Aplicaciones prácticas de la antiderivación y la Integral Definida. Universidad Diego Portales CALCULO II

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1 Aplccoes práctcs de l tdervcó y l Itegrl Defd Uversdd Dego Portles

2 Aplccoes práctcs A cotucó se preset lguos prolems e que se cooce l rzó de cmo de u ctdd y el ojetvo es hllr u epresó pr l ctdd msm. Como l rzó de cmo es l dervd de l ctdd, l epresó pr l ctdd msm se hll medte l tdervcó Ejemplo: U frcte descuró que el costo mrgl cudo se produce q uddes es q -6q+4 dólres por udd.s el costo totl de produccó de ls prmers uddes es U$9, Cuál es el costo totl de produccó de ls 5 prmers uddes? Uversdd Dego Portles

3 Solucó; Recuerde que el costo mrgl es l dervd de l fucó de costo totl C(q). Así C`(q)q -6q+4 y por tto C(q) dee ser l tdervd C ( q) C`( q) dq (q 6q + 4) dq q q + 4q + K Pr lgu costte K. El vlor de K está determdo por el hecho de que C()9. E prtculr 9 () + 4() + K de dode K Por tto C( q) q q + 4q + Uversdd Dego Portles

4 Y el costo de produccó de ls 5 prmers uddes es C (5) 5 (5) + 4(5) + U$587 Compruee co l clculdor el resultdo de (q 6q + 4) dq Ejercco: Se estm que detro de meses l polcó de certo puelo cmrá u rzó de + 6 persos por mes. S l polcó ctul es 5 persos, cuál será l polcó detro de 9 meses? Uversdd Dego Portles 4

5 Ejercco: Después de plcr los freos, l celercó de certo utomóvl dsmuye u rzó costte de pes por segudo. S e el mometo de plcr los freos el utomóvl vj 45 mlls por hor ( 66 pes por segudo) cuáto recorre el utomóvl tes de deteerse por completo? Utlzr u clculdor gráfc pr represetr s(). Plter u hpótess cerc de qué efecto tedrí e l gráfc y e s() el hecho de que l velocdd cl fuer 5 mlls por hor. Verfcr medte l represetcó gráfc. Not: Recuerde que s u ojeto se mueve e líe rect co desplzmeto s(t), su velocdd está dd por vds/dt y su celercó por dv/dt. Uversdd Dego Portles 5

6 Ecucoes dferecles Tod ecucó que coteg u dervd se deom ecucó dferecl. Por ejemplo dy d dp dy dy + 5 kp + + y dt d d e so ecucoes dferecles. Muchs stucoes práctcs se epres medte ecucoes dferecles. L clse más secll de ecucoes dferecles tee l form dy g() d e l que l dervd de l ctdd e cuestó está dd eplíctmete como u fucó de l vrle depedete. Tl ecucó dferecl se clcul l hllr l tegrl defd de g(). Uversdd Dego Portles 6

7 Por ejemplo l ecucó dferecl tee l solucó geerl dy d + y ( + ) d + + C U ecucó dferecl puede precer juto co u codcó cl de l form y( )y Est codcó específc el vlor yy que l fucó solucó y() dee teer e.. U vez que hemos determdo l solucó geerl de l ecucó podemos ecotrr el vlor de l costte C susttuyedo yy cudo Ejercco: Resuelv el prolem co codcó cl dy + y() d Uversdd Dego Portles 7

8 Itroduccó l tegrl defd Supógse que se cooce l rzó f()f()/d l que cm cert ctdd F y se dese ecotrr l ctdd e l cul cmrá l ctdd F etre y. Veremos que s hllmos F medte l tdervcó y luego clculmos l dferec Cmo de F etre y F()-F() el resultdo umérco de este tpo de cálculo se llm tegrl defd de l fucó f y se represet por el símolo f ( ) d Uversdd Dego Portles 8

9 Veremos que l tegrl defd de f desde hst es l dferec f ( ) d F( ) F( ) Dode F es u tdervd de f. Es decr l tegrl defd es el cmo eto producdo e l tdervd etre y Límte superor de tegrcó Sgo de tegrl f ( ) d L fucó es el tegrdo es l vrle de tegrcó Límte feror de tegrcó Itegrl de f de Uversdd Dego Portles 9

