INTEGRAL INDEFINIDA. Una pregunta inicial para hacerse. Cuál es una función F(x), que al haber sido derivada se obtuvo f ( x) B?.

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1 es INTEGRAL INDEFINIDA UConcepto e antierivaau: Una pregunta inicial para hacerse. Cuál es una función F(), que al haber sio erivaa se obtuvo f ( ) =?. La repuesta es: F ( ) =. Una nueva pregunta. Es la única función?, eisten otras funciones?, cuales? La respuesta es: No es la única, observe que eisten funciones tales como: F( ) = + F( ) = +, o F( ) =, o, en general, esto quiere ecir que a la función F ( ) =, se le puee sumar cualquier constante. Entonces poemos epresar lo siguiente. La antierivaa (también llamaa primitiva) e f ( ) = una función e la forma F ( ) =, one c es una constante ya que la erivaa e ella es siempre cero. La integral Inefinia: Como vimos la Antierivaa e F( ) =, es la función f ( ) =, ya que al erivar f (), obtenemos F(). Esto lo poemos enotar e la siguiente forma: + En forma general hablamos e la antierivaa como integral inefinia, con la siguiente notación:

2 Entonces al proceso e calcular una integral se llama Integración. El término ientifica a como la variable e integración. REGLA DE POTENCIAS El siguiente teorema epresa que para integrar una potencia e (istinta e ) simplemente se aumenta el eponente en y se ivie por el numero que inica el nuevo eponente. Observe que esta regla no funciona para n =, ya que esto prouciría una ivisión entre cero. Más aelante se esarrollara para este caso. Teorema. Regla e potencias n+ n = + n + A continuación se resolverá algunas integrales utilizano la anterior regla. c Regla general que combina sumas y prouctos e constantes:

3 Teorema. Supóngase que f ( ) y g( ) tienen antierivaas. Entonces, para constantes cualquiera a y b, ( ) bg( ) = a f ( ) + b af + g( ) UEjemplo Resuelto: 4 ( + ) Calcular Solución: Utilizano el teorema. Separano la integrales y sacano las constantes tenemos: 4 + Y hallano las antierivaas corresponientes: Simplificano la solución: Interpretación Geométrica e la Integral Inefinia. Al calcular la integral e obtenemos la función F ( ) =, que como vimos es la antierivaa e f ( ) =. Entonces realicemos la gráfica e F ( ) =. Debemos tener iferentes valores para la constante e integración c. En la animación se puee ver que se realiza la grafica corresponiente para la función cuarática con iferentes valores para c.

4 esta Luego al hallar la antierivaa F ( ) representa una familia e la misma curva. Métoo e Sustitución El métoo e sustitución es una e las herramientas más fuertes para hallar integrales que no se pueen realizar en forma inmeiata utilizano la fórmula general. Primero veamos un ejemplo, para luego generalizar el métoo. UEjemploU: Evaluar la siguiente Integral ( + ) Solución: Para resolver con la fórmula general e la integración, primero tenríamos que resolver el binomio ( + ). Pero si usamos un cambio e variable poemos reucir la integral, esto es u = + Derivano u = u = Despejano, tenemos. Cambiano este resultao en la integral

5 = ( u) u Simplificano la nos quea: u u Aplicano la fórmula general e la integral 6 u 6 Y cambiano nuevamente e variable para u, nos quea ( + ) ( + ) 6 Integrales e la funciones trigonométricas y otras Como la integración es el proceso inverso e la erivación, entonces poemos efinir las integrales e las funciones trigonométricas en forma inmeiata. Así mismo e la función eponencial y la relacionaa con el logaritmo natural. ( Sen) = Cos ( Cos) = Sen ( Tan) = Sec Derivaas ( Sec) = Sec. Tan ( Csc) = Csc. Cot ( e ) = e Integrales Cos = Sen Sen Cos + Sec Tan + Sec.Tan Sec + Csc.Cot Cot + e = e (ln ) = = ln

6 y bajo Problemas e valor inicial También llamaos problemas con coniciones iniciales Se llama una ecuación iferencial a la iguala que tiene una erivaa, tal e la y = f (t) forma t. Resolver tal ecuación implica hallar la función y(t) unas coniciones iniciales aas. El proceimiento para resolverla, se llama separación e variables, e la siguiente forma: Separar variables Integrar a ambos laos Hallar la antierivaa y = f ( t) t y = f ( t) t y ( t) = F( t) Aplicar las coniciones iniciales para hallar la constante c, e tal forma que la solución es y(t). UEjemplo U: Resolver el problema Solución: Separano variables y t = t, bajo la conición inicial y = tt y( 0) =. y = Integrano a ambos laos tt Hallano las antierivaas t y ( t) = Aplicano la conición inicial, en anterior, t = 0, y = sustituyeno en la ecuación Por tanto UEjemplo U: = 0, c =. Luego la solución e la ecuación iferencial es y( t) = t +

7 y π = Cost + Sect. Tant y( ) = Resolver el problema t, la conición inicial es 4. Solución: Separano variables e integrano Costt + y = Sect. Tantt y ( t) = Sent + Tant Aplicano las coniciones iniciales Calculano π π = Sen ( ) + Tan( ) 4 4 =. + Despejano c c = Luego la solución es: y( t) = Sent + Tant +