10 Integral. indefinida y definida. 1. Reglas de integración. Piensa y calcula. Aplica la teoría

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1 Integral indefinida y definida. Reglas de integración Piensa y calcula Calcula: a y =, y' = b y' =, y = c y = e, y' = d y' = e,y = a y' = b y = c y' = e d y = e Aplica la teoría. 7 d Se aplica la integral de una función polinómica. 8 8 d. + Se aplica la integral de una función racional d + Se aplica la integral de una función logarítmica. 9 L +. e d Se aplica la integral de una función eponencial. e. d + Se aplica la integral de una función logarítmica. L + 6. d 7. 6 d Se aplica la integral de una función eponencial. 6 L d 8. Se aplica la integral de una función logarítmica. L 9. d 8 88 SOLUCIONARIO

2 7 d. 7 + Se aplica la integral de una función irracional d. + + d. d. + d +. d + + Se aplica la integral de una función irracional. 9. e / d Se aplica la integral de una función eponencial. e /. + d +. d Se aplica la integral de una función racional.. + d Se aplica la integral de una función polinómica. + 6 d. L d Se aplica la integral de una función polinómica d + d 8.. d Se aplica la integral de una función eponencial. L d. Se aplica la integral de una función racional. 6 e 6. d e TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA 89

3 L e 7. d + Se aplica la integral de una función logarítmica. L + 8. d Se aplica la integral de una función irracional. d 9. Se aplica la integral de una función trigonométrica. arc sen. e 7 d Se aplica la integral de una función eponencial. e 7 7. d Se aplica la integral de una función logarítmica. L. d Se aplica la integral de una función polinómica.. Integral definida Piensa y calcula Halla, contando, el área de la ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cada cuadradito es una unidad cuadrada. Tiene eactamente 7, u y = + [ ] = = Aplica la teoría. Calcula d c d = u. Calcula + d a F = b F =, F = 9 SOLUCIONARIO

4 a F = b F =, F = 6 c d = 6 u. Siendo el valor absoluto o módulo de, calcula la integral definida d G = G =, G = d = u d + d = =, u d = 6. Calcula el valor de d e a d = d + d Sea F = d F = F =, F = d = u a F = e b F =, F = e c d e = e =, u G = d. Cálculo de áreas Piensa y calcula Halla por aproimación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del dibujo del margen. Cada cuadradito es una unidad cuadrada. La amarilla, u aproimadamente, y la verde u aproimadamente. En total, unas 7 unidades cuadradas. y = A A = = TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA 9

5 Aplica la teoría 7. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de f = +, el eje de abscisas y las rectas =, = Raíces: =, =, = d = d = u d = u Área = 8 u Raíces: =, =, = + d = d = u. Calcula el área de la región limitada por la curva y = y las rectas y =, =, = + d = u Área = =,7 u 8. Halla el área del recinto limitado por la recta y= y la parábola y = Raíces: = d = L d = L L 6 u Área = L L 6 =,8 u Raíces: =, = + d = + + d = u Área = =, u. Resuelve las siguientes cuestiones: a Dibuja el recinto limitado por las curvas: y = e +, y = e, y =, =, = b Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior. 9. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de y = y el eje Raíces: = e + d = e u e d = e u Área = e =, u 9 SOLUCIONARIO

6 . Dada la función, definida en los números reales salvo en = f = calcula el área de la región plana limitada por la gráfica de f y el semieje positivo Raíces: =, = d = L d = L u Área = L =, u. Aplicaciones de la integral definida Piensa y calcula Un depósito recoge agua de un grifo a una velocidad que sigue la función f =, donde f se epresa en litros por minuto, y, en minutos. Calcula la integral d e interpreta el resultado. d = Se recogen litros de agua en los primeros minutos. Aplica la teoría. Se estima que el ritmo de crecimiento de un feto durante el embarazo viene dado por la función: f = + donde se mide en semanas y f en centímetros por semana. Calcula cuánto ha crecido el feto en las primeras semanas. a El crecimiento será: + d b F = + d = + 6 c F = ; F = d F F = = Ha crecido cm TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA 9

