GUÍA: INTEGRALES. Página 1 de 27

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1 GUÍA: INTEGRALES Área de EET Página de 7

2 Derechos Reservados Titular del Derecho: INACAP N de inscripción en el Registro de Propiedad Intelectual #. de fecha - -. INACAP 00. Página de 7

3 . INTEGRALES. La Integral Indefinida... Conceptos Básicos Sea y = f() derivable respecto a en D. Tenemos entonces que dy d = f() o dy = f()d es decir hemos encontrado la derivada y la diferencial de la función y = f() respecto a:. También a cada función y = f() le corresponde una única función derivada: f () o una única diferencial dy = f () d. Considerando el proceso inverso: dada f() o dy= f () d si queremos encontrar y = f() obtendremos infinitas funciones cuya derivada es f () o cuya diferencial es f()d. Ejemplo : A y = f() = + 5 le corresponde una única función derivada f()= 6 o una única diferencial dy = 6 d respecto a en pero esta derivada o diferencial lo es de infinitas funciones como ser: funciones que difieren entre sí solo en la constante aditiva. Notemos que es la más simple de ellas y que si C es una constante + C representa a todas las funciones anteriores para los distintos valores que asignemos a C. Las consideraciones anteriores conducen a los siguientes hechos. Dada f() o dy = f () d el hecho de encontrar y = f() se llama Integrar f () o Integrar f()d lo que se anota: dy = f () d es decir: y = f ()d Página de 7

4 Tenemos entonces que la notación derivadas respecto a dan f()drepresenta a todas las funciones que al ser f () o a todas las funciones cuya diferencial es f() d. En f()d es el símbolo de la integral d: Que es la diferencial de la variable independiente indica la variable respecto de la cual se ha derivado la función para obtener f() o f () d y respecto de la cual hay que integrar. La función f () ubicada entre los dos símbolos anteriores se llama La función Integrando. La función que se obtiene al integrar f()d se llama la Integral Indefinida La Antiderivada o la función Primitiva de f () en D y corresponde a un conjunto de infinitas funciones (cada una de ellas es una integral indefinida o una antiderivada o una función primitiva) que difieren entre sí únicamente en una constante aditiva llamada La Constante de Integración. Si f() es una integral indefinida de f () en D entonces f() + C denota a todas las integrales indefinidas de f () en D: f()d= f() + C Observación : dy = f () d entonces dy = f()d Página 4 de 7

5 .. Tablas de Integrales Básicas Basados en los teoremas sobre derivación podemos establecer: ) d = d = + C ) k d = k + C k :cons tan te ) k f() d = k f()d k :constante ( + ) = + 4) f() g() h() d f()d g()d h()d r+ r 5) d = + C r r r+ 6) d = ln + C a 7) a d = + C a lna + 8) e d = e + C 9) sen d = cos + C 0) cos d = sen + C ) tan d = lnsec + C ) cot d = lnsen + C ) sec d = ln(sec + tan ) + C 4) co sec d = ln(co sec cot ) + C Página 5 de 7

6 5) sec d = tan + C 6) co sec d = cot + C co sec d = cot + C 7) sec tan d = sec + C 8) cosec cot d = cosec + C co sec cot d = co sec + C 9) d = arc sen + C 0) d = arc cos + C d = arc cos + C ) d = arc tan + C + ) d = arc co t + C + ) d = arc sec + C 4) d = arc co sec + C Página 6 de 7

7 .. Integración Inmediata Son aquellas integraciones que se hacen aplicando directamente las fórmulas anteriores. Ejemplo : Calcular 7 d Resolución : La fórmula 5) da : d = + C = + C 7+ 8 Ejemplo : Calcular d 4 Resolución : La fórmula 5) da : d d = d = + C = 4 + C + 4 Ejemplo : Calcular Resolución : La fórmula 4) da : 7 5cos + d 7 d 5cos d + d = 7 5 cos d + d ln7 7 = 5 sen arc sen C ln7 + + Página 7 de 7

8 Ejemplo 4: Calcular 7 d Resolución : La fórmula 6) da : 7 d = 7 d = 7 ln + C o = 7ln+ lnc o 7 = lnc..4 Uso de una función auiliar para las integrales inmediatas. La derivación de funciones compuestas (Regla de la Cadena) da origen a muchas funciones que para ser integradas con seguridad requieren el uso de una función auiliar. Para ello en las fórmulas anteriores se reemplazan: la epresión que contiene a la variable (o parte de ella) por una adecuada función u = u() y d por la correspondiente r du. Se integra y luego se vuelve a la variable original. Así por ejemplo la fórmula d r se puede considerar también como udu donde aparece u r una función elevada a un eponente multiplicada por la diferencial de la base : u r du. du Del mismo modo d queda : la diferencial du dividida por la función u. u Las restantes fórmulas se interpretan análogamente. Los ejemplos a continuación aclaran la técnica. Ejemplo : Calcular sen d Resolución : No podemos usar la fórmula 9) directamente. Usamos una función auiliar: u = luego du = d luego d = du. Reemplazando: du sen d = senu = senudu = ( cos u ) + C = cos u + C = cos + C Página 8 de 7

