )) ( 0,87) ( 0,) 0,0008 El porcentaje de personas es del 0,0 %. 0 0 X P( 0 < X < 0) P < <,,, P(, < Z <,) PZ ( <,) ( PZ ( <,)) 0, 0,8 El 8, % resiste entre 0 y 0 segundos. 07 La edad de un grupo de personas sigue una distribución N (,0). Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegida al azar, tenga: a) Más de 0 años. b) Entre y 7 años. c) Di entre qué edades estará comprendido el 0 % central de la distribución. a) PX ( > 0 ) P X 0 > PZ ( 0, > ) PZ ( 0,) 0 0 0, 0,08 X 7 b) P( < X < 7) P < < P(, < Z <, ) PZ ( <, ) ( PZ ( <, )) 0,88 0,78 a X + a c) P( a< X < + a) 0, P < < P a a < Z < 0 0 a a P Z < P Z < 0 0 a < P Z 0 P Z 0 < a, 0 07 a, 0 0,8 a,8 El 0 % central de la distribución estará comprendido entre 8 y años. 80

46 SOLUCIONARIO 08 El peso de las ovejas adultas se distribuye normalmente con una media de kg y una desviación típica de, kg. a) Qué porcentaje de las ovejas pesará entre 0 y 7 kg? b) Si pretendemos separar una cuarta parte de las ovejas, siendo las más pesadas del rebaño, a partir de qué peso se hará la separación? 0 X 7 a) P( 0 < X < 7) P < <,,, P(, < Z <,7) PZ ( <,7) ( PZ ( <,)) 0, + 0,8 0,8 b) PX ( > a) 0, P X a > P,, a Z >, a P Z, a 0, P Z 0,7, a 0,8 a,, La separación debe hacerse a partir de, kg. 0 El tiempo medio de espera de un viajero en una estación ferroviaria, medido en minutos, sigue una distribución normal N(7,; ). Cada mañana.000 viajeros acceden a esa estación. Determina el número de viajeros que esperó: a) Más de minutos. b) Menos de minutos. c) Entre y 0 minutos. d) Completa la frase: «Los.000 viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron que esperar menos de minutos». a) b) c) 7, 7, PX ( > ) P X > PZ ( 0,7 > ) PZ ( 0,7) 0,77 0, 0,.000 0, 0 viajeros esperaron más de minutos. 7, 7, PX ( < ) P X < PZ ( 0,7 < ) PZ ( 0,7) 0,77 0, 0,.000 0, 0 viajeros esperaron menos de minutos. 7, X 7, 0 7, P( < X < 0) P < < P(, < Z <,) PZ ( <,) ( PZ ( <,) ) 0,8 0,7888 0, ,. viajeros esperaron entre y 0 minutos. 8

47 Distribuciones binomial y normal , 7, d) 0, PX ( < a) 0, P X < a , a < 7, 0 7 P Z, P a Z, 0,7 a 7, 0,8 a 8,8 Los.000 viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron que esperar menos de 8 minutos Se sabe que el 8,% de los tornillos fabricados por una empresa tiene un diámetro menor que,8 mm. Si el diámetro de los tornillos se distribuye según una normal de media μ, mm, determina la desviación típica. PX ( ) P X, <,8,,8 0,8 < σ σ 0,8 0,8 < 0, 8 P Z 0,8, σ 0,0 σ σ Dos amigos están jugando al parchís. Uno de ellos asegura que ha tirado el dado 0 veces y no le ha salido ningún. El otro amigo afirma que eso es imposible. Es realmente imposible? Cuál es la probabilidad de que eso suceda? No es imposible, porque la probabilidad no puede asegurar el resultado de los lanzamientos. X B 0, El 0 % de una población de habitantes tiene los ojos oscuros. Si elegimos, al azar, 0 personas de esa población, cuál es la probabilidad de que haya menos de 0 personas con los ojos oscuros? X B( 0; 0,) np 0 > X B( 0; 0,) N( 0;,) n( p) 0> PX ( < 0 ) P X < PZ (,, < 0) 0, El 7 % de los pantalones de una marca tiene algún defecto. Se empaquetan en cajas de 80 unidades para distribuirlos. Cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de 0 pantalones defectuosos? X B( 80; 0,07) PX ( ) ,00 np, > X B( 80; 0,07 ) N(,;,8) n( p) 78, > PX ( > 0 ) P X, 0 >, P(,8,8 Z >,) P( Z,) 0,7 0,