7 . Una fábrica produce objetos de decoración. La función de ingreso marginal viene dada por: i = + + donde es el número de objetos vendidos e i viene dado en euros. Cuál es el incremento de los ingresos obtenidos cuando se pasa de vender a vender objetos? d = + L L =, + 6. En un municipio se estima que el ritmo de generación de basura viene dado por la función: f = e, donde se mide en años y f en toneladas por año. Si se considera = el primer año en el que se inicia el estudio, cuánta basura se generará en el municipio durante los primeros años? a El crecimiento será: e, d b F = e, d = e, c F = 6; F = d F F = 6 = 6 Se han generado 6 Tm. La función que mide el caudal que sale de un depósito es: f = donde f está dado en litros por segundo, y, en segundos. Qué cantidad de agua sale del depósito entre el segundo y el segundo 8? 8 8 Volumen = d = 6 litros. 9 SOLUCIONARIO

8 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: Calcula la siguiente integral indefinida: + d / u / u / u No se puede calcular el área porque la función es discontinua en = Calcula el área de la región limitada por la parábola y = y la recta y = + 9 u u + L / u 9/ u Sea la función f = 6. Si f' representa su derivada, encuentra una primitiva F de f que verifique F = f' 7 Dada la función f = +, calcula el área encerrada por la gráfica de la función f y por el eje O Calcula el área de la región plana acotada limitada por las gráficas de las funciones reales de variable real: / u 7/6 u / u 7/ u f = ; g = / u 8/9 u 8/ u 9/8 u Dada la función: f = si Ì si > calcula el área del recinto limitado por los ejes de coordenadas y la gráfica de la función. 8 Una alfombra de flores lleva rosas por cada dm de superficie. Se quiere rellenar de rosas una parte de la alfombra cuya gráfica está limitada por las funciones: y = + + ; y = Si se mide en metros y cada rosa cuesta,, cuánto cuesta rellenar esa parte de la alfombra? / u 89 / u u No se puede calcular el área porque la función es discontinua en = 9 Sea la función f = 6. Calcula el área limitada por la curva y el eje entre = y = 8 u u Dada la función: si Ì f = si < < si Ó calcula el área limitada por la gráfica de la función y = f, las rectas =, = y el eje de abscisas. 6 u u Halla el área limitada por la recta y = + y la parte positiva de los ejes de coordenadas. u u / u 8 u TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA 9

9 Ejercicios y problemas. Reglas de integración 7. d Se aplica la integral de una función polinómica. 6 6 d 8. Se aplica la integral de una función racional d e d Se aplica la integral de una función eponencial. e. d Se aplica la integral de una función logarítmica. L. d d. + 9 Se aplica la integral de una función logarítmica. L + 9. d 9 9 d 6. Se aplica la integral de una función irracional. 7. d 8. d L 9. e 7 d e 7. d Se aplica la integral de una función eponencial. L 6. d 6. + d + L SOLUCIONARIO

10 6. + d Se aplica la integral de una función polinómica d e d e 7. 7 d Se aplica la integral de una función eponencial. 7 L 7 6. d Se aplica la integral de una función irracional. 8 d Se aplica la integral de una función racional e/ d Se aplica la integral de una función eponencial. e / 66. d + + L d + Se aplica la integral de las operaciones. + L e d e + 7. d + + Se aplica la integral de una función logarítmica. L d + L 68. d Se aplica la integral de una función polinómica d + TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA 97

11 Ejercicios y problemas d Se aplica la integral de una función irracional. 77. d L 78. d 79. e d + + Se aplica la integral de una función eponencial. e d 8. + Se aplica la integral de una función logarítmica. L + 8. e d e 8. d + L d Se aplica la integral de una función polinómica d +. Integral definida 87. Calcula + d d + 8. d L a F = + b F =, F = c + d = = 8, u 88. Calcula d 98 SOLUCIONARIO

12 e 9. Calcula + d a F = + L b Fe = e + ; F = c e + d = Fe F = e a F = b F =, F = c d = = 7, u El área es negativa porque el recinto está debajo del eje 89. Sea f : 8 la función definida por f = a Esboza la gráfica de f b Calcula f d. Cálculo de áreas 9. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de f =, el eje de abscisas y las rectas =, = Raíces: =, =, = d = + d + d Sea F = + d F = + F =, F = + d = u G = d G = G =, G = d = u d = + d + d = u d = 7 d = u d = u Área = =,7 u 9. Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = y = Raíces: =, = + d = + TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA 99

