La Antiderivada y la Integral Indefinida

Transcripción

1 UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS Esel Profionl de Ingenierí Ambientl L Antiderivd y l Integrl Indefinid Introdión : L myorí de operion mtemátis se prentn en prejs inverss to l sm y l rt, mltipliión y división, elevr n poteni y etrer n ríz, en donde n operdor dhe l otr, en onseeni si trtmos de rolver eion diferenil qe inlyen derivds neitmos s invers, y l qe llmmos ntiderivd o integrión Definiión : Si f n fnión y F n fnión diferenible tl qe F () = f ( ), deir l derivd de F f, enton diremos qe F n ntiderivd de f. Podemos reprentr t ide omo dos proos inversos en n bloqe de tr pisos. El proo de derivión en form dendente (pr el so de los polinomios bj el grdo l derivr) y el proo de ntidifereniión, inverso de l derivión, en form sendente (sbe el grdo del polinomio l ntidiferenir). F() Antiderivd de f() Proo de ntidifereniión f() = F () derivd de F Proo de difereniión f () derivd de f Tmbién se onoen omo l derivión y l ntiderivión (o integrión). Ing.Sntos E.Alv Bzán

2 L ntiderivd l fnión qe rlt del proo inverso de l derivión, deir, onsiste en enontrr n fnión qe, l ser derivd prode l fnión dd. Por ejemplo: Si f() = 3 X, enton, F() = 3 X, n ntiderivd de f(). Observe qe no eiste n derivd úni pr d fnión. por ejemplo, si G() = enton otr ntiderivd de f(). Evlr d Solión: d =, donde F()+C = C 3 X + 5, Y C= C= C= C=- C=- - X Ejemplos F( ) 3 n ntiderivd de f() 6 G( ) n ntiderivd de g( ) ( ) n ntiderivd de g( ) e n ntiderivd de e Ing.Sntos E.Alv Bzán

3 Observion.- Si F n ntiderivd de f, enton F() + C, donde C n onstnte, l ntiderivd más generl de f..- Si F y G son ntiderivds de f, enton F G = C. En efeto, si F y G son ntiderivds de l fnión f, enton F () = f() y G () = f(), sí F ()- G () = f() - f() = 0. De t mner (F()-G()) = 0 y F()-G() = C, omo onseeni F() = G() + C. Es deir, dos ntiderivds de n fnión difieren lo más en n onstnte, por lo l l ntiderivd más generl úni (se le llm l integrl indefinid de f) - Si F n ntiderivd de f enton F () = f(), lego df = f()d. Así, el problem de hllr n ntiderivd de n fnión f se rme en dpejr F de l eión df = f()d y to se relve plindo l invers de l diferenil en mbos miembros de l igldd, to si l invers de l diferenil, F()= f ( ) d df F y df=f()d enton y sí l ntiderivd más generl de f f ( ) d F( ) C. Not : se llm integrl indefinid. L ntiderivd tmbién se onoe omo l primitiv o l integrl indefinid se epr de l sigiente mner: f ( ) d F( ) C en donde: f() el integrndo; d, l vrible de integrión o diferenil de y C l onstnte de integrión. Ejemplos (6 ) d 3 C d C d C e d e C Ing.Sntos E.Alv Bzán

4 UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS Esel Profionl de Ingenierí Ambientl PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION Sen f, g fnion derivbl, k y son onstnt, enton:.- d.- ( ) d k kf f ( ) d 3.- d ( f ( )) f ( ) n n 4.- d, n n 5.- ( ( ) g( )) d f ( ) d f g( ) d Se =f(), n fnión diferenible en n n 6.- d, n n d 0.- rtg d d 7.- lon.- d 8.- e d e d, 0, Ing.Sntos E.Alv Bzán

5 Ing.Sntos E.Alv Bzán UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS Esel Profionl de Ingenierí Ambientl SEGUNDAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION Fórmls pr sos en qe el integrndo se n eprión dráti. Se = f(), n fnión diferenible en enton:.- rsen d.- d 3.- d 4.- rsen d 5.- d 6.- d 7.- 0, se r d

6 UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS Esel Profionl de Ingenierí Ambientl TERCERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION Fórmls pr sos en qe el integrndo sen fnion trigonométris. Se = f(), n fnión diferenible en enton:.- sen. d os.- os.d sen 3.- tg. d os 4.- tg. d sen 5.-se. d se tg tg e os. d ose tg tg 7.- se. d tg 8.- ose. d tg 9.- se. tg. d se 0.- os e. tg. d ose CUARTAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION Fórmls pr sos en qe el integrndo sen fnion Hiperbólis. Se = f(), n fnión diferenible en enton:.- senh. d osh 5.- se h. d tgh.- osh.d senh 6.- os eh. d tgh 3.-tgh. d osh. 7.-se h. tgh. d se h 4.- tgh. d senh. 8.- os eh. tgh. d oseh Ing.Sntos E.Alv Bzán