10 L tegrl defd como el límte de u sum cómo clculr el áre jo l curv f ( ) + etre y? A Ejercco: Cosdere f ( ) +. Aprome el áre jo l curv pr dvdedo el tervlo e cutro sutervlos. El comezo de cd sutervlo será,.5, y.5. Hllr l ltur de l fucó e cd uo de estos vlores. Luego, promr el vlor de ( + )d l hllr l sum del áre de los rectágulos formdos. Uversdd Dego Portles

11 Supógse que f() es o egtv y cotu e el tervlo [,]. El áre jo l gráfc de f etre y puede promrse como sgue: prmero se dvde el tervlo [,] e sutervlos gules de cho, y se tom j como el comezo del j-ésmo sutervlo; luego se duj rectágulos tles que l se del j-ésmo rectágulo se el j- ésmo sutervlo y l ltur del j-ésmo rectágulo se f( j ) Uversdd Dego Portles

12 El áre del j-ésmo rectágulo es f( j ) y es u promcó l áre jo l curv desde j hst j+. L sum de ls áres de todos los rectágulos es f ) + f ( ) + f ( ) +... f ( ) ( Est sum es u promcó l áre totl jo l curv etre y y por tto, es u promcó l tegrl defd correspodete Es decr: f ( ) + f ( ) + f ( ) ( f f ( ) d ) f ( ) d Y como se muestr e ls fgurs, l promcó mejor medd que crece. Uversdd Dego Portles

13 S el proceso cotú defdmete, l sum de ls áres rectgulres se prom l áre rel jo l curv. Es decr cudo se tee que f ( ) + f ( ) + f ( ) +... f ( ) f ( ) d Est es u versó u poco restrgd de u crcterzcó más geerl de ls tegrles defds. E geerl o ecestmos rectágulos de gul chur. Comezmos sudvdedo el tervlo [,] e sutervlos meores, elgedo putos de dvsó,,,..., de modo que < < <... < Uversdd Dego Portles

14 Etoces los sutervlos so [, ], [, ], [, ],...,[, ] Est sudvsó se llm prtcó de [,] y l represetmos por P Se l logtud de -ésmo sutervlo P {,,,, } má l logtud del sutervlo más lrgo ( l orm de P) Cosderemos u úmero e cd sutervlo [ -, ] y formemos u rectágulo R cuy se es, y su ltur es f ( ) Uversdd Dego Portles 4

15 Cd puto puede estr e culquer lugr de su sutervlo: E el etremo derecho, e el etremo zquerdo o e lgú lugr termedo El áre del -ésmo rectágulo es A f ( ) Uversdd Dego Portles 5

16 Los rectágulos R, R,...,R, form u promcó polgol l regó S. Aprommos l de tutv de u áre S sumdo ls áres de esos rectágulos;l cul es A f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) Ejercco: ) S se dvde el tervlo [,] e sutervlos medte l prtcó P y el cojuto de putos de prtcó es {,.6,.,.6,,.5, } determe II P II ) S f() -4+5 y se elge como el etremo zquerdo de -ésmo sutervlo, ecuetre l sum de ls áres de los rectgulos de promcó c) Trce los rectgulos de promcó Uversdd Dego Portles 6

17 Ejercco: Cosdere ls fgurs ) Estme el áre de l regó churd ) Estme u promcó del áre cosderdo ls áres de los rectágulos que se prec e l fgur Estme co l clculdor el vlor de ( + ) d Uversdd Dego Portles 7

18 El áre de l regó se defe como el vlor límte (s este) de ls áres de los polígoos de promcó P A lm f ( ) El límte e l ecucó teror puede estr o o. Veremos que s f es cotu este límte s este. El sgfcdo precso de límte e l defcó teror es que por cd ε>, hy u úmero correspodete, δ>, tl que A f ( ) < ε sempre que P < δ E otrs plrs, se puede promr el áre medte u sum de áres de rectágulos hst lczr u grdo rtrro de ecttud ( ε ) s se tom l orm de l prtcó lo sufcetemete pequeñ Uversdd Dego Portles 8

19 Ejemplo: Clculemos el áre jo l práol y +, de Como f() + es cotu este el límte que defe el áre, pr tods ls prtcoes posles del tervlo [,], sempre que IIPII A f de smplfcr el cálculo, cosderemos l prtcó P que dvde [,] e sutervlos de gul logtud. Etoces, los putos de prtcó so,, 4,...,,..., y Así que l orm de P es P { } má Uversdd Dego Portles 9

