EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

Transcripción

1 «Cuando me preguntan para qué puede servir una educación Matemática en el colegio a una persona que en su oficio no necesitará ningún conocimiento científico, una de mis respuestas es que la ciencia permite formar un buen ciudadano: su práctica enseña a distinguir un razonamiento justo, motivado y bien construido de un enredo de razonamiento engañoso y erróneo» Wendelin Werner, profesor de matemáticas, Universidad de Paris- Sur y Escuela Normal Superior, Medalla Fields 2006 (Febrero de 2009) EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES El conjunto de los números racionales surge de la necesidad de repartir, dividir o compartir En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero, es decir una fracción común, se debe ser claro que el término racional alude a ración o parte de un todo, y no el pensamiento o actitud racional Es decir todo número escrito de la forma, 0, es un número racional El conjunto de los números racionales se denota por, que significa cociente de Quotient (escrito en algún idioma europeo) Representación del conjunto en forma enumerativa: =,, 7 2, 13 4, 6 2, 11 4, 5 2, 9 4, 4 2, 7 4, 3 2, 5 4, 2 2, 3 4, 1 2, 1 4,0,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,8 2,, Representación del conjunto en forma descriptiva: = /, 0 Representación del conjunto por diagrama de Venn: Página 1

2 U = 7/2, 3/2-4/2-2/2 0, 2/2 1/2 5/2 Del diagrama de Venn podemos observar que cualquier número natural o entero es a la vez un número racional puesto que los podemos expresar de la forma, así por ejemplo el número 1 lo podemos expresar de la forma y entonces se cumple la condición, ya que tenemos como numerador a un natural que también es entero y como denominador de la misma manera, natural y entero, así también está expresado de la forma, por lo tanto cualquier número natural, entero positivo o negativo es un número racional Pero es importante señalar también que no todo número racional es a la vez un natural o un entero, es un racional pero no un entero ni mucho menos natural, es un racional, un entero pero no un natural; es un entero porque = 1 Entonces en conclusión N y Z son subconjuntos de Q, en otras palabras N Z Q Y Q sigue siendo subconjunto de un conjunto Universo U que más adelante veremos de que se trata Nota importante: la división entre cero no está definida!!! (Averiguar porque?) HE AQUÍ ALGUNAS DE LAS MUCHAS PROPIEDADES DE LOS RACIONALES: RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y ORDEN EN Q: i Se define la equivalencia cuando Los racionales positivos son todos los tales que 0 i Los racionales negativos son todos los tales que 0 Página 2

3 iv Se define el orden cuando 0 NOTACION: i Los números del tipo ó son denotados por Todo numero se denota simplemente por i Las fracciones mixtas escritas de la forma también pueden ser expresadas como fracciones de la forma, donde = + Tanto las fracciones simples, mixtas, propias e impropias, reducibles e irreducibles, se debe de hacer memoria Quizá te preguntaste si existe alguna otra forma de representar un número racional? La respuesta es SI, a continuación se verá con mayores detalles REPRESENTACION DECIMAL DE LOS NUMEROS RACIONALES Los números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión solo puede ser de tres tipos: i EXACTA: La parte decima tiene un número finito de cifras 16 PERIODICA PURA: Toda la parte decimal se repite indefinidamente = i PERIODICA MIXTA: No toda la parte decimal se repite = En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, solo existen un número finito de restos posibles Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas A partir de ellas, el cálculo se repite igual Página 3

4 Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera: i DECIMALES EXACTOS O FINITOS: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales 3465 DECIMALES PERIODICOS PUROS: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo Página 4

5 i DECIMALES PERIODICOS MIXTOS: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya Sea el número Entonces: a = y b = 12345, por lo que: = numérica Y para terminar con este resumen, nos falta representar el conjunto de los números racionales en la recta Representación del conjunto en la recta numérica +, -7/2-3 -5/2-2 -3/2-1 -1/2 0 1/2, Nota importante: pe quiere decir por ejemplo Página 5