48 SOLUCIONARIO 0 Se está experimentando una nueva vacuna para la malaria que resulta efectiva en el 0 % de los casos. Si se eligen al azar personas, halla las siguientes probabilidades. a) La probabilidad de que en ese grupo la vacuna sea efectiva en 7 personas. b) La probabilidad de que sea efectiva en un número de personas comprendido entre y 7, ambos inclusive. c) La probabilidad de que resulte efectiva en menos de 0 personas. X B( ; 0,) np 7 > X B( ; 0,) N( 7;,8) n( p) 0,8 >, 7 X a) PX ( 7) P(, < X < 7,) P < 7 7, 7 <,8,8,8 P( 0, < Z < 0,) PZ ( < 0,) ( PZ ( < 0,)) 0, 0, 7 X b) P( X 7) P,8,8,8 P( 0, Z 0) PZ ( 0,) PZ ( 0) 0,7 0, 0, c) PX ( < 0 ) P X < P(,8,8 Z <,) P( Z,) 0,8 0,0 0 Se estima que de cada 8 españoles padece hipertensión. Si elegimos a 0 personas al azar: a) Determina la probabilidad de que en ese grupo haya exactamente 7 personas hipertensas. b) Cuál es la probabilidad de que haya más de diez personas hipertensas? c) Cuál es la probabilidad de que en el grupo tengan hipertensión personas o menos? X B( 0; 0,) np 7, > X B( 0; 0,) N( 7,;,) n( p), >, 7, X 7, a) PX ( 7) P(, < X < 7,) P < 7, 7, <,,, P( 0, < Z < 0 ) P( Z < 0,) PZ ( < 0) 0,7 0, 0,7 7, 7, b) PX ( > 0 ) P X 0 >,, PZ ( > 0,7) PZ ( 0,7) 0,8 0, 7, 7, c) PX ( ) P X,, PZ (,) 0, 8

49 Distribuciones binomial y normal 0 07 Las compañías de seguros han calculado que de cada vehículos tiene un accidente al año. Si se toman al azar 0 vehículos, determina. a) La probabilidad de que ese año 0 de ellos tengan un accidente. b) La probabilidad que sean entre 0 y vehículos, ambos números incluidos. c) Cuál es la probabilidad de que ese año se accidenten más de vehículos? X B( 0; 0,) np 8> X B( 0; 0,) N( 8;,) n( p), >, 8 X 8 0, a) PX ( 0 ) P(, < X < 0,) P 8 < <,,, P( 0, < Z < 0,8) P( Z < 0,8) PZ ( < 0,) 0,8 0,7 0, b) c) 0 8 X 8 8 P( 0 X ) P,,, P( 0,7 Z,8) PZ ( 8, ) PZ ( 0,7) 0, 0,78 0,77 PX ( > ) P X 8 > PZ ( >,7) PZ (,7),, 8 0,7 0,00 En un concurso dan a elegir una entre tres pruebas. Si las probabilidades de encestar lanzando un tiro son y las de acertar al blanco son, elige la prueba en la que tengas más probabilidad de ganar. Lanzar tiros a una canasta de baloncesto y encestar por lo menos. Tirar veces al blanco y acertar como mínimo. Tirar veces a canasta y hacer tiro al blanco. Para superar la prueba se debe conseguir canasta por lo menos y dar en el blanco. En la primera prueba: X B ; PX ( ) P( X < ) ( PX ( 0) + PX ( )) 0 0 0,77 0,0 0,7 En la segunda prueba: Y B ; PY ( ) P( Y< ) ( PY ( 0) + PY ( ) + PY ( )) 0 0 0,0878 0, 0, 0, 8

