Lamberto Cortázar Vinuesa 2015

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1 httpmatematicas-tic.wikispaces.com Lamberto Cortázar Vinuesa 05 httpalumnosdelamberto.wikispaces.com Integral indefinida Idea y conceptos Acabamos de aprender a derivar funciones Derivando = Derivando = INTEGRALES CCSS TEMAS WIKI Ahora vamos a estudiar el proceso contrario conocida la derivada tenemos que encontrar la función, primitiva, que hubo que derivar para obtenerla Qué función hubo que derivar? Qué función hubo que derivar? = = Cálculo de primitivas Integral Practica completando las siguientes tablas $% $ & % $% $ & % $% $ & % $% $ & % 4 6 ( ( * 5 Observa que puede haber varias funciones que tengan la misma derivada Derivando = Derivando + 5 = Derivando + 8 = 6 Derivando = 6 Entonces, si tenemos que calcular la primitiva de 6 hemos de tener en cuenta que no es única 6 = + ú! " Notación Se suele utilizar la notación diferencial # Pondremos Integral de f(x) Diferencial de x (indica cuál es la variable) 6 = + Página de

2 httpmatematicas-tic.wikispaces.com Lamberto Cortázar Vinuesa 05 httpalumnosdelamberto.wikispaces.com Cálculo integral INTEGRAL DE UN NÚMERO 4 = 4 +, =, + Cuando en una integral aparece un número multiplicando a una función, el número puede salir de la integral -$%.% = - $%.% TIPO POTENCIAL = 4 4 = 4 + = 4 + Multiplicamos y dividimos por 4 viene de derivar. La derivada de es 4 = 8 8 = + 8 Viene de derivar cuya derivada es 4 = 8 En general, si dentro de una integral hay una potencia y lo que la multiplica es la derivada de la base (salvo constantes), tenemos una integral inmediata de tipo potencial INTEGRAL DE UN POLINOMIO $% 0 $ & %.% = $% ; 0 % 0.% = %0 + 4; = = Aplicamos que la integral de la suma de funciones es la suma de las integrales $ % = $.% + 7.% 8.% Página de

3 httpmatematicas-tic.wikispaces.com Lamberto Cortázar Vinuesa 05 httpalumnosdelamberto.wikispaces.com Observa estos ejemplos y practica = = + = = = + = = < = = < = + = > = = > = ? B 5 C Busca las soluciones + 8 > 5 F = = ( D E > 7? 8 0 D E F > Página de

4 httpmatematicas-tic.wikispaces.com Lamberto Cortázar Vinuesa 05 httpalumnosdelamberto.wikispaces.com TIPO LOGARITMO Para que una integral sea del tipo logaritmo debe haber una fracción en la que el numerador es la derivada del denominador (salvo constantes). $ % $%.% = H0 $% + 4 Se pone el valor absoluto de la función porque los logaritmos solo tienen sentido para valores positivos. %.% = H0 % + 4 Observa estos ejemplos Practica Se hace la división Busca las soluciones = = + + = + + = D + E = + + = D E = J 4 + J J Página 4 de

5 httpmatematicas-tic.wikispaces.com Lamberto Cortázar Vinuesa 05 httpalumnosdelamberto.wikispaces.com TIPO EXPONENCIAL Para que una integral sea del tipo exponencial debe haber una función exponencial por la derivada del exponente (salvo constantes). K $% $ %.% = K $% + 4 K %.% = K % + 4 L $% $ %.% = L$% H0L + 4 Observa estos ejemplos L %.% = L% H0L + 4 J = J = J + 5 J = 5J 5 + J= = J= = J= + Practica 46 J 47 J 48 J= 4 J 50 J= J 5 J 5 MNJ 5 MNJ 5 J 54 J 56 J= 57 J 57 J 58 J= 5 Busca las soluciones 55 J> 60 OPNJ! 4 J= MN J J J OPNJ J J J J= J> J J J= J J= Página 5 de