13 Ejercicios y problemas + d = u Área = =,9 u 9. Dada la función f =, calcula el área encerrada entre la gráfica f y el eje de abscisas.. Aplicaciones de la integral definida 9. El caudal de un grifo viene dado por la función: f = + donde se mide en minutos y f en litros por minuto. a Escribe la función que epresa la cantidad de agua que arroja el grifo al cabo de minutos. b Cuánta agua arroja el grifo durante la quinta hora? La función será: a F = + d = + Raíces: =, = d = d = u Área = =,67 u 9. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f = +, el eje de abscisas, la recta = y la recta = + d b F = ; F = c F F = El grifo ha arrojado litros. 96. La función de ingreso marginal de un producto, en millones de euros, es: i = donde es el número de unidades vendidas en miles. a Qué ingreso se obtiene por la venta de unidades? b Cuál es el ingreso adicional al pasar de a unidades vendidas? d = 6 millones de euros. d = millones de euros. Raíces: = =,8 + d = Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse. La parcela es la región plana limitada por la curva y = y la recta y = Calcula el área de la parcela. + d = u Área = u Área = d = =, u SOLUCIONARIO

14 Para ampliar 98. Calcula tres primitivas de la función: y = Represéntalas. En qué se parecen? y = y = + y = Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante. 99. Dada la función: y = + a calcula su integral indefinida. b halla la primitiva que pasa por el punto P, c dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior. a + d = + b + = k = y = + + c. Calcula la integral de la función: f = Es la integral de un polinomio.. d e. + d L +. Calcula la integral de la función: y = e + Es la integral de una función eponencial. e +. + d L e. + d 6. Calcula la integral de la función: f = Se aplica la integral de una función irracional. TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA

15 Ejercicios y problemas 7. Calcula d + 9. Sea la función f = Halla el área de la región limitada por el eje y dicha función. Raíces: =, =, = a F = L + b F =, F = L c d = L =,9 u + 8. Sea la función f = + b + a a Halla los valores de a y b, de forma que f tenga un máimo en = y un mínimo en = b Halla el área de la región limitada por la gráfica f y el eje entre = y = a f' = 6 + b + a En los puntos en los que tiene el máimo y el mínimo, la primera derivada se anula. Se obtiene el sistema: a + b + 6 = ò a =, b = 9 a + b + = y = 9 + b Raíces: =, = F = F =, F =, F/ =, F = Área = =,9 u 6 a F = c Área = =, u b F =, F =, F =. Considera las funciones f, g : 8 definidas por: f = 6, g =, é a Dibuja el recinto limitado por las gráficas f y g b Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. a Dibujo: b Raíces: =, = 6 + d = 6 d = Área = =,67 u. Calcula el valor de a, positivo, para que el área encerrada entre la curva y = a y el eje de abscisas sea 6. Representa la curva que se obtienen para dicho valor de a 9 SOLUCIONARIO

16 a = ò =, = a a a d = 6 ò a = 6 y = 6 m 6 /m m = m = 6 6. Calcula el área de la región limitada por la curva y = e y las rectas = y =. Resuelve las siguientes cuestiones: a Dibuja la región limitada por la curva de ecuación y = y la recta de ecuación y = b Halla el área de la región descrita en el apartado anterior. a Gráfica: a e d = e b F = e ; F = c Área = e d = F F = e u b Raíces: =, = Área = d = =, u. Halla el valor del parámetro a sabiendo que el área limitada por la gráfica de la parábola y = a y el eje es. Halla los valores de m para que el área de la región limitada por la parábola y = y la recta y = m sea Raíces: =, = m a = ò =, = a a a d = a = 6 a = a = TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA

17 Ejercicios y problemas Problemas 6. Calcula tres primitivas de la función: y = Represéntalas. En qué se parecen? c y = y = + y = 8. Calcula la integral de la función: f = Es la integral de un polinomio. + + Todas las curvas tienen en común que son traslaciones verticales de la integral sin constante. 9. Calcula la integral de la función: f = + 7. Dada la función: y = e a calcula su integral indefinida. b halla la primitiva que pasa por el punto P, c dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en el apartado anterior. a e d = e b e = ò k = e ò y = e + e Se aplica el método de integración de funciones racionales. La descomposición es: + La integral es: + L SOLUCIONARIO