50 SOLUCIONARIO En la tercera prueba: Z B ; PZ ( ) PZ ( < ) PZ ( ) , 0, La probabilidad de ganar es: 0, 0, Por tanto, hay más probabilidad de ganar la segunda prueba. 08 Solo el 0 % de los boletos de una tómbola tienen premio. Qué es más fácil, tener dos premios comprando 0 boletos o conseguir un premio comprando boletos? Si se compran 0 boletos: PX ( ), 0 0 0, 8 0,7 Si se compran boletos: PX ( ), 0 0, 0, Así, es más probable conseguir un premio comprando boletos. 0 La talla media del pie de los bomberos que ingresaron en el cuerpo el año pasado era, con una desviación típica de,. Este año ingresarán personas en el cuerpo de bomberos. a) Determina el número aproximado de los bomberos que tendrán una talla media del pie de o. b) Calcula el número de botas del número 8 que debería encargar el cuerpo de bomberos. (Consideramos que un pie tiene talla 0 cuando le correspondería un tallaje comprendido en [,; 0,). Por ejemplo, si a una persona le corresponde una talla de,7; diremos que su tallaje es 7. Y si es 8,; diremos que su tallaje es 8.) X N( ;,), X, a) P(, X <, ) P <,,, P( 07, Z<, ) PZ ( <, ) PZ ( 07, ) 0,8 0,877 0, 0, bomberos 7, X 8, b) P( 7, X < 8, ) P <,,, P(, Z <, ) P( Z, ) PZ ( <, ) 0, 0, 8 0, 00 Por tanto, encargarán: 0, pares de botas. 8

51 Distribuciones binomial y normal 00 0 La distribución de edades de los miembros de una asociación sigue una ley normal N(μ, σ). Sabiendo que el, % tiene menos de años, y un, % tiene menos de 0 años, calcula su media y su desviación típica. PX ( < ) P X μ μ < P Z < μ σ σ σ μ 0,, σ μ, σ PX ( < ) P X μ 0 μ < P Z < 0 μ 0 σ σ σ 0, 0 < μ P Z 0 0, 788 μ 08, 0 μ 08, σ σ σ μ, σ μ 0 μ 0, 8σ σ Supongamos que la probabilidad de que nazca una niña es la misma de que nazca un niño. a) Cuál es la probabilidad de que una familia con tres hijos tenga hijos y hija? b) Si tomamos 00 familias con hijos, cuál es la probabilidad de que haya familias con hijos y hija? c) Y de que se encuentre entre y? d) Cuál es la probabilidad de que en esas 00 familias haya familias que solo tengan hijas? a) P( hijos y hija) 0, 0, 0,7 b) X B( 00; 0,7) np 7, > X B( 00; 0,7) N( 7,;,8) n( p), >, 7, X PX ( ) P(, < X <,) P < 7,, 7, <,8,8,8 P( 0, < Z < 0,) PZ ( < 0,) PZ ( < 0,) 0,7 0, 0, 07 c) 7, X 7, 7, P( < X < ) P < <,8,8,8 P( 0,< Z < 0,) P( Z < 0,) ( PZ ( < 0,)) 0,7 + 0, 0,7 d) P( hijas) 0, 0, X B( 00; 0,) np, > X B( 00; 0,) N(,; 0,) n( p) 87, >,, X PX ( ) P(, < X <,) P <,,, < 0, 0, 0, P( < Z < 0) PZ ( < ) PZ ( < 0) 0,87 0, 0,87 8