6 httpmatematicas-tic.wikispaces.com Lamberto Cortázar Vinuesa 05 httpalumnosdelamberto.wikispaces.com Integral definida Idea y conceptos La integral definida de una función en el intervalo Q, ST viene dada por la conocida Regla de Barrow U $%.% = QV%T U L = VU VL L donde F(x) es la función que resulta de integrar f(x). Observa cómo se utiliza + = W X = 4 = 64 = 6 = W + X = + B C = Practica calculando las siguientes integrales definidas que hemos encontrado en exámenes de selectividad de diversas comunidades autónomas Murcia 04 6 Aragón 05 6 D + (J + 8E Madrid ) Si la derivada de una función es # & = + Calcúlese la expresión de f(x) sabiendo que su gráfica pasa por el punto (, 4). País Vasco 05 65) Calcular los valores de los parámetros a y b para que la curva de ecuación Z = # = + S presente un extremo relativo en el punto (, 6). Una vez hallados a y b, calcular # Zaragoza D E 67 D + (J + 8E Madrid = 6 4 Madrid 0 70) Dada la función calcular # = = = + ( + 5 = 4 ( # = 0 7) Dada la función # =, calcular el valor de a para que Madrid 0 # = 7 = 7 (a=) Página 6 de

7 ` ` ` ` httpmatematicas-tic.wikispaces.com Lamberto Cortázar Vinuesa 05 httpalumnosdelamberto.wikispaces.com Sigue practicando con funciones definidas a trozos Madrid 00 7) Se considera la función real de variable real definida por # = [ + < < ^ Calcúlese la integral definida # = 4!ó Madrid 0 74) Dada la función real de variable real Calcúlese # = b + 5 ` > # Madrid 04 75) Dada la función real de variable real Calcúlese =!ó 4 # = d + 0 > 0 + # =!ó 76) Se considera la función real de variable real definida por Calcúlese < # = e + 4 > # Madrid 0 77) Dada la función real de variable real = + 4 # = d S 4 Calcúlese el valor de b para que!ó > # = 6 S = 5 Página 7 de

8 httpmatematicas-tic.wikispaces.com httpalumnosdelamberto.wikispaces.com m Lamberto Cortázar Vinuesa 05 Aplicación al cálculo de áreas La integral definida se utiliza para el cálculo de áreas de recintos limitados por curvas dadas por funciones. Observa estos ejemplos - Calcular el área del recinto limitado por la parábola Z 8 y el eje OX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. Representamos la parábola hallando los puntos de corte con el eje OX 8 0 ; 4 El área encerrada por la parábola con el eje OX viene dada por h 8 W 8X g 8 i 6 - Calcular el área encerrada entre las parábolas # Z ^ 5 Representamos las parábolas y hallamos sus puntos de corte 5 ; f(x) g(x) Entre = Z g(x) está por encima de f(x). El área entre ambas curvas viene dada por f ^ # 5 4 W 4X 4 g 4 i Página 8 de

9 httpmatematicas-tic.wikispaces.com Lamberto Cortázar Vinuesa 05 httpalumnosdelamberto.wikispaces.com - Calcular el área del recinto limitado por la parábola Z 4 + 5, el eje OX y las rectas = Z =. Hacer la representación gráfica de dicha área. Representamos la parábola hallando los puntos de corte con el eje OX = 0 = 5; = El área pedida es suma de dos áreas h = = W + 5X = 8 h = = W + 5X = 0 h = k 0 k = 0 El área total será h = = 64 - Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de # = 6 y la recta de ecuación Z = 8 6. (Madrid 0) Puntos de corte de las gráficas 6 = 8 6 = 0, = ± El área pedida es suma de dos áreas # ^ = 8 h = 8 = W 4 X = 8 h = 8 = W 4 X = 8 h = h + h = = 6 Página de