18 . Calcula la integral de la función: y = e Es la integral de una función eponencial. e. La recta que pasa por los puntos, 6 y, observa el dibujo es la gráfica de la función derivada segunda f de una cierta función f: 8. Se sabe que el origen pertenece a la curva y = f y que en ese punto la recta tangente tiene pendiente igual a. Determina una epresión de la función f y = f'' Se resuelve la ecuación y se toma a > : La + = ò a = e. Calcula el valor de a > para que a a, d + = L a + L a + = ò a = e,,,,, + d =, f" = 6 6 f' = 6 f' = ò k = f' = 6 +,8,6,, f = + f = ò k = f = +. Se consideran las funciones f = +, g = a + b a Calcula a y b para que las gráficas f y g sean tangentes en el punto de abscisa = b Para los mismos valores de a y b, halla el área limitada por las gráficas de las funciones y el eje vertical a a =, b = b Área:. Se considera la función real de variable real definida por: f = + a Calcula el valor de a > para el cual se verifica la igualdad af d = d = L a d = =, u TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA

19 Ejercicios y problemas. Sean las funciones f = + a + b, g = + c a Determínense a, b y c sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos, y, b Calcula el área de la región limitada por las gráficas f y g a f = +, g = + b Área: Raíces: =, =, =, = a F = + + b F =, F =, F = 98 c Área = = 6, u Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = y la recta y = en dos regiones de igual área mediante una recta y = a. Halla el valor de a Área = + d = 9 u 6. Halla el área del recinto delimitado por la curva y= + + y la recta y = Área = d = =,67 u 7. Sea la función f = Calcula el área determinada por la gráfica f, el eje horizontal y las rectas = y = Aplicando el cálculo integral, se tiene: d = u Si y = a, y = = a ò = a, = a La mitad de es a a d = a a = ò a = 9. Resuelve las siguientes cuestiones: a Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas: y = +, y = e y = b Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior. a Recinto: b Área del recinto. + d = 6 SOLUCIONARIO

20 + d = +L a a d = Área = + L =, u 6. Resuelve las siguientes cuestiones: 9 a Dibuja el recinto limitado por la curva y =, la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa = y el eje de abscisas. b Calcula el área del recinto considerado en el apartado anterior. a = a = f = + a Recta tangente: y = Para profundizar b Área del recinto. 9 d = d = Área = =,67 u. De la función f : 8 definida por: f = a + b + c + d se sabe que tiene un máimo relativo en =, un punto de infleión en, y que: f d = Calcula a, b, c y d. La recta de ecuación y + = es tangente a la parábola de ecuación y = a + c en el punto P, a Calcula las constantes a y c de la ecuación de la parábola describiendo el procedimiento que sigas. b Dibuja la región plana limitada por el eje, la parábola y la recta tangente. c Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior. a La pendiente de la recta es m = La derivada de la parábola es y' = a Por tanto, para = ò a = ò a = Si la parábola pasa por el punto P,, se deduce que 7 c = b Dibujo: Si tiene un máimo relativo en =, la primera derivada se anula para = a + b + c = Si tiene un punto de infleión en,, pasa por ese punto; por tanto, d = y la segunda derivada se anula en = b = De donde se obtiene: c = a La función es: f = a a c 7 + d = Área = =, u TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA 7