52 SOLUCIONARIO 0 En un instituto se han comprado 0 ordenadores para aulas de informática. La duración de la batería permite tener una media de trabajo de 80 minutos, con una desviación típica de minutos. a) Calcula la probabilidad de que la batería de uno de los ordenadores solo dure dos horas. b) Cuántos ordenadores tendrán una batería cuya carga dure más de 00 minutos? c) Cuál es la probabilidad de que 0 de esos ordenadores sigan trabajando a los 80 minutos? a) X N( 80, ) PX ( 0 ) P X P Z (, ) P( Z <, ) 0,8 0,008 b) PX ( > 00 ) P X > P Z ( > 08, ) P( Z 08, ) 0,788 0, Como 0, 0,78; en ordenadores la carga de la batería durará más de 00 minutos. c) PX ( 80 ) P X P Z ( 0) P( Z < 0) 0, 0, Y B( 0; 0,) np 7 > Y B( 0; 0, ) N( 7;, ) n( p) 7> 0, 7 Y 7 0, 7 PY ( 0) P( 0, < Y< 0, ) P < <,,, P(, < Z <, 8) PZ ( <, 8) PZ ( <, ) 0 0 La estatura de los.00 alumnos de un colegio sigue una distribución normal, de media cm y desviación típica cm. a) Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar mida más de 80 cm? b) Cuántos estudiantes debemos esperar que midan entre 0 y 70 cm? 87

53 Distribuciones binomial y normal c) Busca un intervalo de alturas que contenga el 0 % de los alumnos y que sea el mínimo posible. d) Si elijo 0 alumnos al azar, cuál es la probabilidad de que de ellos midan más de cm? e) Si elijo 0 alumnos al azar, cuál es la probabilidad de que haya más de 0 que midan más de cm? a) PX ( > 80 ) P X 80 > P Z ( >, 7) P( Z, 7) 0, 0, b) ( 0 < < 70) X < X P < P( 78, < Z <, ) P( Z <, ) ( P( Z < 78, )) 0, 0 + 0, 0, 0 Como 0, , hay.08 estudiantes que miden entre 0 y 70 cm. a X a c) P( a < X < + a) P < + < a a P < Z < P Z < a a P Z < a < < a P Z 0, P Z a 0,, a, 8 (, ; 70, 8) es el intervalo de alturas. d) PX ( > ) P X > P Z ( > ) P( Z ) 0, 8 0, 87 Y B( 0; 0,87) PY ( ), , 8 0, 00 7 e) Y' B( 0; 0, 87) np, 8 > Y B( 0; 0, 87) N(, 8;, ) n( p), > PY ( ) P Y ',, ' > 8 0 > 8 0,, P ( Z > 8, ) P ( Z 8, ) 0, 7 0, 8 0 El peso de los recién nacidos se distribuye según una distribución normal de media μ y desviación típica σ. Si los últimos datos publicados aseguran que los percentiles 7 y 0 de esta distribución son, y, kg, respectivamente: a) Calcula la probabilidad de que un recién nacido pese menos de, kg. b) Halla la probabilidad de que un recién nacido pese más de kg. c) Cuál es el percentil 0? d) Determina la mediana de la distribución. 88

54 SOLUCIONARIO PX ( <, ) 0,7 P X μ, μ < P Z <, μ, 0,7 0,8 σ σ μ σ σ PX P X,, ( <, ) 0, μ μ < P Z < μ σ σ, μ 0,, σ σ, μ 08, σ 8, μ, μ, σ σ 0, a) PX (, ) P X,,, < 8 8 < 0, 0, P ( Z < 07, ) P( Z 07, ) 0, 77 0, 7 b) PX ( ) P X,, > 8 > 8 0, 0, P( Z >, ) P( Z, ) 0, 88 0, 00 c) PX ( a), P X, a, < < , 0, < a 8, P Z 0, 0, a P Z 8, 8, 0,,, 0, a a 0, d) PX ( M), P X, M, , 0, M 8, P Z 0, 0, M 8, 0 M, 8 0, 0 El sueldo de los trabajadores de una empresa sigue una distribución normal de media.00. Si el sueldo de un técnico de categoría es de 0, y el 7 % de los trabajadores de la empresa cobra más que él: a) Calcula la probabilidad de que el sueldo de un empleado escogido al azar sea superior a.00. b) El sueldo más elevado es el de los directivos. Si estos representan el % de los empleados de la empresa, cuál es su sueldo mínimo? PX P X.. ( > ), > σ σ > 0 P Z σ 0 0 P Z < 07, 08, σ 7, σ σ a) PX P X ( >. 00) > 0 0 7, 7, P ( Z >, ) P( Z, ) 0, 7 0, 8 b) PX ( a), P X. 00 a , 7, P Z a ,, a 00 a 00 P Z <. 0 7.,, a. 80,, 7, El sueldo mínimo de los directivos es de.80, euros. 8