10 httpmatematicas-tic.wikispaces.com httpalumnosdelamberto.wikispaces.com m Lamberto Cortázar Vinuesa 05 Practica Murcia 0 78) Calcular el área comprendida entre la parábola Z, el eje OX y las rectas 0 Z. Hacer una representación aproximada de dicha área. (Solución h ) Murcia 0 7) Calcular el área comprendida entre la parábola Z, el eje OX y las rectas Z. Hacer una representación aproximada de dicha área. (Solución h ) 80) Calcular el área comprendida entre la parábola Z 6 y el eje OX. Hacer una representación aproximada de dicha área. (Solución h ( + ) Murcia 00 8) Calcular el área comprendida entre la parábola Z 6 0, el eje OX y las rectas, Z 0. Hacer una representación de dicha área. Pista Á más pá^ (Solución h q ) 8) Calcular el área del recinto limitado por la parábola Z 4 Z. Hacer una representación aproximada de dicha área. (Solución h n ) 8) Calcular el área comprendida entre la curva Z 6, el eje OX y las rectas Z 4. (Solución h 84 ) 84) Calcular el área comprendida entre la parábola Z 8 y el eje OX. (Solución h (+ ) Murcia 00 85) Calcular el área de la región del plano comprendida entre las curvas Z 4, e Z. Hacer una representación aproximada de dicha área. (Solución h + ) Murcia ) Calcular el área limitada por la curva Z, el eje OX y las rectas 0 Z. Hacer una representación aproximada de dicha área. (Solución h ) Murcia ) Hallar el área limitada (Solución h + ) por las curvas Z 4 e Z 4. Página 0 de

11 httpmatematicas-tic.wikispaces.com Lamberto Cortázar Vinuesa 05 httpalumnosdelamberto.wikispaces.com Murcia ) Hallar el área limitada por la gráfica de # y ^ = +. (Solución h = ) 8) Hallar el área encerrada por la curva Z = 4, el eje OX y las rectas = Z = 4. (Solución h = 4 ) Murcia 0 0) Hallar el área limitada por la gráfica de # = +, el eje OX y las rectas = Z =. (Solución h = ) Madrid 06 (Modelo) ) Se considera la función real de variable real # = 4 5 a. Represéntese gráficamente la función f. b. Calcúlese el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de f y el eje de abscisas. (Solución h = 6 ) Madrid 05(Septiembre B) ) Se considera la función real de variable real # = a. Calcúlense los máximos y mínimos locales y represéntese gráficamente la función f. b. Determínese el área del recinto cerrado comprendido entre la gráfica de f y las rectas =, = Z = 4. (Solución h = ) (Pista Se trata del área comprendida entre dos funciones f(x) y g(x)=4) Madrid 05(Junio A) ) Sean las funciones reales de variable real # = 6, ^ = 0 a. Represéntese gráficamente las funciones f y g. b. Calcúlese el área del recinto plano acotado por las gráficas de f y g. (Solución h = n ) Madrid 05(Modelo A) 4) Dibújese, de manera esquemática, la región acotada del plano limitada por las gráficas de las curvas Z = 6; Z = 6 y calcúlese el área de la región descrita en el apartado anterior. ( h = ) Madrid 04(Septiembre A) 5) Se considera la función real de variable real # = J a. Esbócese la gráfica de la función f. b. Calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas = 0 Z =. (Solución h = ) Madrid 0(Junio B) x 4x + si x 6) Se considera la función f ( x) = x + 4x si x > a. Represéntese gráficamente la función f. b. Calcúlese el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX, el eje O, y la recta x = Página de

12 httpmatematicas-tic.wikispaces.com httpalumnosdelamberto.wikispaces.com m Lamberto Cortázar Vinuesa 05 Ejercicios con indicaciones de resolución País Vasco (04) 7) Dada la curva de ecuación Z a. Calcular sus máximos y mínimos relativos y sus puntos de inflexión. b. Calcular los puntos de corte de dicha curva y el eje OX. Esbozar la gráfica de la función. Calcular el área de la región finita limitada por dicha curva y el eje OX. 8) Dada la curva de ecuación Z S (Área=74 u a. Calcular el valor de los parámetros a y b para que la curva presente un máximo relativo en el punto (, ). b. Calcular los puntos de corte de dicha curva y el eje OX. Esbozar la gráfica de la función. Calcular el área de la región finita limitada por dicha curva y la parte positiva del eje OX. El punto (, ) verifica la ecuación de la curva. Por ser un máximo, la derivada de la función en x= debee ser cero. ) Valencia 0 ) Dada la función (Área=76 u ) # b 0 \ ] \ \ Calcula el área de la región determinada por la gráfica de la función y las rectas x=0, y=0 y x= (Área= u ) Página de