20 Uversdd Dego Portles Se puede escoger el puto e culquer lugr detro del -ésmo sutervlo. Elegremos el etremo derecho Como IIPII /, l codcó IIPII equvle Por lo tto 4 () ) )( ( ) ( ) ( lm lm lm lm lm f lm f lm A P

21 De gul form podemos desgr l etremo zquerdo; es decr - (-)/. Co est eleccó verfque que A4/ Not; Oserv que se otee l msm respuest co ls dstts opcoes pr De hecho, hrímos llegdo l msm respuest s estuver e el puto medo de [ -, ] o e culquer otro puto del tervlo. Ejercco: Verfc co l clculdor que ( + ) ( + )( + ) 6 ( + ) Uversdd Dego Portles

22 Defcó de u tegrl defd S f es u fucó defd e u tervlo cerrdo [,], se P u prtcó de [,] cuyos putos de prtcó so,,,...,, e dode < < <... < Se elge putos e [ -, ] y se defe y P má{,,,, } Etoces, l tegrl defd de f, de es f ( ) d lm s este ese límte. S lo hy, etoces se dce que f es tegrle e el tervlo [,] P f ( ) Uversdd Dego Portles

23 Ejercco. Eprese cd uo de los límtes que sgue como u tegrl defd e el tervlo ddo. lm P ( ( ) 5 ), [,] lm P, [,4] OBS: L sum f ( ) se llm sum de Rem. L tegrl defd se cooce como tegrl de Rem e hoor l mtemátco lemá Berhrd Rem (86-866) Uversdd Dego Portles

24 Deemos dstgur que: u tegrl defd es u úmero, e tto que u tegrl defd es u fucó Ejercco: Se f()+5 y se l prtcó P del tervlo [-,] defd por los putos de prtcó {-, -.5, -, -.,., } Supog que elge.8,.,., 4, Estme l sum de Rem 5.7 Uversdd Dego Portles 4

25 E el ejercco teror f o es u fucó postv l tegrl sgue represetdo áre? E ese cso l sum de Rem o represet l sum de ls áres de los rectágulos. Pero sí deot l sum de ls áres de los rectágulos rr del eje meos ls áres de los rectágulos jo del eje - - y+5 Uversdd Dego Portles 5

26 U tegrl o ecest represetr u áre, pero cudo ls fucoes so postvs, se puede terpretr como u áre S f(), f ( ) d el áre jo l gráfc de f, de E geerl, u tegrl defd se puede terpretr como u dferec de áres dode A es el áre de l regó sore el eje de ls y jo l gráfc de f, y A es el áre de l regó jo el eje de ls y sore l gráfc de f Uversdd Dego Portles f ( ) A A 6

27 El sgfcdo precso de límte, que defe l tegrl es: f ( ) d I ( ε > )( δ > ) I f ( ) < ε pr tods ls prtcoes P de [,], dode IIPII<δ pr tods ls eleccoes posles de [, ] Ejercco: Hllr el áre de l regó lmtd por l rect y, el eje y l rect vertcl, y escr e térmos de tegrl Ejercco: Evlúe ls tegrles terpretádols e térmos de áres. 4 - d ( ) d (- ) d Ejercco: Grfque e l clculdor l fucó f()se e el tervlo [,π] ) clcule el áre jo f etre y π c) clcule l tegrl de f etre y π qué puede oservr? Uversdd Dego Portles 7

28 Propeddes: S >, etoces f ( ) d f ( ) d S, etoces f ( ) d Cuáles fucoes so tegrles? Teorem: S f es cotu o moóto e [,], es tegrle e [,]; esto es, este l tegrl defd f ( ) d Uversdd Dego Portles 8

29 OBS; S f es dscotu e certos putos de [,], etoces f ( ) d podrí estr o o. S f sólo tee u ctdd ft de dscotuddes y tods so de slto, etoces f se llm cotu e seccoes y es tegrle. S f es tegrle e [,], dee ser u fucó cotd e [,]. E prtculr, s f tee u dscotudd ft e lgú puto e [,], f o es cotd y, por lo tto, o es tegrle. Ejercco: Cuáles de ls fucoes sguetes so tegrles e el tervlo [,] ) ) c) d) f ( ) f ( ) sec + s f ( ) - s f ( ) se ( ) - < s s Uversdd Dego Portles 9

30 Ejercco: Se f ( ) < ) Demuestre que f o es cotu e [,] ) Demuestre que f o es cotd e [,] c) Demuestre que f o es tegrle e [,] Ejercco: Se f ( ) Demuestre que f es cotd, pero o tegrle e [,] s s s s es rcol es rrcol Uversdd Dego Portles