55 Distribuciones binomial y normal PARA FINALIZAR 0 El barquillero del parque entrega en cada tirada los barquillos que indica el número en que se para la flecha. Si cada barquillo le cuesta céntimos y cobra 0 céntimos por tiradas. Cuánto dinero, por término medio, ganará después de 00 tiradas? 0 N.º de barquillos f i h i 0 Media de barquillos: x Por término medio en cada tirada gana: 0 céntimos En 00 tiradas: céntimos, La probabilidad de que un reloj sea defectuoso es del %. Halla. a) El número de relojes defectuosos que se estima en un lote de.000. b) La probabilidad de menos de 0 defectuosos. a) μ.000 0,0 0 relojes b) B(.000; 0,0) N(0;,) X PX ( < 0 ) 0 0 < 0 P Z,, ( <, 8) P( Z <, 8) 0 En una distribución normal, el % de los valores es inferior a y el % es superior a 8,. Calcula P( X <8). PX ( < ), P X μ μ 0 0 < P Z < μ σ σ σ 00, μ σ P Z 0, 7 μ 8, μ 8, σ σ PX P X, ( > 8, ) 0, 0 μ 8 μ > P Z > 8, μ 00, σ σ σ 8, μ P Z σ 8, μ 0,, 8, μ, σ σ μ, 8σ μ, 8, μ, σ σ 7, PX ( ) P X,, < 8 < 8,, 7 7 PZ ( <, ) PZ (, ) 0, 88 0, 0 0

56 SOLUCIONARIO 0 Las bolas para rodamiento se someten a un control de calidad consistente en eliminar las que pasan por un orificio de diámetro d y, también, las que no pasan por otro orificio de diámetro D, con d < D. Calcula la probabilidad de eliminar una bola, sabiendo que la medida de sus diámetros sigue una distribución normal de parámetros: N D + d ; 0, ( D d). D d D d X + d + D + d X D D + d PX ( < d) + PX ( > D) P ( D d) < 0, 0, ( D d) + P 0,( D d) > 0, ( D d) d D D d P Z < P Z 0, ( D d) + > 0, ( D d) P Z < 0, + > P Z PZ ( < 7, ) + PZ ( 0 > 7, ), PZ ( >, 7) ( 0, ) 0, Una máquina tiene 800 componentes y la probabilidad de que, en un tiempo determinado, falle uno de ellos es 0. Calcula la probabilidad de que en ese tiempo: a) Falle al menos componente. b) Fallen exactamente componentes. c) Fallen, como máximo, componentes. d) Calcula la media y la desviación típica de la distribución. X B( 800; 0,000) 800 0,000 0, < No se puede aproximar con una distribución normal. a) PX ( ) PX ( < ) PX ( ) , 000 0, 8 0, 8 0,7 b) PX ( ),, ,87 0, 00 c) PX ( ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) , 000 0, , 0 0, ,, , , 000 0, , 8 0, 8 d) μ 800 0,000 0, σ 800 0, 000 0, 8 0,

