Unidad didáctica 1. Operaciones básicas con números enteros

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1 Unidad didáctica 1 Operaciones básicas con números enteros

2 1.- Representación y ordenación de números enteros Para representar números enteros en una recta hay que seguir estos pasos: a) Se dibuja una recta y se señala en ella un punto intermedio, que se va a tomar como cero. b) Se divide la recta en segmentos de igual longitud, hacia la derecha y la izquierda del cero. c) Se sitúan los números enteros positivos a la derecha del cero y los números enteros negativos a la izquierda del cero. Un número es mayor que otro cuando queda representado más a la derecha sobre la recta. Ejemplo: 6 es mayor que 3, 3 es mayor que -2 y 3 es mayor que El valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el número natural que se obtiene al eliminar su signo. El valor absoluto se expresa con el símbolo: 2 = 2 y + 2 = 2 +2 y -2 son números enteros opuestos que tienen el mismo valor absoluto. 3.- Suma y resta de números enteros. a) Si los números tienen el mismo signo se suman y, al resultado, se le pone el signo que tienen ambos. Ejemplos: = = -8 b) Si los números tienen distinto signo se restan y al resultado se le pone el signo del mayor. Ejemplo: +4 7 = = -5 Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 1

3 c) Si hay sumas y restas combinadas lo mejor es sumar, por un lado, todos los positivos, por otro, todos los negativos y por último, restar los dos números resultantes de las dos operaciones anteriores. Ejemplo: Paso 1º: sumar los positivos: = +10 Paso 2º: sumar los negativos: = -19 Paso 3º: restar los números resultantes: = - 9 Por tanto: = -9 Atención: En muchos ejercicios podéis encontrar números que no tienen delante ningún signo, en ese caso, siempre se considera que tienen signo positivo. Ejemplo: 5 2 es equivalente a: = Multiplicación y división de números enteros. Criterio de signos La multiplicación se puede representar con dos símbolos: (2 x 3) y (2 3). Dado que la x se suele utilizar como incógnita en las ecuaciones y puede dar lugar a confusiones, a partir de ahora la multiplicación se representará siempre por un punto ( ). La división se puede representar también con dos símbolos: 2 4 y (4 : 2) y se pueden utilizar los dos. a) El producto de dos números enteros es otro número entero cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de cada factor y cuyo signo viene dado por la regla de los signos: +. + = = = = - Ejemplo: -2 6 = -12 (Hay que recordar que cuando un número no lleva signo se considera que es positivo). b) La división exacta de dos números enteros es otro número entero cuyo valor absoluto es igual al cociente de los valores absolutos de cada factor y cuyo signo viene dado por la regla de los signos: Ejemplo: 4 = : + = + + : - = - - : - = + - : + = - Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 2

4 5.- Operaciones combinadas: Jerarquía de las operaciones. Cuando aparecen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones combinadas no se pueden efectuar estas operaciones en cualquier orden porque el resultado puede variar. Hay un orden o jerarquía de las operaciones que siempre hay que respetar para llegar al resultado correcto. Esta jerarquía es la siguiente: 1. Se resuelven todos los cálculos que se encuentren dentro de paréntesis, corchetes o encima de la raya de fracción. 2. Se hacen las potencias y raíces. 3. Se hacen las multiplicaciones y divisiones. Como las dos operaciones tienen la misma jerarquía cuando aparecen mezcladas se resuelven siempre en el orden en que aparecen de izquierda a derecha. 4. Se hacen las sumas y restas de izquierda a derecha. Ejemplo: : 2 = Hay cuatro términos. Cada término está separado del otro por un símbolo de operación. El primer término es -5, el segundo +3 (como el 3 no tiene signo, es positivo), el tercer término es +4 y el último es +2 (al igual que antes, el 2 no tiene signo por lo que es positivo). Multiplicación y división tienen prioridad sobre la suma y entre la multiplicación y la división se hace primero la multiplicación porque está más a la izquierda y lo demás se deja igual: 1º Multiplicación: : 2 = : 2 (criterio de signo: - + = -) 2º División: : 2 = (criterio de signo: + : + = +) 3º Resta: = - 13 Atención: dos símbolos de operación no pueden aparecer juntos sin que estén separados por un número o un paréntesis. Ejemplo, es incorrecto escribir: 5 4, lo correcto es escribir: 5 (-4). Atención: En muchos casos el signo de multiplicar se omite delante de un paréntesis. Por ejemplo: 2 (-6) o (-3)(-8). Hay que tener claro que esas expresiones son equivalentes a 2 (-6) y (-3) (-8). Ejemplo: 9 + [ 2 (14 : 2 3) ] 3 = En esta expresión hay tres términos: el primero es +9, el segundo es un corchete y el tercero es +3. La jerarquía de las operaciones nos indica que hay que empezar resolviendo el corchete. Dentro del corchete hay dos términos: + 2 y un paréntesis. La jerarquía de las operaciones nos indica que hay que empezar resolviendo el paréntesis y dentro del paréntesis hay tres términos: + 14, + 2 y -3. La división tiene prioridad ante la resta: 1º división: 9 + [2 (14 : 2-3)] 3 = 9 + [2 (+7 3)] 3 = 2º resta: 9 + [2 (+4 )] 3 = 3º quitar paréntesis: 9 + [+8)] 3 = 4º quitar corchete: = 5º multiplicación: = 6º suma: 33 Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 3

