Fundamentos de Estadística y Simulación Básica

Transcripción

1 Fundamentos de Estadística y Simulación Básica

2 TEMA 3 PROBABILIDADES

3 Definiciones Algunas definiciones en Probabilidades Teoría de conjuntos Espacio muestral (E) Evento o suceso Eventos mutuamente excluyentes Eventos complementarios Medición matemática o clásica Medición experimental o estadística Propiedades de las probabilidades

4 Probabilidades Definición Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento.

5 Probabilidades Definiciones Probabilidad: Es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. Se mide con valores comprendidos entre 0 y 1, entre mayor sea la probabilidad, más se acercará a 1. Experimento: Es toda acción bien definida que conlleva a un resultado bien definido como el lanzamiento de un dado. Es el proceso que produce un evento. Resultado: Un suceso particular proveniente de un experimento. Evento: Un conjunto de uno o más resultados de un experimento.

6 Teoría de Conjuntos Definición La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados Según Georg Cantor: Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.

7 Teoría de Conjuntos Ejemplos Se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.

8 Teoría de Conjuntos Ejemplos Conjunto por extensión: Es cuando se mencionan uno a uno los elementos del conjunto. Por ejemplo: A={0,2,4,6,8} B={2,3,5,7,11} C={1} Conjunto por comprensión: Es cuando no se mencionan los elementos uno a uno sino una característica de ellos o una regla de formación. A={Conjunto de los números pares menores que 10} B={Conjunto de los 5 primeros números primos} C={x E IN/ x+1=2x}

9 Teoría de Conjuntos Ejemplos Conjuntos FINITOS: Tienen un número conocido de elementos,; es decir, se encuentran determinados por su longitud y cantidad. El conjunto de los días de la semana Conjuntos INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. El conjunto de los números reales Conjunto UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema especial. No es único, depende de la situación, de notado por U. Conjunto NULO O VACÍO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por {}.

10 Espacio Muestral (E) Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Ejemplos de espacios muestrales (E): Al lanzar un dado de seis caras : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Al escoger una letra del alfabeto: E = {a,b,c,d,e,f,g,, x,y,z} Al lanzar una moneda : E = {c, s} Al lanzar dos monedas : E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)} Al lanzar tres monedas : E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

11 Evento o Suceso Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Ejemplo: En el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: 1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5} [3/6]-[0.50]-[50.0%] 2. Obtener un número primo y par B = {2} [1/6]-[0.16]-[16.7%] 3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6} [2/6]-[0.33]-[33-3%]

12 Eventos mutuamente excluyentes Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto B n C =

13 Eventos complementarios Dos eventos se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestral y su intersección es vacía. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1. P(Evento1) n P(Evento2) = 1 P(Evento1) n P(Evento2) = Ejemplo 1: Al lanzar un dado no trucado Evento1 = Probabilidad de sacar par (0.5) Evento2 = Probabilidad de sacar impar (0.5) P(Evento1) + P(Evento2) = 1 P( A =.7) P(A)=.3 Ejemplo 2: En el evento A (día nublado), P(A) =.3, la probabilidad de tener un día despejado será 1-P(A) =.7

14 Probabilidad Medición matemática o clásica Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento E es la razón: P ( E) = # # Favorable E Total resultados A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento. Se deduce de la definición lo siguiente: 1. 0 <= P(E) <= 1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0% <= P(E) <= 100% en porcentaje. 2. P(vacío)= 0 y P(E) = 1

15 Probabilidad Ejemplo definición clásica La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles (E) espacio muestral S = 1. en un Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los n elementos relacionados = # Total de resultados posibles. 1 Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es: = Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es: = 2 Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, ó 6 al lanzar un dado es: = 1

16 Probabilidad Medición experimental o estadística La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razón FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza el experimento. Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A. Por ejemplo, si se lanza 100 veces una moneda, el número de veces que se obtiene cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.

17 Probabilidad Propiedades 1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es: P(Ac)= 1 P(A) 2. Probabilidad del suceso imposible es cero: P(vacío) = 0 3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección: P(A U B) = P(A) + P(B) P(A n B) 4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste: Si P(A) C P(B) entonces P(A) <= P(B) 5. Si A 1, A 2,..., A k son incompatibles dos a dos entonces:.. 6. Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x 1, x 2,..., x n } entonces: P(S) = P(x1)+P(x2) P(Xn) Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es: Profesor: P(par) = Ing. P(2) Jaime + P(4) Soto + (MSc) P(6)

18 GRACIAS