21 Ejercicios y problemas. La figura siguiente representa la gráfica de una función f : [, 7] 8 Sea F : [, 7] 8 la función definida por: F = ft dt a Calcula F y F7 b Dibuja la gráfica F eplicando cómo lo haces. a F es el área comprendida entre el eje y la función en el intervalo [, ], F = u F7 se obtiene como F, pero hay media unidad más positiva y una y media negativa, F7 = u La fórmula de F es: En el intervalo [, ] es: ft = ò F = En el intervalo [, 6] es: b ft = + ò F = + con la condición de que debe pasar por el punto P,. De donde se obtiene que k = 8 F = + 8 En el intervalo [6, 7] es: ft = ò F = con la condición de que debe pasar por el punto P6,. De donde se obtiene que k = F = + si Ì Ì F = + 8 si < < 6 + si 6 Ì Ì 7 La recta tangente en el punto de abscisa = es y = 7 + d = 7 Área = = 6,7 u. Calcula el área de la región limitada por las curvas y = e, y = e y la recta = e e d = e + e Área = e + =,9 u e 6. En la figura aparece una curva que representa una función polinómica de grado. Los puntos de intersección de la curva con el eje son el A, y el B,.Además, el área limitada por la curva y los dos ejes coordenados vale /. Halla la epresión de dicha función.. Halla la recta tangente a la curva de ecuación y = en el punto de abscisa = Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y la curva dada, y calcula su área. f = a f = a + a + d = ò a = f = + 8 SOLUCIONARIO

22 7. Dibujar con la mayor eactitud posible las gráficas de las funciones f = 6 y g = Representa el recinto limitado por ambas funciones y obtén su área. Raíces: =, =, = d = 6 d = + Área = =,67 u Raíces: =, = + 8 d = Área = =,67 u 8. Representa gráficamente el recinto plano limitado por la curva y = y su recta tangente en el punto de abscisa =. Calcula su área. La ecuación de la recta tangente en el punto P, es: y =. Calcula el valor de a > para que: d = L + a L a = L + a + a + a L = ò = e ò a = a a d =. Se consideran las curvas y = e y = a, donde a es un número real comprendido entre y < a <.Ambas curvas se cortan en el punto,y con abscisa positiva. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde = hasta = es igual a la encerrada entre ellas desde = hasta = + a + a a e + d = 7 Área = = 6,7 u 9. Determina el área comprendida entre las curvas y =, y = y la recta que pasa por los puntos A, y B, 7 Al punto,y se le puede llamar a,a aa d = a d a a = a a = a a a +,,8,6,,,,,6,8,,. Considera la función f : 8 definida por: f = + Calcula a, a <, de forma que a f d = 9 TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA 9

23 Ejercicios y problemas. Determina una constante positiva a sabiendo que la figura plana limitada por la parábola y = a +, la recta y = y la recta = a tiene área a La parábola pasa por el origen de coordenadas. + + d = a a 9 a + = ò a =, a = a 9 El valor a < es a =. De la gráfica de la función polinómica f : 8 dada por: f = + a + b + c se conocen los siguientes datos: que pasa por el origen de coordenadas y que en los puntos de abscisas y tiene tangentes paralelas a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. a Calcula a, b y c b Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función f y el eje de abscisas, y calcula su área. 7 a a + d = a + a Por tanto: a + a = a Resolviendo esta ecuación, se obtiene: a =, a = Solo se toma el resultado positivo, como indica el enunciado del problema. a a a =, b =, c = f = + b Dibujo: 6 Raíces: =, =, = F = + 7 F =, F =, F = 8 7 Área = =,7 u SOLUCIONARIO

24 Linu/Windows Windows Derive Paso a paso. Calcula la siguiente integral indefinida: e + d Resuelto en el libro del alumnado. 6. Calcula la integral: F = d Halla la primitiva que pase por el punto P,. Representa la primitiva obtenida para comprobar que pasa por dicho punto. Resuelto en el libro del alumnado. 7. Dibuja y calcula el área del recinto limitado por el eje y la función f = en el intervalo [, ] Resuelto en el libro del alumnado. 8. Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica d. 7 d. d. d +. d +. e/ + d TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA

25 Linu/Windows. Calcula la integral: F = d Halla la primitiva que pase por el punto P,. Representa la primitiva obtenida para comprobar que pasa por dicho punto. 7. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida. 6 + d Observa y justifica el signo del valor obtenido. 6. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida. d Observa y justifica el signo del valor obtenido. SOLUCIONARIO

26 Windows Derive 9. Dibuja el recinto limitado por las siguientes funciones y calcula su área. f = g = + 8. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida. d TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA

27 Linu/Windows 6. Dibuja y calcula el área del recinto limitado por el eje y la función: f = Una fábrica produce chips para ordenadores. La función de ingreso marginal viene dada por: i = + + donde es el número de chips vendidos e i viene dado en euros. Si vende unidades, cuáles son los ingresos obtenidos? Dibuja la región correspondiente a los ingresos obtenidos. SOLUCIONARIO