5 6.- Múltiplos y divisores. Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural. Por ejemplo: 15 es múltiplo de 5 porque 3 x 5 = 15 Un número es divisor de otro si, al dividir el segundo entre el primero, el resto de la división es cero. Por ejemplo: 4 es divisor de 24 porque 24 : 4 = Criterios de divisibilidad Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o cifra par (2, 4, 6, 8). Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3 ó múltiplo de 3. Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5. Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es 9 ó múltiplo de 9. Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10 cuando termina en Números primos y compuestos Un número es primo cuando solo tiene dos divisores, él mismo y el uno. Ejemplo: 7 es número primo porque solo es divisible por 7 y por 1. Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores, es decir, todos los demás. Ejemplo 8 es compuesto porque además de ser divisible por 1 y por 8, es divisible también, por 2 y por 4. Los 15 primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, Descomposición de un número en factores primos Descomponer un número es factores primos es expresarlo como producto de los números primos que lo componen. Para hallar estos números primos hay que aplicar lar reglas de divisibilidad y comprobar si el número que hay que descomponer es divisible por 2, por 3, por 5, por 7, hasta llegar a un cociente igual 1. Por ejemplo: 90 2 Como termina en cero es divisible por La suma de sus cifras es 9 que es múltiplo de tres Como termina en 5 es divisible por La descomposición factorial: 90 = Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 4

6 Ejercicios de números enteros 1.- Completa las siguientes frases: El mayor de dos números enteros positivos es el que tiene valor absoluto. El mayor de dos números enteros negativos es el que tiene valor absoluto. El cero es que cualquier número entero positivo. El cero es que cualquier número entero negativo. 2.- Escribe los números enteros comprendidos entre -7 y Expresa las siguientes situaciones con números enteros. a) La altitud de un pico es de 1205 m: b) El buzo está a 32 metros de profundidad: 4.- a) Representa en la recta numérica los siguientes números: -4, +3, , +7, -6 b) Cuál es el mayor de ellos? Cuál es el menor? 5.- a) Qué número representa cada una de las letras? A = B = C = D = E = F = b) Escribe los números en orden de mayor a menor: 6.- Ordena de menor a mayor: -3, +1, 0, -6, + 7, -5 < < < < < 7.- Escribe en el cuadro el signo > o < según corresponda: Completa: a b a b Comparación Qué operaciones están representadas en las siguientes rectas numéricas? Indica el resultado. a) b) Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 5

7 Problemas de operaciones básicas con números enteros 1.- Resuelve: a) = b) (-2) (-3) (-10) = c) (+3) (+6) - (+7) (+12) (+13) = d) (-3) + (+6) + (+4) + (-9) + (-10) = f) (+1) + (-7) + (+7) (-12) = g) (-8) + 5 [8 (-4) (-6)] = h) - (9 5) [4 (5 6) 9] = 2.- Resuelve: a) = b) 9 5 (-2) 12 : : (-13) = c) 7 + (-9) (-8) 5 = d) 6 (-5) (2 4) = e) (5 3) (6 + 7) = 3.- Resuelve: a) 9 + [ 2 (14 : 2 3) ] 3 = b) 45 : 5 (8 6) (-8) [3 (-9 6)] 4 = c) (-8) + 5 [ [ 8 (-4)] : (-6)] = d) 7 (-8) [9 (5 + 8)] : (-4 + 2)] = e) 4 2 (4 + 6) : 5 = f) (-3) : (4-5) + 4 (-7) = g) (-2) + ( ( (-3) + 7 ) + (-3) ) = h) (-2) [ ( (-3) 7) (-3) ] = i) 9 + [ 8 4 (2 + 3)] : 2 = Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 6

8 Ejercicios de criterios de divisibilidad y descomposición factorial 1.- Escribe: Cinco múltiplos de 5:,,,, Cinco múltiplos de 3:,,,, Cinco múltiplos de 7:,,,, 2.- Clasifica los siguientes números en primos y compuestos: 2, 13, 23, 24, 33, 47, 69, 101, 108, 117, 200, 405, 957. Primos: Compuestos. 3.- Escribe tres números de tres cifras que sean divisibles por 3:,, 4.- Escribe tres números de cuatro cifras que sean divisibles por 2:,, 5.- Escribe tres números de cinco cifras que sean divisibles por 5:,, 6.- Completa: Es divisible por Descomponer en factores primos: a) 4 = d) 15 = g) 45 = j) 250 = b) 6 = e) 20 = h) 48 = k) 325 = c) 8 = f) 21 = i) 64 = l) 420 = 8.- Para cada descomposición factorial escribe los números compuestos correspondientes: a) 3 2 = d) = g) = b) = e) = h) = c) = f) = i) = Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 7