9 Ejemplo : Calcular 5 d Resolución : 5 d = 5 d la fórmula 6) sugiere u = luego du = - d d = -du. Reemplazando: 5 d = 5 ( du) 5 du 5 lnu C = = + u u 5 C 5 ln ( X ) C ln ( ) lnc ln 5 = + = + = ( ) Ejemplo : Calcular ( ) 4 5 d Resolución : Es una potencia multiplicada por la diferencial de la base la fórmula 5): r u du sugiere la fórmula 6) sugiere u = - 5 du = d. Reemplazando: ( ) ( 5) u 5 d = u du = + C = + C 5 5 Ejemplo 4: Calcular e d Resolución : u = - du = - d d = - du. Reemplazando: u u u e d e ( du) e du e C e C = = = + = + Página 9 de 7

10 Ejemplo 5: Calcular cosec d Resolución : Usamos cosec u du con u = du = d d = du. Reemplazando: cosec cosec u d = du = cosec u du ( ) = ln( cosec u cot u ) + C = ln cosec cot + C Ejemplo 6: Calcular d Resolución : Usamos du du con u = ; du = d d =. u Reemplazando: du d = = du = u u arc senu + C = = arc sen + C Ejemplo 7: Calcular d Resolución : Usando du : = ( + 7 ) + a. + u 5 = 49 + a a = Página 0 de 7

11 d d d = = (+ 7) u= du = d d= du Reemplazando: d du du = = = arc tanu + C u + u + 7 arc tan + C Página de 7

12 GUIA DE EJERCICIOS N 4. d = + C 4 4. d = + C 4 d. = + C dz 4. = z + C z ( ) ( ) d = + + C t t t t 6. ( t) t dt = + C 5 7. s + 4 ds = s + s + 6s + C d = C dz 9. z = lnz+ C o lncz d 0. + = ln( + ) + C Página de 7

13 ds. = ln(s + ) + C s + tdt. = lnc t t d C. = ln d = + ln( + ) + C + 5. e d = e + C e 6. e d = + C a 7. a d = + C lna e 8. d = e + C ( ) ( e + ) 9. e + e d = + C 4 d 0. = ln(+ e ) + C e + ( ) 4 ( + ). + d = + C Página de 7

14 9 ( ) ( ). + d = + + C 8 d 4. = + C ( + ) ( + ) ( + ) d = + C sen( )d = cos( ) + C 6. cos d = sen + C 7. tg d = lnsec + C cosec d = ln cosec cot + C 5 9. sen cos d sen = + C 0. tg d = lnsec + C. cot d = lnsen + C ( ). + tg d = tg + lnsec + C Página 4 de 7

15 . sec a d = tga + C a sen + cos 4. d = ln sec + + C cos sen y 5. dy = sec y + C cos y 6. e cose d = sene + C cos cos e 7. e sen d = + C 6 dz 8. = cot z + cosec z + C + cosz sec 9. d = ln sec + tg + C ( ) 40. tg + sec d = tg + sec + C sec tg 4. d = ln a + b sec + C a+ bsec b d 4. = arc tg + C 9 + d 4. = arc sec + C 4 9 Página 5 de 7

16 4 44. d = arc sen + C 8 4 d 45. = arc tge + C e + e d = ln( + 4) arctg + C 4 + d 47. = arc tg C d = ln arc tg C d = arc sen C ( ) ( ) 50. d = C 05 ( ) 5. d = + + C d = + + C ( + ) + Página 6 de 7

17 . Métodos de Integración.. Integración por partes. Sean u = u () v = v ( ). Entonces ( ) d (uv) = u dv + v du integrando obtenemos: d(uv ) = u dv + v du uv = u dv + v du d dv du u v = u + v en donde d d d udv = uv vdu Fórmula de la Integración por Partes Para aplicar ésta fórmula la función que se desea integrar debe ser un producto de funciones. En la integral éste producto se separa en dos factores uno de los cuales debe continuar a d. Uno de ellos se iguala a d y el que contiene a d se iguala a dv. No hay normas para la separar los factores pero v du debe ser una integral inmediata o más simple que u dv. Página 7 de 7

18 Ejemplo : Calcular cos d Resolución : De acuerdo a la fórmula de la integración por partes: cos d = u dv Cuáles son u y dv? Hay varias posibilidades: u dv cos d cos d cos d cos d Ensayando el primer caso: u = dv = cos d du = d v = sen Aplicando tetualmente la fórmula: cos d = sen sen d ( ) = sen cos + C = sen + cos + C... resultó de inmediato! Si hubiéramos ensayado el segundo caso: u = cos dv = d du = sen d v = la fórmula habría dado: cos d = cos ( sen ) d = cos + sen d de donde v du es mas complicada que u dv de... la separación falla Página 8 de 7