57

58 Tablas de distribución

59 Tabla de distribución binomial B(n, p) n P(X r) r pr ( p) n r n r 0,0 0,0 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,0 p ,00 0,000 0,800 0,800 0,700 0,7000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,000 0,000 0,00 0,000 0,00 0,000 0,00 0,00 0,00 0,000 0,0 0,800 0,7 0,00 0, 0,00 0, 0,00 0,0 0,00 0,00 0,800 0,0 0,00 0,70 0,00 0,0 0,800 0,0 0,000 0,00 0,000 0,0 0,000 0,0 0,000 0, 0,00 0,0 0,00 0,87 0,70 0, 0,0 0, 0,0 0,7 0,0 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,80 0, 0,0 0, 0,0 0,08 0,70 0,007 0,070 0,07 0,00 0,0 0,80 0,8 0,880 0, 0,70 0,000 0,000 0,00 0,0080 0,0 0,070 0,0 0,00 0,0 0,0 0,8 0, 0,0 0,0 0, 0,0 0,78 0, 0,0 0,0 0,7 0, 0,8 0,0 0, 0, 0,8 0, 0, 0,00 0,0 0,08 0,07 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,7 0,70 0,000 0,00 0,0 0,0 0,0 0,07 0, 0, 0,00 0,00 0,0000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,008 0,00 0,0 0,00 0,0 0,778 0,0 0,7 0,77 0,7 0,8 0,0 0,0778 0,00 0,0 0,0 0,80 0, 0,0 0, 0,0 0, 0, 0,0 0, 0,0 0,07 0,8 0,08 0,7 0,087 0, 0, 0, 0, 0,00 0,008 0,0 0,0 0,087 0, 0,8 0,0 0,77 0, 0,0000 0,000 0,00 0,00 0,0 0,08 0,088 0,078 0,8 0, 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00 0,08 0,0 0,7 0, 0,77 0, 0,780 0,7 0,07 0,07 0,077 0,0 0, 0, 0, 0, 0,0 0,0 0,7 0,8 0, 0,08 0,00 0,08 0,7 0,8 0, 0, 0,80 0,0 0,780 0, 0,00 0,0 0,0 0,08 0,8 0,8 0, 0,7 0,0 0, 0,000 0,00 0,00 0,0 0,00 0,0 0,0 0,8 0,8 0, 0,0000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0 0,00 0,08 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,0007 0,008 0,00 0,008 0,0 0,8 0,78 0,0 0,07 0, 0,08 0,00 0,080 0,0 0,0078 0,7 0,70 0,0 0,70 0, 0,7 0,88 0,0 0,087 0,07 0,00 0,0 0,07 0,7 0, 0,77 0,8 0, 0,0 0, 0,00 0,00 0,07 0,7 0,70 0, 0,7 0,0 0,8 0,7 0,000 0,00 0,00 0,087 0,077 0,07 0, 0, 0,88 0,7 0,0000 0,000 0,00 0,00 0,0 0,00 0,0 0,077 0,7 0, 0,0000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,008 0,07 0,00 0,07 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,007 0,0078 0, 0,0 0,7 0,78 0,00 0,07 0,0 0,08 0,008 0,00 0,7 0,8 0,87 0, 0,70 0,77 0,7 0,08 0,08 0,0 0,0 0,88 0,7 0, 0, 0, 0,87 0,00 0, 0,0 0,00 0,0 0,08 0,8 0,07 0, 0,78 0,787 0,8 0,88 0,000 0,00 0,08 0,0 0,08 0, 0,87 0, 0,7 0,7 0,0000 0,000 0,00 0,00 0,0 0,07 0,0808 0, 0,7 0,88 0,0000 0,000 0,00 0,008 0,000 0,07 0,0 0,070 0,0 0,0000 0,000 0,000 0,00 0,00 0,007 0,0 0,0 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,0007 0,007 0,00