31 Uversdd Dego Portles Co fes de cálculo, muchs veces covee defr P como prtcó regulr; es decr, que todos los sutervlos teg l msm logtud,. E este cso, S defmos como el etremo derecho del -ésmo sutervlo, etoces Y que vemos que IIPII cudo y segú l defcó se tee y ,,,, P f lm f lm d f P + ) ( ) ( ) (

32 Teorem: S f es tegrle e [,], etoces f ( ) d lm f ( + ) Ejercco: Evlúe ls sguetes tegrles plcdo el teorem teror cd 4 ( ) d 7 ( 6 - )d Ejercco: Demuestre d d Ejercco: Evlur el límte / 6 / lm ( e + e e / ) Uversdd Dego Portles

33 Regl del puto medo f ( ) d f ( ) ( f ( ) + f ( ) f ( )) e dode - y ( - + ) puto medo de [, ] - Ejercco: Use l regl del puto medo, co 5, pr promr d Uversdd Dego Portles

34 Propeddes de l tegrl. Supogmos que este tods ls tegrles sguetes, etoces cd c( ) c costte. [ f() + g() ] d f()d + g()d. cf()d c f()d c costte 4. [ f()-g() ] d f()d g()d Ejercco: Demuestre ls propeddes y luego clcule 5. f()d c f()d + c f()d 5d Uversdd Dego Portles 4

35 Propeddes de orde de l tegrl Supogmos que este ls tegrles sguetes, y que 6. S f() cudo, etoces f()d 7. S f() g() cudo, etoces f()d g()d 8. S m 9. f() M cudo m(-) f()d f()d f() d, etoces M(-) Ejercco: Demuestre ls propeddes y luego plque l propedd 8 pr estmr el vlor de l tegrl + d Uversdd Dego Portles 5

36 Ejercco: Escre cd u de ls sums o rests que sgue como u tegrl de l form 8 5 f ( ) d + f ( ) d 5 7 f ( ) d f ( ) d f ( ) d Ejercco Empler ls propeddes de ls tegrles pr compror cd u de ls desgulddes sguetes π 6 5 d π / π / 6 se + Uversdd Dego Portles π d d + d 6

37 Teorem fudmetl del cálculo El teorem fudmetl del cálculo estlece u coeó etre ls dos rms del cálculo: el cálculo dferecl y el cálculo tegrl. El teorem fudmetl del cálculo proporco l relcó vers precs etre l dervd y l tegrl. Teorem fudmetl del cálculo ( Prmer Prte): S f es cotu e [,], l fucó g, defd por g() f(t)dt es cotu e [,] y dferecle e (,) y g () f() Co l otcó de Lez pr ls dervds, podemos escrr d d f ( t) dt f ( ) Uversdd Dego Portles 7

38 Ejercco: Aplque l prmer prte del teorem fudmetl pr determr l dervd de ls sguetes fucoes g( ) 5 ( t ) dt g() t + - dt Teorem fudmetl del cálculo ( Segud Prte): S f es cotu e [,],etoces f()d F() - F() e dode F es culquer tdervd de f, esto es, F f Ejercco: Clculr ls sguetes tegrles π ( + 5 cos ) d + d Uversdd Dego Portles 8

39 Cuál es el error e el sguete cálculo? d 4 Ejercco: Trce el áre represetd por g(). A cotucó determe g () co dos métodos. ) l prmer prte del teorem fudmetl ) evlúe co l segud prte y derve cotucó g( ) ( + t ) dt g() + cos tdt κ Uversdd Dego Portles 9

40 Teorem fudmetl del cálculo. S g() f(t)dt, etoces g () f(). f()d F() F(), dode F es culquer tdervd es decr, F f de f, Uversdd Dego Portles 4

41 Ejercco:Clcule el áre de l regó lmtd por l curv y- +4- y el eje. Grfque e l clculdor verfque el cálculo del áre churd Ejercco:Aplque l prmer prte del teorem fudmetl del cálculo pr determr l dervd de l fucó dd g( ) ( t ) dt F() cos ( t ) dt y 7 t se se 4 ( t ) dt y tcos( t ) 5 dt Uversdd Dego Portles 4

42 Ejercco:Use l segud prte del teorem fudmetl del cálculo f de evlur l tegrl, o determe cudo o est + d d 4 d 6 ( - ) d π / π / 4 se tdt π π / sectd f ( ) d dode f() 4 5 s s < Uversdd Dego Portles 4