19 Ejemplo : Calcular e d Resolución : Sean: u = dv = e d du = d v = e e d = e e d = e e + C = e e 4 + C Observación : Frecuentemente al aplicar la integración por partes la integral vdu Resulta ser más simple que u dv sin ser una integral inmediata. En estos casos se calcula aparte. Ejemplo : Calcular sen d Resolución : Sean: u = dv = sen d du = d v = cos sen d = ( cos ) ( cos ) d = cos + cos d ( ) v du que es cos d es más simple que u dv sen d sin ser una int egral inmediata Calculándola aparte con el mismo tipo de separación: que es Página 9 de 7

20 Para cos d : u = dv = cos d du = d v = sen cos d = sen sen d = sen + cos que sustituida en ( ): sen d = cos + ( sen + cos ) + C Observación : También la integración por partes se utiliza para el cálculo de integrales más simples pero no inmediatas. Ejemplo 4: Calcular ln d Resolución : Sean: u = ln dv = d du = d v = ln d = (ln ) d = ln + C Ejemplo 5: Calcular arc cos d Resolución : Sean: u = arc cos dv = d du = d v = arc cos d (arc cos ) = d = arccos + C Página 0 de 7

21 EJERCICIOS PROPUESTO. ln d = (ln ) + C ( ) ln. d = ln + ln + + C 4 8. ln d = ln ln C ed = e 4e + C 5. e d = e C sen d = cos+ sen+ C cosn senn 7. cosn d = + + C n n 8. arc cos d = arc cos 4 + C 9. cosd = sen+ cos sen+ C 0. ln d = ln + C 9 5 ( 5) 4( 5). 5 d = + C 9 5 Página de 7

22 e e. d = + C + ( + ) ln( + ). d = + ( ln[ + ] ) + C ln d = ln + C arc sen arc sen + 5. d = ln + C 6. ln d ln + + = C 7. arctg d = + (+ )arctg + C 8. sen ln(tg)d = lntg coslntg+ C cos 9. sen d = sen + C e d = ( ) e + C. sen d = (6 ) cos 6( )sen + C arctg arctg e ( ) e. d = + C + ( + ) Página de 7

23 .. Integrales Trigonométricas Corrientes. Recordemos las principales relaciones entre las funciones trigonométricas sen + cos = + tg = sec + cot = co sec sen = sen cos cos = cos cos = sen cos = + cos sen = cos Ejemplo : Calcular sen d Resolución : sen d = cos d d cos d = = sen + C = sen + C 4 Ejemplo : Calcular cos d Resolución : cos d = + cos d d cos d = + = + sen + C 4 Ejemplo : Calcular cos d Resolución : cos d = + cos 4 d sen 4 C = = + sen 4 + C 8 Ejemplo 4: Calcular tan d Resolución : sen tg d = d = cos u = cos du = - sen d Página de 7

24 Ejemplo 5: Calcular du = = lnu + C = lnu + C = ln cos + C u = ln + C = ln sec + C cos sec d Resolución : Usando integración por partes: u = sec dv = sec d du = sec tg d v = tg sec d = sec tg tg sec tg d = sec tg sec tg d ( ) = sec tg sec sec d sec d = sec tg sec d + sec d sec d = sec tg + sec d = sec tg + ln( sec + tg ) + C sec d = sec tg + ln( sec + tg ) + C Página 4 de 7

25 .. Integración usando Sustituciones Trigonométricas. La integración por sustitución consiste en sustituir la variable de integración con una nueva variable. Eisten muchos tipos de sustituciones. Las sustituciones trigonométricas que usaremos las aplicaremos cuando en él integrando aparezca una sola raíz de la forma: a a + b u con u = u() la sustitucion sera : u = tgz b a a b u con u = u() la sustitucion sera : u = sen z b a b u a con u = u() la sustitucion sera : u = sec z b Al aplicar la sustitución se suponen: a b variable. +. En el resultado final se vuelve a la Ejemplo : Calcular d 9+ Resolución : Primer caso: a = b = u = = tgz d = sec z dz d sec z dz = = cosec z cot z dz 9+ 9 tg 9 + 9tg z 9 = ( cosec z ) + C 9 volviendo a la variable d = tg z obtenemos tg z = Página 5 de 7

26 9 + z cosec z = 9 + d 9 + = Ejemplo : Calcular 7 d Resolución : Segundo caso: a = 7 b = u = 7 = sen z = 7 sen z d = 7 cos z dz ( ) 7 = 7 7senz 7 cosz dz = 7 7 sen z cos z dz = 7 cos z dz = cosz dz = dz + cosz dz = z + senz + C = z + senz + C= z + senz cosz + C 4 volviendo a la variable d = 7 sen z obtenemos sen z = 7 Página 6 de 7

27 7 z 7 De sen z = 7 obtenemos z = arc sen 7 y del triangulo : cos z = 7 7. Sustituyendo estos valores en ( ) obtenemos: Página 7 de 7