60 Tabla de distribución normal N(0, ) F(a) P(Z a) F(a) 0 a + a 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,07 0,08 0,0 0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0,8 0,,0,,,,,,,7,8,,0,,,,,,,7,8,,0,,,,,,,7,8, 0,000 0,00 0,080 0,0 0,0 0, 0, 0,7 0, 0, 0,8 0,8 0,78 0,7 0,7 0, 0, 0,7 0,7 0,7 0,7 0,8 0,87 0,0 0,8 0,87 0,0 0,0 0,0 0, 0,7 0,7 0, 0, 0, 0,8 0,0 0, 0,80 0,7 0, 0, 0,8 0, 0,700 0,7 0,77 0,808 0,8 0,87 0, 0,0 0,8 0,70 0,70 0,7088 0,7 0,77 0,70 0,7 0,77 0,7 0,7 0,77 0,78 0,7 0,7 0,78 0,77 0,7 0,780 0,7 0,7 0,77 0,770 0,77 0,77 0,77 0,78 0,78 0,788 0,70 0,7 0,77 0,7 0,80 0,80 0,8078 0,80 0,8 0,8 0,88 0,8 0,88 0,8 0,88 0,8 0,80 0,8 0,88 0,8 0,88 0,8 0,88 0,808 0,8 0,8 0,877 0,8 0,8 0,8 0,8 0,88 0,8708 0,87 0,87 0,8770 0,870 0,880 0,880 0,88 0,88 0,8888 0,807 0,8 0,8 0,8 0,880 0,87 0,0 0,0 0,0 0,0 0,08 0,0 0, 0, 0,7 0, 0,77 0, 0,07 0, 0, 0, 0, 0,7 0, 0,0 0, 0, 0, 0,7 0,70 0,8 0, 0,0 0,8 0, 0, 0, 0, 0,7 0,8 0, 0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0,8 0, 0, 0,08 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0,78 0,8 0, 0, 0,70 0,7 0,7 0,7 0,7 0,78 0,7 0,70 0,7 0,7 0,77 0,77 0,778 0,78 0,788 0,7 0,78 0,80 0,808 0,8 0,87 0,8 0,8 0,80 0,8 0,88 0,8 0,8 0,80 0,8 0,87 0,8 0,8 0,88 0,87 0,87 0,878 0,88 0,88 0,887 0,80 0,8 0,8 0,88 0,0 0,0 0,0 0,0 0, 0, 0, 0,8 0,0 0, 0, 0,7 0, 0, 0, 0, 0, 0,8 0,0 0, 0, 0, 0, 0,8 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0, 0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0,8 0, 0,70 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,77 0,77 0,78 0,7 0,7 0,80 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,87 0,87 0,87 0,88 0,88 0,8 0,8 0,8 0,0 0,0 0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000

61 Dirección de arte: José Crespo Proyecto gráfico: Portada: Carrió/Sánchez/Lacasta Interiores: Manuel García, Rosa Barriga Ilustración: Enrique Cordero, José María Valera Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: Rosa María Barriga, José Luis García, Raúl de Andrés Dirección técnica: Ángel García Encinar Coordinación técnica: Félix Rotella Confección y montaje: MonoComp, S. A. Corrección: Marta Rubio, Gerardo Z. García Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas Fotografías: A. Toril; E. Marín; F. de Madariaga; F. Ontañón; I. Rovira; J. I. Medina; J. Jaime; J. Lucas; J. V. Resino; M.ª A. Ferrándiz; Prats i Camps; S. Cid; S. Enríquez; S. Padura; A. G. E. FOTOSTOCK/Maarten Udema; COMSTOCK; COVER/SYGMA / KEYSTONE; COVER/Oronoz; DIGITALVISION; EFE/Bernardo Rodríguez, EPA/Peter Kneffel, EPA/Armin Weigel, A. Estévez; EFE/SIPA-PRESS/J. Sommers; FOTONONSTOP; GETTY IMAGES SALES SPAIN/The Bridgeman Art Library, David Young-Wolff, Stone/Ryan McVay; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; PHOTODISC; STOCKBYTE; MATTON-BILD; Olympus Optical España, S. A.; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD/Image Source Limited; ARCHIVO SANTILLANA 008 by Santillana Educación, S. L. Torrelaguna, Madrid PRINTED IN SPAIN Impreso en España por ISBN: CP: 8 Depósito legal: Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.