28 Windows Derive 6. Calcula el área encerrada por las funciones: f = +, g = + 6. En una ciudad de habitantes, se estima que la velocidad de enfermos por día que hay en una epidemia de gripe sigue la función: f = + donde se mide en días y f en miles de personas cada día. Calcula el número de personas que enfermarán entre el segundo día y el quinto día. TEMA. INTEGRAL INDEFINIDA DEFINIDA

29 Linu/Windows 6. El ritmo de crecimiento de una determinada población de peces viene dado por la función: f = donde se mide en meses y f en miles de peces por cada mes. Calcula el crecimiento de peces en los tres primeros meses. 6. Se estima que el ritmo de crecimiento de un feto durante el embarazo viene dado por la función: f = + donde se mide en semanas y f en centímetros por semana. Calcula cuánto ha crecido el feto en las primeras semanas. 6 SOLUCIONARIO

30 Problemas propuestos PAU. Dada la función f = +, determina: a la monotonía y la curvatura de f b los puntos donde la función alcanza sus etremos relativos. c la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = a Se calculan la ª derivada para estudiar la monotonía y la ª derivada para la curvatura: f' = 6 + f'' = Estudio de la monotonía: f' = ò 6 = ò = ò =, = Si = ò f = + = ò A, Si = ò f = + = ò B, = ò f' = 6 = 6 = < f' + + Creciente «, +@ Decreciente: :, Estudio de la curvatura: f'' = ò 6 6 = ò = Si = ò f = + = ò C, = ò f'' = 6 6 = 6 < f' + Convea «:, +@ b Etremos relativos f'' = 6 6 = 6 < ò A, es un máimo relativo f'' = 6 6 = 6 > + ò B, es un mínimo relativo c Ecuación recta tangente Si = ò f = + = ò P, f' = 6 = 9 La recta tangente es: y = 9 + ò y = c calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. si Ì + si < Ì a f = k si < < si Ó c La función está definida por cuatro funciones polinómicas que son continuas en todo. Los únicos puntos en los que puede haber problemas son los valores en los que cambia la definición. En concreto, =, = Para que sea continua los límites laterales deben coincidir y ser iguales al valor de la función. En = f = lím 8 lím 8 + f = lím + = f = 8 lím 8 + En = f = lím f = lím 8 8 k = k k = k lím f = lím = Para k = la función es continua. b ò k = ò k =. Dada la función: + si Ì f = k si < < si Ó a halla el valor de k para que la gráfica sea continua para = b para ese valor de k, dibuja la gráfica. f = ï =, = si Ì + si < Ì F = si < < + si Ó BLOQUE II. ANÁLISIS 7

31 Problemas propuestos A = + d = F F = A = d = F F = A = d = F F = 7 A = + + = u 6. a Si f' es la derivada de la función dada por f = 6 +?, calcula f' b Dibuja la función f = 6. Obtén el área que limitan la curva y el eje entre = y = a f' = 6 b f' = 87 8 a Coste de fabricación unitario f + c = = = + c = + b Mínimo coste unitario c' = ò c' = ò = ò = c'' = + ò c'' = /6 > ò mínimo relativo. Para = unidades es mínimo. c = /6 cada unidad.. Supongamos que tenemos un alambre de longitud a y lo queremos dividir en dos partes que van a servir de base a sendos rectángulos. En uno de los rectángulos su altura es el doble de su base y en el otro su altura es el triple de su base. Determina el punto por el cual debemos cortar el alambre para que la suma de las áreas de los dos rectángulos sea mínima. a Datos, incógnitas y dibujo f = ò =, = F = 6 d = 7 F = 8; F = ; F = A = 6 d = F F = A = 6 d = F F = 7 Área = + = 9 u 7 y y b Función que hay que maimizar A, y = + y y = + y Sujeta a las condiciones: + y = a ò y = a c Se escribe la función con una sola variable A = + a. El coste de fabricación en euros de unidades de un artículo viene dado por la función f = + a Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario? b Para qué producción resulta mínimo el coste unitario? Cuánto vale éste? Justifica que es mínimo. d Se calculan máimos y mínimos A' = 6a = 6a A' = ò 6a = ò = a/ e Se comprueba en la ª derivada A'' = > + ò mínimo relativo. Hay que cortarla por los / 8 SOLUCIONARIO

