(Soluc: a) 1/x b) x 6 /36 c)
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- Juan Carlos San Martín Crespo
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1 . Calcular las siguints intgrals potncials (s rcominda hacr la comprobación: a d b d c d d d t t dt f d g t dt h d i d j d t m d n d o d p + d ( t dt l d (Soluc: a / b / c j d t / l m t / f 8 8 n o g t / h p + i. Calcular las siguints intgrals d funcions compustas: a ( + d b ( + d c ( + d d ( + d t (t + dt ( + d g ( + d h ( + d i d j ( + f + ( + + dt l d m + d n d o ( + ( + + d t + t p d q d r ( + (8 + d ( + + s + d t + u cos sn d v cos sn d w sn cos d arctg d y + z ε (* ln d α arctg d + d β ln d γ ln arcsn d - δ + + d cos d sn d d arcsn (Soluc: a (+ / b (+ / c ( + / d ( + / (t + / f ( + / g h ( + 8 ( + m ( + n ( i ( + j + + o ( ++ / p 9( + t + l ( + q + r (8 +- / s + t + u sn / o -cos / v sn / w cos / y cosc z ln / α /ln β ln / γ ε arctg arc sn NOTA: En todas las solucions s omit, por razons d spacio, la ct. d intgración C. arc tg δ arc sn
2 . Calcular las siguints intgrals d tipo logarítmico: a d b d c d d d + a + b + f d g + + d h d i d j sn cos d + sn + cos d l ln + d ( arctg m d arcsn n sc d + tg o (* d cos d sn (Soluc: a ln b ln (- c ln + d g ln ( + + h ln + i ln ( m ln (arcsn n ln ( + tg o ln sn ln (a + b a 9 ln + f ln + + j ln ln (ln l ln (arctg sn + cos. Calcular las siguints intgrals d tipo ponncial: a d b d c - d d + d -+ d f d g - d h + d i ( + + d j sn cos d ln d l tg sc d m p ( d q d arctg d n + r 9 d (Soluc: a -/ b / c h + i o /ln p /ln q arcsn d + / -+ / f d o d g + j sn l tg m arctg n arcsn ( / ln r ln. Calcular las siguints intgrals trigonométricas sncillas: a cos( d b sn d c f sn( + d g cos( + d h sn d i cos d d sn ( + d cos( + d cos( + d j sn( cos( d l sn( + d m cos d n sn d o p cos (arctg d + cos ln d + d (Soluc: a sn b cos c sn d cos (+ sn( + f cos (-+
3 g sn( + h m sn n cos cos i sn( + j cos ( + o sn (ln p sn(arctg sn ( l cos ( +. Calcular las siguints intgrals por l método d sustitución o cambio d variabl: + d mdiant +=t b d hacindo t =- c d con t= + a ( 0 d ( + d hacindo +=t d + f ( + 0 d (Soluc: a ( + ( + b ( ( f ( + ( + ( Ln 0 9 Rcordar algunos consjos: c arc tg d + + ( + ( arctg. En las intgrals NO inmdiatas n las qu haya, sul funcionar l cambio RADICANDO=t. aparzcan d distinto índic, pud funcionar l cambio mcm d los índics RADICANDO=t. En las intgrals NO inmdiatas n las qu aparzca a, pud nsayars a =t. Para intgrals trigonométricas NO inmdiatas vr los cambios vistos n l tma.. Calcular las siguints intgrals d tipo arco tangnt: a d b + + f a d g + a d c d d d d h + 9 d i d ( + j sc d + tg (+ ln d + + ( + d l d m + d n + + d + (Soluc: a arctg(+ b arctg ( + c arctg d arctg f ln( + a ln a g arctg h arctg i arctg j arctg(ln arctg( + l arctg ln ln m arctg( + n arctg 8. Calcular las siguints intgrals d tipo npriano-arco tangnt: a d b + + f d + d g d c d d + d d + + h + + d i + + d j + d d
4 (Soluc: a + ln + + arctg b ln + + arctg( + c + ln arctg d + ln + + arctg ln + + arctg f ln + + arctg g + h + i ln( arctg ln + + arctg ln + + arctg j ln( + + arctg ln( + + arctg 9. Calcular por parts las siguints intgrals: a ln d b ln d c ln d d ln d d f ln( + d g arc cos d h cos d i - d j ( d sn d l - ( + d m cos d n + d o ( + sn d (Soluc: a ln b ln c ln d ln -ln+ 9 9 ( -+ f ln(+-+ln(+ g arccos h sn+cos-sn i + j ( + m sn + cos n l + + (sn cos 0. Calcular las siguints intgrals racionals: a + d b + d c + + d d d f + d g + + d h + + i + + d j 9 + d 8 + d l m + d n 8 d o + d p q + + d r + d + d + 0 d + + d + + d (Soluc: a ln ( ( b ln ( + c ln( d ln ln + f + + ln[( ( ] g ln ( + + arctg( + h ( + ln ( i ln ( + + arctg j 9 ln( ( ln ( + + arctg l ln( m ln( + n ( ln 0 ( p ln( q + ln( r ln( + 9 o ln( +
5 . Calcular las siguints intgrals trigonométricas no inmdiatas, hacindo cambios o transformando los intgrandos: a cos d d sn cos d g cos d (Hacr sn=t b sn d (Hacr cos=t c sn + tg d (Dscomponr l intgrando cos sc d f Sustituir ctg = cos ctg d sn (Soluc: a sn sn sn + b cos cos + cos c sc ln cos d sn 8 ln sn + f cos c sn g sn + sn. Calcular por l método más adcuado (ntr paréntsis figura una ayuda las siguints intgrals: a (inmdiata b (tipo ln c d d ( d (por parts ( + d ( ln d (por parts d (raícs R simpls f + d (raícsr simpl + g + 8 d (ln-arctg h + d (raícs R simpls i sc d (cambio sn=t j + sn d (cambio sn=t cos d sn cos cos (transformar l intgrando l cos sn d (inmdiata m sn d (por parts n arctg d (por parts o d (por parts p d (ln-arctg q d (raícsr simpls r ln( + d (por parts + 9 s ln d (inmdiata t sn(ln d u - ln( + d v + d w + d (hacr la división d (hacr la división + y β + d (hacr la división z d α + 9 d (tipo arcsn γ ln ln ln + d (hacr ln =t + tg d cos (Sol: a ln + b ln + c d f ( ln + ln g + ln( arctg h ( + + ln ( i ln sn ln sn + (sn (sn + j sn ln --cosc-ctg l cos sn 9 m cos sn cos + + n 9 + o arctg arctg + p ln( + 9 arctg 9
6 q ln ln ( ln r ln + + ln + s ln t (snln cosln u y ln ln + + v arctg+ln( + w --ln(- ln( + + z ln + 9 α + γ ( tg ln( + + ln (ln (ln + (ln. Calcular la primitiva d f(=ln qu s anula n =. Dtrminar f( sabindo qu f (=, f(0=0, f (0= y f (0= (Soluc: f(= + +. Hallar un polinomio cuya drivada sa +- y tal qu l valor d su máimo sa trs vcs mayor qu l d su mínimo. (Soluc: p(= /+ /-+/
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