43 Ejercco: Hllr l dervd de cd u de ls fucoes sguetes u - g() du u + g() t + t 4 dt Ejercco: S F() f(t)dt, dode f(t) t + u u 4 du Clcule F () Uversdd Dego Portles 4

44 Ejercco: Hllr el áre de l regó R, e el prmer cudrte, que se ecuetr jo l curv y/ y está lmtd por est curv y ls rects y, y, y Ejercco: Clculr el áre ecerrd por ls curvs de ecucoes ycos,, π, y Ejercco: Clculr 4 f ( ) d dode f es l fucó defd por f ( ) 4 s s s < 4 Uversdd Dego Portles 44

45 Regl de susttucó pr tegrles defds S g es cotu e [,] y f es cotu e el recorrdo de g, etoces f ( g( ) g ( ) d g ( ) g ( ) f ( u) du Ejercco: Demuestre l regl de susttucó teror 5 + 7d Ejercco: Evlúe plcdo l regl de susttucó pr tegrles defds Uversdd Dego Portles 45

46 Itegrles de fucoes smétrcs Cudo f es cotu e [-,] ) S f es pr f(-) f(), etoces f()d f()d ) Cudo f es mpr f(-) -f(), etoces f()d Ejercco:Demuestre ls propeddes terores Ejercco:Clcule ls sguetes tegrles 4 se ( + ) d d - + Uversdd Dego Portles 46

47 Ejercco: 9 S f es cotu y f ( ) d 4 clcule f ( ) d Ejercco: S f es cotu e IR, demuestre que f ( ) d f ( ) d Trce u dgrm pr el cso e que f()> f de terpretr geométrcmete est ecucó como u guldd de áres Ejercco: S y so úmeros postvos, demuestre que ( ) d ( ) d Uversdd Dego Portles 47

48 Ejercco: Cosdere l susttucó uπ- pr demostrr que π π f (se ) d Aplque el resultdo teror pr evlur l tegrl π se + cos π d f (se ) d Ejercco: Se f:[,] IR tegrle. Demostrr que f()d f( - )d / f() / f( - )d Uversdd Dego Portles 48

49 Itegrcó Apromd Hy dos stucoes e que es mposle clculr el vlor ecto de u tegrl defd. L prmer es cosecuec de que pr evlur f ( ) d co el teorem fudmetl del cálculo, ecestmos coocer u tdervd de f ; s emrgo, veces es dfícl, o hst mposle, ecotrrl. Por ejemplo, es mposle evlur co ecttud ls tegrles sguetes: e d + d L segud stucó se preset cudo l fucó se determ co u epermeto cetífco utlzdo ls dccoes de strumetos. Puede o her fórmul pr l fucó Uversdd Dego Portles 49

50 Recordremos que l tegrl defd es el límte de ls sums de Rem, sí que culquer sum de Rem servrá como u promcó. E especl defmos u prtcó de [,] e sutervlos de gul logtud, ( )/. Etoces, f ( ) d f ( ) [, ] e dode es culquer puto e el -ésmo sutervlo, de l prtcó.e cso de elegr como el puto medo del [, ] Itervlo, teemos que se prom u vlor co l Regl Puto Medo. f ( ) d Uversdd Dego Portles 5

51 Uversdd Dego Portles 5 Regl del puto medo f f f d f... ) ( dode ( ) + y

52 Ejercco: ) Emplee l regl del puto medo, co 5, pr clculr promdmete d Otr promcó es cosecuec del promedo de ls promcoes co etremos zquerdos y etremos derechos, represetds por: f ( ) d f ( ) + f ( ) ( f ( ) + f ( )) Uversdd Dego Portles 5

53 [( f( ) + f( )) + ( f( ) + f( )) + ( f( ) + f( )) + + ( f( ) + f( ))]... [ f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( )] Regl del trpeco dode [ f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( )] y + L cus del omre de l regl del trpeco se puede ver e l fgur, que muestr el cso cudo f(). El áre del trpeco sore el í-ésmo sutervlo es: Uversdd Dego Portles 5

54 ( f ( ) + f ( )) Y s summos ls áres, de esos trpecos oteemos el ldo derecho de l regl del trpeco Ejercco: Emplee l regl del trpeco, co 5, pr clculr promdmete d fg Uversdd Dego Portles 54