32 PAU 6. Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, C, en euros están relacionados con el número de juguetes fabricados,, a través de la epresión: C = 8 + El precio de venta de cada juguete es de. a Plantea la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b Plantea la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c Cuántos juguetes debe fabricar para maimizar beneficios? A cuánto ascenderán estos beneficios? a Función ingresos I = b Función beneficios B = I C = 8 + B = + 9 c Maimizar los beneficios B' = + 9 B' = ò + 9 = ò = 9 juguetes. B'' = < ò máimo relativo. B9 = = 6 Los beneficios ascienden a 6 7. El consumo de un motor, en un trabajo de 6 horas, viene dado por la epresión Ct = t + 8t +, siendo t el tiempo en horas, Ì t Ì 6 a Qué momento es el de mayor consumo? Cuánto es el consumo máimo? b Cuánto consume en total el motor en las 6 horas que dura el trabajo? C''t = < ò máimo relativo. C = = 6 b Consumo total El consumo total es 6 t + 8t + d Ft = t t + 8t + d = + t + t F = F6 = 9 Consumo total = 9 8. Estudia la continuidad de la función f = y clasifica las discontinuidades que se encuentren. Es posible definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? Factorizando el numerador y el denominador se obtiene: f = Es discontinua en =, = a = es una discontinuidad evitable; se evita definiendo f como la función simplificada f = = + b = es una discontinuidad de ª especie de salto infinito. 9. El número de plazas ocupadas de un aparcamiento, a lo largo de las horas de un día, viene epresado por la función 68 + t si Ì t < 8 ft = t + 6t + si 8 Ì t < 6 t + 6t + si 6 Ì t < a A qué hora del día presenta el aparcamiento una ocupación máima? Cuántos coches hay a esa hora? b Entre qué horas la ocupación del aparcamiento es igual o superior a plazas? a Máimo consumo C't = t + 8 C' = ò t + 8 = ò t = horas. a Máimo Hay que hallar el máimo absoluto; para ello se hallan los máimos relativos en cada uno de los intervalos y en los etremos de los intervalos. El primer trozo es una recta, que vamos a llamar: gt = 68 + t ò no tiene máimos relativos. BLOQUE II. ANÁLISIS 9

33 Problemas propuestos g = 68 g8 = 8 El segundo trozo es parte de una parábola; lo vamos a llamar: ht = t + 6t + h't = t + 6, h't = ò t + 6 = ò t = h = 9 h''t = < ò máimo relativo. h8 = 8 h6 = El tercer trozo es parte de una parábola; lo vamos a llamar: it = t + 6t + i't = t + 6, i't = ò t + 6 = ò t = 8 i8 = i''t = < ò máimo relativo. i6 = i = 8 El máimo absoluto es para t = 8 horas y en ese momento hay coches b Ocupación superior a plazas Hay que resolver las inecuaciones: 68 + t > ò > 6, que no sirve. t + 6t + > ò < t < 6 t + 6t + > ò,8 < t <,6, solo sirve 6 < t <. La función: t ft = t + t + representa la concentración de oígeno en un estanque contaminado por residuos orgánicos en un tiempo t medido en semanas. a Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ft para t Ó, así como los instantes en los que la concentración es máima y mínima. b De forma razonada, y conforme a los datos anteriores, representa gráficamente la función para t Ó y estudia con todo detalle sus asíntotas. a Máimos, mínimos y crecimiento t f't = t + f't = ò t = ò t =, t = ; t = no sirve. f = / t f''t = + 6t t + f'' = / > + ò mínimo relativo. f = El máimo lo alcanza en el instante inicial, t =, y el mínimo en t = f' = / f' + Creciente :, +@ Decreciente: :, b Asíntotas y gráfica,,8,6,, Verticales: no tiene, porque el denominador nunca se anula. Horizontales: t k = t + lím =, es cociente de los coeficientes principales. t8 +@ t + Asíntota horizontal k = Oblicuas: no tiene, porque el grado del numerador no es uno más que el del denominador. SOLUCIONARIO