55 Aplcdo el teorem fudmetl del cálculo e, se tee, d l ( ) l( ), 6947 El error l empler u promcó se defe como l ctdd que se ecest sumr l promcó pr volverl ect. El error cometdo e l promcó de l regl del trpeco ( ) se defe: T ET f ( ) d T dode represet el vlor otedo l promr dch tegrl por el método del trpeco. E T Uversdd Dego Portles 55

56 El error cometdo e l promcó de l regl del puto medo ( ), de defe : E M M E M f ( ) d dode represet el vlor otedo l promr dch tegrl por el método del trpeco. Ejercco: d Pr, verfcr que los errores otedos e ls promcoes de l regl del trpeco y del puto medo, pr 5, so: E,488 y, 9 T E M M Uversdd Dego Portles 56

57 Límtes de error f ( ) K '' E E T M Supogmos que cudo. S y so los errores e que se curre co ls regls del trpeco y del puto medo, etoces E T K ( ) y K( ) E M 4 Ejemplo: L estmcó de error l promcó de E T ( ) 5 5,6667 '' Not: f ( ) K d es: Uversdd Dego Portles 57

58 Ejercco: Qué vlor dee teer pr grtzr que ls promcoes d Ejercco:, co ls regls del trpeco y del puto medo, teg, de ecttud? ) Aplque l regl del puto medo pr,co pr hllr promdmete, l tegrl ) Estlezc u cot superor pr el error cometdo e est promcó. Ejercco: ) Hlle ls promcoes T8 y 8 pr Uversdd Dego Portles e d M ( cos )d ) Estme los errores e ls promcoes del cso (). c) Qué t grde tedrá que ser pr que ls promcoes M T y l tegrl del cso () teg u ecttud del orde de,? 58

59 Regl de Smpso Otr regl pr promr resultdos de tegrcó emple segmetos prólcos e lugr de segmetos de rect. Como tes, tomremos u prtcó de [,] e sutervlos de gul logtud, h (-)/; pero est vez supodremos pr. Etoces, e cd pr cosecutvo de tervlos, prommos l curv y f() por medo de u práol Uversdd Dego Portles 59

60 S y f( ), etoces P(,y ) es el puto de l curv que está rr de. U práol crcterístc ps por tres putos cosecutvos P, P + y P +. Pr smplfcr cálculos, emremos el cso e que -h, y h. Semos que l ecucó de l práol que ps por P, P y P tee l form y A +B+ C; por cosguete el áre jo l práol, desde -h hst h es: h h ( A + B + C)d Uversdd Dego Portles 6

61 h ( ) ( A + B + C d A C)d + h A + C h h A h + Ch Como l práol ps por P, P y P, teemos y y y C ( h) A + B( h) Ah + Bh + C + C s y + 4y + y Ah 6C + El áre jo l práol qued epresd como: Ah h h Bh + C ( Ah + 6C) ( y + y + y ) 4 Uversdd Dego Portles 6

62 De gul form, el áre jo l práol ps por P, P y P 4, desde hst 4, es: h ( y + y + y ) 4 S clculmos de este modo el áre jo tods ls práols y summos los resultdos, llegmos h h h 4 4 ( ) d ( y + 4y + y ) + ( y + 4y + y ) + + ( y + y y ) f + h ( y + 4y + y + 4y + y + + y + y + y ) 4 4 Regl de Smpso 4 ( d ) S [ f ( ) + 4f ( ) + f ( ) + 4f ( ) + + f ( ) + f ( ) f ( )] f + E dode es pr y (-)/ 4 Uversdd Dego Portles 6

63 Ejercco: Aplque l regl de Smpso, co, pr hllr, promdmete d Límtes de error pr l regl de Smpso f ( 4 ) ( ) K Supogmos que cudo. S es el error cometdo l plcr l regl de Smpso E S K( ) E S Ejercco: Qué vlor h de teer pr grtzr que l promcó, medte l regl de Smpso, de d teg u ecttud de,? Uversdd Dego Portles 6

64 Ejercco: ) Emplee l regl de Smpso, co, f de promr l tegrl e d ) Estme el error cometdo e est promcó. Ejercco: use ls regls del trpeco, del puto medo y de Smpso pr promr ls sguetes tegrles co. e d ) ) c) + d 4 e d Uversdd Dego Portles 64

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA (Aputes s revsó pr oretr el predzje) CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA Sumtor Pr represetr e form revd determdo tpo de sums, se utlz como símolo l letr greg sgm. Ejemplos.

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